Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ba điểm thẳng hàng

và khó tìm hướng giải nhất đối với học sinh. Nhưng loại toán khó này lại là loại toán tổng hợp bởi nó vận dụng đến nhiều kiến thức liên quan trong bộ môn hình học bậc THCS. Giúp học sinh có hướng giải quyết loại toán này chúng ta đã giúp học sinh nắm chắc được kiến thức của hầu như cả bậc học THCS. Chính vì vậy mà loại toán chứng minh ba điểm thẳng hàng hay 3 đường thẳng đồng qui được xem như loại toán cơ bản quan trọng trong các loại toán cơ bản ở bậc THCS.
B. THỰC TRẠNG CHẤT LƯỢNG BỘ MÔN TOÁN CỦA HỌC SINH KHỐI LỚP 9 CỦA NHÀ TRƯỜNG:
	Năm học 2008 – 2009 tôi được BGH trường giao cho giảng dạy bộ môn toán của khối lớp 9, đây là khối lớp cuối cấp học do vậy tôi nhận thức rõ trách nhiệm của bản thân mình trước phụ huynh học sinh và trước các em càng nặng nề hơn bao giờ hết.
Là một giáo viên dạy toán tôi không khỏi lo ngại vì chất lượng bộ môn toán của học sinh khối lớp 9 mà tôi giảng dạy lại thấp đến như vậy. Phần lớn học sinh đã bị hổng kiến thức ngay từ lớp dưới, các em thường có thói quen ỷ lại vào giáo viên bộ môn, các học sinh học khá trong lớp.
Các bài toán đơn giản trong chương trình SGK học sinh cũng không tự mình làm mà có tư tưởng chờ cho bạn hoặc thầy cô chữa rồi chép vào vở. Khả năng lập luận của học sinh thì rất yếu, phần đa trong các em không biết cách giải toán, không biết khai thác những gì mà bài toán cho để tìm lời giải. Lời giải của học sinh thường lủng củng, thiếu chặt chẽ và không mang tính thuyết phục đối với người đọc.
Đối với bộ môn hình học kết quả rất đáng buồn, học sinh không biết phân biệt đâu là giả thiết, đâu là kết luận của bài toán, kỹ năng vẽ hình thì rất yếu. Như vậy thì làm sao có thể nói đến việc chứng minh hình học một lĩnh vực quan trọng trong bộ môn toán bậc THCS.
Kết quả kiểm tra đầu năm của bộ môn toán ở khối lớp 9 như sau
TSHS
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
81
0
4
30
39
8
Đó là kết quả đáng báo động về chất lượng bộ môn toán nói chung của trường và của khối lớp 9 nói riêng. Điều này càng thôi thúc bản thân tôi phải nhanh chóng tìm ra những giải pháp để từng bước lấp những lỗ hổng kiến thức ở học sinh. Tôi đã thử phát phiếu thăm dò thái độ học tập bộ môn trong khối lớp 9, kết quả thăm dò như sau:
TSHS
Rất thích
Bình thường
Không thích
98
3
33
62
Tại sao học sinh lại không có niềm đam mê với bộ môn toán đến như vậy? Đó là câu hỏi mà tôi nhiều đêm trăn trở tìm lời giải đáp.
C. GIẢI PHÁP:
	Từ thực trạng trên tôi đã tìm cách phân loại và sưu tầm các loại toán chứng minh hình học, trong đó loại toán mà tôi tâm đắc đó là loại toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng qui bởi đây là loại toán đòi hỏi người giải phải biết vận dụng đến nhiều loại kiến thức của bậc học, từ đó sẽ củng cố cho họ những kiến thức hết sức cơ bản của bộ môn toán học bậc THCS.
MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG, 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI
Ví Dụ 1: Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC, P là điểm chính giữa của cung AC, I là giao của AN và CM, K là giao của OP và AC. Chứng minh rằng ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Định hướng: AN và CM là hai đường trung tuyến của D ABC, AN và CM cắt nhau ở I, do vậy I chính là trọng tâm của DABC. Nhờ tính chất đồng qui của ba đường trung tuyến ta có thể dự đoán BK là trung tuyến thứ 3 của DABC. Vấn đề đặt ra là ta phải chứng minh được K là trung điểm của AC.
Chứng minh:
Cung PA = cung PC (hai góc ở tâm chắn hai cung bằng nhau).
D AOC cân tại O (vì OA = OC = R) mà có OP là đường phân giác của góc O Þ OP ^ AC Þ KA = KC (theo định lý đường kính và dây cung).
Þ BK là đường trung tuyến của DABC.
Mà AN và CM là hai đường trung tuyến cắt nhau ở I, theo tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác đồng qui Þ BK cũng qua điểm I Þ B, I, K thẳng hàng.
	Khi giải bài toán này GV cần củng cố các kiến thức trọng tâm cần vận dụng: (Định lý đường kính và dây cung, định lý về góc ở tâm, định nghĩa đường trung tuyến của tam giác, định lý 3 đường trung tuyến trong tam giác đồng qui).
I
A
B
C
D
M
N
K
Ví Dụ 2: Cho hai đường thẳng a và b song song. Trên đường thẳng a lấy hai điểm A và B, trên đường thẳng b lấy hai điểm C và D (A và C nằm cùng một nửa mặt phẳng có bờ là BD) sao cho CD = 2AB. Qua A kẻ đường thẳng c song song với BD và cắt b tại M, cắt BC tại I. Qua I kẻ đường thẳng d song song với đường thẳng a và cắt BD tại N. BM cắt DI tại K. Chứng minh rằng ba điểm C, K, N thẳng hàng.
Định hướng: hãy dự đoán vị trí của điểm M trên đoạn CD, vị trí điểm I trên đoạn BC, vị trí điểm N trên đoạn BD Þ Các đường BM, CN, DI là các đường gì đặc biệt của DBCD?
Chứng minh:
AB // MD; AM // BD (gt) Þ Tứ giác ABDM là hình bình hành Þ MD = AB mà CD = 2AB (gt) Þ MD = MC (1).
MI // BD mà MC = MD (cmt) Þ IB = IC (đường thẳng qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai của DBCD thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba) (2).
IN // CD mà IB = IC (cmt) Þ NB = ND (đường thẳng qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai của DBCD thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba) (3).
Từ (1), (2), (3) Þ BM, DI, CN là ba đường trung tuyến của DBCD
Mà BM x DI tại K Þ theo định lý ba đường trung tuyến đồng qui ta có CN cũng qua điểm K Þ C, N, K thẳng hàng.
	Khi giải bài toán này GV cần củng cố các kiến thức trọng tâm cần vận dụng: (Định nghĩa và tính chất của hình bình hành, định lý về đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang, định lý 3 đường trung tuyến của tam giác đồng qui).
Ví dụ 3: Cho DABC, các đường cao AD, BE, CF. Đường tròn đi qua D, E, F cắt BC, CA, AB thứ tự tại M, N, P. Chứng minh các đường thẳng kẻ từ M vuông góc với BC, kẻ từ N vuông góc với AC, kẻ từ P vuông góc với AB đồng qui.
Định hướng: Gọi I là giao của MM’ và NN’. Gọi O’ là trung điểm của HI. Em có nhận xét vì về hai điểm O và O’, điểm O’ thuộc trung trực của những đoạn thẳng nào?
Điểm H và I như thế nào qua điểm O? tương tự gọi I’ là giao của PP’ và MM’ có nhận xét gì về H và I’ qua O Þ I và I’ có trùng nhau hay không? Þ Ba đường thẳng MM’, NN’, PP’ đồng qui.
Chứng minh: Kẻ MM’ ^ BC (M’ Î đường tròn tâm O); NN’ ^ AC (N’ Î đường tròn tâm O); PP’ ^ AB (P’ Î đường tròn tâm O); 
MM’ cắt NN’ tại I. Gọi H là trực tâm của DABCÞ O’ là trung điểm của HI, 
Þ MM’ ^ BC, AD ^ BC Þ AD // MM’ mà O’ là trung điểm của HI Þ O’ Î đường thẳng // với DM và cách đều hai đường thẳng MM’ và AD Þ O’ Î trung trực của DM, tương tự O’ Î trung trực của NE, O’ Î trung trực của PF Þ O’ là tâm của đường tròn đi qua sáu điểm D, M, E, N, P, F và I đối xứng với H qua O’ Þ O trùng O’.
Tương tự MM’ cắt PP’ tại I’ Þ I’ cũng đối xứng với H qua O Þ I và I’ trùng nhau. Vậy PP’ cũng qua I Þ 3 đường thẳng PP’, MM’, NN’ đồng qui tại điểm I.
(điểm O là tâm đường tròn Ơle của DABC).
	Khi giải bài toán này GV cần củng cố các kiến thức trọng tâm cần vận dụng:(Đối xứng trục, đối xứng tâm, đường trung trực của đoạn thẳng, quĩ tích cung chứa góc a đặc biệt là cung chứa góc 900).
Ví dụ 4: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’;r) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC (B Î(O), CÎ (O’)).
Tính góc BAC.
Tính BC.
Gọi D là giao điểm của AC với đường tròn tâm O (D ¹ A). Chứng minh B, O, D thẳng hàng.
Định hướng: Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC tại I, so sánh IB, IB, IC Þ DABC là D gì? 
Góc O’IO là góc gì? Tính IA Þ BC = ?
Chứng minh:
a. Kẻ tiếp tuyến chung trong tại điểm A cắt BC tại I.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm ta có:
IA = IB = IC Þ DABC vuông tại A Þ .
b. IO ^ IO’ (hai tia phân giác của hai góc kề bù) Þ DO’IO vuông tại I có đường cao ứng với cạnh huyền là IA Þ IA2 = OA. O’A = R.r.
mà BC = 2 IA Þ BC = .
Hãy so sánh các góc AOD và CO’A Þ DO và O’C như thế nào? OB và O’C như thế nào với nhau? Þ điều gì?
c. D O’AC cân tại O’, D OAD cân tại O hai tam giác cân này có hai góc ở đáy tương ứng bằng nhau nên góc ở đỉnh cũng tương ứng bằng nhau Þ OD // O’C. Ta lại có OB // O’C (cùng vuông góc với BC theo định lý tiếp tuyến vuông góc với bán kính) Þ B, O, D thẳng hàng.
	Khi giải bài toán này GV cần củng cố các kiến thức trọng tâm cần vận dụng: (Vị trí tương đối của hai đường tròn, tiếp tuyến chung của hai đường tròn, định lý về tính chất của tiếp tuyến, cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn, định lý về 2 tia phân giác của hai góc kề bù, các hệ thức lượng trong tam giác vuông, tính chất của tam giác cân, tiên đề Ơclit,...)
Ví dụ 5: Cho D ABC (AC > AB). Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với AB, BC ở D và E. Gọi M, N là trung điểm của AC, BC. Gọi K là giao điểm của MN và AI. Chứng minh rằng:
Bốn điểm I, E, K, C cùng thuộc một đường tròn.
Ba điểm D, E, K thẳng hàng
Định hướng: IE ^BC Þ góc IEC = ? Þ I, E, C thuộc đường tròn đường kính IC, vậy ta phải chứng minh điểm K thuộc đường tròn đường kính IC tức là góc IKC = 900.
Hãy chứng tỏ rằng tổng của hai góc DEI và IEK bằng 1800.
Chứng minh:
a. MN // AB (MN là đường trung bình của DABC ) Þ Þ KM = AM = MC Þ Ta có:
 Ta lại có góc IEC = 900 Þ K, E, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính IC.
b. Từ câu a suy ra:
 (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)	(1)
Mặt khác, D BED cân tại B (vì BE = BD theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Þ 	(2).
Từ (1) và (2) Þ Þ D, E, K thẳng hàng.
	Khi giải bài toán này GV cần củng cố các kiến thức trọng tâm cần vận dụng: (Đường trung bình của tam giác, quĩ tích cung chứa góc a, góc nội tiếp, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, hai góc kề bù...)
Ví dụ 6: Cho DABC (AB ¹ AC), đường trung trực của BC cắt BC tại M và cắt tia phân giác của góc A tại I.
Chứng minh bốn điểm A, I, B, C cùng thuộc một đường tròn.
Gọi H, K thứ tự là hình chiếu của I trên AB, AC. Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng.
Định hướng: Gọi I’ là giao của phân giác của góc A với đường tròn (O), vậy I’M có là trung trực của BC không? Vậy I và I’ trùng nhau Þ bốn điểm A, B, I, C cùng thuộc đường tròn tâm O.
Các tứ giác: MBHI, MKCI có là tứ giác nội tiếp hay không? Chứng minh các góc KMC, góc BMH bằng nhau Þ H, M, K thẳng hàng.
Chứng minh:
a. Gọi I’ là giao của đường tròn (O) ngoại tiếp DABC với tia phân giác của góc A Þ I’M là trung trực của BC, mà IM là trung trực của BC Þ I’ trùng với I Þ Bốn điểm A, B, I, C cùng thuộc một đường tròn.
b. Aùp dụng tính chất góc ngoài tại đỉnh B của D ABI ta có:
, mặt khác sđ cung AI (góc nội tiếp) Þ (1)
Tứ giác BHIM nội tiếp đường tròn đường kính BI Þ (2) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Tứ giác MKCI nội tiếp đường tròn đường kính IC Þ (3) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).
Từ (1), (2), (3) Þ Þ K, M, H thẳng hàng.
Khi giải bài toán này GV cần củng cố các kiến thức trọng tâm cần vận dụng: ( Tia phân giác, đường trung trực của đoạn thẳng, định lý về góc ngoài của tam giác, tứ giác nội tiếp đường tròn, góc đối đỉnh, hai góc kề bù,...)
Ví dụ 7: Cho đường tròn tâm O, các tiếp tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau ở A tạo thành góc BAC = 600. Gọi M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Tiếp tuyến tại M của đường trong cắt AB, AC theo thứ tự tại D và E. Gọi giao điểm của OD, OE với BC theo thứ tự tại I, K. Chứng minh OM, DK, EI đồng qui.
Định hướng: Góc BAC = 600 Þ góc BOC = ?
Ta thấy OM ^ DE vậy ta có thể dự đoán gì về các cặp đường thẳng: EI và OD, DK và OE?
Chứng minh:
, OB^ AB, OC ^AC (tiếp tuyến vuông góc với bán kính).
Þ (Góc BCE là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây chắn cung BC)
Þ IOCE là tứ giác nội tiếp mà mà OC^ AC Þ EI ^ DO. Tương tự ta có DK ^ OE, mà OM ^ DE( tiếp tuyến và bán kính). Vậy EI, OM, DK là 3 đường cao của DODE Þ IE, OM, DK đồng qui.
Khi giải bài toán này GV cần củng cố các kiến thức trọng tâm cần vận dụng:( định lý về tiếp tuyến và bán kính qua tiếp điểm, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, tính chất của tứ giác nội tiếp, các đường đồng qui của tam giác).
Ví dụ 8: Người ta lấy một điểm E thuộc miền trong của hình vuông ABCD sao cho hai góc EBC và ECB bằng nhau và bằng 150 và F là một điểm thuộc nửa mặt phẳng không chứa điểm E bờ là đường thẳng DC sao cho DDFC đều. Chứng minh các điểm B, F, E thẳng hàng.
Định hướng: DAED đều Þ góc BAE = ? góc AEB = ? DDEF là D gì? Þ góc EDF = ? Þ góc BEF = ?
Chứng minh:
DAED đều Þ , DBAE có góc ở đỉnh A bằng 300 mà DAEB cân tại A vì AE = AB Þ ta có:
.
DEDF vuông cân tại D Þ =1800 Þ Ba điểm B, E, F thẳng hàng.
Khi giải bài toán này GV cần củng cố các kiến thức trọng tâm cần vận dụng: (Tính chất của tam giác đều, tính chất của tam giác cân, hai góc kề bù, góc bẹt,...)
Ví dụ 9: Cho M, N, P là ba điểm trên 3 cạnh AB, BC, AC của D ABC (hoặc trên các đường thẳng chứa các cạnh của DABC). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để M, N, P thẳng hàng là: (Định lý Mênêlaúyt).
Định hướng: Kẻ AQ // BC, áp dụng định lý Talét thuận đảo ta có điều gì?
Chứng minh:
Điều kiện cần: Giả sử M, N, P thẳng hàng.
Từ A kẻ AQ// BC, cắt MN ở Q.
Aùp dụng định lý Talet với:
.
Nhân từng vế hai tỷ lệ thức trên ta có: .
Điều kiện đủ: Giả sử 3 điểm: M, N, P trên 3 cạnh của D ABC thoả mãn: .
Nối MP kéo dài cắt BC ở N’, theo chứng minh ở ý trên ta có: M, N’, P thẳng hàng Þ Þ vì N và N’ cùng nằm trên BC Þ N và N’ trùng nhau Þ M, N, P thẳng hàng.
Khi giải bài toán này GV cần củng cố các kiến thức trọng tâm cần vận dụng: (Định lý Talet thuận đảo, có thể sử dụng phương pháp phản chứng đối với điều kiện đủ).
Ví dụ 10: Cho hình thang ABCD, đáy lớn là AB. Đường thẳng kẻ từ C song song với AD cắt đường chéo BD tại M, cắt AB ở F. Đường thẳng kẻ từ D song song với BC cắt đường chéo AC ở N, cắt AB ở E. Các đường thẳng kẻ từ E và F lần lượt song song với BD và AC cắt AD và BC theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q thẳng hàng.
Định hướng: Aùp dụng định lý Talét thuận đảo đối với các D ADB, ABC, ADC,  Þ ta phải chứng minh MQ // CD, MP // AB, MN // AB Þ điều phải chứng minh.
Chứng minh: Aùp dụng định lý Ta lét đối với các tam giác ta có:
. Do DCBE là hình bình hành Þ DC = EB, BC = DE Þ , từ đó ta có PN//CD (1).
Chứng minh tương tự ta có:
.
Từ (1),(2),(3) Þ đường thẳng PN, PM, MQ trùng nhau, hay 4 điểm M, N, P, Q thẳng hàng.
Khi giải bài toán này GV cần củng cố các kiến thức trọng tâm cần vận dụng: (định lý Talet thuận và đảo, tiên đề Ơclit,...)
Ví dụ 11: Cho đường tròn tâm O, hai tiếp tuyến MA, MB (A,B là tiếp điểm). C là một điểm trên đường tròn tâm M bán kính MA và nằm trong đường tròn (O). Các tia AC và BC cắt đường tròn (O) lần lượt ở P và Q. Chứng minh P, O, Q thẳng hàng.
Định hướng: chứng minh rằng tổng của 3 góc AOQ, góc AOB, góc BOP bằng 1800
Chứng minh: (Góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung).
 (Góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung).
Từ đó: . Song đối với tứ giác AMBO thì: (Vì OA ^ MA, OB ^ MB bán kính vuông góc với tiếp tuyến)
Þ Q, O, P là ba điểm thẳng hàng.
Khi giải bài toán này GV cần củng cố các kiến thức trọng tâm cần vận dụng:(Góc nội tiếp và góc ở tâm, tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm, hai góc kề bù, góc bẹt,...) 
Ví dụ 12: Từ một điểm M trên đường tròn ngoại tiếp DABC hạ các đường thẳng MD, ME, MF lần lượt vuông góc với BC, CA, và AB. Chứng minh D, E, F thẳng hàng (Đường thẳng sim sơn).
Định hướng:
Chứng minh các tứ giác BDMF, MECD, AMBC, MFEA nội tiếp.
Sử dụng tính chất hai góc nội tiếp cùng chắn một cung. So sánh các góc: AME, góc AFE, góc DMB, góc DFB, góc DME và BMA Þ so sánh góc AME và góc DMB.
So sánh hai góc DFB và AFE Þ ba điểm D, F, E thẳng hàng.
Chứng minh: ta có:
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB).
Từ 3 tứ giác nội tiếp AMFE , MDBF và MDCE ta có:
mặt khác: (Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) (2)
Từ (1), (2), (3) Þ Þ Ba điểm E, F, D thẳng hàng. 
Khi giải bài toán này GV cần củng cố các kiến thức trọng tâm cần vận dụng: (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung, tính chất tứ giác nội tiếp, hai góc kề bù,...)
Sau mỗi bài tôi đã ra cho HS một số bài tập tương tự để HS về nhà thực hiện.
D. KẾT QUẢ:
	Qua việc sử dụng các bài toán trên, tôi đã giúp cho các em học sinh có hứng thú hơn đối với môn học cũng từ đó chất lượng bộ môn toán của khối lớp 9 của nhà trường đã có những chuyển biến tích cực. Qua kiểm tra học kì I tôi nhận thấy, kết quả của các bài kiểm tra đã cao hơn. Học sinh đã biết cách ghi giả thiết, kết luận của bài toán chứng minh hình học, học sinh có thể lập luận chặt chẽ để giải các bài toán, thái độ học tập của học sinh đối với bộ môn đã thay đổi theo chiều hướng khả quan, việc chứng minh hình học của học sinh có thể nói khá chặt chẽ, thông qua các bài toán trên học sinh đã được củng cố và nắm chắc các kiến thức cơ bản ở lớp 7, lớp 8 mà các em bị hổng.
	Kết quả bộ môn toán trong học kỳ I như sau:
TSHS
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
98
3
15
55
22
3
	Kết quả thăm dò, thái độ học tập đối với bộ môn toán ở khối lớp 9 cuối học kỳ I như sau:
TSHS
Rất thích
Bình thường
Không thích
98
35
50
13
	Đó là một kết quả đáng mừng, nó đã chứng tỏ được các giải pháp mà tôi đã thực hiện là phù hợp và đã đi đúng hướng.
E. BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
Trong chương trình bộ môn toán bậc THCS, các bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui được đưa ra rất ít, do vậy giáo viên cần phải tìm tòi để cho học sinh làm quen, bởi những bài toán này thường rất quan trọng và thường phải sử dụng đến nhiều kiến thức do đó giúp cho các em học sinh nắm được những dạng toán, những kiến thức cơ bản của chương trình toán THCS. Cách giải thể hiện tính sáng tạo của học sinh sẽ được khơi dậy nếu chúng ta biết tác động một cách đúng lúc, sự gợi ý đúng lúc và khéo léo sẽ giúp các em được rèn luyện nhiều loại kỹ năng giải toán, nhiều phương pháp giải toán.
Để phát huy hiệu quả của các bài toán dạng này người giáo viên cần phải chú ý một số vấn đề cơ bản sau:
1. Sưu tầm và tìm tòi những bài toán hay, gây sự hứng thú và chú ý của học sinh, phải đảm bảo vừa sức với học sinh tránh chọn bài quá khó, lập luận quá cầu kỳ và dài dòng sẽ gây sự chán nản cho học sinh.
2. Định hướng cho học sinh tìm tòi lời giải, tập hợp nhiều lời giải từ phía học sinh, từ đó cho học sinh tìm ra lời giải hay và nhanh nhất.
3. Phát triển bài toán thành nhiều hướng, thành dạng tổng quát để có thể phân loại học sinh, trên cơ sở đó có thể chọn ra đội ngũ học sinh khá giỏi.
	Sau mỗi bài toán cần cho học sinh nhận xét dạng toán đó cần phải chú tâm đến điều gì khi giải, có thể áp dụng lời giải đó cho một số bài tương tự hoặc nâng cao được hay không? GV cần cho thêm bài tập để HS về nhà tự giải.
	Bài toán dạng này thường liên quan đến nhiều kiến thức của bậc THCS, do vậy cần gợi ý cho học sinh sử dụng những định lý, tính chất để các em tự giải, tự chứng minh bài toán.
4. Một số cách để chứng minh loại toán này là:
Sử dụng tính chất đồng qui của các đường đặc biệt trong tam giác (3 đường cao, 3 đường trung tuyến, 3 đường trung trực, ba đường phân giác).
Sử dụng tiên đề Ơclit (qua một điểm nằm ngoài đường thẳng chỉ kẻ được duy nhất một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Tổng của hai góc kề bù bằng 1800.
Đường trung bình của tam giác, của hình thang.
Định lý Ta lét thuận đảo.
Định lý Mênêlaúyt, định lý Cêva, định lý Sim sơn,
Tính chất về đường chéo của hình bình hành.
	Trên đây là một số bài toán mà tôi đã sử dụng để giúp học sinh nắm vững kiến thức của môn toán, tuy không phải là nhiều nhưng đó là kết quả của bản thân tôi sau nhiều ngày sưu tầm và vận dụng từ đó rút ra được những điều lý thú cho học sinh thân yêu của mình. Có thể đã có nhiều đồng nghiệp có ý tưởng như tôi nhưng chưa đưa ra để thảo luận. Qua tài liệu này bản thân tôi rất mong được sự góp ý và bổ sung của các bạn đồng nghiệp để tài liệu này phong phú và có chất lượng hơn.
	Tôi xin chân thành cảm ơn !
TÀI LIỆU THAM KHẢO.
Giúp em học giỏi toán cấp II (Lê Hải Châu – nhà xuất bản Hải phòng in năm 1994).
255 bài toán hình học chọn lọc (Vũ Dương Thuỵ, Trương Công Thanh, Nguyễn Ngọc Đạm- Sở giáo dục Hà Tây in năm 1993).
SGK toán 7, 8, 9 (Bộ giáo dục xuất bản).
Một số vấn đề về phát triển môn toán bậc THCS (NXB- GD).
Để học tốt hình học lớp 9 (Lê Mộng Ngọc, Nguyễn Vĩnh Cận, Hoàng Chúng – NXB Giáo dục in năm 1996).
Để học tốt hình học 8 (Nguyễn Vĩnh Cận, Vũ Thế Hựu, Hoàng Chúng – NXB Giáo dục in năm 1997).
Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên chu kỳ 1997 – 2000 cho GV- THCS (Bộ giáo dục và đào tạo – NXB Giáo dục).