Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm khi giải toán

 MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI TOÁN 
 A / Lời mở đầu :
 Khi giải các bài toán các học sinh thường gặp các lỗi sau :
 1/ Cách trình bày bài toán : không rõ ràng , thiếu lập luận .
 2/ Cách phân tích bài toán : Chưa khai thác giả thiết bài toán , chưa phân tích kết luận ,
 chưa tìm được mối liên hệ của giả thiết và kết luận của bài toán .
 3/ Sử dụng các công thức còn sai , chưa vận dụng phù hợp các công thức vào các bài toán 
 4/ Chưa có được một phương pháp , một kế hoạch để giải một bài toán .
 B/ Một số bài toán minh hoạ : 
 I / PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
 1/ Mũ và lôgarít .
 1. Dạng : 
 Ví dụ 1 : Giải phương trình (1)
 (*) Sai lầm thưòng gặp : 
 Điều kiện : x > 0
 PT (1) 
 Đặt ta có 
 Với 
 Với 
 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là và 
 (*) Nguyên nhân sai lầm : 
 do áp dụng công thức sai : với x >0
 áp dụng công thức đúng là : 
 (*) Lời giải đúng :
 Điều kiện : x > 0 
* Một số bài tập tương tự:
 1/ Giải bất phương trình : 
 2.Dạng : 
 Ví dụ 2 : Giải phương trình : 
 * Sai lầm thường gặp : 
 * Nguyên nhân sai lầm : 
 Với x = -2 thì biểu thức vô nghĩa nên x = -2 không phải là 
 nghiệm của ( * )
 * Lời giải đúng : 
 3/ Dạng : hoặc 
 Ví dụ 3 : Giải bất phương trình : 
 * Sai lầm thường gặp : 
 Vậy tập bất phương trình là : 
 * Nguyên nhân sai lầm : 
 + Bài toán bị mất nghiệm : 
 + Việc biến đổi : là không tương đương .
 * Lời giải đúng : 
 Vậy tập nghiệm bất phương trình là : 
 Ví dụ 4 : Giải bất phương trình : 
 * Sai lầm thường gặp : 
 * Nguyên nhân sai lầm : Với x = 2 thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng
 Cách giải trên đã làm mất nghiệm .
 * Lời giải đúng : 
 * Bài tập tương tự: Giải bất phương trình :
 1/ 
 2/ 
 II / Đối với tích phân :
 Ví dụ 5: Tính tích phân sau 
 I = 
Giải
Hàm số y = không xác định tại x= -1 suy ra hàm số không liên tục trên do đó tích phân trên không tồn tại.
* chú y: nhiều học sinh thường mắc sai lầm như sau:
 I = = =-=--1 = -
* Nguyên nhân sai lầm :
Hàm số y = không xác định tại x= -1 suy ra hàm số không liên tục trên nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải trên.
* Chú ý đối với học sinh:
Khi tính cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên không? nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại.
* Một số bài tập tương tự:
 1/ . 2/. 
 3/ 4/
 Vídụ 6 :Tính tích phân: I = 
* Giải:
I = = = tg
* Sai lầm thường gặp: 
 Đặt t = tan thì dx = ;=
 ==d(t+1) = + c
 I = = = - 
 do tankhông xác định nên tích phân trên không tồn tại
*Nguyên nhân sai lầm:
 Đặt t = tan x tại x = thì tan không có nghĩa.
.
* Chú ý đối với học sinh:
Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên .
*Một số bài tập tương tự: 1/ 2/
Ví dụ 7: Tính I = dx
* Sai lầm thường gặp:
 I = dx =
* Nguyên nhân sai lầm:
 Phép biến đổi với x là không tương đương.
* Lời giải đúng:
 I = dx 
 =
 = -
* Chú ý đối với học sinh:
 I = ta phải xét dấu hàm số f(x) trên
 rồi dùng tính chất tích phân tách I thành tổng các tích phân không chứa dấu
 giá trị tuyệt đối.
Một số bài tập tương tự: 
 1/ I = dx ; 2/ I = dx
 3/ I = dx 4/ I = dx
Ví dụ 8: Tính I = 
* Sai lầm thường gặp:
 I = 
* Nguyên nhân sai lầm :
 Đáp số của bài toán thì không sai. Nhưng khái niệm hàm số ngược bây giờ không đưa vào 
 chương trình thpt.
* Lời giải đúng:
 Đặt x+1 = tant 
 với x=-1 thì t = 0
 với x = 0 thì t = 
 Khi đó I = 
* Chú ý đối với học sinh:
Các khái niệm arcsinx , arctanx không trình bày trong sách giáo khoa. Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx hoặc t = cotx
 thì đặt x = sint hoặc x = cost
*Một số bài tập tương tự:
1/ I = 2/ I = 3/ I =
Ví dụ 9:
Tính :I = 
*Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt
 Đổi cận: với x = 0 thì t = 0
 với x= thì t = ?
* Nguyên nhân sai lầm:
Khi gặp tích phân của hàm số có chứa thì thường đặt x = sint nhưng đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x = không tìm được chính xác t = ?
* Lời giải đúng:
 Đặt t = dt = 
 Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x = thì t = 
 I =	=
* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của : 
 + hàm số có chứa thì thường đặt x = sint 
 + hàm số có chứa 1+x2 thì đặt x = tant 
 nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt 
 thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đếnphương pháp khác.
*Một số bài tập tương tự:
 1/ tính I = 2/tính I = 
Ví dụ 10: Tính I = 
* Sai lầm thường mắc: 
 I = 
 Đặt t = x+
 Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2;
 I ===(ln-ln)
 = ln 
* Nguyên nhân sai lầm: 
 là sai vì trong chứa x = 0 
 nên không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được. 
 Nhưng từ sai lầm này nếu các bạn thấy rằng x=0 không thuộc thuộc tập xác định 
 thì cách làm như trên thật tuyệt vời.
* Lời giải đúng: 
Xét hàm số F(x) = ( áp dụng phương pháp hệ số bất định )
 F’(x) = 
Do đó I = = 
*Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 .
* Một số bài tập tương tự:
1/ 2/ 3/ 
III/ Đối với các bài toán liên quan đến hàm số 
 Ví dụ 11 : Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 
 * Sai lầm thường gặp : 
 Điều kiện : .
 Để hàm số đồng biến trên khoảng 
 * Nguyên nhân sai lầm: Chưa chú ý điều kiện xác định và theo bài toán 
 Hàm số phải xác định trên khoảng là ta phải có 
 * Lời giải đúng: 
 Điều kiện : .
 Để hàm số đồng biến trên khoảng 
 Ví dụ 12 : Tìm cực trị của hàm số 
 * Sai lầm thường gặp : 
 Đặt t = cosx , khi đó hàm số đã cho trở thành 
 đạo hàm : 
 nên hàm số đạt cực tiểu tại 
 * Nguyên nhân sai lầm: Do tìm các điểm cực trị theo x nên khi đổi biến số và
 lấy dạo hàm thì cần sử dụng đạo hàm cho hàm số hợp . Lời giải cần sử dụng 
 công thức : 
 * Lời giải đúng: 
 Đặt t = cosx , khi đó hàm số đã cho trở thành 
 , 
 vậy : y(x1) = yCĐ = nếu k chẵn , y(x1) = yCĐ = nếu k lẻ 
 y(x2 ) = yCT = 
 IV/ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
 Vấn đề 1:Tìm toạ độ vectơ,toạ độ điểm thoả mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp giải: -Sử dụng biểu thức toạ độ điểm,toạ độ vectơ.
 -Công thức tìm toạ độ tích vô hướng,có hướng.
 -Chứng minh A,B,C thẳng hàng
 -chứng minh A,B,C,đồng phẳng
 Một số sai lầm khi giải: - viết nhầm 
 -Sai công thức:
 -Công thức liên hệ giữa toạ độ điểm với toạ độ vectơ 
Kinh nghiệm làm bài: Nắm vững công thức,cẩn thận, chính xác.
 Các ví dụ:
Ví dụ13:.Chứng minh:
 a/ A,B,C không thẳng hàng.
 b/ A,B,C,D không đồng phẳng.
Sai lầm: nhầm lẫn giữa công thức có hướng với vô hướng.
Ví dụ1 4: cho A (2;5;3),B (3;7;4),C (x;y;6).Tìm x.y để A,B,C thẳng hàng.
Lỗi mắc phải: giải hệ 3 phương trình hai ẩn.
Ví dụ 15: Cho A (1;2;-1),B (-2;1;3).Tìm MOx sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất
CHÚ Ý:dùng cách đánh giá
Vấn đề 2: Phương trình mặt cầu.
Phương pháp giải:
-Mặt cầu xác định được tâm I(a;b;c) và bán kính R.Phương trình mặt cầu viết dạng:
-Mặt cầu đi qua các điểm,đi qua các điểm và có tâm nằm trên mặt phẳng nào đó,ta viết ptrình dạng:
Sai lầm:- khi giải hệ 4 pt 4 ẩn
 - số d là số âm.
 - thay toạ độ vào pt nhầm vị trí với số a,b,c
Ví dụ16: Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau
 a/Có tâm I (5;-3;7) và đi qua điểm A (4;-1;3)
b/ đi qua A (1;2;-4),B (1;-3;1),C (2;2;-3) và có tâm nằm trên mp (Oxy)
Vấn đề 3: phương trình mặt phẳng,phương trình đường thẳng.
Dạng 1: Phương trình tổng quát của mặt phẳng ()
 Phương pháp: Xác định điểm Mvà một vectơ pháp tuyến 
 Pt viết dạng:
Dạng 2: Phương trình tham số của đường thẳng d:
 Phương pháp: Xác định Mvà một vectơ chỉ phương .
 Phương trình tham số của d là :
Sai lầm: -nhầm vị trí A,B,C với 
 -mặt phẳng là biết VTPT, đường thẳng là biết VTCP.( nhầm lời giải VTPT với VTCP)
Ví dụ 17 : Cho hai điểm A(-1;3;-2),B(-9;4;9) và mặt phẳng (P) : 2x-y+z+1=0 . Tìm điểm M thuộc mp(P) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất .
 * Sai lầm thường gặp : 
 Ta có : 
 Suy ra MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất khi chỉ khi M là giao điểm của AB và mp(P)
 AB có phương trình : suy ra toạ độ điểm M là nghiệm của hệ phương 
 trình : giải hệ suy ra M(7;2;-13)
 * Nguyên nhân sai lầm: 
 Dấu bằng của bất đẳng thức không xảy ra , tức là do hai điểm A,B 
 ở về một phía đối với mp(P) . nên điểm M không thuộc đoạn thẳng AB nên đẳng thức
 MA + MB = AB không xảy ra .
 * Lời giải đúng: 
 + Xét vị trí tương đối của hai điểm A,B đối với mp(P) :
 suy ra điểm A và B ở về một phía đối 
 với mp(P) 
 + Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua mp(P) ta tìm được A1(3;1;0)
 + A1B có phương trình : 
 Gọi N là giao điểm của đường thẳng A1B với mp(P) , khi đó toạ độ điểm N là
 nghiệm hệ phương trình : 
 giải hệ ta có N(-1;2;3)
 + lập luận : lấy bất kì điểm M thuộc mp(P) ta có :
 Dấu bằng xảy ra M là giao điểm của đường thẳng A1B với mp(P) 
 Vậy M( -1;2;3)
 V/ Hình học không gian :
 Phương pháp tỉ số thể tích : 
 Cho hình chóp tam giác S.ABC . Trên ba tia SA,SB,SC
 lần lượt lấy ba điểm A’ , B’ C’ khác với S .Khi đó ta có :
 (*)
 Ví dụ 18 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , đáy là hình vuông ABCD cạnh a . Cạnh
 bên tạo với mặt đáy một góc 600 . Gọi M là trung điểm của cạnh SC . Mặt phẳng
 đi qua AM và song với BD , cắt cạnh SB tại E và cắt cạnh SD tại F . Tính thể tích 
 khối chóp S.AEMF .
 * Sai lầm thường gặp : 
 Gọi O là tâm của hình vuông ABCD , I là giao điểm của AM và SO 
 Ta có : + 
 + EF song song BD và EF đi qua I 
 + I là trọng tâm tam giác SAC 
 + Vì góc SAC = 600 nên tam giác SAC là tam giác đều cạnh 
 Nên và thể tích hình chóp S.ABCD là 
 + Áp dụng công thức tỷ số thể tích ta có :
 * Nguyên nhân sai lầm: Công thức (*) chỉ được áp dụng cho hình chóp đáy là 
 tam giác .
 * Lời giải đúng: 
 Với cách lập luận như trên ta có : 
 ( 1 )
 Tương tự : ta có (2) 
cộng (2) ta 
 C/ Kết luận : 
 Trên đây là một số ví dụ minh hoạ chỉ ra các sai sót thường gặp khi giải toán của 
 học sinh và chỉ ra các hướng khắc phục , các kinh nghiệm , các suy luận đúng khi giải một 
 bài toán và tìm ra lời giải đẹp .
 --------------------------------------------