Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng Toán ứng dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai

o các trường chuyên lớp chọn
Phân tích đối chiếu: Phân tích đối chiếu yêu cầu giữa chuẩn kiến thức, chuẩn kĩ năng đối với học sinh lớp 8, 9 bậc trung học cơ sở với những bài kiểm tra, khảo sát của học sinh, tìm ra những hạn chế chủ yếu của các em khi Giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 
Đưa ra những giải pháp để giáo viên vận dụng vào việc rèn luyện kĩ năng sử dụng “Dạng toàn phương của đa thức bậc hai” cho học sinh nhằm phát huy khả năng tư duy, sáng tạo, của các em học sinh. 
THỜI GIAN NGHIÊN CỨU
Từ tháng 9 năm 2012 đến tháng 6 năm 2015
PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
Trong quá trình giảng dạy môn Toán cho học sinh, sau khi học xong hai hằng đẳng thức “Bình phương của một tổng” và “Bình phương của một hiệu” thì việc ứng dụng hai hằng đẳng thức đó vào việc giải các loại bài tập: Giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất  luôn có tần suất cao nhất trong bẩy hằng đẳng thức đáng nhớ, chính vì vậy học sinh cũng thuộc hai hằng đẳng thức này một cách nhanh nhất, nhiều nhất và nhớ lâu nhất.
Thực tế càng về gần đây những bài tập giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị của một đa thức bậc hai và những đa thức được quy về đa thức bậc hai xuất hiện ngày càng nhiều trong các kì thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào lớp 10 và thi vào các trường chuyên lớp chọn  ngoài những bài tập có thể giải theo các phương pháp cơ bản đã được giới thiệu trong sách giáo khoa thì có rất nhiều các bài tập khó không thể áp dụng ngay dạng cơ bản được và khi đó “Dạng toàn phương của một đa thức bậc hai” là một ứng dụng vô cùng hữu hiệu. 
Các dạng tổng quát mà học sinh cần nhớ để giải toán.
Hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu.
Dạng toàn phương của một đa thức
Tổng quát : 
Một đa thức bậc hai viết ở dạng trong đó là các số thực, còn là các đa thức chứa biến ta gọi là dạng toàn phương của đa thức bậc hai.
Giải phương trình
Tổng quát : 
Trong đó là các số thực cùng dấu.
Chứng minh bất đẳng thức
Tổng quát : 
Trong đó : và là các đa thức chứa biến.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 
Tìm cực trị của một đa thức bậc chẵn
1.5.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của một đa thức bậc chẵn
Tổng quát: 
Trong đó : và là các đa thức chứa biến.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 
=> Giá trị nhỏ nhất của đa thức A là c
1.5.2. Tìm giá trị lớn nhất của một đa thức bậc chẵn
Tổng quát: 
Trong đó : và là các đa thức chứa biến.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : 
=> Giá trị lớn nhất của đa thức A là c
CHƯƠNG 2
THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
Từ xưa đến nay Vấn đề đổi mới phương pháp dạy học môn Toán luôn được các cấp quản lí quan tâm chỉ đạo một cách sát sao. Vì vậy, về cơ bản đa số giáo viên nắm chắc phương pháp, vận dụng sáng tạo với tình hình thực tế và đối tượng học sinh. Tuy nhiên vẫn còn một số giáo viên chưa tích cực nghiên cứu, chưa tìm ra phương pháp dạy học đạt hiệu quả dẫn đến chất lượng học tập của học sinh chưa được nâng lên, nhất là chất lượng các bài tập nâng cao dạng giải phương trình; chứng minh bất đẳng thức; tìm cực trị của một đa thức.
Từ thực trạng đó, trong quá trình giảng dạy của bản thân cũng như của đồng nghiệp, tôi xin đưa ra những hạn chế trong phương pháp giảng dạy của giáo viên và phương pháp tự học, tự nghiên cứu của học sinh như sau:
2.1. Đối với giáo viên:
Giáo viên ít nghiên cứu sách tham khảo, sách nâng cao và phát triển, các đề thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên lớp chọn các câu cuối của các đề thi vào lớp 10 hàng năm.
2.2. Đối với học sinh:
Học sinh thường lười đọc sách tham khảo, lười tư duy sáng tạo và suy nghĩ theo kiểu lối mòn, chỉ nhớ được vài phương pháp cơ bản trong sách giáo khoa, học bài nào biết bài đấy. Do vậy khi gặp các bài tập khó như câu cuối của các đề thi vào lớp 10, trong các kì thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên lớp chọn. không áp dụng được các phương pháp thông thường là học sinh đi vào bế tắc và không tìm ra cách làm.
Chính vì vậy điểm thi của các em trong các kì thi vào lớp 10 hàng năm còn rất ít điểm tối đa. Kết quả thi học sinh giỏi hàng năm còn thấp, chưa có giải cao. Tỉ lệ học sinh đỗ vào các trường chuyên lớp chọn còn ít.
2.3. Đối với thực tế
Trong sách giáo khoa và các sách tham khảo thì chưa có tài liệu nào khai thác đầy đủ và toàn diện về các dạng toán: Giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong khi đó thì hàng năm các dạng toán này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi: vào lớp 10, thi học sinh giỏi và thi vào trường chuyên lớp chọn.
CHƯƠNG 3
MỘT SỐ DẠNG TOÀN PHƯƠNG CỦA ĐA THỨC BẬC HAI
3.1. Dạng toàn phương của đa thức
3.1.1. Tổng quát : 
Một đa thức bậc hai viết ở dạng trong đó là các số thực và là các đa thức chứa biến ta gọi là dạng toàn phương của đa thức bậc hai.
3.1.2. Bài tập áp dụng
Ví dụ 1. Viết đa thức sau ở dạng toàn phương
a) 
b) 
c) 
Giải: 
a) 
b) 
 c) 
Ví dụ 2. Viết đa thức sau ở dạng toàn phương:
Giải: 
 Ví dụ 3. Viết đa thức sau ở dạng toàn phương: 
 Giải: 
* Nhận xét: Để đưa một đa thức bậc hai về dạng toàn phương ta sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc một hiệu. Trước hết ta chọn một biến để đưa về hằng đẳng thức( bình phương của một tổng hoặc một hiệu) chứa biến đó, phần còn lại của đa thức ta lại làm như vậy với biến thứ hai và cứ tiếp tục làm như vậy đến khi hết các biến có trong đa thức.
Ví dụ 4. Viết đa thức sau ở dạng toàn phương: 
Giải:
Ví dụ 5. Viết đa thức sau ở dạng toàn phương: 
Giải:3.2. Giải phương trình
3.2.1. Tổng quát :
Trong đó là các số thực cùng dấu.
3.2.2. Bài tập áp dụng
Ví dụ 1. Giải phương trình 
 ( Đề thi học sinh giỏi toán 9 Thành phố Hồ Chí Minh 2003 - 2004)
 Giải: 
 Phương trình có nghiệm (x;y;z;t) = (2;1;1;1)
Cách khác:
Ví dụ 2. Giải phương trình( ẩn a, b, c, d, e, f)
 ( Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Khánh Hoà 2004 - 2005)
Giải: 
 Đưa vế trái của phương trình về dạng toàn phương ta được phương trình
Ví dụ 3. Giải phương trình 
 ( Đề thi sinh vào lớp 10 chuyên, Trường THPT Lê Hồng Phong, Thành phố Hồ Chí Minh 2004 - 2005)
Giải: 
 Đưa vế trái của phương trình về dạng toàn phương ta được phương trình
Phương trình có nghiệm (x;y)=
Ví dụ 4. Giải phương trình: ( ẩn x, y, z)
 Giải:
Đkxđ : 
Đưa đa thức về dạng toàn phương ta được phương trình:
Ví dụ 5. Tìm tất cả các cặp số (x;y) thỏa mãn phương trình sau :
(Đề thi vào lớp 10, Thành phố Hà Nội năm 1994 - 1995)
Giải :
Ta có : Đkxđ : 
 Vậy 
Ví dụ 6. Giải phương trình 
(Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội năm 2014 - 2015)
Giải :
Đkxđ : 
Ta có : 
Vậy phương trình có nghiệm x = 1
Ví dụ 7. Giải phương trình 
(Đề thi chuyên toán Hà Nội – Amsterdam năm 2014)
Giải :
Đkxđ : 
 Vậy x = 0
Ví dụ 8. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x2 + 2y2 +3xy +3x + 5y = 15
Giải:
Ta có : 
x2 + 2y2 +3xy +3x + 5y = 15 4x2 + 8y2 +12xy +12x + 20y = 60
Biến đổi về dạng toàn phương ta được
 (2x + 3y + 3)2 – ( y - 1)2 = 68
 (2x +2y +4)(2x + 4y -2) = 68 (x +y +2)(x + 2y -1) = 17 (*)
Do x, y nguyên nên ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: 
Trường hợp 2: 
Trường hợp 3: 
Trường hợp 4: 
Vậy (x; y) là (28; -13); (-20; 19); (10; - 13); (-38; 19)
Nhận xét: Trong ví dụ này ta có thể thêm bớt để phân tích biến đổi thành phương trình (*)
Ví dụ 9. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn:
x2 -3y2 +2xy -2x + 6y -8=0
(Đề thi vào lớp 10 trường Amsterdam năm học 2013 - 2014)
Giải:
Biến đổi về dạng toàn phương ta được
Do x, y là những số nguyên, nên ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: 
Trường hợp 2: 
Trường hợp 3: 
Trường hợp 4: 
Vậy ta có các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: (2;2) ; (4;0) ; (-2;0) ; (-4;2)
Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
 ( Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hải Dương 2011 - 2012)
 Giải:
Biến đổi vế trái về dạng toàn phương ta được 
. 
Do đều chia hết cho 8; (15;8)=1 nên là số chính phương và chia hết cho 8 . Ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: 
Do 156 không chính phương nên trường hợp này vô nghiệm
Trường hợp 2: 
Do 126 không chính phương nên trường hợp này vô nghiệm 
Trường hợp 3: 
Ta được
hoặc 
Vậy (x; y) là (-5; 10); (-17; 10); (-1; -6); (11; -6)
Nhận xét: Trong ví dụ này nếu ta cứ đi biến đổi để thành dạng tích của hai số nguyên bằng một hằng số nguyên thì sẽ không ra được
Ví dụ 11. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
 ( Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Thanh Hóa 2011 - 2012)
Giải
Biến đổi vế trái về dạng toàn phương:
Do x, y là số nguyên nên có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: 
Trường hợp 2: 
Trường hợp 3: 
Trường hợp 4: 
Vậy phương trình có nghiệm : (x;y): (2;-6);(2;22);(-2;-22);(-2;6)
Ví dụ 12. Tìm các số thực x, y thỏa mãn:
 ( Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Quảng Ninh 2011 - 2012)
Giải
Biến đổi vế trái về dạng toàn phương: 
Vậy (x;y)=(8;3)
Ví dụ 13. Giải phương trình:
 ( Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Nghệ An 2010 – 2011)
Giải
Biến đổi vế trái về dạng toàn phương:
Ví dụ 14: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0
(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Tuyên Quang năm 2011 - 2012)
Giải
Đưa phương trình về dạng toàn phương ta có:
=>3 số và 2,5 là bộ số Py ta go và Do x, y nguyên nên có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: 
Trường hợp 2: 
Trường hợp 3: 
Trường hợp 4: 
Trường hợp 5: 
Trường hợp 6: 
Vậy có 6 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình:
(-1;1) ; (4;-4) ; (2;0) ; (5;-3) ; (-2;0) ; (1;-3)
Nhận xét: Bài này còn có thể làm theo cách sau : 
Đưa phương trình về dạng: 
(y - 1)(y + 4) = - (x + y)2 
 Vì - (x + y)2 0 với mọi x, y 
nên: (y - 1)(y + 4) 0 -4 y 1 
Vì y nguyên nên y 
Từ đó thay y vào phương trình ta sẽ tìm được x
Ví dụ 15: Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình:
(Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Thành Phố Hồ Chí Minh năm 2014)
Giải
Do x, y là số nguyên nên có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: x – y = 0 ó x = y => (loại)
Trường hợp 2: x – y = 1 ó x =1+ y 
Trường hợp 3: x – y = -1 ó x = y - 1
Trường hợp 4: => phương trình (*) vô nghiệm vì khi đó vế trái lớn hơn vế phải.
Vậy các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình là: 
(4;3) ; (-3;-4) ; (-4;-3) ; (3;4)
Ví dụ 15: Giải hệ phương trình:
(Đề thi vào lớp 10 THPT năng khiếu TP Hồ Chí Minh năm 2013 - 2014)
Giải:
Thử lại ta có (x;y;z) = (1;1;1) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Ví dụ 16: Giải hệ phương trình:
(Đề thi vào lớp 10 THPT Chuyên, Đại học Sư phạm Hà Nội vòng 1)
Giải :
Nhân hai vế của mỗi phương trình với 2 rồi cộng theo từng vế các phương trình của hệ ta được:
Vậy x = y = z = 1/2
Ví dụ 17: Cho hệ phương trình:
Giải hệ phương trình
Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) sao cho nhỏ nhất.
(Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh An Giang năm 2013 - 2014)
Giải:
(x;y) = (m;2-m)
=> Min() = 2 khi m = 1
Vậy m = 1 thì hệ phương trình có nghiệm là (1;1) thỏa mãn đề bài.
Ví dụ 18: Tìm k để phương trình sau có nghiệm:
(Đề thi vào lớp 10 Chu Văn An và Amsterdam vòng 2)
Giải:
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi k = 1 và khi đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
3.3. Chứng minh bất đẳng thức
3.3.1. Tổng quát : 
Trong đó : và là các đa thức chứa biến.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : 
3.3.2. Bài tập áp dụng
Ví dụ 1. Cho x + y + z = 3.
Chứng minh rằng 
 ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Đại học Quốc gia Hà Nội 2006 - 2007)
 Giải: 
 x + y + z = 3 z = 3 - x - y
 Đưa A về dạng toàn phương ta được
 Vậy dấu " = " xảy ra khi x = y = z = 1.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng 
 ( Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Gia Lai 2003 - 2004)
Giải: 
 Đưa vế trái về dạng toàn phương ta có
 Vậy 
 dấu " = " xảy ra khi a = b = c = d.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng 
 ( Đề thi học sinh giỏi toán 9 Thành phố Hồ Chí Minh 2005 - 2006)
Giải: 
 Đưa vế trái về dạng toàn phương ta có
 Vậy 
 dấu " = " xảy ra khi a = 2b =2c = 2d = 2e.
3.4. Tìm cực trị của đa thức bậc chẵn
3.4.1. Tổng quát
3.4.1.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của một đa thức bậc chẵn
Tổng quát : 
Trong đó : và là các đa thức chứa biến.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : 
=> Giá trị nhỏ nhất của đa thức A là c
3.4.1.2. Tìm giá trị lớn nhất của một đa thức bậc chẵn
Tổng quát : 
Trong đó : và là các đa thức chứa biến.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : 
=> Giá trị lớn nhất của đa thức A là c
3.4.2. Bài tập áp dụng
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 ( Đề thi học sinh giỏi toán 9 Thành phố Cần Thơ 2004 - 2005) 
Giải:
Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 ( Đề thi học sinh giỏi toán 9 Thành phố Hải Phòng 2005 - 2006)
Giải:
Viết đa thức A ở dạng toàn phương ta được
 => 
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của 
 Giải:
 Viết đa thức B ở dạng toàn phương ta được
=> 
Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất của 
 ( Đề thi học sinh giỏi toán 9 Thành phố Hồ Chí Minh 1999 - 2000)
 Giải:
Viết đa thức B ở dạng toàn phương ta được
Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải:
 Viết đa thức D ở dạng toàn phương ta được
Ví dụ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A biết :
 ( Đề thi vào lớp 10, Thành phố Hà Nội năm 2008 - 2009)
Giải :
Viết đa thức A ở dạng toàn phương ta được : 
Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A biết :
(Vòng 16 Vyolimpic Toán 9 năm 2015)
Giải
Viết đa thức A ở dạng toàn phương ta được :
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy 
Ví dụ 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P biết :
(Vòng 16 Vyolimpic Toán 9 năm 2015)
Giải
Viết đa thức A ở dạng toàn phương ta được :
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy 
Ví dụ 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 ( Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Kiên Giang 2012 - 2013) 
 Giải:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy 
Ví dụ 10. Với những giá trị của x thỏa mãn điều kiện x 2, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 ( Đề thi vào lớp 10 Đại học quốc gia Hà Nội năm học 2006 - 2007) 
 Giải:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy MaxF(x) = 5 khi x = 1
Ví dụ 11. Xét các số x, y, z thỏa mãn điều kiện:. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 2xy – yz - zx
 ( Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán - Tin Hà Nội năm học 2012 – 2013)
 Giải:
Do: 
=> Min M = -2012 khi z = 0 và 
3.5. Bài tập đề nghị
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 4. Cho x, y, z l à các số thực không âm thoả mãn:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 6: Cho x, y là các số thực thoả mãn x + y + z = 10 và x, y, z 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xy + 2yz + 3xz.
Bài7: Giải hệ phương trình: 
Bài 8: Giải phương trình
Bài 9: Giải phương trình : 
Bài 10: Cho x, y, z là ba số thỏa mãn điều kiện:
Hãy tính 
Bài 11: Cho x + y + z = 1. Chứng minh 
.
PHẦN III: KẾT QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Trước khi triển khai chuyên đề với học sinh khá giỏi của nhà trường tôi đã tiến hành khảo sát học sinh.
Đề bài:
(Thời gian làm bài 30 phút)
	Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 A = 
	Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 A = 
 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 A = 
 *Thống kê kết quả:
Lớp
Lớp
5đ- 6,4đ
6,5đ - 7,9 đ
8đ - 10đ
SL
%
SL
%
SL
%
2012-2013
8A
24
60
12
30
0
0
8B
25
62,5
11
27,5
0
0
2013-2014
8A
22
55
12
30
0
0
8B
23
57,5
12
30
0
0
2014 -2015
8A
20
50
11
27,5
1
2,5
8B
21
52,5
12
30
1
2,5
 ( Đề các năm sau khác đề trên nhưng có mức độ tương tự)
 * Nhận xét:
Sau khi kiểm tra các lớp 8A, 8B của trường tôi thấy học sinh còn tồn tại như sau:
Một số học sinh chưa biết cách giải một số bài toán đơn giản về tìm cưc trị dạng như bài kiểm tra(cụ thể là không biết phương pháp giải bài 3), lời giải còn trình bày dài dòng, chưa rõ ràng, còn thiếu sót nhiều hoặc sai lầm khi chỉ ra dấu đẳng thức.
Học sinh chưa phát huy được khả năng tư duy sáng tạo, khả năng học hỏi, sự tìm tòi kiến thức mới.
Sau khi triển khai chuyên đề với học sinh khá giỏi của nhà trường tôi đã tiến hành khảo sát học sinh để kiểm tra sự lĩnh hội của các em về đề tài này.
Đề bài:
(Thời gian làm bài 30 phút)
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 A = .
	Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 A = .
	Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 A = 
	*Thống kê kết quả:
Năm học
Lớp
5đ- 6,4đ
6,5đ - 7,9 đ
8đ - 10đ
SL
%
SL
%
SL
%
2012-2013
8A
6
16,7
15
41,7
15
41,6
8B
7
19,4
13
36,1
16
44,5
2013-2014
8A
8
20
14
35
18
45
8B
10
25
12
30
18
45
2014-2015
8A
6
15
10
25
24
60
8B
5
12,5
12
30
23
57,5
	( Đề năm sau khác đề năm trước nhưng có cùng mức độ)
Kết quả chung:
	Sau khi triển khai sáng kiến với các lớp học khá, giỏi của trường tôi thấy so với trước khi triển khai chuyên đề học sinh có một số tiến bộ sau:
	- Học sinh đã biết cách trình bày lời giải bài toán tìm cực trị một cách khoa học hơn, chỉ ra điều kiện của biến để xảy ra cực trị rõ ràng và chính xác hơn . 	- Học sinh giải có thể tự ra đề bài và nêu được hướng giải bài toán dạng trên.
	- Kết quả được nâng lên rõ rệt.
	- Học sinh tiếp tục phát triển tư duy sáng tạo, tăng cường học hỏi bạn khác, tự tìm tòi kiến thức mới. 
PHẦN IV: KẾT LUẬN
Bài học kinh nghiệm
Sau khi triển khai sáng kiến kinh nghiệm "Dạng toàn phương của đa thức bậc hai và một số ứng dụng" tại nhà trường tôi đã rút ra một số bài học sau:
- Để dạy học sinh giỏi có hiệu quả cần phải dạy cách học, cách tìm tòi kiến thức mới dựa trên nhứng kiến thức đã biết và phát triển các kiến thức đã học, việc tìm phương pháp giải một bài toán như thế nào để học sinh cảm thấy đơn giản, dễ hiểu. Từ đó học sinh sẽ có hứng thú học tập và tích cực tự nghiên cứu nhiều hơn.
- Cần tăng cường giáo dục học sinh tinh thần tự học, tự nghiên cứu kiến thức vì đây là con đường làm chủ và chiếm lĩnh tri thức một cách hiệu quả nhất.
2. Kết luận
	Như đã trình bày đề tài này sau khi được áp dụng trong các buổi học bồi dưỡng học sinh giỏi hoặc các buổi ngoại khoá môn Toán lớp 8, 9 tôi thấy nội dung nêu ra có tác dụng thiết thực:
- Bổ sung thêm kiến thức cho học sinh và phát triển tư duy toán.
- Gợi mở cho học sinh hướng vận dụng tính chất của luỹ thừa bậc hai.
- Học sinh biết vận dụng cách đưa đa thức bậc hai về dạng toàn phương để giải quyết các bài toán liên quan như tìm cực trị, giải phương trình nhiếu ẩn, chứng minh bất đẳng thức. 
- Trên cơ sở các kết quả đã đạt được tôi dự kiến hướng tiếp tục nghiên cứu đề tài như sau: 
- Tiếp tục tuyển chọn các đề toán liên quan đến dạng toàn phương của đa thức bậc hai ở mức độ rộng hơn, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để luyện tập. 	 
- Xuất phát từ bài toán trên và các bài tập được vận dụng yêu cầu học sinh sáng tạo các đề toán mới. 
	Tôi xin ghi lại những chân thành trong nhiệt tình giảng dạy qua từng trang viết. Rất mong những ý kiến đóng góp xây dựng của bạn bè, của đồng nghiệp để sáng kiến của tôi hoàn chỉnh hơn.
3. Kiến nghị.
	Trên đây là toàn bộ nội dung sáng kiến kinh nghiệm "Dạng toàn phương của đa thức bậc hai và một số ứng dụng". Có thể khẳng định sáng kiến này có tác dụng tích cực đến phương pháp học tập của học sinh. Việc tư duy giải toán sau khi học chuyên đề này cũng giúp cho học sinh hình thành các tư duy giải một số dạng toán khác có hiệu quả cao. Tôi cũng rất mong các đồng chí nghiệp vụ cấp trên quan tâm hơn nữa đến việc viết và áp dụng sáng kiến kinh nghiệm bằng cách trao đổi, phổ biến các kinh nghiệm, sáng kiến được đánh giá cao ở cấp quận và cấp thành phố trong các đợt sinh hoạt chuyên môn, nghiệp vụ. 
Bồ Đề, ngày 07 tháng 3 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của mình viết, không sao chép
nội dung của người khác.
PHẦN V: TÀI LIỆU THAM KHẢO
TTT
Tên tài liệu
Tác giả - Nhà xuất bản
11
Nâng cao và phát triển toán 8 
Vũ Hữu Bình - NXBGD
22
Toán nâng cao & các chuyên đề đại số 8
Vũ Dương Thụy, Nguyễn Ngọc Đạm - NXBGD
33
Bài tập nâng cao & một số chuyên đề toán 8
Bùi Văn Tuyên - NXBGD
34
500 bài toán cơ bản và nâng cao 8
Nguyễn Đức Chí - NXB Đại học sư phạm.
35
Tuyển chọn đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên môn Toán
Nguyễn Ngọc Đạm, Tạ Hữu Phơ – NXB Hà Nội
36
Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi trung học cơ sở môn Toán
Hoàng Văn Minh, Trần Đình Thái – NXB Đại học sư phạm
37
Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán
Nguyễn Đức Tấn, Nguyễn Anh Hoàng- NXB Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh