Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán thường gặp về đồ thị

độ giao điểm: 
+ cắt tại A, B, C Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
+ Với điều kiện trên, phương trình (*) luôn có 2 nghiệm . Gọi 
+ Chiều cao của hạ từ đỉnh M đến BC là: 
+ 
+ Đối chiếu điều kiện, ta được kết quả: .
Bài tập 6. Cho hàm số (C). Xác định m để đường thẳng (d): y = 2x +m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho .
Gợi ý giải:
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): 2x2 + mx + m + 2 = 0, (x ≠ -1) 
+ Đặt: g(x) = 2x2 + mx + m + 2 
+ (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt Û Phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1 
 Û m2 - 8m - 16 > 0 (*)
+ Gọi A(x1; 2x1 + m), B(x2; 2x2 + m). Ta có x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình g(x) = 0.
Theo ĐL Vi-ét, ta có: .
AB2 = 5 Û Û Û m2 - 8m - 20 = 0
Û m = 10, m = - 2 (thỏa mãn (*))
Đối chiếu điều kiện (*), ta có kết quả: m = 10, m = - 2.
Bài tập 7. Cho hàm số (H). Xác định m để đường thẳng (d): y = x + m cắt đồ thị hàm số (H) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho .
Gợi ý giải:
+ Phương trình hoành độ giao điểm: 
 (*)
+ Đặt: 
+ (d) cắt (H) tại 2 điểm phân biệt Û Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
+ Với điều kiện trên, phương trình (*) luôn có hai nghiệm . Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (H), ta có: 
 (Áp dụng định lý Vi-ét vào phương trình (*))
+ Đối chiếu điều kiện, ta được kết quả: 
Bài tập 8. Cho hàm số . Xác định m để đường thẳng cắt (C) tại 4 điểm A, B, C, D sao cho hoành độ của chúng lập thành một cấp số cộng.
Gợi ý giải:
+ Gọi .
+ Do đồ thị (C) nhận trục tung làm trục đối xứng nên 
Và vì lập thành CSC nên và 
+ Vì nên:
(loại, vì khi đó B trùng với C)
 + Với ta có: là giá trị cần tìm.
Bài tập 9. Cho hàm số y = Tìm m để đường thẳng (d): y = -2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng (O là gốc tọa độ).
Gợi ý giải:
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) là:
+ Đặt: 
+ Đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác -1
Suy ra, với mọi m phương trình (*) luôn có hai nghiệm nên đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt .
Cách 1: 
+ Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (C), ta có: 
+ Chiều cao hạ từ đỉnh O đến AB là: 
+ 
+ Vậy, giá trị cần tìm là: .
Giáo viên hướng dẫn cách chứng minh công thức:
Ta có: 
 Tổng quát: 
Cách 2. Ta có:
Giáo viên lưu ý: Học sinh thường mắc sai lầm 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 9x - 1 (C)
a) Khảo sát hàm số.
b) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(2; 1) và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.
Bài 2. Cho hàm số . Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.
Bài 3. (ĐH 2010-A) Cho hàm số y = (1), m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn điều kiện 
Bài 4. Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H)
Xác định m để đường thẳng: y = -x + m cắt (H) tại 2 điểm phân biệt.
Bài 5. Cho hàm số 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 6. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm tạo thành 1 cấp số cộng.
Bài 7. Tìm m để hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm lập thành cấp số nhân.
Bài 8. Tìm m để hàm số cắt Ox tại 4 điểm tạo thành cấp số cộng.
Bài 9. Cho hàm số: (Cm) 
a.) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
b.) Xác định m để đường thẳng cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt A(0;4), B và C sao cho tam giác BCM có diện tích bằng , với M(1;3)?
Bài 10. Cho hàm số: y = (C)
a) Khảo sát hàm số.
b) Gọi d là đường thẳng đi qua I(2; 0) và có hệ số góc m. Xác định m để d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho I là trung điểm của đoạn AB. Đáp số: m = 2/3
Bài 11. Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H)
Viết phương trình đường thẳng cắt (H) tại B, C sao cho B, C cùng với điểm tạo thành tam giác đều.
Phần 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN VÀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN
BÀI TẬP:
Bài tập 1. Cho hàm số (Cm). Xác định m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với trục Oy chắn trên hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8.
Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của các bài toán con là:
Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung;
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại một điểm;
Tìm giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ;
Xác định m để diện tích tam giác bằng 8.
Gợi ý giải:
+ Gọi B là giao điểm của (Cm) với trục Oy, ta có: 
+ Phương trình tiếp tuyến với (Cm) tại B:
 là hệ số góc
Phương trình tiếp tuyến là: hay 
+ Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến với trục Ox, ta có: .
+ Ta có: và 
+ Diện tích: 
+ Vậy, giá trị cần tìm là: hoặc .
Bài tập 2. Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
Tìm tọa độ điểm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến tại M của (H) cắt 2 trục Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng .
Gợi ý giải:
a) (Học sinh tự giải)
b) + Giả sử , gọi (d) là tiếp tuyến với (H) tại M.
+ là hệ số góc của tiếp tuyến
 hay 
+ (d) cắt Ox, Oy lần lượt tại và 
+ Diện tích: 
+ Vậy, có hai điểm M cần tìm có tọa độ: (1; 1), .
Bài tập 3. Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = -3.
b) Tìm m để (Cm) cắt (d): y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau.
Gợi ý giải:
+ Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) là: 
 x3 + mx2 + 1 = – x +1x(x2 + mx + 1) = 0 (*)
+ Đặt g(x) = x2 + mx + 1. 
+ (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệtg(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.
.
	Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0	.
+ y’ = 3x2 +2 mx = x(3x + 2m) 
+ Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có:
+ Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả: .
Bài tập 4. Cho hàm số và M là điểm bất kỳ thuộc (H).
Tiếp tuyến tại điểm M cắt hai đường tiệm cận tại A, B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB.
Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận. Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi.
Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
Gợi ý giải:
a) + Giả sử , gọi (d) là tiếp tuyến với (H) tại M.
+ là hệ số góc của tiếp tuyến
 hay 
+ Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, ta có:
Suy ra, trung điểm của AB có tọa độ: đây chính là tọa độ của M.
b) + Giao điểm của hai đường tiệm cận là: I(1;3)
+ 
+ Diện tích: là hằng số.
c) + Chu vi: 
+ 
+ Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
+ 
+ Vậy, có hai vị trí của M cần tìm có tọa độ: (0;2), (2;4).
Bài tập 5. Cho hàm số (H). Tìm những điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ nhất, với I là giao điểm của hai đường tiệm cận.
Gợi ý giải:
+ Giao điểm của hai đường tiệm cậnlà: I(-2;2).
+ Giả sử , gọi (d) là tiếp tuyến với (H) tại M.
+ là hệ số góc của tiếp tuyến
 hay 
+ Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, ta có:
+ Vì vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp là: 
+ Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
+ Vậy, có hai điểm M cần tìm có tọa độ: .
Bài tập 6. Cho hàm số . Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ để từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc.
Gợi ý giải:
+ Gọi M(x0; y0). Đường thẳng d đi qua M, có hệ số góc k có phương trình là: y = k(x – x0) + y0.
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: 
+ (d) tiếp xúc với (C):
+ Từ M vẽ hai tiếp tuyến đến (C) vuông góc với nhau khi (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: .
Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là một đường tròn: loại bỏ bốn giao điểm của đường tròn với hai đường tiệm cận.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Cho hàm số (Cm)
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
Tìm m để đường thẳng y=1 cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E và các tiếp tuyến tại D và E của (Cm) vuông góc với nhau. 
Bài 2. Cho hàm số (C) và đường thẳng y = m(x+1)+2 (d)
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (C) tại một điểm cố định A. Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C) tại 3 điểm A, M, N mà tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau.
Bài 3. Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (H). Tìm điểm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại M vuông góc với đường thẳng IM.
Hướng dẫn:
+ Giao điểm của hai đường tiệm cận là: I(1;2).
+ Gọi , đường thẳng IM có phương trình: .
+ là hệ số góc của tiếp tuyến tại M.
+ Tiếp tuyến của (H) tại M vuông góc với đường thẳng IM khi và chỉ khi:
+ Giải ra được: ; Suy ra có hai điểm M thỏa mãn: (0;1), (2; 3).
Phần 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH.
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
 Công thức về khoảng cách:
 + Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng): .
 + Khoảng cách từ điểm M(x0;y0) đến đường thẳng là: 
BÀI TẬP:
Bài tập 1. Cho hàm số (C) và đường thẳng (d): y = x - 1. Xác định m để đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A và B cách đều đường thẳng : x +2y -3 = 0.
Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của hai bài toán con là:
Xác định điều kiện để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt;
Tìm điều kiện để hai điểm cách đều đường thẳng.
Gợi ý giải:
* Phương trình hoành độ giao điểm: 
+ Suy ra, đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi và .
* Gọi , là hai giao điểm.
+ A và B cách đều đường thẳng : x +2y -3 = 0 
+ Đối chiếu điều kiện, ta được kết quả: .
Bài tập 2. Cho hàm số (H). Xác định m để đường thẳng (d): y = -x + m cắt đồ thị (H) tại hai điểm A, B mà độ dài AB nhỏ nhất.
Gợi ý giải:
+ Phương trình hoành độ giao điểm: 
 (*). Đặt: 
 + Đường thẳng (d) cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -2
+ Với mọi giá trị của m đường thẳng (d) luôn cắt (H) tại hai điểm là: 
+ .
+ Đối chiếu với điều kiện, ta có kết quả: .
Bài tập 3. Cho hàm số: . Xác định m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số cắt các trục tọa độ theo một tam giác có diện tích bằng 32 (đvdt).
Gợi ý giải:
+ 
+ Tiệm cận xiên (TCX) có phương trình: 
+ Gọi A là giao điểm của TCX với trục Ox: 
 và B là giao điểm của TCX với trục Oy: 
Suy ra, diện tích tam giác OAB là: 
Suy ra: 
Bài tập 4. Cho hàm số: . Chứng minh rằng: Tích các khoảng cách từ điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số đến các đường tiệm cận là một hằng số.
Gợi ý giải:
+ 
+ TCĐ: x = 2, TCX: 
+ Khoảng cách từ điểm M đến TCĐ là: 
 Khoảng cách từ điểm M đến TCX là: , vì nên 
Suy ra: là hằng số.
Bài tập 5. Cho hàm số . Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (H) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
Gợi ý giải:
+ TCĐ: x = 1, TCN: 
+ Khoảng cách từ điểm đến TCĐ là: 
 Khoảng cách từ điểm M đến TCN là: , vì nên 
 Suy ra, tổng khoảng cách : 
+ 
+ Vậy, có hai điểm cần tìm: 
Bài tập 6. Cho hàm số . Tìm các điểm M thuộc (H) có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất.
Gợi ý giải:
+ 
+ TCĐ: x = 1, TCX: 
+ Khoảng cách từ điểm đến TCĐ là: 
 Khoảng cách từ điểm M đến TCX là: , vì nên 
 Suy ra, tổng khoảng cách : 
+ 
+ Vậy, có hai điểm cần tìm: 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Tìm M thuộc (C): để tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) nhỏ nhất.
Bài 2. Cho hàm số . Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.
Bài 3. Cho hàm số: . Xác định m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số cắt các trục tọa độ theo một tam giác có diện tích bằng 18 (đvdt). 	ĐS: .
Bài 4. (ĐH Khối-A 2005) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: (*) (với m là tham số)	
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = .
b) Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên bằng .	ĐS: m=1.
Bài 5. Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho MI nhỏ nhất với I là giao điểm 2 đường tiệm cận.
ĐS: Có hai điểm cần tìm là 
E- ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
1. Sau khi thực hiện chuyên đề, đã tiến hành kiểm tra ở 3 lớp 12:
KIỂM TRA 45 PHÚT (Năm học 2010 - 2011)
ĐỀ BÀI: Cho hàm số có đồ thị (H).
a.) Xác định m để đường thẳng cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt.	(3,0 điểm)
b.) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) tại giao điểm của (H) với trục tung. 	(3,0 điểm)
c.) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tìm những điểm M thuộc đồ thị (H) thỏa mãn tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ nhất. 	(4,0 điểm)
ĐÁP SỐ:
a.) hoặc . 
b.) .
c.) + Giao điểm của hai đường tiệm cận là: I(-2;2).
+ Gọi (d) là tiếp tuyến với (H) tại . Khi đó (d): 
+ Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với TCĐ và TCN, ta có: 
+ Vì vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp là: 
+ Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
, giải ra được m = -1 hoặc m = -3
+ Vậy, có hai điểm M cần tìm có tọa độ: .
2. Kết quả thu được trong bảng sau:
1. Lớp 12A1: Sĩ số 36
Điểm
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Số lượng
5
6
6
4
4
4
3
2
1
1
0
2. Lớp 12A2: Sĩ số 44
Điểm
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Số lượng
7
5
6
5
7
5
4
3
2
0
0
3. Lớp 12A5: Sĩ số 35
Điểm
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Số lượng
2
5
6
4
5
5
3
3
1
1
0
F- KẾT LUẬN:
Đây là một chuyên đề khó, kiến thức rộng và sâu, liên quan đến nhiều mạch kiến thức, để làm được từng dạng bài toán đòi hỏi học sinh phải thực hiện nhiều bước, áp dụng nhiều thao tác. Tôi nhận thấy ban đầu các em có nhiều lúng túng, nhưng dần dần các em tiếp xúc với phương pháp phân rã một bài toán thành nhiều bài toán con đơn giản. Từ đó các em hình thành được thói quen tư duy và phương pháp giải cho những dạng toán khác. Củng cố được niềm tin và chủ động tìm tòi kiến thức mới lạ trong quá trình học tập của mình.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong việc chọn lọc kiến thức, nội dung và hình thức trình bày, nhưng chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót ngoài ý muốn. Mong nhận được những ý kiến đóng góp chân thành của quý thầy cô giáo và các bạn. 
Xin chân thành cảm ơn !
 Ninh Sơn, tháng 05 năm 2011.
 Người viết
 Nguyễn Xuân Vĩ 
˜&™
XÁC NHẬN VÀ XẾP LOẠI CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
Nhận xét:
.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI
CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG
Nhận xét:
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 
Xếp loại: ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI
CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NGÀNH
Nhận xét:
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Xếp loại: ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................