Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán về phần nguyên và ứng dụng của phần nguyên

A. Đặt vấn đề
 Chương trình môn toán trong trường THCS hiện nay với yêu cầu quan trọng là dạy cho học sinh những kiến thức cơ bản và kỹ năng cần thiết đảm bảo được mục tiêu của việc dạy toán, học toán. Chương trình môn học cũng tạo nhiều điều kiện để những học sinh khá, giỏi có thể học tập tốt, và trở thành những học sinh giỏi toán.
 Toán học cũng có những đặc trưng riêng về kiến thức và kĩ năng. Vì thế cả giáo viên và học sinh cần phải có năng lực và phương pháp để biết tổng hợp những dạng toán cơ bản thành những chuyên đề toán hay có thể áp dụng trong nhiều kiểu dạng của toán từ lớp 6 đến lớp 9 và cho cả các lớp học sau.
 Có những dạng toán có rất nhiều trong chương trình, học sinh dễ phân biệt, dễ ứng dụng nhưng có những dạng lại có rất ít bài tập mà ứng dụng của nó lại rất nhiều, nhất là đối với học sinh khá giỏi. Toán về phần nguyên là một trong những dạng đó - Lượng bài tập ít lại không hệ thống nên cả giáo viên và học sinh không có điều kiện để hiểu và áp dụng thành thạo như những dạng toán thông thường khác. Hơn nữa trong chương trình và SGK mới hiện nay toán về phần nguyên không được đề cập đến nhưng trong các loại sách bài tập, các loại sách chuyên đề và nhất là trong các kỳ thi HSG, thi tuyển sinh vào các trường chuyên lại rất hay gặp dạng toán này. Vì vậy việc nhận biết các bài toán để sử dụng tính chất phần nguyên, đặc điểm phần nguyên thành thạo sẽ giúp các em rất nhiều trong việc học toán nói chung và toán có lồng ghép phần nguyên nói riêng.
 Tôi vẫn cho rằng toán về phần nguyên là dạng toán hay, có ứng dụng rộng cho dù ở bậc THCS còn sử dụng ít nhưng nó lại là một trong những nền tảng cơ bản cho việc học toán và trở thành HSG toán - Với tất cả những lý do trên nên sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy và tham gia bồi dưỡng HSG tôi đã chú ý tập hợp và phân loại các dạng toán trong đó có bài toán về phần nguyên, từ đó hình thành cho các em những kĩ năng về loại toán này để học sinh chủ động trong việc học tập, nhất là để áp dụng việc đổi mới phương pháp dạy học như hiện nay. Sử dụng thành thạo toán về phần nguyên học sinh có thêm một phương pháp học toán, một kĩ năng hay một công cụ để giẩi toán, nhất là giải bài toán liên quan đến số nguyên.
 Trong phạm vi đề tài này tôi đề cập đến những nội dung sau:
 - Nhắc lại lý thuyết cơ bản.
 - Giới thiệu các dạng toàn từ cơ bản đến nâng cao gồm:
 + Toán về tìm phần nguyên của một số.
 + Toán chứng minh một hệ thức về phần nuyên.
 + Toán về giải phương trình có phần nguyên.
 + Các bài toán khác mà cách giải nhờ áp dụng phần nguyên.
 Trong mỗi dạng đều có bài tập ứng dụng, bài tập tự luyện với mức độ từ cơ bản đến đến nâng cao, từ một đến nhiều ứng dụng trong nhiều bài toán để học sinh luôn có được kỹ năng cho từng dạng, từ đó thấy được cái hay, cái đẹp của toán phần nguyên cho dù một số người vẫn cho rằng đây là loại toán khó, ứng dụng ít ở bậc THCS.
 Không có tham vọng đưa ra những sáng kiến mới mà qua thực tế giảng dạy, bằng kinh nghiệm và tâm huyết nghề nghiệp, tôi xin trao đổi với đồng nghiệp và giới thiệu với các em học sinh một số bài toán về phần nguyên và ứng dụng của phần nguyên mà tôi đã tập hợp trong những năm qua.
B. Nội dung
I. Tóm tắt lý thuyết
 Định nghĩa: 
- Phần nguyên của một số thực x, ký hiệu là số nguyên lớn nhât không vượt quá x 
 hay là số nguyên thoả mãn: x-1 x
- Phần lẻ của một số x, Ký hiệu là số: x- Do đó: o 1
 Ví dụ: = 3 ; = 3 ; = 0,45 
 = 0; = - 4 ; = 0,55 
 Tính chất:
- Nếu n Z và n x n +1 thì = n
- = = 0
- Nếu x y thì 
- = n+, với mọi n Z
- = , với mọi n Z
II. Bài toán minh họa
 Một số bái toán về tìm phần nguyên của một số 
 Bài 1: Tìm biết: x - - 2 x
Hướng làm: 
 Từ điều kiện bài ra ta có: x - 2 + x - 1 
 - 2 x - 1 = - 2
 Bài 2: Tìm biết : x - 5 x + 0,5
Hướng làm:
 Từ điều kiện bài ra ta có: - 5,5 x - 5 = - 6
 Bài 3: Tìm biết:
 x = + + + . . .+ 
Hướng làm: Ta có
x = (1 - ) + ( - ) + ( - ) + . . . + ( - ) = 1 - 
 0 x 1 = 0
 Bài 4: Tìm biết:
 x = 1 + + + + . . .+ 
Hướng làm: Ta có:
 = 2( - )
 = 2( - )
 2( - ) 2( - ) 
Cho n nhận các giá trị từ 2 đến 10 
Ta được:1 + 2( - ) x 1 + 2( - 1) = 1999
mà: 1 + 2( - ) 1 + 2000 - 22001 - 3 = 1998
 1998 x 1999 = 1999
 Bài 5: Tìm biết:
 x = , (với n dấu căn)
Hướng làm:
 Ta có: 1 x và: 
 Quá trình này được thực hiện nhiều lần ta được: 2 1 x 2 = 1
 Cùng với cách làm này ta có các bài toán sau:
 Bài 6: : Tìm biết:
 x = 
 x = 
 x = 
 x = + 
 x = + + + . . . .+ 
 Bài 7: Tìm biết:
 x= , (với n dấu căn)
Hướng làm:
 Ta cần chỉ ra số nguyên y sao cho: y x y +1 để: = y
Thật vậy ta có: (4n + 1) 16n + 8n + 3 (4n + 2)
 4n + 1 4n + 2
 4n + 4n +1 4n +4n + 4n +2 4n + 8n + 4
 2n + 1 2n + 2 = 2n + 1
 Bài 8: Tính tổng sau: 
 S = + + + . . . +
Hướng làm:
Ta có: n n+ k (n + 1), với mọi giá trị k từ: 0 đến 2n
 + + . . .+ = n(2n + 1) = 2n+ n
 S = ( + + . . . +) = +
 S = 
 Tương tự bài này ta có các bài toán sau:
 Bài 9: Tính tổng sau:
 S = + + + . . . +
 Bài 10: Tìm các số nguyên tố: x,y thoả mãn:
 + + + . . . + = y
 Bài 11: Chứng minh rằng:
 + + +. . .+ 
 Chia hết cho: 1004 . 2009
 Bài 12: Tính tổng sau:
 S = + + + . . .+ 
Hướng làm:Ta có: 
n(n+1)(n+2)(n+3) =(n+3n)( n+3n +2) =(n+3n)+2(n+3n)
(n+3n) n(n+1)(n+2)(n+3) ( n+3n + 1)
 n+3n n+3n + 1
 = n+3n
 S = (1+ 2+ . . .+ n)+3(1 + 2 + . . .+ n) 
 S = + 
 Tương tự ta có bài toán sau:
 Bài 13: Tính tổng sau:
 S = + + + . . . + 
Trong đó: a,m nguyên dương, nguyên tố cùng nhau
 còn b là số nguyên bất kỳ
 Một số bài toán về chứng minh
 Bài 14: Chứng minh rằng, với mọi số nguyên n ta có:
 = n + 
Hướng làm:
 Ta biểu thị: x = + = , mà: o 1
Còn: n + là số nguyên nên = n + 
 Hay: = n + 
 Bái 15: Chứng minh rằng, với mọi x,y ta có:
 + + + 1
Hướng làm: 
 Ta biểu thị: x = + và: y = + 
 x + y = + + + 
mà: o + 2 + + + 1
 Bài 16: Cho n là số nguyên dương, chứng minh:
 += n
Hướng làm:
- Xét n là số chẵn ( n = 2k ) thì: += + = 2k = n
- Xét n là số lẻ(n=2k+1) thì: +=+ =2k+1 = n
Vậy ta luôn có: += n
 Bài 17: Cho n là số tự nhiên, chứng minh:
 = 
Hướng làm:
Nếu Khi đó sẽ tồn tại số tự nhiên m sao cho:
 m +1 m 
 4n + 1m 4n + 2 m= 4n + 2 
(vô lý vì số chính phương chia cho 4 không thể dư 2)
 Vậy ta luôn có: = 
 Bài 18: Cho n là số tự nhiên, chứng minh:
 = 
Hướng làm:
Trước hết ta chứng minh: + 
Từ đó 
Mà từ kết quả bài số 17: = Ta có đpcm
 Bài 19: Cho n là số tự nhiên, chứng minh
 = 
Hướng làm::
Trước hết bằng phép biến đổi tương đương ta chứng minh:
 + 
Nhưng nếu tồn tại n sao cho: 
Khi đó sẽ tồn tại số tự nhiên m sao cho:
 + m 
 ( + ) m ()
 2 m - (126n + 1) 126n + 1
 4.63n.(63n + 1) [m - (126n + 1)] (126n + 1)
 126n + 2.126n [m - (126n + 1)] 126n +2.126n + 1
Vì giá trị các biểu thức này là số tự nhiên nên:
 [m - (126n + 1)] = (126n + 1)
 m - (126n + 1) = 126n + 1 m= 252n + 2 
( Vô lý vì một số chính phương chia cho 4 không thể dư 2). 
 Vậy không thể có số tự nhiên n thoả mãn:
 = với mọi n
 Tương tự với cách làm này ta có bài toán sau:
 Bài 20: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có:
 a, = 
 b, = 
 Bài 21: Chứng minh rằng:
 + = , (với x là số thực bất kỳ)
Hướng làm:
Xét: = = + = 
Còn: = = 2 + = 2Từ đây ta có đpcm
Xét tương tự với: 1
 Vây ta luôn có: + = , với x là số thực bất kỳ
 Bài 22: Chứng minh rằng: 
 + + + . . + = 
Hướng làm: 
 Ta chọn số tự nhiên k sao cho: a + x a + 
với a nguyên ( 0kn )
 = a và : + + +. . . + = ( n - k + 1)a
Còn: + + . . + = ( k - 1)(a + 1)
VT = ( n - k + 1)a + ( k - 1)(a + 1) = na + k - 1
 VP = = na + k - 1 
( vì từ cách chọn k ta có: na + k - 1 na na + k )
Vậy VT = VP hay: + + + . . + = 
 Bài 23: Tính tổng: S = ++++ . . .
Hướng làm:
 Ap dụng kết quả bài tập 21 Ta có:
 = - S = - , mà với k đủ lớn thì: = 0
 Vậy tổng: S = 
 Tương tự với cách làm này ta có bài toán sau:
 Bài24: Tính tổng sau:
 S = + + +. . . 
 Bài 25: Chứng minh rằng:
 m m + m - 1 
 (với mọi giá trị m nguyên dương)
Hướng làm: 
Với: x = + mà: m 0
Khi đó: = = m + 
Vì: 0 m m 0 m - 1 
 m m + m - 1, với mọi giá trị m nguyên dương
 Bài 26: Chứng minh rằng : Không tồn tại x thoả mãn:
 + + +.....+ = 313096
Hướng làm:
 Đặt: S = + + +.....+ , áp dụng kết quả bài 25 
 Cho m nhận các giá trị từ 1 đến 100 rồi cộng lạ ta được: 
 5050 S 5050 + 4950
 61,02 61,99 
 Điều này chứng tỏ không có x thoả mãn
 Tương tự ta cũng có bài toán sau:
 Bài 27: Chứng minh rằng, không tồn tại x thoả mãn:
 + + + + + = 12345 
 Bài 28: Chứng minh rằng , không tồn tại x thoả mãn:
 + + +. . . + = k - 1, (với: n 1; k )
 Một số bài toán về giải phương trình
 Bài 29: Giải phương trình:
 = - 4
Hướng làm: 
 Từ phương trình - 4x + 0,7- 3 - 4,7x - 3,7
 Bài 30: Giải phương trình:
 + + = 4
 Hướng làm: 
 Sử dụng kết quả bài toán14: = n + , ( nZ )
 Với mọi giá trị n nguyên ta có: 
 + + = 6 + 3 3 + 6 = 4 
 = - vô lý hay không có x thoả mãn
 Bài 31: Giải phương trình:
 4 =3x
Hướng làm: 
 Từ đặc điểm phương trình ta có: 3x Z x =, ( k Z )
= k = k = 0 k = 0; 1; 2 
 x = 0; ; 
 Bài 32: Giải phương trình:
 = 
 Hướng làm : 
 Đặt: = t, ( t ) x = = t 
 0 - t 1 - t 
Do: t nguyên t = {0; 1 } x = ; }
 Bài 33: Giải phương trình:
 + = 
 Hướng làm: 
 Đặt: = y x = Thay vào phương trình đã cho
 ta được: + = = 
Giải tương tự như bài 32 ta được: y =- ; - ; ; ; 1 
 Nghiệm phương trình là: S = - ; ;;; 2
 Bài 34: Giải phương trình:
 . = x - 1
Hướng làm: 
 Phương trình được biến đổi thành: . = + - 1
 ( - 1 ) ( - 1 ) = 0, do: - 1 0 
 Nên: - 1 = 0 = 1 1 x 2
 Bài 35: Giải phương trình:
 x - 3= 2
Hướng làm: 
 Đặt: x = a + , ( a = )
Phương trình đã cho trở thành: 3 = a - 2 = 
 a =3k + 2, ( k Z ). = k = k
 0 1 - 2 k + 0 k = - 1; - 2 
 x = - 1 + ; - 4 + ,( Hay: - 1 x 0; Hoặc: - 4 x - 3) 
 Bài 36: Giải phương trình:
 = 
Hướng làm: 
 Đặt: x = a + , ( a = )
 = = a - 1
và: = = = a - 1 + 
 0 1 2 + a 4 + 
0 a - 2 2 + 3
 a - 2 = 1; 2 a = 3; 4 ,Vậy: 3 x 5
 Bài 37: Giải phương trình:
 x= 2x + 
Hướng làm: 
 Phương trình được biến đổi thành = x( x - 2 )
+ Xét: x 2 - x 0 = { 0; - 1 }
 Nếu: = 0 x = 0
 Nếu: = - 1 x = - 1
+ Xét: x 2 0 x x.( x - 2 ) = 1 
 x - 2 1 x x 
 = 1 x = 
 Bài 38: Giải phương trình:
 x - = 3
Hướng làm:
 Phương trình được biến đổi thành:
 x - ( x - ) = 3 x - x = 3 - 2 x - x 3
Nếu: x 2 x - x = x ( x- 1 ) 6 3 ( loại )
Nếu: x - 1 x- 1 0 x - x = x ( x - 1 ) 0 2 ( loại )
Nếu: -1 x 0 x - x - x 1 2 ( loại )
Nếu: 0 x 1 x - x x 1 2 ( loại )
 Vậy: 1x 2 = 1 x = 4 x =
 Bài 39: Giải phương trình:
 = 
Hướng làm: 
Ta có: x 0 0
Còn: - x + 3x = - ( x - )+ - x + 3x 2
 = = n = 0 ; 1 ; 2 }
Nếu: n = 0 0 x 
Nếu: n = 1 x 1
Nếu: n = 2 x 
Vậy: S = [ 0 ; ) [ ; 1) [ ; )
 Tương tự ta có các bài toán sau:
 Bài 40: Giải các phươg trình sau:
 a. - = 7
 b. = 
 c. = 
 d. = 
 e. + = 
 g. = x
 h. - = 
 i. 1 - = 
 j. - - 2 = 0
 k. x - 8 + 7 = 0
 l. x - = 2
 Một số bài toán khác
 Bài 41: Chứng minh: là số lẻ, (với n N )
Hướng làm: 
 Đặt: x,y là hai nghiệm của phương trình bậc hai: X - 4X + 1 = 0 . Đặt: S= x + y ta có:
x - 4x + 1 = 0 x - 4x + x = 0
y- 4y + 1 = 0 y - 4y + y = 0
Cộng hai vế các kết quả ta có: S - 4S + S = 0
 Do: S= 2 ; S = 4 Sluôn là số nguyên chẵn 
mà: 0 2 - 1
 0 x1 y + ( x - 1) y x + y S - 1 y S
 = S - 1, hay: là số lẻ, với mọi số tự nhiên n
 Bài toán này có thể thay bằng bài sau: Chứng tỏ rằng chữ số hàng đơn vị trong biểu diễn thập phân của số (2 + ) là số lẻ
 Bài 42: Tìm hai chữ số tận cùng của:
Hướng làm:
Đặt: x = ( - ) = 50 - 2
 y = ( + ) = 50 + 2
Thì x, y là hai nghiệm của phương trình: X- 100X + 64 = 0
Với: S= x + y, tương tự như bài 41 ta có:
S - 100S + 64S = 0 và: = S - 1 suy ra:
S=100S- 64S36 S6 S6S. . . 6S (mol 100)
 S6. 2 (mol 100), 
Nhưng: 6=(6)7676 (mol 100) S52 (mol 100). 
 Vậy: có hai chữ số tận cùng là: 51
 Bài toán này có thể thay bằng bài sau: Tìm các chữ số hàng chục và hàng đơn vị trong biểu diễn thập phân của số: ( + )
 Bài 43: Tìm các chữ số đứng ngay trước và sau dấu phẩy trong biểu diễn thập phân của : ( + )
Hướng làm:
Ta có: ( + ) = (5 + 2) = a + b
(với a, b là số nguyên)
 ( - ) = a - b ( + ) + ( - ) = 2a 
Mặt khác: 0 (5 - 2)1 
 = 2a - 1 = 2() - 1 
 2 C - 1 (mol 10) 
 1 (mol 10) có chữ số tận cùng là: 1 
Hay chữ số ngay trước dấu phẩy của: ( + ) là: 1
Mặt khác: Từ ta có: = 1 - 
 1 - (5 - 2)1 - = 0,9 0,9
 Vậy chữ số ngay sau dấu phẩy của : ( + ) là: 9
 Bài 44: Chứnh minh rằng: 
 Có n chữ số giống nhau ngay sau dấu phẩy
Hướng làm:
Ta có: ( 5 + ) = a + b ; ( 5 - ) = a - b 
 ( với a, b nguyên)
 ( 5 + ) + ( 5 - )=2a
Do: 0 (- 5) Mà: + = 1 nên
Với n chẵn thì: = 1- = 1 - (- 5) 1 - 
 0,999. . .99 ( n chữ số 9 sau dấu phẩy)
Với n lẻ thì: = 1 - = = (- 5)
 = 0,000. . .001 (n chữ số 0 sau dấu phẩy)
Vậy ta có: Có n chữ số giống nhau ngay sau dấu phẩy
 Bài này có thể thay băng bài: Tìm n chữ số ngay sau dấu phẩy trong biểu diễn thập phân của số: ( 5 + )
 Bài 45: Với p là số nguyên tố lớn hơn 2
 Chứng minh: - 2 chia hết cho p
Hướng làm:
Ta có: (2 + )+ (2 - )= 2a = (2 + )- ( - 2)
Trong đó a là số nguyên và: 0 ( - 2) 1 
nên: =2a = 2() = 2 + 2()
Mà:C luôn chia hết cho p với mọi giá trị k từ 1 đến 
 2 (mol p), hay: - 2 chia hết cho p
 Bài 46: Tìm số mũ của 2 trong dạng PTTC của:
Hướng làm:
Ta có: (1 + ) = a + b và: (1 - ) = a - b
Với: a,b nguyên và: a - 3b = (- 2)
+ Với n chẵn thì: (1 + )+ (1 - ) = 2a, do: ( - 1) 1
 = 2a - 1 
 hay Số mũ của 2 trong dạng PTTC của là 0
+ Với n lẻ (n = 2k + 1) (1 + )= 2(1 + )(2 +)
Do: (2 +)+ (2 -)= x + y, với x,y nguyên, x- 3y= 1
nên x,y khác tính chẵn lẻ . Do đó x + 3y là số lẻ, ta tính được: 
a = (x + 3y) 2 = 2a = 2(x + 3y)
Nên Số mũ của 2 trong dạng PTTC của là: k + 1 = 
 Bái 47: Cho dãy các số: x; x; x; x;. . .x;. . . 
 Được xác định bởi công thức:x = - 
 Hỏi trong 200 số:x; x; x; x;.. . . x
 có bao nhiêu số khác 0 ?
Hướng làm: 
 Ta cố: - - ( - 1) = + 1 2 0 x 1
Vì: x; x; x; x;.. . . x Chỉ nhận giá trị: 0 hoặc 1 
nên số các số khác 0 là:
 = - + - + . . . + - = 
Mà 141 100 142 = 141
 Vậy có tất cả 141 số khác 0
 Tương tự ta có các bài toán sau:
 Bài 48: Chứng minh rằng: Số (5+) viết trong hệ thập phân có ít nhất 100 chữ số 0 đứng ngay sau dấu phẩy
 Bài 49: Chứng minh rằng: luôn tồn tại số tự nhiên n :
 (2+)- Lớn hơn: 0,999999
 Bài 50: Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá: (4+)
 Bài 51: Cho số nguyên dương a, xét tất cả các số có dạng:
 a + 15: a + 30: a + 45: . . .: a + 15k: . . .
 Chứng minh rằng trong tất cả các số đó tồn tại một số mà hai 
 chữ số đầu tiên là: 96
 áp dụng định lý: Lơgiăngđrơ: Trong khai triến số: n!
 ( n là số tự nhiên lớn hơn:1) ra thừa số nguyên tó thì thừa sồ nguyên tố: p có số mũ là:
 +++. . . .
 Ta có các bài toán sau:
 Bài 52: Tìm tất cả các số nguyên tố biểu diễn được dưới dạng:
 ; ;. . .
 Bài 53: Trong biểu diễn thập phân các số sau:
 a. 100! có tận cùng bao nhiêu chữ số 0 ?
 b. ((3!)!)! có tận cùng bao nhiêu chữ số 0 ?
 Bài 54: Chứng minh rằng:
 a. Là số tự nhiên
 b. Là số tự nhiên
 c. Với n nguyên dương, 
 Hỏi n! có chia hết cho 2 không ?
 d. Số: C Có chia hết cho 7 không ?
 Bài 55: Cho A = Với n là số tự nguyên dương
 Chứng minh rằng: Trong dãy các số: A; 2A; 2A; 2A; . . 
 Đén một vị trí nào đó trở đi thì các số hạng đều là số nguyên. 
C. Phần kết luận
 Một bài toán có thể có nhiều cách giải tuỳ vào sự nắm vững kiến thức để lựa chọn cách giải hay nhất. Việc nắm vững kiến thức về phần nguyên để từ đó biết dùng phần nguyên trong giải toán cũng là một trong nhiều cách làm bài tập của học sinh. Việc dùng kiến thức về phần nguyên để giải toán không những tiện lợi mà nó còn góp phần tăng cường việc sử dụng kiến thức phổ thông, gây hứng thú trong học tập cho học sinh. Qua đó tôi nhận thấy học sinh đã tự tin hơn khi áp dụng các kiên thức đã học vào tìm tòi để có lời giải, cách giải hay, hợp lý cho những bài toán.
 Dạy toán là giúp cho học sinh có được kiến thức phổ thông qua đó có được kĩ năng, hình thành phương pháp, gây được sự hưng phấn trong học tập, từ đó có quyết tâm phấn đấu trở thành học sinh khá giỏi. Nắm vững kiến thức về phần nguyên và biết dùng phần nguyên để giải toán là một trong những mong muốn đó và hơn nữa đây là loại toán mà tôi đã từng áp dụng trong suốt nhiều năm qua - luôn thấy mới mẻ luôn tìm ra cái hay trong đó và thấy rất nhiều ứng dụng của dạng toán này. 
 Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng và cũng đã qua thực tế áp dụng nhưng chắc chắn không tránh khỏi những sai sót và hạn chế nhất định. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp để nội dung đề tài trọn vẹn hơn, áp dụng thiết thực hơn. Hy vọng đưa dạng toán phần nguyên trở thành một trong những chuyên đề toán hay trong chơng trình toán học THCS.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
 Diễn Châu, tháng 5 năm 2008
 Người thực hiện
 Phạm Quang Thăng
 ( Phó hiệu trưởng trường THCS Cao Xuân Huy )