Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán tích phân hàm ẩn

A. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Tên đề tài: 	Một số dạng toán tích phân hàm ẩn
2. Lĩnh vực:	Toán học
3. Tác giả:	Trần Nữ Diệu Thùy
4. Đơn vị:	Trường THPT Vĩnh Linh, Quảng Trị
5. Thời gian:	Năm học 2018-2019
B. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong các đề thi THPT quốc gia từ kể từ năm học 2016 - 2017 trở lại đây, các câu hỏi trắc nghiệm về bài toán tính tích phân của hàm số nhưng không cho biết biểu thức của mà chỉ cho biết thỏa mãn một số điều kiện (được gọi là tích phân hàm ẩn) xuất hiện thường xuyên. Các câu hỏi này thường ở mức vận dụng – vận dụng cao. Đây là một dạng toán khá mới mẻ, không chỉ với học sinh mà còn đối với cả giáo viên, gây không ít khó khăn cho các em học sinh khi tiếp cận. 
Hướng đến mục tiêu nâng cao điểm số thi THPT quốc gia cho các em học sinh khối 12, đặc biệt là học sinh khá – giỏi, tôi đã nghiên cứu và xây dựng đề tài: “Các dạng toán tích phân hàm ẩn”.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng cơ sở lí thuyết và các dạng tích phân hàm ẩn cơ bản, từ đó rèn luyện và phát triển kĩ năng cũng như tư duy của học sinh để giải quyết các bài toán dạng này.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các dạng câu hỏi tích phân hàm ẩn trong đề thi THPT quốc gia của Bộ giáo dục và đề thi thử của các trường THPT trong cả nước.
4. Đối tượng khảo sát và thực nghiệm
Học sinh lớp 12A2, 12A3 trường THPT Vĩnh Linh năm học 2018 – 2019.
5. Phương pháp nghiên cứu
Kết hợp giữa nghiên cứu xây dựng lý thuyết (dựa trên sách giáo khoa, các đề thi THPT quốc gia của Bộ giáo dục và đào tạo, các đề thi thử của các trường THPT trong cả nước) và thực nghiệm trong quá trình giảng dạy.
6. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu
a) Phạm vi nghiên cứu: Chương 3 – Giải tích 12 và các bài toán liên quan trong các đề thi THPT quốc gia.
b) Kế hoạch nghiên cứu: Từ tháng 3/2018 đến tháng 5/2019.
- Tháng 3/2018: Chọn đề tài, lập đề cương.
- Tháng 4/2018 đến tháng 5/2019: Xây dựng cơ sở lý thuyết, phân dạng bài tập, áp dụng trong giảng dạy thực tế và rút kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy.
- Tháng 5/2019: Viết và hoàn thành nội dung đề tài.
C. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1. Định nghĩa tích phân:
Cho hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử là một nguyên hàm của trên đoạn . Tích phân từ đến của hàm sốlà hiệu số , kí hiệu là .
 Ta có: 
Chú ý: 
1) (kết quả tích phân không phụ thuộc vào kí hiệu của biến số).
2) 
3) 
2. Các tính chất của tích phân
Tính chất 1: (là hằng số ).
Tính chất 2: .
Tính chất 3: 
3. Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp đổi biến số: Cho hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn sao cho và với mọi .
Khi đó:.
b) Phương pháp tính tích phân từng phần: Nếu và là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thì hay . 
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN.
Trước hết, ta cần định nghĩa về dạng toán tích phân hàm ẩn .
Một số bài toán yêu cầu tính tích phânnhưng chưa cho biết biểu thức của hàm sốmà chỉ cho biết thoả mãn một số điều kiện thì ta có thể gọi nó là tích phân hàm ẩn. 
Mặc dù các dạng toán tích phân hàm ẩn cũng đã có mặt trong sách giáo khoa nhưng chỉ ở mức độ cơ bản. Tuy nhiên dạng toán này trong các đề thi có độ khó cao, đa số ở mức vận dụng – vận dụng cao nên học sinh thường giải sai hoặc bỏ qua các câu hỏi thuộc dạng toán này. Mặt khác, các tài liệu tham khảo cho dạng toán này cũng chưa nhiều. Do đó, cần xây dựng nền tảng lý thuyết và phân dạng cơ bản, cùng với hệ thống bài tập tương ứng để hướng dẫn học sinh cách giải quyết các bài toán dạng này.
III. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Áp dụng định nghĩa, tính chất của tích phân
Ví dụ 1 (Giải tích 12NC–trang 153): Cho biết Tính tích phân.
Giải: 
Đặt A =; 
Suy ra .
Ví dụ 2: (Giải tích 12NC – trang 176). Cho biết . Tính tích phân .
Giải: 
Áp dụng tính chất của tính phân ta có :
Nhận xét: Đây là dạng câu hỏi tương đối cơ bản, nằm ở mức độ thông hiểu nên học sinh có thể dễ dàng đưa ra đáp án đúng.
Ví dụ 3: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn đồng thời thỏa mãn Giá trị của tích phân bằng: 
A. 	B. 	C. 	D. 
Giải:
 Ta có 
Từ 
Vậy 
Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đã khéo léo biến đổi đề đưa về giải hệ phương trình chứa và từ đó áp dụng định nghĩa của tích phân .
Dạng 2: Áp dụng tính chất của hàm số chẵn, hàm số lẻ
Tính chất 1: Nếu là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn thì 
Tính chất 2: Nếu là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn thì 
Ví dụ 1: Cho và là hai hàm số liên tục trên đoạn và là hàm số chẵn, là hàm số lẻ. Biết và . Mệnh đề nào sau đây sai?
	A. . 	B.. 
	C.. 	D. .
Giải: 
 (1); 
 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra .
 Chọn B.
Nhận xét: Do đề bài nêu rõ là hàm số chẵn, là hàm số lẻ nên có thể
 dễ dàng định hướng phương pháp giảivì đây là câu hỏi đơn giản, học sinh chỉ cần áp
 dụng tính chất..
Ví dụ 2: Cho hàm số có đạo hàm và thỏa mãn
 Tính .
 Giải: 
Ta thấy là hàm số lẻ . Từ đó ta có: .
Hay: Nhận xét: Để giải được bài toán này học sinh cần quan sát sự liên hệ giữa các giá trị của biến số như 1 và –1, 2 và –2; nhận dạng được là hàm số lẻ, đồng thời nắm được tính chất 1 để vận dụng giải toán. Học sinh cũng có thể tính nguyên hàm để tìm biểu thức của tuy nhiên cách này phức tạp hơn nhiều. 
Ví dụ 3: Cho hàm số là hàm số chẵn, liên tục trên Biết rằng và Tính tích phân 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Giải. 
Vì là hàm số chẵn nên 
Xét Đặt Đổi cận: 
Khi đó 
Vậy 
Chọn D.
Dạng 3: Áp dụng phương pháp đổi biến số
Ví dụ 1. Cho hàm số liên tục trên và. Tính .
	A. .	B. .	C. .	D. .
Giải: 
Đặt 
Đổi cận: 
 (2). 
 . 
Chọn A.
Nhận xét: 
1) Quan sát mối liên hệ giữa hai cận là 1 và –1, hai biến và nên có thể định hướng đổi biến t = –x.
2) Với bài toán này, ta có thể tìm được biểu thức của hàm số bằng cách từ giả thiết (1), thay bởi ta có(2).
Từ (1) và (2) suy ra 
Ví dụ 2: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn (). Biết , tính tích phân .
	A. .	B. . 	C. .	D. .
Giải: (1) 
 Đặt 
 Đổi cận: 
 (2) 
Từ (1) và (2) 
 . Chọn A
Nhận xét: Dựa vào phép đổi biến đặt t = a + b – x, ta có thể chứng minh được rằng nếu liên tục trên đoạn thì , từ đó giải quyết các câu hỏi tương tự ví dụ trên. 
Ví dụ 3: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và thỏa mãn . Biết và . Tính .
	A. .	B. .	C. .	D. .
Giải: 
Ta có: .
.
Vậy ta có hệ: . Vậy . 
 Chọn B
Nhận xét: Học sinh có thể sử dụng phép đổi biến số đặt t = f(x).
Ví dụ 4: Cho hàm số thỏa Tính .
A. 	B. 	C. 	D. 
Giải: 
Đặt ta được do đó . Đổi cận 
 Suy ra Chọn C.
Nhận xét: Mấu chốt của bài toán là cách đổi biến đặt . Học sinh còn có thể lúng túng với việc đổi cận, quên đổi cận hoặc không biết tìm cận của t.
Ví dụ 5: Cho hàm số xác định và liên tục trên đồng thời Tích phân bằng
	A. 	B. 	C. 	D. 	
Giải:
 Đặt suy ra 
Khi đó 
Chọn B.
Nhận xét: Quan sát giả thiết và tích phân cần tính ta phán đoán được cách đặtKhi đó ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để hỗ trợ việc giải cận (vì việc giải phương trình bậc 5 không đơn giản, dù là có nhẩm được nghiệm), với lưu ý có đạo hàm nên hàm số phương trình(với C là hằng số) có tối đa một nghiệm.
Dạng 4: Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần
Ví dụ 1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và , . Tính tích phân theo và .
A. .	B. .	C. .	D. .
Giải: 
Đặt 
Suy ra 
Chọn B.
Nhận xét: Rõ ràng ta không thể đặt , nếu không sẽ có gây bế tắc cho việc giải quyết bài toán. Hơn nữa việc đặt là thuận lợi cho việc tìm v, từ đó có 
Ví dụ 2: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn thỏa mãn và . Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Giải: 
Đặt . Đổi cận: .
Khi đó: . Đặt .
Suy ra: . 
Chọn A.
Nhận xét: Với bài này, ta sử dụng phương pháp đổi biến để làm rõ và đơn giản hóa giả thiết, từ đó áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần.
Ví dụ 3: ( Đề tham khảo 2018 – BGD) 
Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và thỏa mãn Tính tích phân 
A. 	B. 	C. 	D. 
Giải: 
Đặt , .
Ta có 
Do 
, mà 
. Chọn A.
Nhận xét: Do giả thiết cùng với kết quả gợi ý
 cho ta nghĩ đến hằng đẳng thức với để 
từ đó suy ra Sau khi tìm được ta dễ dàng tìm được biểu thức của .
 Dạng 5: Tìm biểu thức của hàm số
Ví dụ 1: Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn điều kiện
. Tính tích phân .
A. .	B. .	C. .	D. .
Giải: 
Theo đề bài, ta có 
Thay 
Từ và suy ra: 
hay .
Chọn D.
Ví dụ 2: 
Cho hàm số liên tục trên đoạn và ,. Tính tích phân .
A. .	B. .	C. .	D. .
Giải: 
Ta có: 
Thay x thành ta có 
Xét hệ phương trình:
, .
Khi đó .
Suy ra .
Chọn C.
Nhận xét: Hoặc có thể xét (1), từ đó thay thành để có (2). Từ (1) và (2) ta có thể tìm
 Rabiểu thức của.
Ví dụ 3: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn điều kiện và . Giá trị , với. Tính . 
A. .	B. .	C. .	D. .
Giải: 
Từ giả thiết, ta có 
 , với .
Suy ra hay .
Mặt khác, ta có nên . Do đó .
Với thì . Suy ra và .
Vậy . Chọn B
Nhận xét: 
1. Với liên tục trên , ta nghĩ đến hướng chia hai vế cho 
 để có .
2. Từ , liên tưởngđến công thức đạo hàm của tích với suy ra 
3. Nhân hai vế của 	 với ta có , từ đó dễ dàng tìm được biểu thức của .
Ví dụ 3: Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn điều kiện Tính tích phân 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Giải. Từ giả thiết, thay bằng ta được 
Do đó: 
Khi đó 
Chọn B. 
Nhận xét: Với một số bài toán, nhờ vào các giả thiết ta có thể tìm ra biểu thức 
của hàm số để áp dụng công thức tính tích phân. Khi đó việc tìm ra kết quả quá đơn giản và có thể càng nhanh hơn khi có sự hỗ trợ của máy tính cầm tay.
IV. MỘT SỐ CÂU HỎI TƯƠNG TỰ:
Câu 1: Cho hàm số liên tục và có đạo hàm cấp hai trên thỏa 
 và . Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 2: Cho hàm số thỏa và . Tính 
tích phân 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 3: Cho liên tục trên và . 
Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 4: Cho là hàm số chẵn, liên tục trên và có đồ thị đi qua điểm và . Tính . 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 5: Cho hàm số thỏa và . Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 6: Cho liên tục với mọi ,. Tính.
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 7: Cho hàm số là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn thỏa mãn Giá trị của tích phân bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 	
Câu 8: Cho hàm số liên tục với mọi và . Tính: .
A. .	B. .	C. .	D. .
D. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết quả đạt được
Qua việc áp dụng đề tài trong quá trình dạy học, tôi nhận thấy học sinh có nhiều tiến bộ hơn trong việc tiếp cận các câu hỏi tích phân vận dụng cao trong các đề thi. Các em học sinh 12A2 và 12A3 năm học 2018 – 2019 đã có nhiều em có thể giải nhanh và đúng hầu hết các câu hỏi dạng này trong các đề thi thử và trong đề kiểm tra cuối chương 3, Giải tích 12.
2. Đánh giá hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Qua nghiên cứu, ứng dụng SKKN này vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả học sinh đạt được rất khả quan. Đề tài này đã giúp học sinh phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề, phát huy tính chủ động và sáng tạo trong học tập.
3. Những hạn chế 
 Vì đây là một dạng toán khó nên không phải học sinh nào cũng có thể tiếp cận được. Hơn nữa, do số lượng học sinh trong các lớp học khá lớn cũng như thời gian quy định của phân phối chương trình còn hạn hẹp nên việc truyền đạt của giáo viên cũng gặp nhiều khó khăn. 
4. Bài học kinh nghiệm
Các dạng toán tích phân hàm ẩn ngày càng đa dạng và phong phú, đỏi hỏi việc đầu tư xây dựng thêm nhiều dạng, nhiều phương pháp giải trên nền tảng lý thuyết căn bản. Ngoài ra, do thời lượng hạn chế của các tiết dạy trên lớp cũng như do độ khó của các câu hỏi nên cần có phương pháp hướng dẫn để học sinh chủ động học tập.
5. Khả năng ứng dụng của đề tài
Đề tài được ứng dụng vào việc ôn tập thi THPT quốc gia, hướng tới mục tiêu nâng cao điểm số bài thi môn Toán của học sinh nhằm sử dụng để xét tuyển vào các trường đại học. 
6 Kiến nghị, đề xuất
Bản thân tôi là một giáo viên trực tiếp giảng dạy lớp 12 nhiều năm. Khi áp dụng SKKN này vào giảng dạy tôi nhận thấy sự tự tin khi giải các câu hỏi khó về tích phân của học sinh tăng lên rõ rệt, các em tự tin hơn khi giải các bài toán tích phân mức độ vận dụng – vận dụng cao đồng thời tỏ ra rất hứng thú đối với loại toán này. Trên đây là kinh nghiệm cá nhân tôi muốn trao đổi với các thầy cô cùng giảng dạy bộ môn Toán. Rất mong được góp ý, bổ sung để cho bản SKKN được hoàn thiện hơn, đem lại lợi ích cho học sinh.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Vĩnh Linh, ngày 16 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Người viết
Trần Nữ Diệu Thùy
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách Giải tích 12, ban cơ bản và ban nâng cao.
Các đề thi minh họa, đề tham khảo và đề chính thức thi THPT quốc gia môn Toán của Bộ giáo dục từ năm học 2016- 2017, 2017 - 2018.
Các đề thi thử THPT quốc gia của các trường trên cả nước. 
Các tài liệu học tập từ mạng internet và sách tham khảo.
MỤC LỤC
STT
NỘI DUNG
Trang
1
Thông tin chung về đề tài
1
2
Mở đầu
1
3
Nội dung
2
4
Cơ sở lý luận
2
5
Cơ sở thực tiễn
3
6
Các dạng toán tích phân hàm ẩn
3
7
Dạng 1: Áp dụng định nghĩa, tính chất của tích phân
3
8
Dạng 2: Áp dụng tính chất của hàm số chẵn, hàm số lẻ
4
9
Dạng 3: Áp dụng phương pháp đổi biến số
5
10
Dạng 4: Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần
8
11
Dạng 5: Tìm biểu thức của hàm số f(x)
10
12
Các câu hỏi tương tự
12
13
Kết luận và kiến nghị
14
14
Tài liệu tham khảo
15
15
Mục lục
16