Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm giải toán bất đẳng thức

PHẦN MỞ ĐẦU
Bất đẳng thức là một trong những dạng toán hay và khó đối với học sinh trong quá trình học tập cũng như trong các kỳ thi, trước hết là kỳ thi đại học mà hầu hết học sinh THPT đều phải vượt qua. Ngoài ra bất đẳng thức cũng là một dạng thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán ở các cấp: Tỉnh, Quốc gia, Olympic khu vực và Olympic quốc tế.
Để giúp các em có thêm một số kinh nghiệm trong quá trình học tập nhằm nắm vững các phương pháp chứng minh bất đẳng thức đồng thời sử dụng linh hoạt hơn trong việc giải các bài toán về bất đẳng thức, tôi quyết định viết đề tài này nhằm chia sẽ cùng đồng nghiệp, học sinh và độc giả một số phương pháp, kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức.
	Đề tài gồm 2 phần cơ bản: 
	Phần I: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. 
Phần II: Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác.
	Do khuôn khổ của đề tài, ở mỗi phần tôi xin miễn nhắc lại các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức vì những kiến thức này được trình bày chi tiết trong sách giáo khoa trung học phổ thông, mà chỉ tập trung vào các phương pháp biến đổi đồng thời nêu một số ví dụ minh họa.
B. NỘI DUNG
Phần I: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Dùng các phép biến đổi thích hợp
Tam thức bậc 2
Phương pháp đạo hàm, cực trị hàm số
Quy nạp
Lượng giác hóa
Phương pháp hình học
Các BĐT thông dụng
Một số phương pháp khác
I. Sử dụng các phép biến đổi.
Ví dụ 1: CM với a,b,c là 3 số dương thì 
Giải: Vì a,b,c là 3 số dương nên ta có 
Cộng vế theo vế ta được 
Mặt khác ta có 
Cộng vế theo vế ta được 
Ví dụ 2: CM ta luôn có 
Giải: 
Do đó (đpcm)
Ví dụ 3: CMR 
Giải: Ta có 
Cho k=1, 2, .....n rồi cộng các đẳng thức theo vế ta có 
Vậy ta có đpcm.
II. Phương pháp Tam thức bậc 2. 
Ví dụ 1: CMR 
Giải: TXĐ: 
Gọi thì 
 (*)
Để (*) có nghiệm x thì 
Vậy 
Dấu đt bên trái xảy ra 
Dấu đt bên phải xảy ra 
III. Phương pháp hàm số, dùng đạo hàm. 
Ví dụ 1 : CMR thì 
Giải : Xét hàm số 
 đồng biến
Mặt khác f(0)=0. Vậy f(x)>0 với mọi x>0 hay với mọi x>0 thì 
Ví dụ 2: CMR nếu 0<b<a thì 
Giải: Xét hàm số f(x)=lnx liên tục và có đạo hàm trên 
	. Theo định lí Lagrange tồn tại x0 với b<x0<a sao cho 
Vì b<x0<a nên suy ra đpcm.
Ví dụ 3: Cho a,b,c,d là 4 số dương bất kì. CM
Giải: Không mất tính TQ giả sử 
Xét hàm số 
f(x) là một hàm số liên tục và có đạo hàm trên R
Vì f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=0 và f’(x) là một hàm bậc 3 nên tồn tại sao cho
 sao cho 
Vậy 
Trong khai triển ta có 
Theo BĐT Cauchy 
IV. Phương pháp quy nạp. 
Phương pháp này được áp dụng khi BĐT phụ thuộc 1 tham số , với các bước chứng minh như sau:
	+ Bước 1. C/m BĐT đúng với n=n0
	+ Bước 2. Giả sử BĐT đúng với n=k ta cần chứng minh BĐT đúng với n = k+1. 
	+ Bước 3. Kết luận BĐT đúng với mọi . 
Ví dụ 1 : C/m ta có : 
Giải: 	+ Khi n=2 ta có đúng. 
	+ Giả sử BĐT đúng với n=k tức là 
Ta cần chứng minh (*) cũng đúng với n=k+1. Thật vậy 
Ta cần chứng minh 
Đến đây ta thấy (*) đúng với n=k+1.
Vậy theo giả thiết quy nạp (*) đúng với
Ví dụ 2: Cho x>0 CMR với ta có 
Giải: 	+Với n=1 ta có 
Vậy 
Vậy BĐT đúng với n=1.
	+ Giả sử BĐT đúng với n=k tức là 
Ta c/m BĐT cũng đúng với n=k+1 tức là : 
Thật vậy theo giả thiết quy nạp ta có: 
Như vậy ta có 
Do đó ta có: 
	+Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có BĐT đúng với 
V. Sử dụng phương pháp lượng giác hóa. 
	Để sử dụng phương pháp lượng giác hóa, trước hết học sinh phải nắm vững các tính chất, công thức và các phép biến đổi lượng giác. Trên cơ sở đó, trong một số bài toán nếu đặt các giá trị ẩn thích hợp qua các hàm số lượng giác thì rất thuận tiện. 
Ví dụ 1: CMR ta có: 
Giải: Đặt 
Ta có: 
*) Một số bài tập: 
1. CMR thì 
2. Cho 4 số thực a, b, c, d thõa mãn 
CMR 
VI. Phương pháp hình học. 
a) Sử dụng các BĐT về vectơ 
	1. 
	Dấu “=” xảy ra cùng chiều
	2. 
Ví dụ 1: Cho a, b, c là 3 số thực bất kì CM 
Giải: Đặt thì 
Ta có suy ra đpcm.
Ví dụ 2: CM thì 
Giải: Đặt thì 
Lại áp dụng suy ra đpcm.
Ví dụ 3: CM thì 
Chú ý: Phương pháp vectơ được áp dụng trong các trường hợp ta có thể biểu diễn các thành phần của bđt thành đồ dài các vectơ tuy nhiên nó chỉ áp dụng thường thi khi không có sự ràng buộc nào của các biên còn nếu có sự ràng buộc thì ta thường dùng phương pháp tọa độ.
b) Phương pháp tọa độ: 
Ví dụ 4: Cho a,b thõa mãn a – 2b + 2 = 0. 
CMR 	
Giải: Chọn A(3; 5) B(5; 7) 
	M(a; b) vì thõa mãn a – 2b + 2 = 0 nên nằm trên đường thẳng x- 2y + 2=0 . Lấy A’ đối xứng A qua ta có A’(5; 1) 
Ta có MA+MB=MA’+MBA’B
Hay 
x
y
MA
A
BA
C
P
NA
z
Dấu “=” xảy ra 
c) Các phương pháp khác: 
Ví dụ 5: Cho 0<x, y, z<1. CM 	
Giải: Dựng tam giác đều cạnh 1 như hình vẽ 
Ta có 
Ví dụ 6: Cho a, b, c dương. CM	
c
b
a
A
O
B
C
Giải: Dựng hình như hình vẽ sao cho: 
	OA=a ; OB=b ; OC=c
Áp dụng định lí hàm số cosin 
trong tam giác ta có: 
Vậy tức là 
Dấu đẳng thức xảy ra 
*) Một số bài tập 
1. Cho a, b, c, d là 4 số thực thõa mãn 
CM: 
2. CMR ta có 
3. Cho x, y thõa 
C/m 
4. Cho x, y, z dương thõa mãn xyz(x+y+z)=1
	Tìm MIN (x+y)(x+z)
VII. Sử dụng các BĐT quen thuộc. 
1. Bất đẳng thức Cauchy
 a. Cho 2 số không âm x, y ta có 
	. Dấu “=”
	Dạng khác Dấu “=”
 b. Tổng quát cho n số không âm ta có 
Ví dụ 1 : Cho a, b, c là 3 số dương tùy ý 
CMR ta có 
Giải : Áp dụng BĐT Cauchy cho các cặp số dương ta có : 
Cộng vế theo vế ta có ta có đpcm. 
Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi x=0.
Ví dụ 2 : Với a, b, c dương CM 
Giải : áp dụng BĐT Cauchy cho các cặp số dương ta có : 
Cộng vế theo vế ta có : 
Mặt khác ta có 
Thay vào (1) suy ra đpcm. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
 c. Một số dạng toán cơ bản sử dụng BĐT Cauchy tổng quát để c/m.
	1) Cho n số thực dương thõa mãn 
	 cho trước)
CMR 
	Với là các số nguyên dương tùy ý.
Giải: áp dụng BĐT Cauchy cho số ta có: 
	Lại áp dụng cho m số dương ta có 
Từ (1) và (2) ta có 
	()
	Tương tự cho các phân thức còn lại cuối cùng cộng các bđt dạng như (*) lại vế theo vế ta có 
*) Một số bài tập 
	1. Cho 3 số dương a, b, c. CMR 
	2. CMR 	
	Tổng quát 
	3. Cho . Tìm MIN
2. Sử dụng BĐT Bunhiacopxki(BCS)
	Với 2 bộ số và bất kì ta có 
Đẳng thức xảy ra 
Với quy ước ai=0 thì bi=0 
Chứng minh: 
 +Nếu =0 suy ra BĐT luôn luôn đúng 
 +Nếu >0. Xét tam thức 
Ví dụ 1: Cho 2 số thực x, y thõa mãn . 
CMR 
Giải: Theo BĐT BCS ta có 
Dấu “=” xảy ra 
Ví dụ 2: a) Cho n số thực và n số dương 
	CMR 
	 b) CMR 
Giải: a) Áp dụng BĐT BCS cho 2 bộ số dương 
 và 
Ta có 
 b) Áp dụng kết quả ở a) ta có 
	đpcm
Ví dụ 3: Cho ab+bc+ca=1 a, b, c là 3 số dương 
CMR 
Giải: Áp dụng BĐT BCS ta có a, b, c dương nên 
“=”
VII. Các phương pháp khác
1. Sử dụng khai triển nhị thức Newton
	Để c/m AB ta có thể làm như sau 
	a) Nếu đưa A về dạng 
	Ta tìm cách c/m B không lớn hơn tổng T của một số phần tử của chuỗi thì (cách ngắt chuỗi dương)
	b) Nếu đưa được B về dạng 
	Ta tìm cách đánh giá mỗi số hạng của chuỗi (*) không lớn hơn các biểu thức TJ mà lúc đó 
Ví dụ 1: Nếu và n nguyên, n>1 thì 
Giải: Ta có 
Vì nên . Vậy 
Ví dụ 2: CMR nguyên dương, m2 ta có: 
Giải: 
Mặt khác ta có: 
	đpcm
Ví dụ 3: Nếu n là số tự nhiên lớn hơn 1. CM 	
Giải: Vì . Đặt . Lúc đó ta có 
2. Sử dụng phương pháp phân chia. 
 a) Nếu hàm số biến thiên phức tạp trong tập xác định ta chia tập xác định D thành các tập con D1, D2,.sao cho việc tìm cực trị của hàm số trên các tập con dễ dàng hơn.
 b) Nếu tính chất của hàm thay đổi cả trên các tập con thì ta phân tích hàm thành tổng của các hàm đơn giản hơn để tìm cực trị của các hàm thành phần.
Ví dụ 1: Tìm Max của với x,y là các số thực thõa mãn 
Giải: 
	+ Khi ta có . Dấu “=” xảy ra 
	+ Khi ta có 
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2004 số không âm ta được 
Vậy 
Ví dụ 2: Tìm Min 
Giải: Xét các trường hợp: 
+ . Lúc đó 
+ 
+ 
Vậy Min
Ví dụ 3: Tìm Min trong đó x, y, z là các số thực thõa mãn 
. 
Giải: Đặt 
Ta có: 
	Đẳng thức xảy ra 
	 (1)
Ta cũng có 
	Đẳng thức xảy ra 
	(2)	
3. Sử dụng mối quan hệ giữa các bất đẳng thức:
Ví dụ từ đẳng thức ta có bđt	 . 
Từ đó ta có thể chứng minh dễ dàng các BĐT
Ví dụ : Đặt 
Ta có 
 và 
Cộng (2) và (3) rồi biến đổi ta có: 
	Với một số mối quan hệ như trên ta có nhiều bđt. Vì vậy trong c/m cần sử dụng khéo léo quan hệ đó. 
Phần II: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC
I. Sự liên quan giữa các bất đẳng thức trong tam giác: 
	Trong quá trình chứng minh các BĐT trong tam giác, bằng các phép biến đổi tương đương ta có thể tìm được mối quan hệ mật thiết từ những bất đẳng thức có vẽ hoàn toàn khác nhau. 
Ví dụ 1: Xét BĐT (1)
trong đó là độ dài 3 cạnh 1 tam giác ; là nửa chu vi.
CM: Theo BĐT Cauchy ta có 
Nhân tương ứng theo vế các số không âm ta được 
	 suy ra đpcm.
Bây giờ ta biến đổi (1) như sau : 
(2) là BĐT mới và hoàn toàn khác so với (1) 
CM (2) như sau: Ta có 
( là BĐT cơ bản)
Tiếp tục biến đổi theo hướng khác : 
(4) là một BĐT mới liên quan giữa các góc. CM (4) như sau : 
Suy ra đpcm.
Tiếp tục biến đổi (1) : 
(5) là một BĐT mới liên quan đến các đường cao.
Ta biến đổi (1) 
(6) là BĐT liên quan đến bán kính đường tròn bàng tiếp và đường cao.
Từ các biến đổi ta thấy các BĐT sau là tương đương : 
	(1)
	(2)
	(3)
	(4)
	(5)
	(6)
Từ (5) và (6) suy ra 
	(7)
 Tóm lại, giữa các BĐT tam giác trông rất khác nhau nhưng lại có một mối quan hệ tương đương hoặc hệ quả. 
 Để dễ nhớ và CM các BĐT ta thường đi từ một hệ thức hoặc một BĐT quen thuộc rồi biến đổi về các BĐT mới, từ đó suy ra cách CM BĐT đó khi gặp.
Ví dụ 2: Ta có 2 hệ thức trong tam giác 
Từ (1) ta có thể suy ra các BĐT 
	 (3)
	 (4)
Vậy từ (1) có được (3),(4),(5),(6). 
Xuất phát từ (2) ta có: 
Từ (3) và (9) (10)
 Tóm lại từ một số hệ thức ta có thể thấy trong nó ẩn chứa nhiều BĐT cần được khai thác.
II. Những phương pháp chứng minh chọn lọc các BĐT tam giác. 
 Việc lựa chọn phương pháp để chứng minh các BĐT cơ bản quen thuộc trong tam giác giúp rút ngắn thời gian làm bài.
Ví dụ 1 : 	CM BĐT: (1)
Giải : (1) được CM theo nhiều phương pháp, sau đây là phương pháp ngắn gọn:
Ta có 
Ví dụ 2 : CM BĐT 
(2) được CM đơn giản như sau : 
Ví dụ 3: CM BĐT 
(3) được cm dễ dàng từ (1), nhưng ta cũng có thể cm (3) như sau 
Ví dụ 4: CM BĐT 
Ta có 
Ví dụ 5 : CM 
Ta có 
C. KẾT LUẬN
	Trên đây là một số kinh nghiệm đúc rút trong quá trình giảng dạy hơn 30 năm qua, đặc biệt là trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi. Từ những vấn đề trình bày trên đây có thể rút ra kết luận rằng: việc nghiên cứu giải các bài toán về bất đẳng thức đối với học sinh phải là một quá trình thường xuyên và đặc biệt là phải được nghiên cứu chu đáo ngay từ những kiến thức cơ bản ở lớp 10. Trong đó phương pháp chứng minh BĐT theo suốt chương trình từ lớp 10 và được hoàn thiện ở lớp 12 là tìm cực trị và GTLN, GTNN của hàm số. BĐT lượng giác trong tam giác là một sự vận dụng của BĐT và các hệ thức lượng trong tam giác nhưng lại ẩn chứa những phép biến đổi rất tinh vi mà ít người có thể thấy được. 
	Mặc dù có thể còn nhiều hạn chế nhưng tôi hy vọng rằng đề tài này sẽ đóng góp rất tốt cho các bạn đồng nghiệp và học sinh có thể tìm hiểu sâu sắc hơn về bất đẳng thức nhằm nâng cao hiệu quả trong giảng dạy và học tập. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của độc giả.
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bộ sách giáo khoa hợp nhất năm 2000.
2. Bộ sách giáo khoa-Ban khoa học tự nhiên-Bộ sách thứ nhất-NXBGD 2003.
3. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của Phan Huy Khải
4. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên THPT chuyên. Bất đẳng thức và các vấn đề liên quan của Trần Nam Dung, Nguyễn Văn Mậu
5. Bất đẳng thức: suy luận và khám phá - Phạm Văn Thuận Lê Vĩ
6. 500 Bất đẳng thức của Cao Minh Quang.
7. Sáng tạo bất đẳng thức - Phạm Kim Hùng