Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm khai thác kết quả của các bài toán

“ Một số kinh nghiệm khai thác kết quả của Các bài toán”
A. Đặt vấn đề : 
- Muốn nâng cao hiệu quả của các giờ lên lớp, người thầy giáo phải biết lựa chọn phương pháp thích hợp để kích thích tính tích cực, tư duy nâng cao nhận thức, thúc đẩy tính năng động sáng tạo và giải quyết tốt các vấn đề đặt ra.
- Nhưng trong thực tế hiện nay, mỗi khi học xong một bài học giáo viên chỉ đưa ra các bài tập trong sách giáo khoa, học sinh biết giải các bài tập đó. Việc chỉ dừng lại và giải các bài tập đơn lẻ sẽ gây cho học sinh sự nhàm chán trong học toán đặc biệt là đối với môn đại số. Nếu áp dụng cách học này, học sinh không những không tiến bộ mà còn gây cho học sinh sự chán nản trong học toán, không kích thích được tính tò mò, tư duy sáng tạo cho học sinh, mỗi khi giáo viên đưa ra một bài toán mới thì học sinh không biết xuất phát từ đâu, cần vận dụng kiến thức nào nào để giải các bài tập đó.
- Qua việc giảng dạy, dự giờ thăm lớp, bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm tôi nhận thấy rằng việc chọn các bài tập đưa ra cho học sinh làm phải xuất phát từ các bài tập đơn giản, hệ thống các bài tập đưa ra phải từ dễ đến khó , các bài tập phải có sự liên hệ kiến thức với nhau . Mỗi người giáo viên phải hướng dẫn học sinh cách tìm tòi, mở rộng, khai thác kết quả các bài toán đã học, đã giải sẽ giúp các em có cơ sở khoa học khi phân tích, phán đoán tìm tòi lời giải các bài toán khác một cách năng động hơn. Sau đây tôi xin nêu ra một số vấn đề mà tôi đã thực hiện trong các năm qua.
B. Giải quyết vấn đề :
I. Lí thuyết :
- Trước khi tiến hành đề tài giáo viên cần nhắc lại cho học sinh một số kiến thức cơ bản cần nhớ để vận dụng vào làm các bài tập . 
1. Học sinh phải nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ.
2. Học sinh phải nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
3. Học sinh phải nắm vững các tính chất sau
 với aR
 với a, bR
II. Bài tập :
Bài 1 : a/ Tìm x biết : 
b/ Tìm x; y biết : 
c/ Tìm x; y; z biết : 
d/ Tìm x; y; z biết : 
Bài giải : 
a/ Đối với câu a thì học sinh dễ dàng làm được 
Thông thường học sinh làm như sau : 
Nhưng giáo viên phải làm cho học sinh hiểu được cơ sở làm bài toán đó :
Ta có : với mọi x R 
Dấu "=" xẩy ra x- 1 = 0 x = 1
Nếu ngay từ đầu người giáo viên rèn cho học sinh kỹ năng giải các bài toán này thì sẽ giúp cho học sinh giải quyết tốt các bài toán sau này
b/ Ta có : với mọi x, y R với mọi x, y R 
Dấu "=" xẩy ra 
c/ Tương tự ta có : với mọi x, y, z R 
Dấu "=" xẩy ra 
d/ Đối với câu (d) thực chất là bài toán khai triển của câu (c) do đó giáo viên phải giúp học sinh nhận dạng và rèn cho học sinh kỹ năng biến đổi
Ta có 
Do ; ; với 
Dấu “=” xẩy ra 
Bài 2: Cho đẳng thức : . Chứng minh rằng : x = y = z
Bài giải : Ta có :
Do ; ; với 
Dấu “=” xẩy ra 
Bài 3 : Cho và 
? Tìm x, y, z 
Bài giải : Theo Bài tập 2 ta có : x = y = z
Mặt khác : x + y + z = 2010 
Bài 4: Cho 3 số x, y, z thoả mãn : ; ; 
Tính : A = 
Bài giải : Ta có 
Thay x = -1 ; y = -1 ; z = -1 vào biểu thức A = 
Ta có A = 
Bài 5 : a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 
b/ Cho . Hãy phân tích đa thức sau thành nhân tử 
c/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Bài giải : 
a/ ta có :
Từ câu a ta thấy nếu : x + y + z = 0 thì =0 
Như vậy đối với câu b học sinh vận dụng kết quả của câu a sẽ làm được ngay
b/ Do =0 
c/ Đối với câu c nếu ta đặt : x = a - b ; y = b - c ; z = c - a x + y + z = 0
áp dụng kết quả của câu b ta có : 
Bài 6 : Giải phương trình : 
Bài giải : Ta sẽ hướng dẫn học sinh chuyễn phương trình đã cho về dạng:
Nếu ta đặt : a = 4x - 3 ; b = 5 - 7x ; c = 3x - 2 thì ta có : a + b + c = 0
Do đó áp dụng kết quả câu (b) của bài tập 5 ta có
 : 
Mà 
Bài 7 : Cho . ? Tìm x, y, z 
Bài giải : 
Ta có 
Mà 
Bài 8 : Cho . Tính giá trị của biểu thức
P = 
Bài giải : Ta có 
Đặt ; ; 
Khi đó P = Do 
 P = 
Bài 9 : a/ Cho Tính : A = 
b/ Cho Tính : B = 
Bài giải :
a/ Ta có : 
Th1 : a + b + c = 0 a + b = - c ; b + c = - a ; a + c = - b
 A = 
 A = 
Th2 : 
áp dụng kết quả của bài tập 2 ta có : a = b = c
 A = 
Vậy A = - 1 hoặc A = 8
b/ Nếu ta đặt : x = ab ; y = bc ; z = ac thì 
Th1 : x + y + z = 0 x + y = -z ab + bc = -ac 
 x + y + z = 0 x + z = -y ab + ac = - bc 
 x + y + z = 0 y + z = -x bc + ac = - ab 
Tacó : B = 
Th2 : 
 x = y = z ab = bc = ac a= b= c
Ta có B = 
Vậy B = -1 hoặc B = 8
Bài 10 : Cho . Hãy tính 
Bài giải : áp dụng kết quả của các bài toán 5 đã làm trên ta có:
 A = 2010
Vậy A = 2010
Bài 11 : Cho Chứng minh rằng : a3 + b3 +c3 = 3abc
Bài giải : Ta có 
 hoặc x + y - 1 =0
Th1 : a + b + c = 0
Theo kết quả bài toán 5 ta có : 
Do a + b + c = 0 a3 + b3 +c3 - 3abc = 0 a3 + b3 +c3 = 3abc 
Th2 : x + y - 1 = 0 x = 1 - y
 Thay x = 1 - y vào phương trình ax + by = c ta có: a(1 - y) + by = c y(b - a) = c - a y = (1)
Tương tự thay x = 1 - y vào phương trình bx + cy = a ta có : b(1 - y) + cy = a
 y ( c - b ) = a - b 
 y = (2) 
Từ (1) và (2) = (c - a)(c - b) = (a - b)( b - a)
 c2 - bc - ac + ab = ab - a2 - b2 + ab a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac = 0
áp dụng kết quả bài tập 5 ta có : 
Do a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac = 0 
Bài 12 : Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác sao cho 
? Tam giác ABC là tam giác gì
Bài giải : Ta có 
Theo kết quả của bài tập 5 ta có : 
(Do a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác nên a + b +c 0
Theo kết quả của bài tâp 2 ta có : a = b = c . 
Vậy tam giác ABC là tam giác đều
C. Kết quả thực hiện 
- Trên đây là một vài suy nghỉ của tôi về hướng khai thác các bài toán từ một bài toán cơ bản. Khi chưa áp dụng đề tài này trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy nhiều học sinh rất bỡ ngỡ và mơ hồ trong quá trình làm bài. Chưa nắm vững được phương pháp giải các loại câu hỏi trong một bài toán, khả năng biết đổi còn hạn chế . Cho nên khi làm một bài toán các em không biết xuất phát từ đâu, cần vận dụng kiến thức nào để làm, do đó khi làm xong một bài toán các em không biết mình làm đúng hay làm sai.
- Sau khi áp dụng đề tài tôi nhận thấy: Khi đưa ra một bài toán thì học sinh định hướng được cách giải bài toán đó một cách năng động hơn cho dù thầy giáo thay đổi một vài dự kiện của bài toán. Tỷ lệ học sinh làm được bài tăng lên rõ rệt, các em hứng thú và tích cực học tập hơn. Các em cảm thấy rất sung sướng khi làm xong một bài toán mà giáo viên đưa ra. Sau đây đây là kết quả khảo sát mà tôi đã ghi lại khi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 trong năm 2009- 2010
Bài toán cơ bản
Bài toán nâng cao
Biết cách khai thác bài toán
Bài kiểm tra lần1
%
%
%
Bài kiểm tra lần 2
%
%
%
Bài kiểm tra lần 3
%
%
%
Bài kiểm tra lần 4
%
%
%
D. Kết luận và kiến nghị
- Qua nhiều năm giảng dạy tôi đã đúc rút được một số kinh nghiệm nhất định. Đó là giáo viên phải luôn luôn bán sát học sinh, luôn điều tra khảo sát việc tiếp thu kiến thức của học sinh, phân loại đối tượng để có phương pháp dạy tối ưu nhất, hệ thống các bài tập đưa ra phải đi từ dễ đến khó. Trong thực tế có nhiều vấn đề giáo viên cho là rất đơn giản nhưng đối với học sinh lại là rất khó. Dó đó mỗi người giáo viên phải luôn kiên trì , bền bỉ, gần gủi với học sinh, quan tâm động viên học sinh, nhiệt tình giảng dạy, tâm huyết với nghề. Từ đó sẽ cảm hoá được học trò, các em sẽ mạnh dạn trao đổi ý kiến với giáo viên. Có như vậy thì mới phát huy được tính tích cực, chủ động và sáng tạo của mỗi học sinh, giúp học sinh giải quyết tốt các vấn đề đặt ra.
- Để thực hiện tốt cụng việc giảng dạy, đặc biệt là cụng tỏc bồi dưỡng học sinh giỏi người thầy phải thường xuyờn học tập, nghiờn cứu, đọc các tài liệu tham khảo, trau dồi chuyên môn nghiệp vụ của mình luôn chủ động kiến thức trước khi lên lớp.
- Trong quá trình làm đề tài không tránh những sai sót và hạn chế nhất định . Kính mong Hội đồng khoa học và quí đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mang lại kết quả cao hơn trong giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Tôi xin chân thành cảm ơn !