Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng bất phương trình chưa căn thức bậc hai thường gặp


2
(3)
2
2
x 1 0
x 1 0
x x 6 0
 

 
     
 
 
   
x 1
x 1
x 1
x 2
x 3
 
 

  
x 1
x 2
x 3
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (3) là 
S =           ; 3 2 ; 1 ;1 . 
4) 
   

    
   
2
(4)
2
2
x x 2 0
x x 2 0
x 3x 4 0
  
  
  
      


  
x 1
x 2
x 2
x 1
x 1
x 4
  
 
 
  
x 1
x 2
x 2
x 4
x 1
x 2
x 4
 
 

  
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (4) là 
S =           ; 4 2 ; 1 . 
5) 
(5)    

  
2
2
x x 2 0
x 3x 4 0
 
    
 

  
x 2
x 1
x 1
x 4

   
x 2
x 4
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (5) là 
S =       ; 4 2 ; . 
6) Điều kiện: 
x 1
x 1

  

(6)
        2x 3 x 3 x 3 x 1     2x 3 x 1 x 3 x 3 0       
         
 
2x 3 x 1 x 3 0 
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 37 
+) Tr-ờng hợp 1: 
x 1
1 x 3
 
  

(6)
    2x 1 x 3 0 2x 1 x 3    
 

  

   
2
2 2
x 3 0
x 1 0
x 1 x 6x 9
 


    
  
x 3
x 1
x 1
6x 10
 
  

  

  

x 1
x 1
x 3
5
x
3
x 1
5
x 1
3


   

Kết hợp với điều kiện, có: 

   

 
5
x 1
3
1 x 3
+) Tr-ờng hợp 2: x = 3, thay vào (6) thoả mãn. 
+) Tr-ờng hợp 3: x > 3 

(6)
    2x 1 x 3 0    2x 1 x 3 
    2 2x 1 x 6x 9 (Hai vế không âm, do x > 3) 
  6x 10 
5
x
3
   ; không thoả mãn x > 3 
+) Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (6) là 
S =      
 
5
; 1 1 ; 3
3
. 
7) Điều kiện: 

  
x 1
x 1

(7)
        2x 2 x 2 x 2 x 1           2x 2 x 1 x 2 x 2 0 
       2x 2 x 1 x 2 0 
+) Tr-ờng hợp 1: 
   
 
2 x 1
x 1

(7)
   2x 1 x 2 0 2x 1 x 2    
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 38 
 
  

 
   
   
2
22
x 1 0
x 2 0
x 2 0
x 1 x 2
  
     
  

 

   
2 2
x 1
x 1
x 2
x 2
x 1 x 4x 4
 

 
 

 
x 1
x 2
4x 5
1 x 2
 

 
  
 
 
x 1
x 2
5
x
4
1 x 2
 
 

  
x 1
x 2
1 x 2
x 1
x 1
 
  
Kết hợp điều kiện, có:     2 x 1 ; x 1 
+) Tr-ờng hợp 2: x 2 , thay vào (7) thoả mãn. 
+) Tr-ờng hợp 3: x 2 

(7)
   2x 1 x 2 0 2x 1 2 x    ; không có nghiệm thoả mãn x 2  
+) Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (7) là 
S =       2 ; 1 1 ; . 
8) Điều kiện: x 3 

(8)
           3x 5 x 3 2x 8 3x 5 x 3 
  2x 8 2x 8 3x 5 x 3       
1 3x 5 x 3     (  2x 8 0 , do x 3 ) 
1 3x 5 x 3 2 3x 5. x 3        
2 3x 5. x 3 4x 1      ; không có nghiệm thoả mãn x 3 
Kết luận: bất ph-ơng trình (8) vô nghiệm. 
9) Điều kiện: x 3 

(9)
             4 2x 1 x 3 x 4 2x 1 x 3 
    4 x 4 x 4 2x 1 x 3       
4 2x 1 x 3     (  x 4 0 , do x 3) 
16 2x 1 x 3 2 2x 1. x 3        
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 39 
22 2x 5x 3 18 3x     
 
  


     
 
     
2 2
18 3x 0
x 3
18 3x 0
x 3
4 2x 5x 3 324 108x 9x
 


 
 
 
 
  
2
x 6
x 3
x 6
x 3
x 88x 336 0
x 6
3 x 6
4 x 84


   
  
x 6
4 x 6

   
 x 4  
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (9) là 
S =  4 ; . 
10) Điều kiện: x 1 

(10)
             4 x 1 x 2 x 2 2 x 1 x 2 
    3 x 2 x 2 2 x 1 x 2       
        x 2 2 x 1 x 2 3 0 
+) Tr-ờng hợp 1: x 2 

(10)
    2 x 1 x 2 3 0     2 x 1 x 2 3 
Bất ph-ơng trình này không có nghiệm thoả mãn x 2 , vì: 
2 x 1 2 2 1 2
x 2 2 2 2
    

   
  x 2 
+) Tr-ờng hợp 2: x = 2, thay vào bất ph-ơng trình không thoả mãn. 
+) Tr-ờng hợp 3: 1 x 2  

(10)
    2 x 1 x 2 3 0 2 x 1 x 2 3     
 
2
4 x 1 x 2 4 x 1 x 2 9
4 x x 2 11 5x
        
    
      2 216 x x 2 121 110x 25x (Hai vế không âm) 
29x 126x 153 0    
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 40 
2x 14x 17 0    
7 4 2 x 7 4 2     
Kết hợp điều kiện, có:   7 4 2 x 2 
+) Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (10) là 
S =  7 4 2 ; 2 . 
11) Điều kiện:   2 x 1 

(11)  

        
2
2x 1 0
x 2 1 x 2 x 2. 1 x 4x 4x 1
 

 
 
      
2 2
1
x
2
2 x x 2 4x 4x 2 *
Đặt:     2t x x 2 ; t 0 
2 2t x x 2    2 2x x 2 t    

(*)
   22t 4 2 t 2 24t 2t 6 0    
3
t 1
2
   
Vậy: 
2x x 2 1    2x x 2 1    2x x 1 0    
1 5
x
2
1 5
x
2
  


  


Kết hợp điều kiện 
1
x 1
2
   , ta có tập nghiệm bất ph-ơng trình (11) là 
S = 
  
 
 
1 5
;1
2
. 
12) Điều kiện: 
2
2
x 4x 12 0
x x 6 0
  

  
 
    
 

  
x 6
x 2
x 3
x 2

   
x 6
x 2
+) Tr-ờng hợp 1: x 2  , bất ph-ơng trình (12) luôn đúng. 
+) Tr-ờng hợp 2: x 6 
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 41 

(12)
             
2
x 2 x 6 x 2 x 3 x 2 
2
x 6 x 3 x 2
x 6 x 3 2 x 6. x 3 x 2
2 x 9x 18 11 x
     
        
    
 
 

 
   

    
2 2
x 6
11 x 0
11 x 0
x 6
4 x 9x 18 121 22x x
 


 



  
2
x 6
x 11
x 11
x 6
3x 14x 49 0


 
   
 
   
 
x 11
6 x 11
x 7
7
x
3

  
x 11
7 x 11
 x 7  
+) Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (12) là 
S =       ; 2 7 ; . 
Bài toán 3. 
1) Điều kiện: 
x 1
x 1 1
 

 
x 1
x 0
 
 


(1)   
  
  
2
2 x 1 1x . 2x 3
x 1 1
  
2
x 1 1 2x 3     
x 1 1 2 x 1 2x 3        2 x 1 x 1 0     
     x 1. 2 x 1 0 
 
 
  
x 1
2 x 1 0
x 1
x 1 2
 
 
 
x 1
x 1 4
 
 
 
x 1
x 3
 
 

Kết hợp điều kiện, có tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) là 
S =    1 ; 3 \ 0 . 
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 42 
2) Điều kiện: 
2
2
2 x 0
2x 1 0
 

 
2 x 2
1
x
2
1
x
2
  

  

  


   


 
1
2 x
2
1
x 2
2

(2)
    2 22 x 2x 1 x 1 
2 2 2 2 2
x 1 0
2 x 2x 1 2 2 x . 2x 1 x 2x 1
 
 
        
 
 
   
4 2
x 1
2 2x 5x 2 2x
4 2
x 1
2x 5x 2 x
 
 
   
4 2 2
x 0
2x 5x 2 x

 
   
4 2
x 0
2x 4x 2 0

 
  
 

 
 
2
2
x 0
2 x 1 0

 
 
2
x 0
x 1 0

 
 
x 0
x 1

 

x 0
x 1
Kết hợp điều kiện, có tập nghiệm bất ph-ơng trình (2) là 
S =  
 
 
 
1
; 2 \ 1
2
. 
3) 
(3)
        
2 2
x 1 9 2 x 1 1 11 
Đặt:    
2
t x 1 ; t 9 

(3)
   t 9 2t 1 11 t 9 2t 1 2 t 9. 2t 1 121        
    22 2t 19t 9 131 3t 
 
  


   

    
2 2
131 3t 0
t 9
131 3t 0
t 9
4 2t 19t 9 9t 786t 17161
2
131
t
3
131
9 t
3
t 710t 17125 0



   
   
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 43 
131
t
3
131
9 t
3
25 t 685



   

 
131
t
3
131
25 t
3


 
  

 t 25 
Vậy:  
2
x 1 25   
 
   
x 1 5
x 1 5
x 6
x 4

   
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (3) là 
S =       ; 4 6 ; . 
4) Điều kiện: 
2
2
2
x 1 0
x x 1 0
x x 1 0
 

  

  
2
2
x 1
x 1
x 1 x
x 1 x
 
   
 
 

  
  x 1 

(4)
          2 2 2 2x x 1 x x 1 2 x x 1. x x 1 4 
 2 22x 2 x x 1 4     2x 2 4   x 1  
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (4) là 
S =  1 ; . 
5) Điều kiện: 
2x 16 0
x 3
 


 x 4  

(5)
     22 x 16 x 3 7 x  22 x 16 10 2x    
 
 

 
   

   
2 2
x 4
10 2x 0
x 4
10 2x 0
2 x 16 100 40x 4x
 


 



  
2
x 4
x 5
x 4
x 5
2x 40x 132 0
x 5
4 x 5
10 34 x 10 34


  
    
x 5
10 34 x 5

 
  
 x 10 34   
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 44 
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (5) là 
S =   10 34 ; . 
6) Điều kiện: 
2
2
x x 3 0
x x 2 0
  

   
  x2 + x + 2 ≥ 0  1 ≤ x ≤ 2 

(6)
     2 23 x x 2 x x 1          2 2 23 x x 2 x x 1 2 2 x x 
    2 22 2 x x 2x 2x     2 22 x x x x 
   
       
2
2 2 2 2
Đặt : t 2 x x ; t 0
t 2 x x x x 2 t

(6) 
         
2 2
t 1
t 2 t t t 2 0
t 2 loại( )
      
 
      
2 2
2
Vậy : 2 x x 1 2 x x 1
1 5 1 5
x x 1 0 x
2 2
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (6) là 
S = 
  
 
 
1 5 1 5
;
2 2
. 
7) Điều kiện: 
x 1
x 2

  
Đặt: t = 



x 2
; t 0
x 1

(7)
            2 2
6
t 5 t 6 5t t 5t 6 0 2 t 3
t
Vậy: 
      
        
   
           
x 2 x 2 x 2 4x 4
2 4 0
x 1 x 1 x 1
x 2 x 2 9x 9x 2 9 03
x 1 x 1x 1
 
   
       
    
1 x 26 3x
0
1111x 1
x 2x
811 8x 8
0
x 1x 1
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 45 
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (7) là 
S = 
 
 
 
11
; 2
8
. 
8) Điều kiện: 
   
   
     
2
x 2 0 x 2
x 2
(x 1)(x 2) 0x x 2 0

(8)
          x 1 . x 2 2 x 2 2 x 1 0 
          x 2 x 1 2 x 1 2 0 
       x 1 2 x 2 1 0 
   
   

   

    

   

  
x 1 2 0
x 2 1 0
x 1 2 x 2 1 0
x 1 2 0
x 2 1 0
  
  

 
 

 
  
x 1 4
x 2 1
x 3
x 1 4
x 2 1
  

 

 
x 3
x 3
x 3
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (8) là 
S = [2 ; + ). 
9) Điều kiện: 0 ≠ x ≤ 2 

(9)       
  
4x 3 2 x 2x 2 x 2x 3
0 0
x x
Đặt: t =   2 x ; 0 t 2 
      2 2t 2 x x 2 t 

(9)       
  
 
2 2
2 2
t 2 2 t 3 2t t 1
0 0
2 t 2 t
  
 
 
 
(1 t)(2t 1)
0
2 t 2 t

 

1 t
0
2 t
  
    
2t 1 0
Do :
t 2 0
  
  
   
t 1 2 x 1
t 2 2 x 2
    
   
            
2 x 0 x 2
1 x 2
2 x 1 x 1
x 0
2 x 2 x 0
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 46 
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (9) là 
S = ( ; 0)  [1 ; 2]. 
10) +) Điều kiện: 
 
 
   
x 1 x 1
x 5x 1 x 3
Vì: x 1 = x – 3 
2
x 3
x 1 x 6x 9


   
  
2
x 3
x 7x 10 0


  
 
x 3
x 2
x 5



 
  x 5 
+) 
(10)
 
2 x 1 12 6x x 1 3 x
0
2 x 1 3 x
      

  
x 1 9 5x
0
x 1 3 x
  
 
  
 Đặt : t x 1 ; 0 t 2  
      2 2t x 1 x t 1 

(10)  
 
     
  
    
2 2
22
t 9 5 t 1 5t t 4
0 0
t t 2t 3 t 1
  
  
 

 
1 t 5t 4
t 1 2 t
 0 
  
   
   
t 1 01 t
0 Do :
2 t 5t 4 0
 
  
     
           
x 1 0
t 1 x 1 1 1 x 2
x 1 1
t 2 x 5x 1 2
x 1 4
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (10) là 
S =     1 ; 2 5 ; . 
11) Điều kiện:   2 x 7 

(11)        
  
 
x 2 5 x x 7 x 2 2 2x
0 0
x 7 x 7
   
     2 2
Đặt : t x 2; 0 t 3
t x 2 x t 2

(11)       
  
  
2 2
2 2
t 2 2 t 2 2t t 6
0 0
t 2 7 t 9
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 47 
  
  
    
     
     
2t 3 02 t 2t 3 2 t
0 0 Do :
t 3 t 3 t 3 t 3 0
      
       
    
x 2 2 x 2 4 x 2
2 t 3
x 2 9 x 7x 2 3
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (11) là 
 S 2 ; 7 . 
12) Điều kiện: 
 
 
    
2
x 0
x 0
1 1
x1 4x 0
2 2

(12)
   
 
      
2
2 2
1 1 4x
3 1 1 4x 4x 3 3 1 4x
x
 23 1 4x 4x 3   ; nghiệm đúng   
 
  
 
1 1
x ; \ 0
2 2
Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (12) là 
   
   
   
1 1
S ; 0 0 ;
2 2
. 
Bài toán 4. 
1) Đặt:   2t x 1; t 1 

(1)
            2 24x 1 t 2t 2x 1 2t 4x 1 t 2x 1 0 
+)  22t 4x 1 t 2x 1    là một tam thức bậc hai có nghiệm   
1
t ; t 2x 1
2
+) Tr-ờng hợp 1:    
1 3
2x 1 x
2 4

(1)
    
 
   
 
2
2
t 2x 1 x 1 2x 1
1 1
t x 1 : vô nghiệm
2 2
2x 1 2x 1    
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 48 
2 2
2x 1 0
2x 1 0
x 1 4x 4x 1
 

  
    
2
1
x
2
1
x
2
3x 4x 0



  
  
1
x
2
1
x
2
4
0 x
3



 

  

 


 
  

1
x
42
x
31 4
x
2 3
Kết hợp với điều kiện, có: 
3 4
x
4 3
  
+) Tr-ờng hợp 2: 2x – 1 < 
1
2
  x < 
3
4
(1)

1
t
2
t 2x 1



 
 
2
2
1
x 1
2
3
x 1 2x 1
4

  

    

Đúng x
Không có nghiệm thoả mãn x
+) Kết luận: tập nghiệm bất ph-ơng trình (1) là 
S = 
4
;
3
 
  
. 
2) Đặt: t = 2x 2x 3  ; t ≥ 2 
  t2 = x2 – 2x + 3  x2 + 1 = t2 + 2x – 2 
(2)
 (x + 1)t ≥ t
2
 + 2x − 2 2t (x 1)t 2x 2 0      
+) t
2
 – (x +1)t + 2x – 2 là một tam thức bậc hai cú nghiệm t = 2; t = x − 1 
+) Trường hợp 1: x − 1 ≥ 2  x ≥ 3 
(2)
 2 ≤ t ≤ x − 1  
2
2
x 2x 3 2
x 2x 3 x 1
   

   
 Vụ Nghiệm 
(Vỡ: 2x 2x 3  = 2(x 1) 2  > 2(x 1) = x 1 ≥ x − 1) 
+) Tr-ờng hợp 2: x – 1 < 2 x 3  
(2)
 x – 1 ≤ t ≤ 2  
2
2
x 2x 3 x 1
x 2x 3 2
    

  
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 49 
 2x 2x 3 2   (Vỡ: 2x 2x 3  > x – 1, x ) 
 x2 – 2x + 3 ≤ 4  x2 – 2x – 1 ≤ 0  1 2 ≤ x ≤ 1 + 2 
+) Kết luận: tập nghiệm bất phương trỡnh (2) là 
S = 1 2 ;1 2  
 
. 
3) Đặt: t = 2x 2x 3  ; t ≥ 2 
  t2 = x2 – 2x + 3  x2 + 4x + 3 = t2 + 6x 
(3)
 t2 + 6x ≥ (3x +2 )t  t2  (3x + 2)t + 6x ≥ 0 
+) t
2
  (3x + 2)t + 6x là một tam thức bậc hai cú nghiệm t = 2; t = 3x 
+) Trường hợp 1: 3x ≥ 2  x ≥ 
2
3
(3)

t 3x
t 2

 
  
2 2 2
22
x 2x 3 3x x 2x 3 9x
x 2x 3 4x 2x 3 2
       
  
      
 
2
2
3 1
x8x 2x 3 0
4 2
x 2x 1 0
1 2 x 1 2

             
Kết hợp điều kiện, cú: 
2
x 1 2
3
   
+) Trường hợp 2: 3x < 2  x < 
2
3
(3)
 
t 2
t 3x

 
  
2
2
x 2x 3 2
x 2x 3 3x
   

   
  
2
2 2
x 2x 3 4
x 0
x 2x 3 9x
   


   

2
2
x 2x 1 0
x 0
8x 2x 3 0
   


   
 
x 1 2
x 1 2
x 0
1
x
2
3
x
4
   
 
  


       
 
x 1 2
x 1 2
1
x
2

 

 



 
1
x
2
x 1 2



 
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 50 
Kết hợp điều kiện, cú: x 1 2  , 
1 2
x
2 3
  
+) Kết luận: tập nghiệm bất phương trỡnh (3) là 
S =  ; 1 2    
1
;1 2
2
 
  
. 
Bài toỏn 5. 
1) Điều kiện: x ≥ 1 
Lập luận để tỡm được tập nghiệm bất phương trỡnh (1) là: S = { 1 }. 
2) +) 2x
3
 + x
2
 – 4x + 4 = (x + 2)(2x2 – 3x +2) 
Điều kiện: 2x3 + x2 – 4x + 4 ≥ 0  x + 2 ≥ 0  x ≥ –2 
+) 3 2 22x x 4x 4 x 2. 2x 3x 2       
2x 2 2x 3x 2
2
   
 
 3 22x x 4x 4   ≤ x2 – x + 2 
 Dấu “=” xảy ra  x 2 = 22x 3x 2  
2
x 2
x 2 2x 3x 2
 
 
   
2
x 2
2x 4x 0
 
 
 
x 2
x 0
x 0
x 2
x 2
 

    
+) 
(2)
 3 22x x 4x 4   ≥ x2 – x + 2 
  3 22x x 4x 4   = x2 – x + 2 
x 0
x 2

  
Vậy tập nghiệm bất phương trỡnh (2) là: S = {0 ; 2}. 
3) +) Điều kiện: 2 ≤ x ≤ 4 
+) x
2
 – 6x + 11 = (x – 3)2 + 2 ≥ 2. 
 x
2
 – 6x + 11 = 2  x = 3 
+)  
2
x 2 4 x   ≤ (1 + 1)(x – 2 + 4 – x) = 4 
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 51 
  x 2 + 4 x ≤ 2 
 x 2 + 4 x = 2  x 2 = 4 x  x  2 = 4  x  x = 3 
+) 
(3)
 x 2 + 4 x = x
2 – 6x + 11 = 2  x = 3 
Vậy tập nghiệm bất phương trỡnh (3) là: S = { 3 }. 
4) Đặt: t = x2 – 6x + 9 ; t ≥ 0 
(4)
 t 9 ≤ 
t 6
t 2


+) 
t 6
t 2


 = 
t 2 4
t 2
 

 = 1 + 
4
t 2
 ≤ 1 + 
4
2
 = 3 
+) t 9 ≥ 9 = 3 
+) 
(4)
 t 9 = 
t 6
t 2


 = 3  t = 0 
  x2 – 6x + 9 = 0  (x – 3)2 = 0  x = 3 
Vậy tập nghiệm bất phương trỡnh (4) là: S = { 3 }. 
5) +) Điều kiện: 3 ≤ x ≤ 4 
+) (x – 3)(5 – x) = − x2 + 8x − 15 = 1 − (x − 4)2 ≤ 1 
 (x – 3)(5 – x) = 1  x = 4 
+)  
2
x 3 4 x   = x − 3 + 4 − x + 2 x 3 . 4 x 
 = 1 + 2 x 3 . 4 x ≥ 1 
 x 3 4 x   ≥ 1. Dấu “=” xảy ra  
x 3
x 4

 
+) 
(5)
   x 3 4 x = (x – 3)(5 – x) = 1  x = 4 
Vậy tập nghiệm bất phương trỡnh (5) là: S = { 4 }. 
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 52 
Mục lục 
 Trang 
Dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 
Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 
Dạng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 
Dạng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 
Dạng 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 
Dạng 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 
Dạng 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 
Dạng 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 
Dạng 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 
Tài liệu tham khảo 
1. Sách bài tập toán lớp 10 
2. Các sách giới thiệu đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 
3. Các sách về ph-ơng trình, bất ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình  
Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều 
 H 53 
Kết luận 
 Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm do tôi đúc rút đ-ợc trong quá trình 
giảng dạy Toán lớp 10. Tôi thấy học sinh học tập rất hào hứng và say mê, nên 
kết quả thu đ-ợc nh- sau: về bản thân càng yêu thích công việc giảng dạy và 
nghiên cứu khoa học; về học sinh thì học tốt hơn, nhiều học sinh bình th-ờng 
trở lên khá, học sinh khá giỏi càng giỏi hơn. Và quan trọng hơn học sinh yêu 
thích môn toán và cố gắng học tốt các phần khác của môn toán nữa. 
 Mặc dù bản thân đã rất cố gắng, nh-ng trong quá trình viết sáng kiến 
kinh nghiệm có thể không tránh hết những thiếu sót đáng tiếc, rất mong nhận 
đ-ợc góp ý xây dựng của các thầy giáo cô giáo, những ng-ời quan tâm đến 
môn toán và sự nghiệp giáo dục để sáng kiến kinh nghiệm này ngày càng hoàn 
thiện hơn và phổ biến hơn. 
 Xin trân trọng cảm ơn. 
 Hà Nội, ngày 19 / 5 / 2010 
 Ng-ời viết 
 Nguyễn Quốc Hoàn