Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán liên quan đến đồ thị y=f’(x)

án C.
Ví dụ 7: Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số như hình vẽ sau đây. Đặt . Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và
Đáp án B.
Ví dụ 8: Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số như hình vẽ sau đây. Hàm số có mấy điểm cực trị nằm bên phải trục 0y. 
A.1 B. 2 C. 3 D.4
Đáp án B.
Ví dụ 9: Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số như hình vẽ sau đây. Khẳng định nào sau đây đúng về đồ thị hàm số trên khoảng . 
Hàm số có hai điểm cực trị nằm bên trái trục tung.
Hàm số có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung.
Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.
Hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía của trục hoành.
Đáp án B.
Ví dụ 10: Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số như hình vẽ sau đây. Khẳng định nào sau đây đúng về đồ thị của hàm số trên khoảng . 
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm. 
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm.
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm.
Đồ thị hàm số không cắt trục hoành .
Đáp án A.
Ví dụ 11: Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số như hình vẽ sau đây. Khẳng định nào sau đây là đúng về đồ thị hàm số trên khoảng .
Có 4 điểm cực trị
Có 3 điểm cực trị
Có 2 điểm cực trị
Có 1 điểm cực trị
Đáp án B.
 Ví dụ 12: Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số như hình vẽ sau đây. Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau:
Hàm số đồng biến trên khoảng và 
Hàm số đồng biến trên khoảng và 
Hàm số đồng biến trên khoảng và 
Hàm số đồng biến trên khoảng và và 
Đáp án A.
 Ví dụ 13: Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số như hình vẽ sau đây. Số điểm cực đại của hàm số trên khoảng .
1 B. 2 
 C. 3 D. 4
Đáp án A.
 Ta thấy ở dạng một chỉ xét các bài toán có tính chất đơn giản xung quanh các hàm . Ngoài các cách giải trên liệu còn cách giải nào khác nữa không. Chẳng hạn nếu bài toán yêu cầu tìm khoảng đơn điệu, cực trị, của hàm số thì ta làm thế nào? Để mở rộng các bài toán đó ta tìm hiểu dạng sau. 
DẠNG 2: Tìm khoảng đơn điệu, điểm cực trịcủa hàm số .
 Từ các tính chất của hàm suy ra tính chất của hàm , ta xét bài toán tổng quát sau: 
Bài toán tổng quát: Cho đồ thị hàm số . Xét tính đơn điệu của hàm số .
Cách giải:
Bước 1: Đọc đồ thị hàm số đề cho.
+ 
+
Suy ra:
+ 
+ 
Bước 2: Tính đạo hàm: 
Bước 3: 
+ Đề yêu cầu tìm khoảng đồng biến ta giải bất phương trình: 
+Đề yêu cầu tìm khoảng nghịch biến ta giải bất phương trình: 
(Nếu bài toán yêu cầu tìm cực trị hay là bảng biến thiên thì từ bước 1 ta có thể suy ra được nghiệm của phương trình và thêm bước 4 lập bảng biến thiên).
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 14: (KTHK1 chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị 17 - 18). Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị của hàm số cho ở hình sau. Xét hàm số Mệnh đề nào dưới đây sai? 
Hàm số đồng biến trên . 
B. Hàm số nghịch biến trên .
C. Hàm số nghịch biến trên .
D. Hàm số nghịch biến trên .
Phân tích: Từ đồ thị hàm ta biết được dấu của trên từng khoảng xác định và cách giải tương tự như bài toán tổng quát trên.
Hướng dẫn, đáp số:
Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
 hoặc 
Ta có .Ta thấy 
Ta thấy 
Từ (1) ta thấy phương án A đúng.
Từ (4) ta thấy phương án C đúng.
Từ (2) ta thấy phương án B sai.
Từ (3) ta thấy phương án D đúng vì là một nghiệm của . 
Vậy chọn đáp án B.
 Bình luận: Nếu bài toán này yêu cầu tìm số điểm cực trị hay lập bảng biến thiên thì ta làm tương tự và lập thêm bảng biến thiên để từ đó suy ra kết luận cho bài toán.
Ví dụ 15: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị của hàm số cho ở hình sau. Đặt . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 Hàm số đồng biến trên khoảng .
 Hàm số đồng biến trên khoảng .
 Hàm số đồng biến trên khoảng .
 Hàm số nghịch biến trên khoảng .
 Phân tích: Thoạt nhìn qua ba điểm đặc biệt trên đồ thị (−3; 2), (1;−2), (3;−4) ta luôn xác định một đường đi qua nó. Mà đường thẳng đi qua ba điểm đặc biệt này chính là đường thẳng được tạo ra từ việc lấy đạo hàm hàm . 
Hướng dẫn, đáp số:
Nhận xét: Từ đồ thị hàm ta nhận thấy đường thẳng đi qua ba điểm đặc biệt trên đồ thị có tọa độ (−3; 2), (1;−2), (3;−4) chính là đường thẳng mà đường thẳng được tạo ra bắt nguồn từ việc lấy đạo hàm hàm . 
Ta có: 
 Vẽ đường thẳng ∆: đi qua các điểm có tọa độ (−3; 2), (1;−2), (3;−4).
 Trên khoảng (−3; 1), đồ thị hàm số nằm phía dưới đường thẳng nên . Vậy trên khoảng (−3; 1) hàm số nghịch biến.
 Trên khoảng (1; 3), đồ thị hàm số nằm phía trên đường thẳng nên . Vậy trên khoảng (1; 3) hàm số đồng biến. 
Chọn đáp án A.
Ví dụ 16: (Đề gốc số 1 thi THPT QG năm 2018). Cho hai hàm số , . Hai hàm số và có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số . Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. .	B. .	
C. .	D. .
Nhận xét: Đây là câu 50 trong đề thi THPT QG năm 2018. Mới nhìn thì cảm tưởng rất là khó nhưng nếu tinh ý một chút thì câu này sử dụng phương pháp loại trừ đáp án để tìm ra kết quả nhanh nhất. Vì các yếu tố cần thiết đã xoay quanh các cột mốc trên trục hoành. Hai giá trị 10 và 5 trên trục tung chỉ để đảm bảo B là phương án đúng, còn hai giá trị 4 và 8 trên trục tung sẽ giúp loại cả 3 phương án.
Hướng dẫn, đáp số:
Ta có .
Phân tích: Ta nhận thấy để khi giá trị phải lớn hơn hoặc bằng hai lần giá trị 
Từ đồ thị hàm ta nhận thấy đồ thị hàm số luôn có giá trị nhỏ hơn bằng 5, vì vậy hàm số cần có giá trị lớn hơn bằng 10 khi đó ta làm như sau
Kẻ đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại , với . Khi đó ta có 
.
Do đó khi .
Kiểu đánh giá khác:
Ta có .
Dựa vào đồ thị, , ta có , ;
, do đó .
Suy ra . Suy ra
Do đó hàm số đồng biến trên .
 Đáp án B.
Ví dụ 17: (Đề gốc số 2 thi THPT QG năm 2018). Cho hai hàm số và . Hai hàm số và có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị hàm số . Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. .	B. .	
C. .	D. .
Phân tích: Trong ví dụ này cách làm tương tự như ví dụ 11được trình bày rất cụ thể ở trên.
Hướng dẫn, đáp số:
Ta có: 
Ta đi so sánh: và 
Dựa vào đồ thị, , 
ta có: và 
, Vậy 
Vậy hàm số luôn đồng biến trên khoảng .
Đáp án B.
Ví dụ tương tự:
Ví dụ 18: (Đề gốc số 3 thi THPT QG năm 2018). Cho hai hàm số ,. Hai hàm số và có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số . Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. .	B. .	
C. .	D. .
Đáp án A.
Ví dụ 19:(Đề gốc số 4 thi THPT QG năm 2018). Cho hai hàm số , . Hai hàm số và có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số . Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. .	B. .	
C. .	D. .
Đáp án B.
Vậy ngoài những bài toán đã được trình bày ở dạng 1, dạng 2 ta còn có các bài
toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm được trình bày ở dạng 3, dạng 4 dưới đây.
DẠNG 3: Tìm GTLN, GTNN hoặc so sánh các giá trị của hàm.
 Nhận xét: Bài toán tìm GTLN, GTNN bản chất vẫn là tìm cách lập bảng biến thiên và so sánh các giá trị liên quan. Trong đó để so sánh được các giá trị ta có thể dựa vào bảng biến thiên nếu chưa có kết quả như mong muốn thì ta có thể sử dụng công cụ sắc bén tích phân.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 20: Cho hàm số xác định liên tục trên có đồ thị của hàm số như hình bên. Tìm giá trị để hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn .
 B. 
 C. D. 
 Phân tích: Bài toán tìm giá trị để hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn nào đó. Cũng như lời nhận xét ở trên ta dựa vào đồ thị lập bảng biến thiên rồi đưa ra kết luận cho bài toán.
Hướng dẫn, đáp số:
Từ đồ thị hàm ta có bảng biến thiên sau:
 -2 -1 1 2
 + 0 + 0 -
Từ bảng biến thiên suy ra . 
Vậy đáp án D.
Ví dụ 21: (HSG tỉnh 12, 2017- 2018 – Sở GD và ĐT Hà Tĩnh). Giả sử hàm số có đạo hàm là hàm số ; đồ thị của hàm số được cho như hình vẽ dưới đây và . Hỏi trong các giá trị giá trị nào là nhỏ nhất của hàm số trên đoạn ? 
 Phân tích: Với bài toán trên thì chỉ cần lập bảng biến thiên là đưa ra kết luận cho bài toán, nhưng đối với bài toán này thì sau khi lập bảng biến thiên song ta vẫn tiếp tục dựa vào giả thiết để so sánh rồi mới đưa ra kết luận.
Hướng dẫn, đáp số.
Theo bài ra ta có bảng biến thiên sau:
-∞ 0 2 4 +∞
 - 0 + 0 - 0 -
Trước hết, dựa vào đồ thị hàm số ta có:
Trên khoảng hàm số đồng biến 
Trên khoảng hàm số nghịch biến 
Từ (*) và (**) suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số chỉ có thể là hoặc .
Mặt khác, từ giả thiết:
 suy ra .
Vậy, trên đoạn thì là giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Ví dụ 22: Cho hàm số có đồ thị hàm số như hình bên. Biết . Phương trình có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?
2 nghiệm B. 1 nghiệm 
C. 4 nghiệm D. 3 nghiệm
Hướng dẫn, đáp số:
Theo bài ra ta có bảng biến thiên sau: 
 a b c
 - 0 + 0 - 0 +
Theo giả thiết 
Nếu phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
 Nếu phương trình vô nghiệm.
 Nếu phương trình có 1 nghiệm.
Vậy nhiều nhất 2 nghiệm đáp án A.
Ví dụ 23: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị hàm số như hình vẽ. Số nào lớn nhất trong các số sau: .
Phân tích: Cách giải bài toán này cũng tương tự như bài toán trên nhưng điểm đặc biệt ở chỗ là ta so sánh các giá trị với nhau có sử dụng công cụ tích phân và ta phải nhìn vào diện tích miến phẳng trên hình thực tế để kết luận.
Hướng dẫn, đáp án:
Từ hình vẽ ta có bảng biến thiên: 
 + - +
So sánh và, ta có: 
Vậy là lớn nhất
Ví dụ 24: (Đề TT lần 2, THPT Lương Tài 2, Bắc Ninh, năm 2017-2018). 
 Cho hàm số và là hai hàm liên tục trên R có đồ thị hàm số là đường cong nét đậm và là đường cong nét mảnh như hình vẽ. Gọi ba giao điểm A, B, C của và trên hình vẽ lần lượt có hoành độ . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn.
Phân tích: Hai đường cong và cắt nhau tại ba điểm A, B, C lần lượt có hoành độ là a, b, c đây cũng là các điểm mà tại đó chính vì thế việc giải bài toán này ta đi lập bảng biến thiên rồi dựa vào công cụ sắc bén của tích phân đã nói ở trên để so sánh. 
Hướng dẫn, đáp số:
 Ta có 
 Trên miền thì đồ thị hàm số nằm phía trên đồ thị hàm số nên
 .
 Trên miền thì đồ thị hàm số nằm phía dưới đồ thị hàm số nên
 . 
Bảng biến thiên
 + -
Ta lại có:
Vậy 
Ví dụ 25: (Đề gốc số 1 thi THPT QG năm 2017). Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình bên. Đặt . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 
 A. 
B. 
C. 
D. 
Phân tích: Nhìn vào đồ thị hàm số ta thấy những điểm đặc biệt luôn nằm trên cùng một đường thẳng ta dễ dàng tìm được đường thẳng đi qua ba điểm đó là mà đường thẳng này được tạo ra từ hàm 
Để so sánh ta có thể dùng tích phân để giải hoặc cũng có thể dùng bảng biến thiên.
Cụ thể ta xem hướng dẫn dưới đây.
Hướng dẫn, đáp số:
Theo bài ra ta có: 
Đường thẳng (∆): đi qua các điểm 
Mặt khác:
 (1)
 Bên cạnh đó trên đoạn đường luôn nằm trên đường cong . Vậy theo công thức tính ta có:
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Vậy chọn đáp án D.
Ví dụ 26:(Đề gốc số 3 thi THPT QG năm 2017). Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình bên. Đặt . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. 	
B. 
C. 	
D. 
 Phân tích: Cũng tương tự như ví dụ trên có một đường thẳng luôn đi qua ba điểm đó là đường thẳng nào? Học sinh sẽ dễ dàng tìm được đường thẳng đi qua ba điểm đó là 
Hướng dẫn, đáp số:
Đường thẳng (∆): 
đi qua 3 điểm 
( Do đường thẳng nằm trên đường cong
 )
Mặt khác:
 (
Ta lại có: 
Từ (1) (2) và (3) . 
Vậy chọn đáp án B.
Ví dụ 27: (Thi thử trường Nguyễn Đăng Đạo, Bắc Ninh 2018). Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị hàm số là hình vẽ sau: Đặt . Điều kiện cần và đủ để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt là:
A. B. 
 C. D. 
 Phân tích: Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt thì phải có ba nghiệm phân biệt và đổi dấu qua ba nghiệm đó, hơn nữa ( với lần lượt là điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ hàm số ). Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng luôn cắt đồ thị tại ba điểm khi đó ta xét xem kết quả như thế nào? Nếu kết quả bằng 0 thì những điểm đó có thể là điểm cực trị, còn nếu không phải bằng 0 thì ta định hướng cách khác. Cụ thể cách giải như sau:
Hướng dẫn, đáp số:
Từ đồ thị suy ra:
; ; 
Mặt khác từ đồ thị suy ra:
Ta có bảng biến thiên: 
-¥ - 2 0 1 +¥
 - 0 + 0 - 0 + 
+¥ +¥
Từ bảng biến thiên suy ra điều kiện cần và đủ để đồ thị hàm số 
cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt là . Chọn đáp án B
Ví dụ tương tự:
Ví dụ 28: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị hàm số trên đoạn như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Đáp án C.
Ví dụ 29: (Giữa HK1 – THPT Ba Đình – Thanh Hóa 2017 - 2018).
Cho hàm số có đạo hàm là . Đồ thị của hàm số như hình vẽ bên. Biết . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn .
 Đáp án C.
Ví dụ 30:( Đề gốc số 2 thi THPT QG năm 2017). Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình bên. Đặt . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
	A. 
	B. 
	C. 
	D. 
Đáp án C.
Ví dụ 31: Đề gốc số 4 thi THPT QG năm 2017). Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình bên. Đặt . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 
A. 
B. 	
C. 
D. 
Đáp án A.
DẠNG 4: Liên quan đến đồ thị hàm số 
Phương pháp giải: Sử dụng một trong hai phương pháp hoặc kết hợp cả hai phương pháp sau:
Phương pháp 1: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại những điểm là các điểm cực trị của đồ thị hàm số (phương pháp này hạn chế hơn nếu có nhiều đồ thị cùng một lúc). 
 Phương pháp 2: Tìm giao điểm của các đồ thị hàm số với trục hoành (nếu có) sau đó dựa vào tính chất sau:
đồng biến trên 
nghịch biến trên 
Chẳng hạn xét đồ thị hàm số và đồ thị hàm số 
 Ta nhận thấy trên các khoảng đồ thị hàm nằm bên trên trục hoành thì đồ thị hàm đồng biến. Ngược lại đồ thị hàm nằm bên dưới trục hoành thì đồ thị hàm nghịch biến.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 32: Cho đồ thị của ba hàm số được vẽ mô tả như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số theo thứ tự lần lượt tương ứng là các đường cong nào?
Phân tích: Từ đồ thị đầu bài cho ta nhận thấy tại các vị trí (C2) cắt trục hoành thì (C3) đạt cực trị, mà đồ thị (C3) có dạng là một Parabol, đồ thị (C2) là một đường thẳng nằm song song với trục hoành nó chính là một hàm hằng.
Hướng dẫn, đáp số:
Ta có tại các vị trí cắt trục hoành thì đạt cực trị.
+) Xét đồ thị : trên khoảng đồ thị nghịch biến thì đồ thị nằm phía dưới trục . Trên khoảng đồ thị đồng biến thì đồ thị nằm phía trên trục . Vậy. (Nghĩa là là đạo hàm của ).
 +) Xét đồ thị: Trên khoảng đồ thị đồng biến thì đồ thị nằm bên trên trục . Vậy (nghĩa là là đạo hàm của.
Do đó, đồ thị các hàm số lần lượt tương ứng là .
Đáp án A.
Ví dụ 33: Cho đồ thị của ba hàm số 
 được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số theo thứ tự lần lượt tương ứng với đường cong nào?
Phân tích: Từ đồ thị đầu bài cho ta nhận thấy tại các vị trí (C2) cắt trục hoành thì (C3) và (C1) đạt cực trị, còn tại những điểm (C3) cắt trục hoành thì (C2) đạt cực trị suy ra 
(C1)’=(C2) và (C2)’=(C3).
Hướng dẫn, đáp số:
 Ta nhận thấy tại các vị trí cắt trục hoành thì và đạt cực trị.
 +) Xét đồ thị: trên các khoảng đồng biến thì đồ thị nằm phía trên trục . Ngược lại trên các khoảng nghịch biến thì đồ thị nằm phía dưới trục . Vậy . (Nghĩa là là đạo hàm của ).
 +) Xét đồ thị : Trên các khoảng đồng biến thì đồ thị nằm phía trên trục . Ngược lại trên các khoảng nghịch biến thì đồ thị nằm phía dưới trục . Vậy . (Nghĩa là là đạo hàm của ).
Do đó, đồ thị các hàm số lần lượt tương ứng là .
Đáp án D.
Ví dụ 34: Cho đồ thị của ba hàm số
 được vẽ mô tả như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số 
 theo thứ tự lần lượt tương ứng là các đường cong nào?
Hướng dẫn, đáp số: 
 Ta nhận thấy tại các vị trí cắt trục hoành thì và đạt cực trị. 
+) Xét đồ thị : trên các khoảng đồng biến thì đồ thị nằm phía trên trục . Ngược lại trên các khoảng nghịch biến thì đồ thị nằm phía dưới trục . Vậy . (Nghĩa là là đạo hàm của .
+) Xét đồ thị : Trên các khoảng đồng biến thì đồ thị nằm phía trên trục . Vậy . (Nghĩa là là đạo hàm của ).
Do đó, đồ thị các hàm số lần lượt tương ứng là .
Đáp án C.
 Ví dụ 35: (Đề khảo sát kiến thức THPT, Sở Vĩnh Phúc 2018). Cho các hàm số
 có đồ thị như hình vẽ sau:
Khi đó theo thứ tự là đồ thị của các hàm số nào dưới đây?
 Phân tích: Từ đồ thị đầu bài cho ta nhận thấy tại các vị trí (C1) cắt trục hoành thì (C3) và (C2) đạt cực trị, còn tại những điểm (C3) cắt trục hoành thì (C1) đạt cực trị suy ra 
(C1)’=(C3) và (C2)’=(C1).
Hướng dẫn, đáp số:
 Ta có tại các vị trí cắt trục hoành thì và đạt cực trị. Tại các khoảng mà đồ thị của nằm trên thì đồng biến và ngược lại.
 Xét đường cong ta thấy: tại các vị trí cắt thì đạt cực trị. Tại các 
khoảng mà đồ thị của nằm trên thì đồng biến và ngược lại
Đáp án D.
Ví dụ 36: Biết hàm số là một nguyên hàm của hàm số như hình bên dưới. trong các đồ thị đồ thị nào không phải là đồ thị của một nguyên hàm của hàm số ?
 A. .	 B. .	 
 C. .	 D. 
Phân tích: Theo định nghĩa nguyên hàm nếu là một nguyên hàm của thì cũng là nguyên hàm của hàmVậy nếu là một nguyên hàm của hàm thì trong các đồ thị đồ thị nào không phải là đồ thị của một nguyên hàm của 
Hướng dẫn, đáp án:
 Giả sử hàm số . Ta thấy các đồ thị có phương trình tương ứng là:
Theo định nghĩa nguyên hàm thì các đồ thị này là đồ thị của các nguyên hàm của hàm . Vậy đồ thị (H) không phải là đồ thị của một nguyên hàm của hàm số 
Chọn đáp án B.
 Ví dụ 37: Trong các đồ thị đồ thị nào là đồ thị của một nguyên hàm của hàm số ?
A. .	B. .	C. . D. .
 Hướng dẫn, đáp án:
Gọi là một nguyên hàm của ta có 
. Ta thấy đồ thị hàm số f nằm trên trục hoành (luôn dương), nên phải tìm đồ thị đồng biến, ta thấy đồ thị phù hợp.
Đáp án A.
Ví dụ tương tự:
Ví dụ 38: (Lần 1, Chuyên Hạ Long, Quảng Ninh 2018). Cho hàm số có đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai trên R. Biết đồ thị của hàm số là một trong các đường cong ở hình vẽ sau
Hỏi đồ thị của hàm số lần lượt theo thứ tự nào dưới đây?
 Đáp án C.
Ví dụ 39: Biết hàm số là một nguyên hàm của hàm số như hình bên dưới. trong các đồ thị đồ thị nào không phải là đồ thị của một nguyên hàm của hàm số ?
A. .	 B. .	 
 C. .	 D. 
 Đáp án C.
Ví dụ 40: Cho đồ thị của ba hàm số được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào ?
A. a,b,c. B. b,a,c.	
C. a,c,b. D. b,c,a.
Đáp án A.
Nhận xét : Đến đây cơ bản về lý thuyết và ví dụ các dạng toán của đồ thị hàm số đã hoàn thành. Nội dung đã trình bày ở trên sẽ giải quyết gần như tất cả các bài tập có liên quan đến một phần của đề thi THPT- Quốc Gia và đề thi thử hai năm gần đây.
Vậy trong quá trình giải ta cần lưu ý:
Để giải được bài toán dạng này ta cần phải tìm được bảng biến thiên của hàm số mà bài toán yêu cầu tìm các tính chất.
Bài toán cũng có thể cho dạng đồ thịhay cho dạng bảng biến thiên của hàm Từ đó cũng suy ra bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số cần tìm.
Bài toán sắp xếp đồ thị hàm số xuất phát từ duy nhất một hàm số rồi đạo hàm lên để có các kết quả tiếp theo nên dựa vào kiến thức trên ta sẽ lần ra được đồ thị 
b) Về khả năng áp dụng của sáng kiến: 
 Thông qua việc nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng ôn thi THPT-QG, tôi đã áp dụng đề tài trên và nhận thấy:
 - Một số học sinh có khả năng nhìn nhận tương đối chính xác dạng bài tập có liên quan đến nội dung này.
 - Một số học sinh nắm chắc kiến thức và tự tin giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và đề thi THPT-QG. Kết quả điểm kiểm tra được nâng lên rõ rệt.
 - Hình thành được tư duy lôgic, kỹ năng giải các bài toán về đồ thị 
 - Đề tài đã góp phần tạo hứng thú học tập cho học sinh. Các em học sinh lớp12
đỡ lúng túng hơn khi giải các bài toán về nội dung này.
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Không cần
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 
 Sáng kiến này được áp dụng phụ thuộc vào đối tượng học sinh.
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến cụ thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả. 
 Bản thân tôi nhờ vận dụng sáng kiến: “Một số dạng toán liên quan đến đồ thị y=f’(x)” nên tôi đã đạt được một số kết quả nhất định: 
 - Kiến thức phần đồ thị được nâng cao và hiểu sâu sắc hơn.
 - Làm nguồn bồi dưỡng ôn thi THPT Quốc Gia.
 - Làm tài liệu cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia.
 Vĩnh Yên, ngày.....tháng......năm......
Thủ trưởng đơn vị
Lê Anh Tuấn
Vĩnh Yên, ngày 25 tháng 11 năm 2018.
Tên tác giả sáng kiến
Phạm Thị Hồng Quyền