Sáng kiến kinh nghiệm Một số biện pháp tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh trong giải bài tập Toán phần lượng giác

) + mt + 2 = 0
 3t2 + mt – 4 = 0 (5’)
Phương trình (5) có nghiệm  phương trình (5’) có nghiệm, vì phương trình (5’) có a.c=-12 <
0 nên phương trình (5’) luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó phương trình (5) luôn có nghiệm.
Học sinh đã mắc phải sai lầm trong lập luận ở chỗ đã không quan tâm gì đến điều kiện của t và
cho rằng phương trình (5) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (5’) có nghiệm.
Lời giải đúng cần bổ sung
Điều kiện của t là: 2t 
Phương trình (5) có nghiệm  phương trình (5’) có nghiệm thoả mãn 2t 
Phương trình (5’) luôn có hai nghiệm phân biệt t1,t2
46
Mặt khác, vì 3
4t.t 21  nên phương trình (5’) không thể đồng thời có hai nghiệm t1, t2 thoả
mãn 2t 1  và 2t 2  .
Do đó (5) có nghiệm (5’) có một nghiệm trong đoạn  2;2 và một nghiệm ngoài
khoảng  2;2 0)2(f)2(f  0)m28)(m28(  .4m 
Học sinh có thể tìm điều kiện để phương trình (5,) có nghiệm thoả mãn 2t  theo cách khác.
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:





3
3tgxtgy
75yx 0
Giải: Hệ trên tương đương với:





3
3tgy.tgx
)32()3545(tg)75(tg)yx(tg 000






3
3tgy.tgx
)32(tgy.tgx1
tgytgx





3
3tgy.tgx
3
)33()33)(32(3
1tgytgx
Do đó, tgx, tgy là các nghiệm của phương trình bậc hai:
03
3X)33(3
1X 2 











1tgy
3
3tgx
1X
3
3X Hoặc





3
3tgy
1tgx





l4y
k6x )zl,k(  hoặc





n6x
m4x )zn,m( 
47
Phân tích sai lầm:
- Sai lầm thứ nhất: học sinh đã không tìm điều kiện của x và y.
- Sai lầm thứ hai: học sinh cho rằng
)32()yx(tg75yx 0 
Thực ra hai phương trình này không tương đương với nhau, phương trình
)32()yx(tg  là hệ quả của phương trình 075yx  , do đó sai lầm này dẫn tới các
nghiệm ngoại lai.
- Sai lầm thứ ba: học sinh đã không chú ý tới đơn vị đo của x và y. Với bài toán này trong hệ
có yêu cầu x+y =-750, do đó x và y là các góc đo theo đơn vị độ.
* Sai lầm khi giải các bài toán lượng giác trong tam giác
Một số sai lầm khi giải các bài toán lượng giác trong tam giác là không biện luận hết các khả
năng hoặc không để ý điều kiện của các góc trong một tam giác. Ngoài ra sai lầm còn có thể xuất
hiện khi biến đổi các biểu thức lượng giác, chứng minh đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất
của các đại lượng, xác định các yếu tố nào đó trong tam giác.
Ví dụ 7: Cho tam giác không nhọn ABC. Tìm giá trị lớn nhất của CsinBsinAsinF 
Nhiều học sinh lập luận như sau:
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có:
)sinsin(sinsinsinsin CBA3CBAF 222 
Mà: 4
9CBA 222  sinsinsin .
Do đó: F 2
33
4
93  .
Vậy giá trị lớn nhất của F là 2
33
Phân tích sai lầm:
Nguyên nhân đầu tiên của việc dẫn đến sai lầm là không nằm vững khái niệm về GTLN,
GTNN. Đây là một khái niệm cấu trúc hội nhưng khi giải những bài toán có liên quan thì học sinh
không kiểm nghiệm hết tất cả các yêu cầu được chỉ ra trong cấu trúc ấy.
Mặt khác, một nguyên nhân có thể kể tới đó là không nắm vững phép toán lôgic, nói cụ thể hơn
chẳng hạn A=3 thì học sinh không thể chấp nhận cách viết A 3.
48
Chính vì vậy khi đã chứng minh được 2
33F  thì dường như trong ý thức của học sinh ngầm
thừa nhận rằng việc 2
33F  là hoàn toàn có thể xẩy ra, bởi vì nếu không xẩy ra thì tại sao lại viết
cả dấu ‘’=’’.
Muốn sửa chữa những sai lầm liên quan đến việc tìm GTLN, GTNN thì cần phải làm cho học
sinh thấy rõ: một biểu thức A luôn có giá trị lớn hơn hoặc bằng c với mọi giá trị thích hợp của biến
thì không nhất thiết rằng tồn tại bộ giá trị thích hợp để A= c. Dù cho A > c thì cách viết cA  vẫn
hoàn toàn đúng về mặt lôgic.
Để làm cho học sinh sáng tỏ hơn điều này thì có thể sử dụng những ví dụ trong ngôn ngữ giao
tiếp hàng ngày, qua đó cho họ thấy rằng lôgic trong Toán học nhiều khi không giống như lôgic
trong Tiếng Việt, cho nên không phải bao giờ cũng lấy cách hiểu thông thường của Tiếng Việt để
rồi chuyển sang lĩnh vực Toán học.
Đương nhiên cũng không ít học sinh hiểu chắc chắn rằng: 2
33F  thì không hẳn giá trị lớn
nhất của F là 2
33 , thế nhưng họ lại có thể gặp khó khăn trong việc chuyển dịch sang bài toán
tương đương.
Bản chất của vấn đề này là học sinh không để ý tới giả thiết tam giác ABC không nhọn.
Lời giải đúng:
Vì ABC không nhọn nên không mất tính tổng quát ta giả sử A2BC 
 .
Ta có: 2
Acos22
CBsin22
CBcos2
CBsin2CsinBsin  (1)
(Vì 02
BAsin  và )12
CBcos 
Mà: 22
A
4A2

=> 22
Acos22
2
4cos2
Acos  (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2CsinBsin 
Mặt khác: 1Asin 
Do đó: 21CsinBsinAsinF 
49
Đẳng thức xẩy ra
















2A
4CB
2A
12
CBcos
1Asin
2CsinBsin
(Vì A,B,C là các góc của tam giác)
Vậy 21Fmax 
Ví dụ 8: Định dạng ABC, biết rằng: (*)Bsin
Asin
tgB
tgA
2
2

Học sinh lập luận như sau:
Dễ dàng nhận thấy tam giác không thể vuông tại A hoặc B (vì cosA0, cosB0
Ta có: (*) AsintgBBsintgA 22 
 AsinBcos
BsinBSinAcos
Asin 22 
 Acos.AsinBcos.BsinBcos
Asin
Bcos
Bsin 
 A2sinB2sin 
 BAA2B2 
 ABC cân tại C
Phân tích sai lầm:
Sai lầm của học sinh bắt đầu từ chỗ cho rằng
A2B2A2sinB2sin 
Dễ dàng thử thấy A2B2  thì )A2sin(B2sin 
Mà A2sin)A2sin(  , suy ra A2sinB2sin 
Cần sửa lại như sau:












2C
BA
2BA
BA
A2B2
A2B2A2sinB2sin
Vậy tam giác vuông tại C hoặc cân tại C
Ví dụ 9: Cho ABC với đường cao AH. Chứng minh rằng:
)CBsin(.AHCsin.Bsin.BC 
Ta có: BC= BH + HC
A
B CH
50
Csin.Bsin
)CBsin(AH
)Csin.Bsin
CsinBcosCcosBsin(AH
)Csin
Ccos
Bsin
Bcos(AH
)gCcotgB(cotAH
gCcotAHgBcotAH





=> )CBsin(AHCsin.Bsin.BC  (đpcm)
Phân tích sai lầm:
Nguyên nhân dẫn tới sai lầm là học sinh không biện luận hết khả năng hoặc không để ý tới điều
kiện của các góc trong một tam giác.
Cách lập luận của học sinh: BC= BH+HC chỉ đúng khi B và C nhọn, còn nếu B tù thì BC= CH-
BH
Nhiều học sinh khi giải toán cho tam giác bất kỳ nhưng thường vẽ tam giác nhọn mà không
qu`an tâm đến lời giải có phụ thuộc vào hình vẽ hay không.
Để khắc phục lời giải trên cần bổ sung trường hợp 90B  .
Đối với bài toán này có thể giải theo cách khác để khỏi phụ thuộc vào hình vẽ.
2.3. Kết luận chương 2
Trong chương 2, tôi đã đề cập đến các định hướng, một số biện pháp tích cực hóa hoạt động học
tập của học sinh trong giải bài tập Toán phần lượng giác.
Hình thức dẫn dắt học sinh theo hướng tích cực hóa hoạt động của người học, nhằm hiện thực
hóa việc thực hiện các biện pháp sư phạm trong những điều kiện thực tế của quá trình dạy học.
51
Chương 3
THựC NGHIệM SƯ PHạM
3.1. Mục đích thực nghiệm
Mục đích thực nghiệm là kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của những biện pháp sư phạm
đã được đề xuất.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại Trường PTTH QUỐC OAI
 Lớp thực nghiệm:11A6
 Lớp đối chứng :11A8
Trình độ hai lớp tương đương nhau, lớp 11A6 có 45 học sinh, lớp 11A8 có 46 học sinh.
Thời gian thực nghiệm được tiến hành từ tháng 9 đến tháng 11 năm 2010.
Giáo viên dạy lớp thực nghiệm: thầy giáo Nguyễn Quốc Huy.
Giáo viên dạy lớp đối chứng: thầy giỏo Nguyễn Đỡnh Tỳ.
3.2.2. Nội dung thực nghiệm
Thực nghiệm theo chủ đề .Sau khi dạy thực nghiệm,tôi cho học sinh làm bài kiểm tra.Sau đây
là nội dung bài kiểm tra:
Bài kiểm tra số 1: (Thời gian 45’,kiểm tra sau khi dạy bài “Các hằng đẳng thức lượng giác
cơ bản”).
Cho sin  3
1 .tính giá trị của các biểu thức sau:
A = 3cos2 + 4sin2 .
B = 2tg2+3cos2 .
Bài kiểm tra số 2: (Thời gian 45’, kiểm tra sau khi dạy xong chương I)
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = a8a6a4a2
a8a6a4a2
coscoscoscos
sinsinsinsin


b) B = a223
a221
sin
cos


Bài 2: a) Chứng minh rằng trong ABC,ta luôn có:
sin3A +sin3B+sin3C=- 4cos 2
A3 .cos 2
B3 .cos 2
C3 .
52
b) Hãy xác định dạng ABC biết:
sin(3A-3B)+sin(3B-3C)+sin(3C-3A)=0
Bài kiểm tra số 3: (Thời gian 15’ sau khi dạy bài “phương trình bậc nhất đối với sinx và
cosx”)
Giải phương trình lượng giác:
a) 3 sinx – cossx + 2 = 0
b) 3cosx +2 xsin =2
Bài kiểm tra số 4: (Thời gian 15’, kiểm tra sau khi dạy bài “phương trình đối xứng đối với
sinx và cosx”)
Cho phương trình:
2sin2x - 2 2m(cosx +sinx) + 2 -6m2 = 0
a) Giải phương trình khi m = 1
b) Xác định m để phương trình có nghiệm.
Bài kiểm tra số 5: (Thời gian 45’, kiểm tra sau khi dạy xong chương II)
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) cos3x + sinx –sin3x = 0
b) sin4x + cos4x – cos2x + sin22x = 2
c) sinx +cosx = 2 (2- sin3x)4
Bài 2: Cho phương trình:sinx +cosx = m xx1 cos.sin
a) Xác định m để phương trình có nghiệm.
b) Giải phương trình với m = 3
32
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
y= 4xx2
3x2x


sincos
sincos trong khoảng (- , )
3.3. Kết quả thực nghiệm
3.3.1. Kết quả đánh giá hoạt động học tập của học sinh ở lớp học
3.3.1.1. Đối với lớp dạy thực nghiệm
Hoạt động học tập của học sinh nhìn chung diễn ra khá sôi nổi, không gây cảm giác khó chịu.
Việc sử dụng các biện pháp đã kích thích được sự hứng thú của học sinh trong hoạt động giải toán.
Các em cảm thấy tự tin hơn và mong muốn tìm tòi khám phá. Học sinh bắt đầu ý thức được mỗi bài
toán trong sách giáo khoa còn ẩn sau nó nhiều vấn đề có thể khai thác. Một số học sinh khá giỏi đã
53
có khả năng tự học, tự nghiên cứu các vấn đề do giáo viên đề ra và nghiên cứu thêm các sách tham
khảo để hệ thống hóa, đào sâu kiến thức.
Tuy nhiên, một số dạng toán không gây được sự hứng thú cho học sinh trung bình và yếu do
vượt quá khả năng của các em.
3.3.1.2. Đối với lớp đối chứng
Hoạt động học tập ở lớp đối chứng chủ yếu là học sinh giải bài tập trong sách giáo khoa, giáo
viên sửa chữa sai sót nếu có, nếu còn thời gian thì làm một số bài tập ngoài sách giáo khoa do giáo
viên ra cho học sinh. Yêu cầu củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng được đảm bảo. Tuy nhiên, một
số học sinh thiếu tập trung do các bài tập này các em đã làm ở nhà và cảm thấy không có gì để khai
thác thêm. Các học sinh yếu kém hầu như chỉ học đối phó.
3.3.2. Kết quả kiểm tra
Bảng 1: Kết quả bài kiểm tra số 1
Điểm
Lớp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số bài
TN
(11a6) 0 0 1 4 5 6 7 9 7 6 45
ĐC
(11a81)
0 3 4 9 5 5 6 6 5 3 46
Kết quả:
Lớp thực nghiệm có 40/45 (88,89%) đạt trung bình trở lên, trong đó 29/45 (64,44%) đạt khá
giỏi.
Lớp đối chứng có 30/46 (65,22%) đạt trung bình trở lên, trong đó 20/46 (43,48%) đạt khá
giỏi.
Bảng 2: Kết quả bài kiểm tra số 2
Điểm
Lớp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số bài
TN
(11A6) 0 0 2 4 3 8 11 9 5 3 45
ĐC
(11A8) 0 3 4 8 10 8 7 4 2 0 46
Kết quả:
54
Lớp TN có 39/45 (86,67%) đạt trung bình trở lên, trong đó 28/45 (62,22%) đạt khá giỏi.
Lớp ĐC có 31/46 (67,39%) đạt trung bình trở lên, trong đó 13/46 (28,26%) đạt khá giỏi.
Bảng 3: Kết quả bài kiểm tra số 3
Điểm
Lớp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số bài
TN
(11A6) 0 1 0 2 7 10 11 3 8 3 45
ĐC
(11A8) 0 1 2 3 9 12 8 7 3 1 46
Kết quả:
Lớp TN có 42/45(93,33%) đạt trung bình trở lên, trong đó 25/45 (55,56%) đạt khá giỏi.
Lớp ĐC có 40/46(86,96%)đạt trung bình trở lên, trong đó 19/46 (41,30%) đạt khá giỏi.
Bảng 4: Kết quả bài kiểm tra số 4
Điểm
Lớp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số bài
TN
(11A6) 0 0 1 1 6 12 10 4 7 4 45
ĐC
(11A8) 0 1 1 4 8 13 7 5 5 2 46
Kết quả:
Lớp TN có 43/45(95,56%) đạt trung bình trở lên, trong đó 25/45 (55,56%) đạt khá giỏi.
Lớp ĐC có 40/46(86,96%) đạt trung bình trở lên, trong đó 19/46 (41,30%) đạt khá giỏi.
55
Bảng 5: Kết quả bài kiểm tra số 5
Điểm
Lớp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số bài
TN
(11A6) 0 0 2 3 3 9 9 9 8 2 45
ĐC
(11A8) 1 2 2 6 14 10 3 4 4 0 46
Kết quả:
Lớp TN có 40/45(88,89%) đạt trung bình trở lên, trong đó 28/45 (62,22%) đạt khá giỏi.
Lớp ĐC có 35/46(76,09%) đạt trung bình trở lên, trong đó 11/46 (23,91%) đạt khá giỏi.
3.3.3. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm
Qua quan sát hoạt động dạy học và kết quả thu được qua đợt thực nghiệm sư phạm cho thấy:
- Tính tích cực hoạt động của học sinh lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng.
- Nâng cao trình độ nhận thức, khả năng tư duy cho học sinh trung bình và một số học sinh yếu
ở lớp thực nghiệm, tạo hứng thú và niềm tin cho các em, trong khi điều này chưa có ở lớp đối chứng.
- Cả năm bài kiểm tra cho thấy kết quả của lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng, đặc biệt là
loại khá và giỏi. Nguyên nhân là do học sinh ở lớp thực nghiệm ngoài việc luôn học tập trong hoạt
động còn được phát triển kiến thức thông qua các biện pháp sư phạm được xây dựng ở chương II.
Từ những kết quả trên chúng tôi đi đến kết luận: Việc xây dựng các biện pháp sư phạm đã có
tác dụng tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, tạo cho các em khả năng tìm tòi và giải quyết
vấn đề một cách độc lập, sáng tạo, nâng cao hiệu quả học tập, góp phần nâng cao chất lượng dạy học
môn toán ở trường phổ thông.
Như vậy, mục đích của thực nghiệm đã đạt được và giả thuyết khoa học nêu ra đã được kiểm
nghiệm.
56
C. KẾT LUẬN CHUNG
Quá trình nghiên cứu đã dẫn đến những kết quả chủ yếu sau:
1.Đã hệ thống hóa quan điểm của một số nhà khoa học về hoạt động trong học tập và tính tích
cực hóa hoạt động học tập, làm cụ thể hơn các công thức về tính tích cực.
2.Làm rõ một số khía cạnh cơ bản,vị trí và chức năng của bài tập toán trong việc thực hiện dạy
học môn toán ở trường phổ thông
3. Đã đưa ra 4 định hướng và xây dựng được 6 biện pháp sư phạm nhằm tích cực hóa hoạt động
học tập của học sinh
4. Bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm đã đề xuất
bằng thực nghiệm sư phạm.
5. Sỏng kiến có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán ở trường THPT.
Những kết quả rút ra từ nghiên cứu lý luận và thực nghiệm đã chứng tỏ giả thuyết khoa học là
chấp nhận được, nhiệm vụ nghiên cứu đã hoàn thành.
57
Tài liệu tham khảo
1. Lê Quang ánh, Lê Quí Mậu (2000), Phương pháp giải toán lượng giác 11, Nxb Đà Nẵng.
2. Nguyễn Vĩnh Cận, Vũ Thế Hữu, Trần Chí Hiếu (1999), Các chuyên đề toán PTTH lượng giác 11,
Nxb Giáo dục.
3. Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (2004), Sai lầm phổ biến khi giải toán,
Nxb Giáo dục, Hà Nội.
4. Phan Dức Chính, Vũ Dương Thuỵ, Đào Tam, Lê Thống Nhất (1993), Các bài giảng luyện thi môn
Toán, Nxb Giáo dục.
5. Hoàng Chúng (1968), Rèn luyện khả năng sáng tạo ở trường phổ thông, Nxb Giáo dục.
7. Nguyễn Đức Đồng (2000), Tuyển tập 599 bài toán lượng giác chọn lọc, Nxb Hải Phòng.
9. Nguyễn Thái Hòe (1989), Tìm tòi lời giải các bài toán và ứng dụng vào việc dạy toán, học toán.
Nxb Giáo dục.
12. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Giáo dục.
14. Trần Thành Minh, Trần Quang Nghĩa, Lâm Văn Triệu, Dương Quốc Tuấn (2004), Giải toán
lượng giác, Nxb Giáo dục.
15. Đặng Thị Dạ Thuỷ (1999), Phát huy tính tích cực của học sinh trong làm việc với SGK, NCGD.
19. Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Tập cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu toán học,
Nxb Giáo dục.
58
Mục lục
Trang
A. PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................... ....................2
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................................ 2
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................. 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................................. 3
4. Giả thuyết khoa học ................................................................................................... 3
5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................ 3
6. Đóng góp của đề tài .................................................................................................... 3
B. PHẦN NỘI DUNG............................................................................................... 4
Chương 1: Cơ sở lý luận.......................................................................................... 4
1.1. Hoạt động ............................................................................................................... 4
1.2. Hoạt động học tập ................................................................................................... 4
1.3. Tính tích cực học tập của học sinh .......................................................................... 6
1.4. Về phương pháp dạy học phát huy tính tích cực của học sinh ................................ 7
1.5. Dạy học giải bài tập ................................................................................................ 8
1.5.1. Vị trí và chức năng của bài tập toán học ....................................................... 8
1.5.2. Những yêu cầu chủ yếu của lời giải bài tập .................................................. 8
1.5.3. Dạy học sinh phương pháp giải bài toán ....................................................... 9
1.6. Kết luận chương 1.................................................................................................... 9
Chương 2: Một số biện pháp tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh trong giải bài
tập toán phần lượng giác .................................................................... 10
2.1. Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp ................................................ 10
2.1.1. Định hướng 1 ............................................................................................... 10
2.1.2. Định hướng 2 ............................................................................................... 10
2.1.3. Định hướng 3 ............................................................................................... 10
2.1.4. Định hướng 4 ............................................................................................... 10
2.2. Một số biện pháp tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh trong giải bài tập toán
phần lượng giác ........................................................................................................... 11
2.2.1. Biện pháp 1 .................................................................................................. 11
2.2.2. Biện pháp 2 .................................................................................................. 15
2.2.3. Biện pháp 3 .................................................................................................. 20
2.2.4. Biện pháp 4 .................................................................................................. 26
2.2.5. Biện pháp 5 .................................................................................................. 29
59
2.2.6. Biện pháp 6 .................................................................................................. 42
2.3. Kết luận chương 2........................................................................................... 50
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm ....................................................................... 51
3.1. Mục đích thực nghiệm........................................................................................... 51
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm ......................................................................... 51
3.3. Kết quả thực nghiệm.............................................................................................. 52
3.3.1. Kết quả đánh giá hoạt động học tập của học sinh ở lớp học....................... 52
3.3.2. Kết quả kiểm tra........................................................................................... 53
3.3.3. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm ..................................................... 55
C. Kết luận CHUNG ............................................................................................ 56
Tài liệu tham khảo ........................................................................................................ 57