Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

I) ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình môn toán ở bậc THCS, giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình là một dạng toán rất quan trọng trong nhiều dạng toán, nó giúp học sinh hình thành thói quen lập luận có căn cư,ù chính xác, chặt chẽ và khoa học. Đây cũng là dạng toán liên hệ nhiều đến thực tế đời sống hàng ngày nhất do đó việc tìm ra phương pháp giảng dạy cho học sinh học tốt về lĩnh vực này là một đòi hỏi tất yếu giúp nâng cao chất lượng môn toán của học sinh trong trường THCS.
II) THỰC TRẠNG:
Thực tế chất lượng môn toán của học sinh còn rất thấp, nhất là việc giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình lại càng đáng lo ngại. Học sinh còn lúng túng trong việc nhìn nhận và phân biệt các dạng toán, bên cạnh đó học sinh chưa có thói quen lập luận có căn cứ, có tính chặt chẽ do vậy bài giải của học sinh còn rất lủng củng, thiếu chặt chẽ và lời giải còn thiếu chính xác.
Năm học 2009 – 2010, qua việc kiểm tra chất lượng bộ môn toán cho thấy trên 60% học sinh lớp 9 giải bài toán bằng cách lập phương trình còn sai, thậm trí có em không biết giải loại toán đó như thế nào.
Đứng trước thực trạng nói trên, là một giáo viên bộ môn toán tôi luôn băn khoăn, trăn trở mình phải làm gì để nâng cao chất lượng môn học để góp phần nâng cao chất lượng đào tạo chung của nhà trường. Sau nhiều năm giảng dạy cùng với sự tìm tòi, học hỏi tôi đã rút ra cho mình một giải pháp để giúp học sinh học tốt phần giải toán bằng cách lập phương trình là giáo viên phải biết phân các dạng toán để học sinh dễ hiểu, dễ nhớ.
III) GIẢI PHÁP:
Giáo viên phân ra các dạng toán cụ thể để học sinh có thể nắm được đường hướng chung để giải bài toán dạng này.
Bất kỳ bài toán nào cũng phải qua các 3 bước cơ bản:
Bước 1: Lập phương trình 
Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn( chú ý chọn ẩn phải thích hợp).
Biểu diễn các dữ kiện chưa biết qua các dữ kiện đã biết và qua ẩn.
Lập phương trình.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Đối chiếu với điều kiện đi đến kết luận, đáp số:
1) Loại toán chuyển động: Kiến thức liên quan: S = vt ( S là quãng đường, v là vận tốc, t là thời gian )
a) Loại hai vật chuyển động cùng chiều, gặp nhau: Khi giải loại toán này cần chú ý:
Sử dụng quãng đường đi được là như nhau để lập phương trình.
Vận tốc khác nhau do đó thời gian khác nhau.
Lấy thời gian của vật chuyển động chậm trừ thời gian của vật chuyển động nhanh để làm căn cứ lập phương trình.
Ví dụ: Lúc 6 giờ sáng, một xe máy khởi hành từ A đến B. Sau đó 1 giờ, một ôtô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy là 20 km/h. Cả hai xe đến B vào lúc 9 giờ 30 phút sáng cùng ngày. Tính quãng đường AB và vận tốc trung bình của mỗi xe.
Lời giải:
Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h) điều kiện: x > 0.
Vận tốc của ôtô là: x + 20 (km/h). 
Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là: 9h 30’ – 6 = 3h 30’= giờ.
Quãng đường xe máy đi là: .x (km).
Thời gian mà ôtô đi hết quãng đường AB là - 1 = giờ.
Quãng đường ôtô đi là: (x+ 20) (km).
Theo bài ra hai xe khởi hành tại A và cùng đến B, vậy ta có phương trình:
.x = (x+ 20) 
Ta thấy x= 50 thỏa mãn điều kiện đặt ra.
Vậy vận tốc của xe máy là 50 (km/h).
Vận tốc của ôtô là 50 + 20 = 70 (km/h).
Quãng đường AB là: . 50= 175(km).
Đáp số: 	Vận tốc xe máy: 50km/h.
	Vận tốc của ôtô: 70km/h.
	Quãng đường AB: 175 km.
b) Loại toán chuyển động ngược chiều gặp nhau: Khi giải loại toán này cần chú ý:
Tổng quãng đường của hai vật đi được cho đến thời điểm gặp nhau bằng cả quãng đường.
Nếu cùng xuất phát thì thời gian đi là như nhau.
Nếu không xuất phát cùng lúc thì thời gian của vật xuất phát trước nhiều hơn thời gian của vật xuất phát sau chính bằng lượng thời gian mà bài toán cho hoặc bài toán bắt tìm.
Có thể sử dụng vận tốc hơn kém nhau để thiết lập các mối quan hệ.
Ví dụ: Một người đi xe đạp từ A đến B dài 78 km. Sau đó 1 giờ người thứ hai đi từ B đến A. Hai người gặp nhau tại điểm C cách B là 36 km. Tính thời gian mỗi người đã đi kể từ lúc mỗi người đó khởi hành đến lúc gặp nhau, biết rằng vận tốc người thứ hai hơn vận tốc người thứ nhất là 4km/h.
Lời giải:
Gọi vận tốc của người thứ nhất là x(km/h) điều kiện x > 0.
Vận tốc của người thứ hai là: x + 4 (km/h).
Theo bài ra hai người gặp nhau cách B là 36 km. 
Vậy quãng đường mà người thứ nhất đi được cho đến thời điểm hai người gặp nhau là 78 – 36 = 42km.
Quãng đường mà người thứ hai đi được cho đến thời điểm hai người gặp nhau là 36km.
Thời gian mà người thứ nhất đi là: ( giờ).
Thời gian mà người thứ hai đi là: ( giờ).
Theo bài ra người thứ hai xuất phát sau người thứ nhất là 1 giờ.
Vậy ta có phương trình: - = 1.
Û 42(x +4) – 36 x 	= x(x+4).
Û 42x + 168 – 36 x	=x2 + 4x.
Û x2 – 2x – 168	=0.
ê’ = 1 + 168 = 169 ® 
® x1 = 1 + 13 = 14; x2 = 1 – 13 = -12 < 0 loại.
Vậy vận tốc của người thứ nhất là 14 km/h.
Vận tốc của người thứ hai là: 14 + 4 = 18 km/h.
Thời gian mà người thứ nhất đi là: 42 : 14 = 3 giờ.
Thời gian mà người thứ hai đi là: 3 – 1 = 2giờ.
Đáp số:	người thứ nhất 3 giờ.
	Người thứ hai 2 giờ.
c) Loại toán xuôi dòng, ngược dòng: Khi giải loại toán này cần chú ý:
Vận tốc xuôi dòng bằng vận tốc thực của vật cộng với vận tốc của dòng nước.
Vận tốc ngược dòng bằng vận tốc thực của vật trừ đi vận tốc của dòng nước.
Ví dụ:
Một ca nô xuôi một khúc sông dài 40 km rồi ngược dòng trở lại khúc sông ấy, thời gian cả đi lẫn về tổng cộng hết 4 giờ 30 phút. Biết vận tốc thực của canô là 18 km/h. Tính vận tốc của dòng nước.
Lời giải:
Gọi vận tốc của dòng nước là x(km/h) điều kiện x > 0.
Vận tốc lúc xuô dòng là: x + 18 (km/h).
Vận tốc lúc ngược dòng là: 18 – x (km/h).
Thời gian khi xuôi dòng là: (giờ)
Thời gian lúc ngược dòng là: (giờ).
Theo bài ra tổng thời gian cả đi lẫn về là 4 giờ 30 phút = giờ.
Vậy ta có phương trình: + = .
Û 2.40(18 –x) + 2.40(18 + x)	=9(18 – x)(18 +x).
Û 1440 – 80x + 1440 + 80x	=9(324 – x2).
Û 2880	=2916 – 9x2.
Û 9x2	= 36.
Û x	= ±2.
Ta thấy x= -2 không thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy vận tốc của dòng nước là 2 (km/h).
Đáp số: 2km/h
2) Loại toán có sử dụng định lý Pitago. Kiến thức liên quan: Trong một tam giác vuông bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Ví dụ:
Hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông hơn kém nhau 2m. Biết cạnh huyền của tam giác đó là 10 m. Tính diện tích của tam giác vuông đó.
Lời giải:
Gọi cạnh góc vuông thứ nhất là x(m) điều kiện 0 < x< 10.
Cạnh góc vuông thứ hai là: x –2 (m).
Theo bài ra cạnh huyền của tam giác vuông đó là 10m. Aùp dụng định lý Pitago ta có:
(x – 2)2 + x2 	= 102.
Û	2x2 – 4x – 96	= 0.
Û	x2 – 2x – 48	=0.
	ê’ = 1 + 48 = 49 ® = 7.
Ta có: x1 = 1 + 7 = 8; x2 = 1 – 7 = -6 < 0 loại.
Vậy cạnh góc vuông thứ nhất là 8m, cạnh góc vuông thứ hai là 8 – 2 = 6m.
Diện tích của tam giác đó là (8.6): 2= 24m2.
Đáp số: 24m2.
3) Toán về số và chữ số của các số: Kiến thức liên quan:
=a1.10n-1 + a2.10n-2 + ...+ an-1.101 + an.100.
Ví dụ: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 8, nếu đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số tự nhiên đó giảm đi 36 đơn vị.
Lời giải:
Gọi chữ số hàng chục là x, điều kiện: x là số tự nhiên; 9 ³ x >0.
Chữ số hàng đơn vị sẽ là 8 – x.
Số đó có giái trị là: 10.x + (8 – x) = 9x + 8.
Khi đổi chỗ hai chữ số ta được số mới là: 10. (8 – x) + x = 80 – 9x.
Theo bài ra khi đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số mới giảm đi 36 đơn vị.
Vậy ta có phương trình: 9x + 8 – (80 – 9x) = 36.
	Û 18x 	= 36 + 72.
	Û 18x	= 108.
	Û x	= 108: 18 
	Û x	= 6.
Ta thấy x = 6 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy chữ số hàng chục của số đó là 6, chữ số hàng đơn vị là 8 – 6 = 2.
Số đó là 62.
Đáp số: 62
4) Toán về tỉ số và quan hệ giữa các số:
Các căn cứ để giải loại toán này là: tổng, hiệu, tích, thương, tỷ lệ phần trăm, thêm vào, bớt ra của các số.
Ví dụ: Một phòng họp có một số dãy ghế, tổng cộng có 40 chỗ ngồi. Do phải cần 55 chỗ ngồi nên người ta kê thêm 1 dãy ghế và mỗi dãy xếp thêm một chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế trong phòng ?
Lời giải:
Gọi số dãy ghế trong phòng lúc đầu là x(dãy): điều kiện x nguyên dương.
Vậy mỗi dãy lúc đầu có 40/x chỗ.
Sau khi kê thêm 1 dãy và mỗi dãy thêm 1 chỗ. 
Trong phòng có x +1 dãy, mỗi dãy có chỗ.
Mỗi dãy lúc sau hơn dãy lúc đầu1 chỗ ngồi.
Vậy ta có phương trình: - = 1.
	Û 55x – 40x – 40	= x(x+1).
	Û x2 – 14x + 40	= 0.
	D’= 49 –40 = 9; =3.
Phương trình có hai nghiệm: x1= 4; x2= 10.
Có hai đáp số:
Lúc đầu có 4 dãy ghế, mỗi dãy có 10 chỗ ngồi.
Hoặc lúc đầu có 10dãy ghế, mỗi dãy có 4 chỗ ngồi.
5) Toán năng suất: loại toán này thường liên quan đến sự tăng giảm năng suất giữa lúc đầu với lúc sau, giữa kế hoạch với thực tế.
Ví dụ: Một xí nghiệp dự định điều một số xe để chuyển 120 tạ hàng. Khi thực hiện mỗi xe chở thêm 1 tạ so với dự định thì số xe giảm đi 4 chiếc. Tính số xe dự định điều động.
Lời giải:
Gọi số xe dự định điều động là x chiếc, điều kiện x nguyên dương và lớn hơn 4.
Vậy mỗi xe phải chở là: (tạ).
Thực tế chỉ điều động là: x – 4 (xe).
Vậy mỗi xe thực tế phải chở là: (tạ).
Theo bài ra mỗi xe phải chở thêm 1 tạ so với dự định.
Ta có phương trình:.
Û 	120x – 120x + 480 	= x(x – 4).
Û	x2 – 4x – 480	= 0.
Ta có: D’ = 4 + 480 = 484 Þ .
Phương trình có hai nghiệm: x1= 2 + 22 = 24; x2= 2 – 22 = -20 < 0 loại.
Vậy theo dự định ban đầu xí nghiệp điều động 24 xe.
Đáp số: 24 xe.
6) Toán về sự thay đổi các thừa số của tích: loại toán này thường liên quan đến một số hình đặc biệt như: hình chữ nhật, tam giác vuông, liên quan đến diện tích, chu vi, tăng giảm các yếu tố...
Ví dụ: Một sân hình chữ nhật có diện tích 720m2. Nếu tăng chiều dài 6m, giảm chiều rộng 4 m thì diện tích không thay đổi. Tính các kích thước của sân.
Lời giải: 
Gọi chiều dài của sân là x(m). điều kiện x > 6.
Chiều rộng của sân là (m).
Sau khi thay đổi thì chiều dài của sân là: x + 6 (m).
Chiều rộng của sân lúc đó là: - 4(m).
Theo bài ra diện tích của sân không thay đổi.
Vậy ta có phương trình: (x + 6) (- 4) = 720.
Û	(x + 6).(720 – 4x)	= 720x.
Û	720x – 4x2 +4320 – 24x	= 720x.
Û	4x2 + 24x – 4320	= 0.
Û	x2 + 6x – 1080	= 0.
Ta có: D’ = 9 + 1080 = 1089 Þ =33.
Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = -3 + 33 = 30; x2 = - 3 – 33 = -36 < 0 loại.
Vậy chiều dài của hình chữ nhật là 30 m.
Chiều rộng của hình chữ nhật là 720: 30 = 24 m.
Đáp số:	chiều dài: 30m.
	Chiều rộng: 24m.
7) Toán về tìm thời gian mỗi đơn vị làm một mình xong công việc: 
Coi cả khối lượng công việc là một đơn vị. Nếu gọi thời gian làm xong công việc đó là x (giờ, ngày, phút,....) thì trong một (giờ, ngày, phút,...) chỉ làm được công việc.
Ví dụ: Hai đội thủy lợi cùng đào một con mương. Nếu mỗi đội làm một mình cả con mương thì thời gian tổng cộng hai đội phải làm là 25 giờ. Nếu hai đội cùng làm thì công việc hoàn thành trong 6 giờ. Tính xem mỗi đội làm một mình thì sau bao lâu mới xong con mương?
Lời giải:
Gọi thời gian đội thứ nhất làm một mình xong con mương là x( giờ), điều kiện x >0 và x< 25.
Thời gian đội thứ hai làm một mình xong công việc là 25 – x ( giờ).
Trong một giờ:	Đội thứ nhất làm được: (con mương).
	Đội thứ hai làm đựơc: (con mương).
	Cả hai đội làm đựơc: (con mương).
Vậy ta có phương trình: + = .
Û	6(25 – x) +6x	= x(25 – x).
Û	150 – 6x + 6x	= 25x – x2.
Û	x2 – 25x + 150	= 0.
Ta có D = 625 – 4.150 = 25 Þ .
Phương trình có hai nghiệm: x1 = (25 + 5):2 = 15; x2 = (25 – 5):2 = 10.
Vậy đội thứ nhất làm một mình trong 15 giờ; Đội thứ hai làm một mình trong 25 – 15=10giờ
Hoặc đội thứ nhất làm một mình trong 10 giờ; đội thứ hai làm một mình trong 25 – 10=15giờ.
Đáp số: Đội thứ nhất: 15 giờ.
	Đội thứ hai: 10 giờ.
8) Toán có liên quan đến nội dung vật lý, hóa học.Với loại toán này học sinh cần phải nắm chắc các công thức có liên quan đến hóa học, vật lý.
Ví dụ:Người ta hòa lẫn 4kg chất lỏng I với 3 kg chất lỏng II thì được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3. Biết rằn khối lượng riêng của chất lỏng I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng II là 200kg/m3. Tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.
Lời giải: 
Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ I là x(kg/m3) điều kiện: x > 200.
Khối lượng riêng của chất lỏng thứ II là x – 200 (kg/m3).
Số gam chất lỏng I là: .
Û	.
Û	400(x – 200) + 300x	= x(x – 200).
Û	400x – 80000 + 300x	= x2 – 200x.
Û	x2 – 900x + 80000	= 0
Ta có : D’ = 4502 – 80000 = 122500 Þ = 350.
Phương trình có hai nghiệm: x1 = 450 + 350 = 800; x2 = 450 – 350 = 100< 200 loại.
Vậy khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là 800kg/m3.
Khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là 800 – 200=600 kg/m3.
Đáp số: 800kg/m3.
	600kg/m3.
IV) KẾT QUẢ:
Qua việc phân dạng toán như trên, tôi nhận thấy học sinh đã có rất nhiều tiến bộ trong việc giải toán bằng cách lập phương trình. Các em đã có thói quen lập luận vấn đề có căn cứ chính xác và rất chặt chẽ. 
So sánh năm học 2009 – 2010 với năm học 2010 -2011 học sinh khối lớp 9 vượt trội hơn hẳn về lính vực giải toán bằng cách lập phương trình. Những bài toán nêu ra có đến 70 – 75% học sinh trong lớp hoàn thành trong đó có những bài giải hay và thể hiện tính sáng tạo. 
Kết quả kiểm tra ở khối lớp 9 về lĩnh vực giải toán bằng cách lập phương trình cho thấy:
Học sinh đạt điểm 8 - 9 có:	12/111 em.
Học sinh đạt điểm 6 –7 có:	55/111 em.
Học sinh đạt điểm 5 có: 	33/111 em.
Còn lại là điểm 3 – 4, không có điểm dưới 3.
Điều đó cho thấy việc phân dạng toán không chỉ đối với giải toán bằng cách lập phương trình mà còn với nhiều dạng toán khác, ở nhiều bộ môn khác là rất cần thiết để có thể nâng cao chất lượng môn học.
V) BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
	Trong quá trình giảng dạy bộ môn, ngoài việc trang bị kiến thức cho học sinh, còn phải rèn luyện cho học sinh các kỹ năng giải bài tập. Để có thể làm tốt việc rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho học sinh giáo viên cần phải biết phân dạng toán, điều đó sẽ giúp cho các em hình thành các đường hướng chung để có thể giải nhanh và chính xác các dạng bài tập mà giáo viên đưa ra. Bên cạnh đó cũng giúp cho học sinh hình thành thói quen lập luận vấn đề một cách có căn cứ, chính xác và chặt chẽ.
	Kinh nghiệm giảng dạy lớp 9 nhiều năm cho tôi thấy: Nếu giáo viên làm tốt việc phân dạng toán ( Trong đó có hướng giải cho từng dạng cụ thể ), học sinh sẽ có căn cứ để giải các bài tập tương tự nhau, tuy nhiên cầøn phải giúp các em có thói quen quan sát, phân tích để tìm ra lời giải hay và chính xác( Ngoài việc giải bằng cách lập phương trình còn có thể giải bằng giả thiết tạm).
	Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân, tất nhiên sẽ còn rất nhiều thiếu sót, bản thân tôi rất mong được sự nhận xét, góp ý của các bạn đồng nghiệp để bản kinh nghiệm này hoàn thiện hơn, góp phần nâng cao chất lượng bộ môn toán nói riêng và góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nói chung.
	Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn !
	Người viết:
	Trần Văn Diễm