Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm dạy h ọc giải bài toán về so sánh phân số ở Lớp 4, 5

Đến chương phân số, đặc biệt là các bài toán về so sánh phân số, đa phần giáo viên có tâm lí ngại dạy vì những lí do sau:
 + Sách giáo khoa chỉ cung cấp một cách so sánh phân số bằng phương pháp quy đồng mẫu số.
+ Giáo viên chưa đầu tư thời gian tìm tòi, khám phá kiến thức để cung cấp cho học sinh.
+ Học sinh chưa tự tìm hiểu kiến thức để trang bị thêm vốn hiểu biết cho bản thân mình.
b) Về phía học sinh;
Việc giáo viên chỉ truyền đạt cho học sinh một cách so sánh phân số bằng cách quy đồng mẫu số gặp rất nhiều hạn chế.
+ Thứ nhất:Học sinh gặp khó khăn khi so sánh các phân số có mẫu số lớn bằng cách quy đồng mẫu số.
+ Thứ hai: Học sinh gặp lúng túng khi giải các bài toán mở rộng, nâng cao về so sánh phân số .
+ Thứ ba: Học sinh không phát huy được khả năng tư duy và năng khiếu toán học.
B. Phần nội dung.
I. Những vấn đề lí luận liên quan trực tiếp đến đề tài.
 1. ý nghĩa của việc dạy phân số:
Như chúng ta đã biết, môn Toán có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn cuộc sống.
ở Tiểu học, học sinh được học về số tự nhiên, phân số và số thập phân.
Có những vấn đề khó khăn và phức tạp mà mà tập hợp số tự nhiên không thể giải quyết được.
Ví dụ: Có 3 quả cam chia đều cho 5 người. Hỏi mỗi người được bao nhiêu phần của quả cam?
Trên tập hợp số tự nhiên, học sinh không thể giải quyết được bài toán trên. Việc dạy học phân số sẽ giúp học sinh có thêm công cụ để giải quyết phần nào những vướng mắc mà tập hợp số tự nhiên không làm được. 
Có 3 quả cam chia đều cho 5 người. Mỗi người được số phần của quả cam là :
3 : 5 = ( quả )
Đáp số: quả.
2. Mục tiêu dạy học phân số ở lớp 4.
Việc dạy học phân số ở lớp 4 cần đạt được những mục tiêu sau:
Thứ nhất: Bước đầu nhận biết về phân số ( qua hình ảnh trực quan) .
Thứ hai: Biết đọc, viết phân số, tính chất cơ bản của phân số, biết rút gọn, quy đồng mẫu số các phân số, so sánh hai phân số.
Thứ ba: Biết cộng , trừ, nhân , chia hai phân số dạng đơn giản( mẫu số không vượt quá 100) .
3. thực trạng dạy học so sánh phân số trong nhà trường tiểu học hiện nay.
Như chúng ta đã biết, phân số là một mảng kiến thức rất quan trọng trong chương trình tiểu học và có nhiều ứng dụng trong cuộc sống.
 Nếu như trước đây trong chương trình cải cách giáo dục, phân số chỉ được dạy một cách đầy đủ ở đầu học kì I của lớp 5 thì trong chương trình tiểu học mới, phân số đã được giới thiệu khá đầy đủ ở học kì II của lớp 4 và được tiếp tục củng cố, bổ sung ở lớp 5. Điều đó đã chứng tỏ vị trí quan trọng của nội dung phân số ở cấp tiểu học.Có thể nói nội dung phân số được đưa xuống lớp 4 làm cho chương trình môn toán lớp 4 thêm phong phú , gây hứng thú học tập cho học sinh sau một thời gian dài học về số tự nhiên.; đồng thời trang bị thêm cho học sinh một công cụ giải toán rất đắc lực vì các dạng toán áp dụng kiến thức về phân số rất nhiều , rất đa dạng, ví dụ như : khái niệm phân số, phân số bằng nhau, so sánh , xếp thứ tự các phân số, các phép tính cộng , trừ, nhân, chia về phân số, các bài toán giải có liên quan. Trong đó có một dạng toán rất cơ bản mà chúng ta hay gặp đó là “ So sánh phân số” . Đây cũng là một dạng toán thường có mặt trong cấu trúc đề thi học sinh giỏi các cấp.
 So sánh phân số là gì? Cũng giống như đối với số tự nhiên, so sánh hai phân số là xét xem hai phân số đó bằng nhau hay không bằng nhau, và nếu không bằng nhau thì phân số nào bé hơn, phân số nào lớn hơn.
 Trong chương trình toán lớp 4 chỉ đưa ra phương pháp so sánh phân số bằng cách quy đồng mẫu số các phân số.Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn, lúng túng khi giải quyết các bài tập nâng cao , mở rộng, so sánh phân số theo nhiều cách khác nhau.Để giúp các em tháo gỡ vướng mắc trên ; để phát huy khả năng tư duy và năng khiếu toán học cho các em đặc biệt là trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, ta không chỉ áp dụng một cách so sánh phân số như sách giáo khoa đã đưa ra mà phải hướng dẫn các em các cách so sánh phân số khác nữa.
 Chính vì các lí do trên mà tôi lựa chọn đề tài “ Một vài kinh nghiệm dạy học sinh giải bài toán về so sánh phân số ở lớp 4”.
II. Các phương pháp so sánh phân số.
1. Phương pháp so sánh phân số bằng cách quy đồng mẫu số.
a) Thế nào là quy đồng mẫu số?
 - Quy đồng mẫu số là tìm các phân số có chung mẫu số và lần lượt bằng các phân số đã cho.
b) Cách so sánh:
 Các phân số có cùng mẫu số thì:
+ Phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
+ Phân số nào có tử số bé hơn thì phân số đó bé hơn.
+ Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
c) Ví dụ minh hoạ :
 So sánh 2 phân số : và 
 Ta có : = = 
 = = 
 Vì < ( do 5 < 24 ) nên < 
2 . Phương pháp so sánh phân số bằng cách quy đồng tử số.
a) Thế nào là quy đồng tử số?
 - Quy đồng tử số là tìm các phân số có chung tử số và lần lượt bằng các phân số đã cho.
b) Cách so sánh:
 Các phân số có cùng tử số thì:
+ Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó bé hơn.
+ Phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn.
+ Nếu mẫu số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
c) Ví dụ minh hoạ :
 So sánh hai phân số : và 
 Ngoài cách quy đồng mẫu số để so sánh hai phân số như trên ta hoàn toàn có thể so sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử số như sau:
 Ta có : = = 
 Giữ nguyên phân số 
Vì > ( do 5 
 * Qua ví dụ trên vấn đề đặt ra là làm thế nào để hướng dẫn học sinh nhận biết khi nào so sánh hai phân số ta tiến hành quy đồng tử số, khi nào tiến hành quy đồng mẫu số? Để giải quyết vấn đề đó ta có thể làm như sau:
 Ví dụ 1: So sánh hai phân số và 
 Vì học sinh đã biết cách so sánh hai phân số có cùng tử số nên ta hướng dẫn để học sinh nhận ra mối quan hệ giữa hai tử số của hai phân số( 12 = 4 x3 ) . Trong trường hợp này để so sánh hai phân số ta thực hiện quy đồng tử số .
Minh hoạ:
 Cách 1: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử số.
 Ta có : = = 
 Giữ nguyên phân số 
 Vì 17 ) nên < .
 Cách 2: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng mẫu số.
 Ta có: = = 
 = = 
 Vì < nên < .
 Qua hai cách so sánh như trên ta nhận thấy so sánh hai phân số trên bằng cách quy đồng tử số đơn giản và nhanh hơn rất nhiều.
 Ví dụ 2: So sánh hai phân số và 
Vì học sinh đã biết cách so sánh hai phân số có cùng mãu số nên ta hướng dẫn để học sinh nhận ra mối quan hệ giữa hai mẫu số của hai phân số( 14 = 7 x2 ) . Trong trường hợp này để so sánh hai phân số ta thực hiện quy đồng mẫu số .
Minh hoạ:
 Cách 1: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng mẫu số.
Ta có: = = 
Giữ nguyên phân số 
Vì < nên < .
 Cách 2: So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử số.
Ta có : = = 
 = = 
 Vì 56 ) nên < .
 Qua hai cách so sánh như trên ta nhận thấy so sánh hai phân số trên bằng cách quy đồng mẫu số đơn giản và nhanh hơn rất nhiều.
 * Một số dạng bài tập áp dụng phương pháp quy đồng tử số và quy đồng mẫu số.
 Bài 1 : So sánh hai phân số:
a) và 
b) và 
c) và 
Bài 2: Cho 3 phân số , , . Hãy xếp các phân số đó theo thứ tự tăng dần.
Bài 3: Điền dấu >, < , = vào chỗ chấm.
  .. 
 . 
3 . Phương pháp so sánh phân số nhờ phần bù đến 1.
a) Thế nào là phần bù đến 1?
- Phần bù đến 1 là phần bù vào cho phân số để phân số đó bằng 1 đơn vị.
 Ví dụ: Phần bù đến 1 của phân số là .
 ( Vì + = 1 hay 1 - = ) 
b) Những phân số như thế nào thì có thể áp dụng phương pháp so sánh nhờ phần bù đến 1?
- Các phân số đó có tử số nhỏ hơn mẫu số cùng một số đơn vị .
 Nghĩa là nếu hai phân số và mà có b- a = d- c thì ta so sánh phân số bằng 
phương pháp phần bù đến 1.
c) Cách so sánh:
 - Để so sánh hai phan số bằng phương pháp so sánh phần bù đến 1 , ta so sánh phần bù đến 1 của hai phân số đó. 
+ Nếu phần bù đến 1 của phân số càng bé thì phân số đó càng lớn .
+ Nếu phần bù đến 1 của phân số càng lớn thì phân số đó càng bé.
+ Nếu phần bù đến 1 của hai phân số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
d) Ví dụ minh hoạ: 
 So sánh hai phân số : và .
+ Hai phân số trên đều có tử số bé hơn mẫu số 8 đơn vị nên ta có thể áp dụng phương pháp so sánh nhờ phần bù đến 1.
+ Ta có: Phần bù đến 1 của phân số là ( vì 1 - = )
 Phần bù đến 1 của phân số là ( vì 1 - = )
 Vì 11 ) nên < 
e) Một số dạng toán áp dụng phương pháp so sánh nhờ phần bù đến 1.
 VD1:
So sánh hai phân số :
 và 
Trước khi so sánh ta tiến hành rút gọn 2 phân số trên .
 = = 
 = = 
Ta có : Phần bù đến 1 của phân số là 
 Phần bù đến 1 của phân số là 
Vì > nên < 
 Hay < 
 VD2 :
So sánh hai phân số: và 
Trước khi so sánh hai phân số trên ta biến đổi = = 
 Ta có: Phần bù đến 1 của phân số là 
 Phần bù đến 1 của phân số là .
 Vì > nên < 
 Hay < .
 VD3: 
Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần:
 , , , , , , , , .
 Ta có : + Phần bù đến 1 của phân số là .
+ Phần bù đến 1 của phân số là .
+ Phần bù đến 1 của phân số là .
+ Phần bù đến 1 của phân số là .
+ Phần bù đến 1 của phân số là .
+ Phần bù đến 1 của phân số là .
+ Phần bù đến 1 của phân số là .
+ Phần bù đến 1 của phân số là .
+ Phần bù đến 1 của phân số là .
 Ta nhận thấy:
 > > > > > > > > .
 Vậy :
 < < < < < < < < .
4 . Phương pháp so sánh phân số bằng cách so sánh “ phần không nguyên” .
 a) Thế nào là “ Phần không nguyên” ?
 - Như chúng ta đã biết mọi phân số có tử số lớn hơn mẫu số đều có thể viết dưới dạng hỗn số.
 Ví dụ: 
 = 
 - Hỗn số gồm hai phần :
+ Phần nguyên.
+ Phần phân số.
Trở lại ví dụ trên :
Phần phân số
 = 
Phần nguyên
 Trong trường hợp này, ta tạm gọi phần phân số là “ phần không nguyên”.
b) Cách so sánh:
* Nếu hai phân số có phần nguyên bằng nhau thì ta so sánh “ phần không nguyên” 
- Phân số nào có “ phần không nguyên” nhỏ hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
- Phân số nào có “ phần không nguyên” lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
- Nếu “ phần không nguyên” của hai phân số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau..
c) Một số dạng toán áp dụng phương pháp so sánh bằng cách so sánh “ phần không nguyên”.
 VD1:
 So sánh hai phân số và 
 Ta có : = 
 = 
 Vì > nên > .
 VD2:
 So sánh hai phân số:
 và .
 Trước khi so sánh ta tiến hành rút gọn hai phân số trên.
 = = 
 = = .
 Ta có: 
 = 
 = .
 Vì : > nên > 
 Hay > .
 Hay > 
 VD3: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến bé.
 , , , , , , , .
 Ta viết các phân số trên dưới dạng hỗn số:
 = .
 = .
 = .
 = .
 = .
 = .
 = .
 = .
 Phần nguyên của các hỗn số trên đều bằng 1. Phần “ phần không nguyên” của các hỗn số trên theo thứ tự lần lượt là;
 , , , , , , , , .
 Vì: 
 > > > > > > > > .
 Nên: 
 > > > > > > > .
5. Phương pháp so sánh phân số dựa vào phần trung gian.
a) Phần tử trung gian là gì?
 Nếu ta có: 
 < x 
 > x thì < .
 Trong đó x được gọi là phần tử trung gian.
- Phần tử trung gian có thể là một số : 1 , 2, 3, 4. .
- Phần tử trung gian có thể là một phân số:
 , , ,  , 
b) Các cách chọn phần tử trung gian.
* Nếu phần tử trung gian là một phân số, thông thường ta có hai cách chọn như sau:
 + Cách 1: Chọn tử số của phân số thứ nhất làm tử số của phân số trung gian và mẫu số của phân số thứ hai làm mẫu số của phân số trung gian.
 + Cách 2: Chọn tử số của phân số thứ hai làm tử số của phân số trung gian và mẫu số của phân số thứ nhất làm mẫu số của phân số trung gian.
- Chọn phần tử trung gian theo cách 1 và cách 2 như trên có thể dựa vào dấu hiệu sau:
+ Nếu hai phân số và có a > c và b d ; nghĩa là tử số của phân số này lớn hơn tử số của phân số kia đồng thời mẫu số của phân số này bé hơn mẫu số của phân số kia và ngược lại tử số của phân số này bé hơn tử số của phân số kia đồng thời mẫu số của phân số này lớn hơn mẫu số của phân số kia thì ta chọn cách so sánh bằng phân số trung gian.
 Tuy nhiên, không phải bài toán so sánh phân số nào cũng dễ dàng nhận thấy phần tử trung gian để dựa vào đó mà so sánh.Khi tìm phần tử trung gian, chúng ta phải luôn linh hoạt, sáng tạo, không theo khuôn mẫu nhất định nào cả.
c) Một số dạng toán áp dụng phương pháp so sánh dựa vào phần tử trung gian.
 VD1:
 So sánh hai phân số: và .
 Ta so sánh tử số và mẫu số của hai phân số trên và nhận thấy 16 > 15 nhưng 27 < 29 nên ta có thể chọn phần tử trung gian là một phân số được tạo bởi từ tử số của phân số này và mẫu số của phân số kia.
 Cách 1: Chọn tử số của phân số thứ nhất làm tử số của phân số trung gian và mẫu số của phân số thứ hai làm mẫu số của phân số trung gian.
 Nghĩa là ta có phân số trung gian là 
 Vì > và > nên > 
 Cách 2: Chọn tử số của phân số thứ hai làm tử số của phân số trung gian và mẫu số của phân số thứ nhất làm mẫu số của phân số trung gian.
 Nghĩa là ta có phân số trung gian là 
 Vì > và > nên > 
 VD2: 
 So sánh hai phân số: và 
 Vì > 1 và 1 > nên > 
 Trong trường hợp này phần tử trung gian là một số.
 VD3: 
 So sánh hai phân số: và .
 Ta nhận thấy hai phân số đã cho đếu xấp xỉ bằng nên ta dùng phân số làm phân số trung gian để so sánh.
 Ta có: < = 
 > = 
Vì < < nên < .
 VD4: 
 So sánh hai phân số: và .
 Để so sánh hai phân số trên, trước tiên ta biến đổi phân số .
 Ta có: = = 
 Ta so sánh hai phân số và bằng phương pháp dựa vào phần tử trung gian.
 Ta so sánh tử số và mẫu số của hai phân số trên và nhận thấy 44 91 nên ta có thể chọn phần tử trung gian là một phân số được tạo bởi từ tử số của phân số này và mẫu số của phân số kia.
 Cách 1: Chọn tử số của phân số thứ nhất làm tử số của phân số trung gian và mẫu số của phân số thứ hai làm mẫu số của phân số trung gian.
 Nghĩa là ta có phân số trung gian là 
 Vì < và < nên < 
 Hay < 
 Cách 2: Chọn tử số của phân số thứ hai làm tử số của phân số trung gian và mẫu số của phân số thứ nhất làm mẫu số của phân số trung gian.
 Nghĩa là ta có phân số trung gian là 
 Vì < và < nên < 
 Hay < 
6. Phương pháp so sánh phân số bằng cách so sánh phần đảo ngược..
a) Phân số đảo ngược là gì?
- Phân số đảo ngược của phân số là .
Ví dụ : Phân số đảo ngược của là .
 Phân số đảo ngược của là .
b) Phương pháp so sánh phân số bằng cách so sánh phần đảo ngược .
 Khi so sánh các phân số bằng cách so sánh phần đảo ngược ta đảo ngược tất cả các phân số rồi so sánh phần đảo ngược với nhau.
+ Phân số nào có phần đảo ngược lớn hơn thì phân số đó bé hơn.
+ Phân số nào có phần đảo ngược bé hơn thì phân số đó lớn hơn.
+ Nếu hai phân số có phần đảo ngược bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
c) Một số dạng bài tập áp dụng phương pháp so sánh phân số bằng cách so sánh phần đảo ngược.
 VD1: 
 So sánh phân số : và .
 Ta thấy phân số đảo ngược của là .
 phân số đảo ngược của là .
 Ta có : = .
 = .
 Vì > nên > 
 Hay > .
 Hay < .
 VD2:
 So sánh hai phân số: và .
 Ta thấy phân số đảo ngược của là .
 phân số đảo ngược của là .
 Ta có: = 
 = .
 Vì 3 < 4 nên < .
 Hay < 
 Hay > .
Với cách hướng dẫn học sinh một số phương pháp so sánh như trên, học sinh làm bài rất nhanh và đúng. Các em đã biết so sánh phân số bằng nhiều cách khác nhau và đứng trước một bài toán về so sánh phân số, các em đã biết lựa chọn cách giải tối ưu nhất. Vì vậy, lớp tôi đã đạt được kết quả như sau:
Lần kiểm tra
Điểm 9 - 10
Điểm 7- 8
Điểm 5- 6
Điểm dưới 5
Đầu năm
8
13
8
5
Giữa học kì I
14
13
5
1
Cuối học kì I
15
12
7
0
Giữa học kì II
18
12
5
0
 Trên đây là một kết quả mà cả cô và trò lớp tôi phải nỗ lực phấn đấu hết mình mới có được.Tuy kết quả này chưa thực sự mĩ mãn nhưng nó là một phần thưởng về tinh thần giúp cô trò chúng tôi tiếp tục rèn luyện, phấn đấu để đạt được kết quả cao hơn trong đợt kiểm tra định kì cuối năm và ở những năm học tiếp theo.
C. Kết luận và khuyến nghị.
I. Kết luận.
 Khi dạy học sinh cách giải dạng toán về so sánh phân số , tôi tự rút ra cho mình cho mình một số bài học kinh nghiệm như sau:
 Trước tiên, để dạy học tốt dạng toán này, người giáo viên cần nắm chắc các phương pháp, các quy tắc so sánh phân số được áp dụng trong mỗi phương pháp đó.
Sau đó, giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhớ rõ các phương pháp, các quy tắc so sánh phân số được áp dụng trong mỗi phương pháp .
- Các phương pháp so sánh phân số là :
+ Phương pháp so sánh phân số bằng cách quy đồng mẫu số.
+ Phương pháp so sánh phân số bằng cách quy đồng tử số.
+ Phương pháp so sánh phân số nhờ phần bù đến 1.
+ Phương pháp so sánh phân số bằng cách so sánh “ phần không nguyên” .
+ Phương pháp so sánh phân số dựa vào phần trung gian.
+ Phương pháp so sánh phân số bằng cách so sánh phần đảo ngược .
 - Các quy tắc so sánh phân số được áp dụng trong mỗi phương pháp đó là:
VD: * Với “Phương pháp so sánh phân số bằng cách quy đồng mẫu số” ta có quy tắc:
Các phân số có cùng mẫu số thì:
+ Phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
+ Phân số nào có tử số bé hơn thì phân số đó bé hơn.
+ Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
 * Với “Phương pháp so sánh phân số bằng cách quy đồng tử số”
Các phân số có cùng tử số thì:
+ Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó bé hơn.
+ Phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn.
+ Nếu mẫu số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
 * Với “Phương pháp so sánh phân số nhờ phần bù đến 1.
+ Phần bù đến 1 của phân số càng bé thì phân số đó càng lớn .
+ Phần bù đến 1 của phân số càng lớn thì phân số đó càng bé.
+ Phần bù đến 1 của hai phân số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
..
Bên cạnh việc hướng dẫn các em nắm chắc các phương pháp , quy tắc so sánh phân số, giáo viên cần hướng dẫn các em một số “ thủ thuật” nhận dạng cách so sánh phân số nhanh và hiệu quả nhất.
VD: 
+ Nếu các phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số cùng một số đơn vị .
 Nghĩa là nếu hai phân số và mà có b- a = d- c thì ta so sánh phân số bằng 
phương pháp phần bù đến 1.
+ Nếu hai phân số và có a > c và b d ; nghĩa là tử số của phân số này lớn hơn tử số của phân số kia đồng thời mẫu số của phân số này bé hơn mẫu số của phân số kia và ngược lại tử số của phân số này bé hơn tử số của phân số kia đồng thời mẫu số của phân số này lớn hơn mẫu số của phân số kia thì ta chọn cách so sánh bằng phân số trung gian.
Tuy nhiên, một bài toán về so sánh phân số có thể có nhiều cách giải khác nhau.
VD: So sánh hai phân số: và .
Cách 1: So sánh hai phân số trên bằng phương pháp quy đồng mẫu số.
Ta có: = = 
 = = .
Vì < nên < .
Cách 2: So sánh hai phân số trên bằng phương pháp quy đồng tử số.
Ta có: = = 
Vì < nên < .
Cách 3: So sánh hai phân số trên bằng phương pháp phần bù đến 1.
Ta có: phần bù đến 1 của là 
 phần bù đến 1 của là 
Vì > nên < .
 Hơn thế trong quá trình giảng dạy tôi thấy không phải bài toán nào cũng dễ dàng nhận ra được cách so sánh phân số vì vậy khi dạy học dạng toán so sánh phân số, chúng ta cần hướng dẫn học sinh cách nhìn nhận bài toán một cách linh hoạt và sáng tạo để tìm ra lời giải tối ưu nhất.
II. Khuyến nghị.
 Có thể nói, chưa có năm học nào tôi học hỏi được nhiều kinh nghiệm như vậy. Những kinh nghiệm ấy, với tôi, là những bài học vô cùng quý báu, là hành trang tri thức mà tôi thu nhận được trong sự nghiệp trồng người của mình.Song tôi thiết nghĩ đó cũng có thể là bài học kinh nghiệm cho những giáo viên tâm huyết với các phương pháp so sánh phân số. 
 Cho dù những kinh nghiệm ấy còn non nớt, khiếm khuyết thì tôi cũng tha thiết hy vọng rằng : Trong thời gian tới, những khiếm khuyết đó sẽ được khắc phục nhờ vào sự góp ý của các cấp lãnh đạo . Là một giáo viên đang trực tiếp giảng dạy , tôi rất mong các cấp lãnh đạo thường xuyên tổ chức chuyên đề của các đồng chí có nhiều kinh nghiệm để chúng tôi có cơ hội giao lưu, học hỏi. Bởi tất cả những điều đó không nằm ngoài mục đích nâng cao trình độ chuyên môn của giáo viên và phát huy khả năng tư duy của học sinh.
 Trên đây là một vài kinh nghiệm khi dạy giải toán về so sánh phân số mà tôi đã áp dụng dạy học sinh của lớp tôi trong năm học vừa qua, chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong sự góp ý chân thành của Ban giám hiệu nhà trường, của lãnh đạo các cấp và bạn bè đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm của tôi hoàn thiện hơn, giúp tôi thành công trong công tác giảng dạy.