Sáng kiến kinh nghiệm Một cách tiếp cận bài toán hàm số

ên R\{1}, biết:     

1 1
(x 1)f(x) f( ) , x 1. (1)
x x 1
 Giải. Đặt 
21 1 1 1 1
( 1) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) , 1. (2)
1 1 11
t x
x f f t x f xf x x
t t t t x x
t
           
 
 Tõ (1) vµ (2) suy ra: 
2
2 2
1
( 1) ( ) ( 1) ( ) 1
1
( 1) ( ) (1 ) ( )
x f x f x
x
x f x x f x x
x

   

    

2 2 2
2
2
1 1 1
[( 1) 1]. ( ) 1 ( ) , 0;1.
1 1 (1 )( 1) 1
x x x x x
x f x f x x
x x x x x x
   
          
     
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
 Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 13
Ví dụ 3. Tìm f(x) trên R, biết: 2f(x) 3xf( x) 2 3x    . 
 Giải. §Æt 
2
6 . ( ) 4. ( ) 4 6
2. ( ) 3 ( ) 2 3
6 . ( ) 9 . ( ) 3 (2 3 )
x f x f x x
t x f t t t t
x f x x f x x x
   
        
   
 2 2 2(4 9 ). ( ) 4 6 6 9 4 12 9x f x x x x x x         
2
2
4 12 9
( ) , .
4 9
x x
f x x R
x
 
   

 ( Thö l¹i tho¶ m·n). 
Ví dụ 4. Tìm tất cả các hàm f : R R thỏa mãn: 2f(x) xf(1 x) x 1, x R.      
 Giải. §Æt 21 (1 ) (1 ). ( ) (1 ) 1t x f t t f t t         
2
2
. (1 ) (1 ). ( ) ( 2 1)
. (1 ) ( ) 1
x f x x x f x x x x
x f x f x x
      
 
   
 2 2 3 2[( (1 ) 1]. ( ) ( 2 2) ( 1) 3 2 1x x f x x x x x x x x            
3 2
2
3 2 1
( ) , .
1
x x x
g x x R
x x
  
   
  
 (Thö l¹i tho¶ m·n). 
Bài tập tương tự. 
 Bài tập 1. Tìm tất cả các hàm f : R R thỏa mãn:      a.f(x 1) b.f(1 x) g(x), x R. 
 (a, b, g(x) cho trước, g(x) xác định trên R, a b  ) 
 Áp dụng:      1, 2009.f(x 1) 2010.f(1 x) x, x R. 
       22, 2008.f(x 1) 2009.f(1 x) x 1, x R. 
        23, 2008.f(x 1) 2010.f(1 x) x 2x 2, x R. 
 HD. §Æt 1 1 2,t x x t      thay vµo PT ®­îc:       a.f(1 t) b.f(t 1) g(t 2), t R. 
 V× 2 2
2 2
. (1 ) . (1 )
0 ( )
a g x b g x
a b f x
a b
  
   

 Bài tập 2. T×m tÊt c¶ c¸c hµm sè 
2
: \
3
f R R
 
 
 
tho¶ m·n: 
2 2
2 ( ) 1005 , \ . (1)
3 2 3
x
f x f x x R
x
   
      
   
 HD 
2010 ( 1)
( )
3 2
x x
f x
x



 Bài tập 3. Tìm hàm f(x) thỏa mãn: 
1 1
( 1) 3 1 2 , .
1 2 2
x
f x f x x
x
 
       
 
 HD. 
2 1 1
( ) , .
4 2 2
x x
f x x
x
 
  

 Nếu việc chuyển đổi giữa hai biến gặp khó khăn, ta phải thực hiện chuyển đổi theo ba biến, 
hoặc nhiều hơn. 
Ví dụ 1. Tìm tất cả các hàm f : R R thỏa mãn: 
 
    
 
1 1
f(x) .f 1, x R \ {0;1} (1)
2x 1 x
 Giải. §Æt 
1 1
0;1 1
1
t
t t t tx x
x t

       

 thÕ vµo (1) ®­îc: 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
 Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 14
1 1
( ) 1, 0;1 ( ) 1, 0;1. (2)
2( 1) 2( 1)
t t x x
f f t t f f x x
t t x x
    
           
    
 §Æt 
(1)1 1 1 1 1
1, 0;1.
1 1 2
x t t
t x f f t
x t t t
     
          
    
1 1 1
1, 0;1. (3)
1 2
x x
f f x
x x
    
       
   
 LÊy (2) – (3)x 
1
2
x
 ®­îc: 
1 1
( ) , 0;1. (4)
1 4 2
x x
f f x x
x
 
    
 
 LÊy (1)x (2x) – (4) ®­îc: 
1 6 2
(2 ) ( ) 2 ( ) , 0.
4 2 7
x x x
x f x x f x x
x x
 
       
Ví dụ 2. Tìm tất cả các hàm  f : R \ { 1} R thỏa mãn: 
    
       
    
x 3 x 3
f f x, x R \ { 1}
x 1 1 x
 Giải. §Æt 
3 3 3 3
1 1 1 1
x y x y
y x
x y x y
   
    
   
 Khi ®ã (1) trë thµnh: 
3 3 3 3
( ) , 1. ( ) , 1. (2)
1 1 1 1
y y x x
f y f y f x f x
y y x x
     
             
     
 §Æt 
3 3 3 3
1 1 1 1
x y x y
y x
x y x y
   
    
   
 Khi ®ã (1) trë thµnh: 
3 3 3 3
( ) , 1. ( ) , 1. (3)
1 1 1 1
y y x x
f f y y f x f x
y y x x
     
             
     
 LÊy (2) + (3) – (1) ®­îc: 
3
2
1 3 3 8
( ) ( )
2 1 1 2(1 )
x x x x
f x x
x x x
  
   
  
Ví dụ 3. Tìm hàm f(x) biết rằng: 
2
( ) . ( 0, ) (1)
a
f x f x a x a
a x
 
    
 
 Giải. Trong (1) thay x bởi 
2a
a x
được: 
2 2 2ax
(2)
a a a
f f
a x x a x
   
    
    
 Trong (2) thay x bởi 
2a
a x
được: 
2 2ax ax
( ) (3)
a a
f f x
x x
  
  
 
 Giải hệ (1),(2),(3) bằng cách: (1) + (2) –(3) được: 
3 2 3
( ) , 0, .
2 ( )
x a x a
f x x x a
x x a
 
  

Bài tập tương tự. 
 Bài tập 1. Tìm hàm f(x) xác định 
1
3
x   thỏa mãn: 
1
( ) (1)
1 3
x
f x f x
x
 
  
 
 HD. 
3 2
2
9 6 2 1
( ) , .
18 2 3
x x x
f x x
x
  
  

 Bài tập 2. Tìm hàm f(x) xác định \{-1;0;1}x R  thỏa mãn: 
1
. ( ) 2 1 (1)
1
x
x f x f
x
 
  
 
 HD. 
24 1
( )
5 ( 1)
x x
f x
x x
 


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
 Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 15
3.1.4. Phương trình hai biến độc lập. 
 Phương pháp: Chọn một biến là một giá trị cụ thể hoặc phụ thuộc vào biến kia và đưa 
 phương trình về dạng 3.1.4. 
Ví dụ 1. Tìm tất cả các hàm * *f : R R thỏa mãn: *
1 1
f(x)f(y) f(xy) , x, y R .
x y
     
 Giải. Chọn y = 1. Từ đó lập luận theo x. 
 Chän y = 1 ®­îc: 

       
1 1 1 x
f(x)f(1) f(x) 1 f(x).(f(1) 1) 1 (2)
x x x
 NÕu tÝnh ®­îc f(1) th× ta tÝnh ®­îc f(x). Cho x = 1 ta ®­îc: 
 2
(1) 1
(1) (1) 2 0
(1) 2
f
f f
f
 
     
 VËy f(1) = 2 
1
( )
x
f x
x

  
Ví dụ 2. Tìm tất cả các hàm f : R R thỏa mãn: 
          f(xy) f(x y) f(x y 1) xy 2x 1, x,y R. (1) 
 Giải. Chän y = 0 (1) ®­îc: (0) ( ) ( 1) 2 1 (2)f f x f x x     
 Chän y = 1 ®­îc: ( ) ( 1) ( 2) 3 1 (3)f x f x f x x      
 Thay x = x + 1 vµo (3) ®­îc: ( 1) ( ) ( 3) 3( 1) 1 (4)f x f x f x x       
 LÊy (4) – (1) ®­îc: ( 3) 3 (0). (5)f x x f    TÝnh f(0) ? 
 Thay x = 0 vµo (2), x = -2 vµo (5) ®­îc : 
2 (0) (1) 1
(0) 0
(1) (0) 1
f f
f
f f
 
 
 
 VËy f(x+3) = x + 3 suy ra f(x) = x,  x R. 
Ví dụ 3. Tìm hàm :f R R thỏa mãn 3 điều kiện sau: 
2
1, (1) 1
2, ( ) ( ) ( ), , .
3, 1 ( )
, 0.
f
f x y f x f y x y R
f x
f x
x x

    
 
  
 
 Giải. Thay x = y = 0 và (2) được: (0) 2 (0) (0) 0.f f f   
 Thay x = -1, y= 1 vào (2) được: (0) ( 1) (1) ( 1) 1.f f f f       
 Xét , 0, 1.x R x x    Ta có: 
2 2
1
1 1 1 1 ( 1)
1
11 1 1 1 ( 1)1
x
f
x x f xx
f f f f f
xx x x x xx
x x
  
                                        
    
  
2 2
1 1
(1) ( ) (1)
1 1
x
f f f x f
x x x
      
                
  
2 2
2
( ) 1
1 ( ) 1
1 1
x f x
f x
x x x
     
        
      
(lo¹i) 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
 Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 16
2 2
2 2 2 2 2
( ) ( ) 1 1 2 ( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x f x f x x f x
x x x x x
 
    
    
 2 21 2 ( ) 2 1 ( ) , 0, 1.x f x x x f x x x           
 Vậy ( ) .f x x 
Bài tập tương tự 
 Bài toán 1. Tìm tất cả các hàm f : R R thỏa mãn: 
     

 
 
f(x y) f(x y) 2f(x).cosy, x,y R.
f(0) f( ) 1
2
 HD. CM: f(t) + f(-t) = 2cos t (1) ( ) ( ) 0 (2)f t f t    
 ( ) ( ) sin (3)f t f t t     
 LÊy (1) + (2) – (3) ®­îc: ( ) sin cos ( ) sin cosf t t t f x x x     ( Thö l¹i tho¶ m·n) 
 Bài toán 2. Tìm hàm :f R R thỏa mãn 3 điều kiện sau: 
4
1, (1) 1
2, ( ) ( ) ( ) 2
3, 1 ( )
, 0.
f
f x y f x f y xy
f x
f x
x x

   
 
  
 
 HD. Trong (2) cho x = 0 được: ( ) (0) ( ) 0 (0) 0.f y f f y f     
 Cho x = y = t/2 được: 
2
( ) 2 , . (1)
2 2
t t
f t f t
 
   
 
 Cho x = y = 1/t được: 
22 1
( ) 2 , 0.
2
t
f f t
t t
 
    
 
 Theo (3) ta có: 
  2
4 4 3
2 2 12
8 ( ) ( 0) (2)
2
t
f
f t
f f t t t
t t tt
 
 
         
  
 
 
 Từ (1) và (2) suy ra 2 23 ( ) 3 ( 0) ( ) , ( 0).f t t t f t t t     
 Mà 2(0) 0 ( ) , .f f t t t R     Vậy 2( ) .f x x 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
 Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 17
3.2. Tính giá trị của hàm số tại một điểm xác định.Phương pháp quy nạp. 
 Phương pháp: - Thay trực tiếp các giá trị thích hợp của x, từ đó dẫn đến giá trị cần tính. 
 - Xây dựng hàm số thoả mãn điều kiện, sau đó tính giá trị. 
 - Xây dựng biểu thức truy hồi, lập công thức tổng quát của dãy các giá trị x 
 ( trong trường hợp tính giá trị x nguyên hoặc tự nhiên) 
Ví dụ 1. Cho hàm f : R R thỏa mãn: 
  

1, f(x y) x f(y)
2, f(0) 2
 Tính: f(2010) ? 
 Giải. Ta cã: f(1) = f(1+0) = 1 + f(0) = 1 + 2 = 3. 
 f(2) = f(1+1) = 1 + f(1) – 1 + 3 = 4 
 Quy n¹p: f(n) = n + 2, n N*  f( 2010) = 2010 + 2 = 2012. 
Ví dụ 2. Cho hàm số 4 3 2( ) ax x x ; ( , , , )f x x b c d a b c d R      
 Biết (1) 10; (2) 20; (3) 30.f f f   TÝnh 
(12) ( 8)
34
10
f f 
 
 Giải. §Æt g(x) = f(x) – 10x, xR. 
 Khi ®ã: g(1) = g(2) = g(3) = 0  g(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-d/6). 
 Ta cã: f(12) + f(-8) = g(12) + 120 + g(-8) – 80 = 990( 12- d/6+8+d/6) +40 = 1976 
(12) ( 8)
34 1976 34 2010.
10
f f 
     
Ví dụ 3. Cho hàm f : R R thỏa mãn:      f(x)f(y) f(xy) 3(x y 2), x, y R. (1) 
 Tính f(2007) ? 
 Giải. Tr­íc hÕt ®i t×m hµm f(x) tho¶ m·n hÖ thøc trªn. 
 Cho x = y = 0 ta ®­îc: 2 (0) (0) 6 (0) 2;3.f f f     
 NÕu f(0)= -2 th×: chän y = 0 (1) trö thµnh: 
3
( ). (0) (0) 3( 2) ( ) 2
2
f x f f x f x x       
 Thö l¹i vµo (1) thÊy kh«ng tho¶ m·n. 
 NÕu f(0)=3. chän y = 0 (1) ®­îc: f(x)=x + 3. Thö l¹i thÊy tho¶ m·n . 
 VËy f(2007) = 2010. 
Ví dụ 4. Cho hàm f xác định trên N* thỏa mãn: 
n 11, f(n 1) n( 1) 2f(n)
2, f(1) f(2011)
   

 Tính f(1) + f(2) + + f(2010) ? 
 Giải. Ta cã: f(2) = 1- 2f(1); f(3) = -2 -2f(2); f(4) = 4- 2f(3); ..., f(2010) = 2009 -2f(2009); 
 f(2011) = -2010 -2f(2010) 
 Céng theo vÕ c¸c ®¼ng thøc thu ®­îc: 
 f(2) + f(3) ++ f(2011) = 1– 2 +3 – 4++ 2009 – 2010 - 2(f(2) + f(3) ++ f(2010)) 
 do f(1) = f(2011) nªn: 3(f(1)+f(2) + f(3) + + f(2010)) = - 1005 
  f(1)+f(2) + f(3) + + f(2010) = - 335. 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
 Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 18
Bài tập tương tự 
 Bài tập 1. Cho hàm f : R R thỏa mãn: 
        f(1) 0; f(m n) f(m) f(n) 3(4nm 1), m, n N. 
 Tính f(8)? f( 23) ? 
 HD. Ta cã: (2) (1 1) 2 (1) 9; (4) (2 2) 2 (2) 45 63.f f f f f f         
 (8) (4 4) 2 (4) 189 315; (16) (8 8) 2 (8) 756 1395.f f f f f f          
 (3) (1 2) (1) (2) 21 30; (19) (16 3) (16) (3) 573 1998.f f f f f f f f            
 Bài tập 2. Cho hàm f : R R thỏa mãn:       f(x) f(y) f(x y) xy 1, x, y R. 
 Nếu f(1) = 1. Hãy tìm các số nguyên n sao cho f(n) = n. 
 HD. CM: 
2 3 2
( ) .
2
n n
f n
 
 §Ó 2( ) 2 0 1.f n n n n n       
 Bài tập 3. Tìm tất cả các hàm :f Z R thỏa mãn các điều kiện sau: 
1) ( ). ( ) ( ) ( ), , .
2) (0) 0
3) 5
(1)
2
f x f y f x y f x y x y Z
f
f
     


 HD. Trong bài toán này chúng ta phải cố gắng tính giá trị hàm số tại một số điểm, từ đó tìm 
 ra công thức tổng quát và đi chứng minh công thức đó. 
 Theo (1) có: 
(2)
0
0
1
(0). (0) 2. (0) (0) 2 2 .
2
f f f f     Lại có: 1
1
5 1
(1) 2 .
2 2
f    
 Ta chứng minh quy nạp công thức: 
1
( ) 2 , . (5)
2
n
n
f n n Z   
 Bài tập 4.. Tìm tất cả các hàm số :f N N thỏa mãn điều kiện sau: 
 ( ( )) 2, .f f n n n N    
 Bài tập 5. Cho hàm f xác định trên tập số nguyên và thoả mãn các điều kiện sau: f(0) ≠ 0, f(1) = 3. 
      f(x)f(y) f(x y) f(x y), x, y Z. Tính f(7). 
 Bài tập 6. Cho 
9
( ) .
9 3
x
x
f x 

Tính 
1 2 2009
...
2010 2010 2010
f f f
     
      
     
 Bài tập 7. (KoMal-B381) Cho d·y hµm sè: 
 1
1 1
2 7
( )
3
( ) ( ( )), 1.n n
x
f x
x
f x f f x n

 

  
TÝnh (2010) 2009 2011(2010); (2010); (2010)f f f 
 HD. (2010) (2010) 2010f  ; 2009
1 6037
(2010) 3
2010 2 2012
f     

 2011
1 4027
(2010) 2
2010 3 2013
f     

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
 Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 19
3.3. Các bài toán về hàm đơn điệu. 
Ví dụ 1. Tìm tất cả các hàm đồng biến :f R R thỏa mãn: 
 ( ( ) ) ( ) 1, , . (1)f f x y f x y x y R      
 Giải. Từ (1) suy ra: ( ( )) ( ( ) ) ( ) 1, , . (1')f x f y f f y x f x y x y R        
 Trong (1) thay y = 0 ta được: ( ( )) ( ) 1, . (2)f f x f x x R    
 Trong (1) thay x bởi f(x) được: 
(2)
( ( ( )) ) ( ( ) ) 1 ( ( ) 1) ( ) 2, , . (3)f f f x y f f x y f f x y f x y x y R            
 Trong (2) thay y bởi f(y) được: ( ( ) ( )) ( ( )) 1 ( ) 2 (4)f f x f y f x f y f x y       
 Từ (3), (4) suy ra: ( ( ) 1) ( ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1.f f x y f f x f y f x y f x f y f y y            
 Vậy ( ) 1, .f x x x R    Thử lại thấy thỏa mãn. 
Ví dụ 2. Tìm tất cả các hàm đồng biến :f R R thỏa mãn: 
 ( ( ) ) ( ) (0), , .f f x y f x y f x y R      (*) 
 Giải. Từ giả thiết suy ra: ( ( ) ) ( ) (0), , .f f y x f x y f x y R      
 f (f (x) y) f (f (y) x) f (x) y f (y) x, x, y R          do f đồng biến. 
 f (x) x f (y) y C, x, y R f (x) C x          thế vào (*)  C = f(0). 
 Vậy f(x) = x + f(0) với f(0) tùy ý. 
 Bài tập tương tự: 
 Bài tập 1. Tìm tất cả các hàm f :[1; ) [1; )   thỏa mãn: 
 f (xf (y)) yf (x), x, y [1; ).    
 HD. CM: f(1) = 1 và f đồng biến. 
 Xét f(x) > x và f(x) < x đều dẫn đến mâu thuấn. Vậy f(x) = x. 
 Bài tập 2. Tìm tất cả các hàm đơn điệu f : R R thỏa mãn: 
 ( ( )) ( ) , , .f x f y f x y x y R     
 3.4. Các bài toán về hàm liên tục 
 Sau đây là một số hàm chuyển đỏi các phép toán số học, kết quả của các bài toán này là cơ sở 
để chúng ta giải các bài toán phức tạp hơn. 
Bài toán 1.(Phương trình Cauchy) 
 Xác định các hàm ( )f x liên tục trên R thỏa mãn điều kiện: 
 ( ) ( ) ( ), , . (1)f x y f x f y x y R     
 Giải. Từ (1) suy ra (0) 0, ( ) ( ), (2 ) 2 ( ), .f f x f x f x f x x R       
 Tương tự ta chứng minh được: (3 ) 3 ( ), (4 ) 4 ( ), (5 ) 5 ( )...f x f x f x f x f x f x   
 1. Từ đó chúng ta chứng minh quy nạp công thức: ( ) ( ), , *.f nx nf x x R n N    
 - Thật vậy: Giả sử có ( ) ( ), ,f kx kf x x R   với k nguyên dương. 
 Khi đó có: (( 1) ) ( ) ( ) ( ).f k x f kx x f kx f x     
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
 Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 20
 ( ) ( ) ( 1) ( ),kf x f x k f x x R      
 Kết hợp với tính chất ( ) ( )f x f x   được: ( ) ( ), , .f mx mf x m Z x R     
  
( )
( ) ( . ) ( ) , *, .xm
x x f x
f x f m mf f m Z x R
m m m
         
 2. Ta đi chứng minh: ( ) ( ), , .f px pf x p Q x R     
 - Với p hữu tỷ luôn tồn tại m N*, n Z* sao cho: .
m
p
n
 
 Khi đó: . ( ) ( ).
m x x m
f x f m mf f x
n n n n
   
     
   
 Vậy ( ) ( ), ,f px pf x p Q x R     . 
 3. Ta chứng minh: ( ) ( ), , .f rx rf x r R x R     
 Với mọi số thực r luôn tồn tại dãy số hữu tỷ ( )np sao cho lim limn n
n n
p r p x rx
 
   
 Vì hàm liên tục trên R nên: 
 lim ( ) ( ) ( ) lim . ( ) . ( ), .n n
n n
f p f rx f rx p f x r f x x R
 
      
 4. Vậy ( ) ( .1) . (1), .f x f x x f x R    Thử lại thấy ( ) , (1)f x ax a f  thỏa mãn. 
 Kết luận: ( ) ax, ,f x x R a R    tùy ý. 
Nhận xét. – Chỉ cần giả thiết hàm liên tục tại một điểm nào đó là đủ. Vì khi đó theo tính chất (1) 
 hàm sẽ liên tục trên R. 
 - Kết quả bài toán không thhay đổi nếu thay R bằng nửa khoảng [ ; ), ( ; ].a b  
 - Nếu thêm thay điều kiện liên tục bằng điều kiện ( )f x có đạo hàm trên R thì bài toán có 
 thể làm đơn giản hơn. 
 Bài toán 1.1. Tìm các hàm ( )f x xác định và có đạo hàm trên R thỏa mãn điều kiện: 
 ( ) ( ) ( ), , . (2)f x y f x f y x y R     
 Giải. Lần lượt lấy đạo hàm (2) theo biến x, y ta được. 
 '( ) '( ), , ; '( ) '( ), , .f x y f x x y R f x y f y x y R        
 '( ) '( ), , '( ) ( ) .f x f y x y R f x const f x ax b         
 Thử lại vào (2) suy ra b = 0. Vậy ( ) ax, ,f x x R a R    tùy ý. 
 Nhận xét. Nếu thay điều kiện hàm liên tục bằng điều kiện hàm đồng biến (hoặc nghịch biến 
 trên R) ta vẫn thu được kết quả tương tự. 
 Bài toán 1.2. Tìm các hàm ( )f x xác định và đồng biến trên R thỏa mãn điều kiện: 
 ( ) ( ) ( ), , . (2)f x y f x f y x y R     
 Giải. Theo bài toán 1, có: 
1
( ), , *.
x
f f x x R m N
m m
 
     
 
 Do f(x) đồng biến trên R nên: 
1 1 1 1
( )f f x f x
n n n n
   
         
   
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
 Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 21
    
0
1 1 1 1
1 ( ) 1 lim ( ) 0 (0)
x
f f x f x f x f
n n n n 
           
 Vậy ( )f x liên tục tại x = 0, theo bài toán 1 suy ra ( ) ax, , 0f x x R a    tùy ý. 
 Nhận xét. Nếu hàm số nghịch biến trên R thì ( ) ax, , 0f x x R a    tùy ý. 
Bài toán 2. Xác định các hàm ( )f x liên tục trên R thỏa mãn điều kiện: 
 ( ) ( ) ( ), , . (3)f x y f x f y x y R    
 Giải. – Nhận thấy: ( ) 0f x  thỏa mãn. 
 - Nếu tồn tại 0( ) 0.f x  Khi đó theo (3) có: 
 0 0 0( ) ( ( )) ( ). ( ), .f x f x x x f x f x x x R       ( ) 0, .f x x R    
 Lại có: 
2
( ) 0, .
2 2 2
x x x
f x f f x R
    
         
    
 Đặt ln ( ) ( ).f x g x Khi đó g(x) liên tục trên R và: 
 ( ) ln ( ) ln( ( ). ( ) ln ( ) ln ( ) ( ) ( ), , .g x y f x y f x f y f x f y g x g y x y R          
 Theo bài toán 1 thì ( ) ,g x bx b R  tùy ý. Vậy ( ) bx xf x e a  với a > 0 tùy ý. 
Bài toán 3. Xác định các hàm ( )f x liên tục trên R thỏa mãn điều kiện: 
f (x)
f (x y) , x, y R.
f (y)
f (x) 0, x R.

   

   
 Giải. Đặt x – y = z. Khi đó hệ điều kiện trở thành: 
f (z y) f (z)f (y), x, y R.
f (x) 0, x R.
   

  
 Theo Bài toán 2 suy ra ( ) xf x a với a > 0 tùy ý. 
Bài toán 4. Tìm tất cả các hàm đơn điệu f : R R thỏa mãn: 
 ( ( )) ( ) , , . (4)f x f y f x y x y R     
 Giải. - CM: 1 2 1 2f (y ) f (y ) y y . (*)   
 Thay x bởi f(x) vào (4) được: f (f (x) f (y)) f (f (x) y x y f (0) f (f (x y))         
 Từ (*) f (x y) f (x) f (y), x, y R.      
 - Theo Bài toán 1.2 suy ra f (x) kx, k tùy ý. Thay vào (4) được: 
 - Kết luận: f(x) = x và f(x) = - x thỏa mãn. 
Hoàn toàn tương tự, ta giải được bài toán sau. 
 Bài toán 5. Xác định các hàm f(x) liên tục trên R \{0}thỏa mãn điều kiện: 
 f (xy) f (x) f (y), x, y R \{0}.    (*) 
 HD. Vậy f (x) b ln | x |, x R,b R    tùy ý. 
 Bài toán 6. Xác định hàm f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện: 
 f (xy) f (x) f (y), x, y R.    
 HD. – CM: f(0) = 0  f(x) = 0 ,  x  R. 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
 Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay 22
Tµi liÖu tham kh¶o 
1. SGK §¹i sè líp 10. ( Ch­¬ng tr×nh ph©n ban) 
2. SGK §¹i sè líp 11. ( Ch­¬ng tr×nh ph©n ban) 
3. SGK §¹i sè líp 12. ( Ch­¬ng tr×nh ph©n ban) 
4. Ph­¬ng tr×nh hµm – NguyÔn V¨n MËu – 1997. 
5. C¸c bµi to¸n thi Olimpic To¸n - 2007 
6. Bµi to¸n hµm sè qua c¸c kú thi Olimpic – NguyÔn Träng TuÊn – 2005 
7. C¸c bµi to¸n vÒ hµm sè – Phan huy kh¶i – 2007. 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.