Sáng kiến kinh nghiệm Môn Toán THCS về phương trình bậc cao

1) có 4 nghiệm x1 = 
c. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình x4 - 5x2 + 6 = 0 (2.1.1)
Giải: Đặt x2 = y 0 thì (2.1.1) y2 - 5x + 6 = 0 => y1 = 2; y2 = 3
Với y1 = 2 => x2 = 2 => x1= 
Với y2 = 3 => x2 = 3 => x3 =
Tập nghiệm của phương trình (2.1.1) là S= 
Ví dụ 2: Giải phương trình 2x4 + 7x2 + 3 = 0	(2.1.2)
Giải: Đặt x2 = y 0 thì (2.1.2) 2y2 + 7y + 3 = 0	
=> y1 -1/2 (loại); y2 -3 (loại)
Phương trình (2.1.2) vô nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình (2.1.2) là: S = 
Ví dụ 3: Giải phương trình 3x4 5x2 - 2 = 0 (2.1.3)
Giải: Đặt x2 = y 0 thì (2.1.3) 3y2 - 5y - 2= 0
=> y1 = 2; y2 -1/3 (loại)
Với y1 = 2 => x2 = 2 => x1 = 
Tập nghiệm của phương trình (2.1.3) là S=
2.2. Phương trình đối xứng bậc chẵn
a. Định nghĩa: Phương trình đối xứng bậc chẵn là phương trình có dạng: a0x2n + a1x2n-1 + ..... an-1xn+1 + anxn + an+1xn-1 +...+ a1x+a0 = 0 	(2.2)
b. Cách giải:
Nếu x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.2) thì ta chia cả hai vế của phương trình (2.2) cho x2 0
 (2.2) a0x2n + a1x2n-1 + ..... an-1x1 + anx0 + an+1x-1 +...+ a1x-(n-1)+a0x-n = 0
 a0(xn + x-n) + a1(xn-1 + x-(n-1)+...+an = 0
Đặt y = x + x-1 => ta đưa phương trình (2.2) về phương trình bậc 2 với ẩn y.
c. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0 	(2.2.1)
Giải: x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (2.2.1), chia hai vế của phương trình (2.2.1) cho x2 rồi nhóm lại ta có:
(2.2.1) 2(x2 + 1/x2) + 3(x+1/x) - 16 = 0
Đặt: y = x + 1/x ta được phương trình bậc hai.
2y2 + 3y - 20 = 0 => y1 = 5/2; => y2 = -4
Với y1 = 5/2 => x+1/x = 5/2 2x2 - 5x + 2 = 0
=> x1 = 2; x2 = 1/2
Với y2 = -4 => x+1/x = -4 x2 + 4x + 1 = 0
=> x3 = -2+ ; x4 = -2- 
Tập nghiệm của phương trình (2.2.1) là: S= {2;1/2;-2+ ;-2- }
Ví dụ 2: Giải phương trình: x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + 1 = 0 	(2.2.2)
Giải: x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.2.2), chia 2 vế của phương trình (2.2.2) cho x2 rồi nhóm lại ta có:
 (2.2.2) (x2 + 1/x2) - 3(x+1/x)+4 = 0
Đặt x+1/x = y ta được phương trình bậc hai.
y2 - 3y + 2 = 0
=> y1 = 1 ; y1 = 2 
Với y1 = 1 => x + 1/x =1 x2 - x + 1 = 0 phương trình vô nghiệm.
Với y2 = 2 => x + 1/x =2 x2 - 2x + 1 = 0 => x = 1
Tập nghiệm của phương trình (2.2.2) là: S = {1}
2.3 Phương trình đối xứng bậc lẻ:
a. Định nghĩa: Phương trình đối xứng bậc lẻ là phương trình có dạng.
a0x2n+1 + a1x2n + ..... an+1xn+1 + anxn + an-1xn-1 +...+ a1x+a0 = 0	(2.3)
b. Cách giải: Phương trình này luôn có nghiệm x=-1,. Do đó ta chia cả hai vế của phương trình (2.3) cho (x+1) ta được phương trình đối xứng bậc chẵn.
c. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0	(2.3.1)
Giải: Ta thấy x =-1 là một nghiệm của (2.3.1)
Hạ bậc (2.3.1) (x+1) (2x2 + 5x+2) = 0
 (x+1) (x+2+ (2x+1) = 0
Tập nghiệm của phương trình (2.3.1) là S = {1;-2;-1/2}
Ví dụ 2: Giải phương trình: x7-2x6+3x5 - x4 - x3 + 3x2 -2x +1 = 0(2.3.2)
Giải: Ta thấy x=-1 là một nghiệm của phương trình (2.3.2)
Dùng sơ đồ Hooc ne để hạ bậc của phương trình.
1
-2
3
-1
-1
3
-2
1
-1
1
-3
6
-7
6
-3
1
0
 (2.3.2) (x+1)(x6 - 3x5 + 6x4 - 7x3 + 6x2 - 3x + 1) = 0
Ta giải phương trình: (x6 - 3x5 + 6x4 - 7x3 + 6x2 - 3x + 1) = 0	(*)
(Đây là phương trình đối xứng bậc chẵn)
Ta thấy x=0 không là nghiệm của phương trình (*), ta chia cả 2 vế của (*) cho x3 0 ta được:
x3 - 3x2 + 6x - 7 + 6/x - 3/x2 + 1/x3 = 0
 (x3 + 1/x3) =3(x2 +1/x2) +6(x+1/x)-7=0	(**)
Đặt: x+1/x = t phương trình (**) 	 t3 - 3t2 + 3t - 1 = 0
 (t-1)3 = 0
=> t =1
=> x+1/x = 1 x2 - x + 1 = 0. Phương trình này vô nghiệm.
. x+1=0 => x = -1
Tập nghiệm của phương trình (2.3.2) là: S = {-1}
2.4. Phương trình phản thương:
a. Phương trình phản thương là phương trình có dạng:
ax4 + bx3 + cx2 - bx + a = 0	(2.4)
(Hoặc: ax4 -bx3 + cx2 - bx + a = 0	(2.4*)
b. Cách giải:
x= 0 không là nghiệm của (2.4), chia cả hai vế của (2.4) cho x2 ta có:
(2.4) ax2 + bx+c - b/x + a/x2 = 0
 a(x2 + 1/x2) + b(x-1/x) + c = 0
Đặt: x-1/x = y ta có phương trình: ay2 + by + c + 2a = 0 giải phương trình này ta được nghiệm y0, giải phương trình: x-1/x = y0 ta được nghiệm của phương trình (2.4)
Giải tương tự đối với phương trình (2.4*).
c. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 - 7x3 + 8x2 + 7x+ 1 = 0	(2.4.1)
Giải: x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.4.1), chia cả hai vế của phương trình (2.4.1) cho x2 ta có: x2 - 7x + 8 + 7/x+ 1/x2 = 0
 (x2 + 1/x2 )- 7(x - 1/x)+ 8 = 0
Đặt: x-1/x = y ta có phương trình: y2 - 7y + 10 = 0
=> y1 = 5; y2 = 2
Với y1 = 5 => x - 1/x = 5 x2 - 5x - 1 = 0
Với y2 = 2 => x-1/x = 2 => x2 - 2x - 1 0
 => x3 = 1 + ; x4 = 1- 
Tập nghiệm của phương trình (2.4.1) là: 
S=
Ví dụ 2: Giải phương trình: 6x4 + 7x3 - 36x2 - 7x+ 6 = 0	 (2.4.2)
Giải: x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.4.2), chia cả hai vế của phương trình (2.4.2) cho x2 ta có: 6x2 + 7x -36 - 7/x+ 6/x2 = 0
 6(x2 + 1/x2 )+ 7(x - 1/x)-36 = 0
Đặt: x-1/x = y phương trình trở thành:
 6(y2 +2)+ 7y -36 = 0
6y2 + 7y - 24 = 0
=> y1 = 3/2; y2 = -8/3
Với y1 = 3/2 => x - 1/x = 3/2 2x2 - 3x - 2 = 0=> x1 = 2; x2 = -1/2
Với y = -8/3 => x - 1/x = -8/3 3x2 + 8x - 3 = 0=> x3 = 1/3; x4 = -3
Tập nghiệm của phương trình (2.4.2) là: S = {2; -1/2; 1/3; 3}
2.5. Phương trình hồi quy.
a. Định nghĩa:
Phương trình hồi quy là phương trình có dạng:
ax4 + bx3 + cx2 dx+ e = 0	 (2.5) trong đó: e/a = (d/b)2 = t2
b. Cách giải: 
x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.5), chia cả hai vế của phương trình (2.5) cho x2 thì (2.5) ax2 + bx + c d/x+ e/x2 = 0
 (ax2 + e/x2) + (bxd/x)+ c = 0
 a(x2 + t2x-2) + b(xtx-1)+ c = 0
Đặt: xtx-1 = y khi đó (2.5*) ay2 + by+ c 2at = 0 giải phương trình này ta được nghiệm y0, giải xtx-1 = y0 ta được nghiệm của phương trình (2.5)
c. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 - 3x3 + 3x+1 = 0	 (2.5.1)
Giải: 
x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.5.1), chia cả hai vế của phương trình (2.5.1) cho x2 thì (2.5.1) x2 - 3x + +3/x +1/x2 = 0
 (x2 + 1/x2) - 3 (x-1/x) = 0
Đặt: x-1/x = t ta có phương trình: t2 - 3t + 2 = o => t1 = 1; t2 = 2
Với t1 = 1 => x-1/x = 1 x2- x-1= 0 => x1 = 
Với t2= 2=> x-1/x = 2=> x2- 2x-1= 0 => x3 =
Tập nghiệm của phương trình (2.5.1) là: 
S=
Ví dụ 2: Giải phương trình: x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0	(2.5.2)
Giải: Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.5.2) chia hai vế của phương trình (2.5.2) cho x2 0 ta được:
x2 + 3x - 14 - 6/x + 4/x2 = 0
Đặt: x-2/x = t => x2 + 4/x2 = t2 + 4
Phương trình (2.5.2) trở thành: t2 + 3t - 10 = 0 => t1 = 2; t2 = -5
Với t1 = 2 => x-2/x = 2 x2 -2x - 2 = 0 => x1 = 
Với t2 = -5 => x-2/x = -5 x2 +5x - 2 = 0 
=> x3 = 
Tập nghiệm của phương trình (2.5.2) là: 
S=
2.6. Phương trình có dạng: (x+a)4 +(x+b)4 = c	(2.6)
a. Cách giải:
Đặt y = x+
Khi đó: 
Phương trình (2.6) có dạng:
()4 + ()4 = c 2y4 + 12()2 y2 + 2()4 - c=0
Đây là phương trình trùng phương ta đã biết cách giải.
b. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình (x+2)4 + (x+8)4 = 272	(2.6.1)
Giải: Đặt y=x+= x+5 => x=y-5
(2.6.1) (y-3)4 + (y+3)4 = 272
 2y4 + 108y2 + 162 = 272
 2y4 + 108y2 - 110 = 0
 y4 + 54y2 - 55 = 0	(2.6.1')
Đặt: y2 = z 0 phương trình (2.6.1') có dạng:
Z2 + 54z - 55 = 0 => z1 = 1; z2 = -55 (loại)
Với z1 = 1 =>y1 = 1; y2 = -1
y1 = 1 =>x1 = -4
y2 = -1 =>x2 = -6
Tập nghiệm của phương trình (2.6.1) là: S{-4;-6}
Ví dụ 2: Giải phương trình: (x-6)4 + (x-8)4 = 16	(2.6.2)
Đặt: y = x+ = x-7 => x=y+7
(2.6.2) => (y+1)4 + (y-1)4 = 16
 2y4 + 12y2 + 2 = 16
 y4 + 6y2 - 7 = 0
 Đặt: y2 = z 0 phương trình có dạng: z2 + 6z - 7 = 0 => z1 = 1; z2 =-7 (loại)
Với z1 = 1 => y1 = 1; y2 = -1
=> x1 = 8; x2 = 6 vậy tập nghiệm của phương trình (2.6.2) là: S= {8;6}
2.7. Phương trình: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx2 (2.7) trong đó ad =bc
a. Cách giải:
Ta nhóm: [(x+a) (x+d)][ (x+b) (x+c)] = mx2 
 [x2 + (a+d)x + ad] x2 + [(b+c)x + bc] = mx2 	(2.7.1')
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.7.1'), chia cả hai vế của phương trình (2.7.1') cho x2.
(2.7.1') [x + (a+d) + ad x-1] x + (b+c) + bc x-1] = m
Đặt: y = x+ad x-1 ta có phương trình: [y+(a+d] [y+(b+c)] = m (2.7.1'')
Giải phương trình (2.7.1'') ta được nghiệm y0.
Giải phương trình x+ad x-1 = y0 ta được nghiệm của phương trình (2.7)
b. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: (x+2)(x+3)(x+8)(x+12) = 4x2 (2.7.1) 
Giải:
(2.7.1) [((x+2) (x+12)][ (x+3) (x+8)] = 4x2 
 (x2 + 14x+24) (x2 + 11x+ 24)= 4x2 	
Phương trình này không có nghiệm x = 0 , chia cả hai vế của phương trình x2 0 ta được phương trình:
(x + 14+24/x) (x + 11+ 24/x)= 4. Đặt: x+24/x = y rồi đưa phương trình về dạng: (y+14)(y+11) = 4 y2 + 25y+ 150 = 0 => y1 = -15; y2 = -10
Với y1 = -15 => x+24/x = -15 x2 + 15x + 24 = 0 
Với y2 = -10 => x+24/x = -10 x2 + 10x + 24 = 0 => x3 = -6; x4 = 4
Tập nghiệm của phương trình (2.7.1) là: 
S = 
Ví dụ 2: Giải phương trình: (x+1) (x-4) (x+3) (x-12) = -2x2 (2.7.2)
Giải: (2.7.2) [(x+1) (x-12)] [(x-4) (x+3)] = -2x2 
 (x2 - 11x - 12) (x2 - x - 12) = -2x2 phương trình không có nghiệm x=0, chia cả hai vế của phương trình cho x2 0 ta được:
(x - 11 - 12/x) ( x-1 - 12/x) = -2
Đặt: x-12/x = y phương trình trở thành.
(y-11) (y-1) = -2 y2 - 12y + 13 = 0
=> y1 = 1; y2 = 13
Với y1 = 1 => x-12/x = 1 x2 - x - 12 = 0 => x1 = 4; x2 = -3
Với y2 = 13 => x-12/x = 13 x2 - 13x - 12 = 0 
=> 
Tập nghiệm của phương trình (2.7.2) là: S=
2.8. Phương trình dạng: d(x+a)(x+b)(x+c) = mx	(2.8) trong đó
d=; m=(d-a)(d-b) (d-c)
Cách giải: Đặt y = x+d => x=y-d thay vào phương trình (2.8) ta được phương trình ẩn y; giải phương trình đó ta tìm được nghiệm y0. Giải phương trình x=y0 - d ta tìm được x0 là nghịêm của (2.8)
b. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình (x-2)(x-3)(x+7) = -72x	(2.8.1)
Giải: Đặt y=x+=x+1 => x=y-1 thay vào (2.8.1) ta có:
(y-3)(y-4)(y+6) = -72(y-1) y3 - y2 + 42y = 0 y(y2- y + 42) = 0
Phương trình vô nghiệm
Với y = 0 => x = 0 - 1 = -1
Tập nghiệm của phương trình (2.8.1) là: S={-1}
Ví dụ 2: Giải phương trình: 8(x+2)(x+5)(x+9) = -18x	(2.8.2)
Giải: Đặt y=x=8 => x=y-8 thay vào (2.8.2) ta có: 
8 (y-6) (y-3)(y+1) = -18 (y-8)
 4y3 - 32y2 + 45y = 0 y(4y2 - 32y + 45) = 0. Giải phương trình này ta được: y1 = 0; y2 = 
Với y1 = 0 => x1 = -8
Với y2 = => x2 = -8= 
Với y3 = => x3 = 
Tập nghiệm của phương trình: (2.8.2) là: S =
2.9. Phương trình có dạng:
(x+a) (x+b) ( x+ c) (x+d) = m 	(2.9) trong đó: a+d= b +c
a. Cách giải: Ta nhóm [(x+a) (x+d) ] [(x+b) (x+c)] = m	(2.9.1')
Đặt: y = (x+a) (x+d) thay vào phương trình (2.9.1') ta tìm được y0. Giải phương trình (x+a) (x+d) = y0 ta có x0 là nghiệm của phương trình (2.9.1')
b. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: (x+5) (x+6) (x+8) (x+9) = 40 (2.9.1)
Giải: (2.9.1) [(x+5) (x+9)] [(x+6) (x+8) ] = 40
 (x2 + 14x + 45) (x2 + 14x + 48) = 40
Đặt: x2 + 14x + 45 = y phương trình có dạng: y(y+3) = 40
 y2 + 3y - 40 =0 => y1 = 5; y2 = -8
Với y1 = 5 => x2 +14x + 45 = 5 x2+14x + 40 = 0=> x1 =-4; x2=-10
Với y2 = -8 => x2 +14x + 45 =-8 x2+14x + 53=0 PT vô nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình: (2.9.1) là: S = {-4; -10}
Ví dụ 2: Giải phương trình: (x-1) (x+7) (x2 + 2x - 15) = 297 (2.9.2)
Giải: (2.9.2) (x-1) (x+7) (x-3) (x+5) = 297
 [(x-1) (x+5) [(x+7) (x-3)] = 297
(x2 + 4x - 5) (x2 + 4x - 21) = 297
Đặt x2 + 4x - 5 = y phương trình có dạng: y(y-16) = 297
 y2 - 16y - 297 = 0 => y1 = 27; y2 = -11
Với y1 = 27 => x2 + 4x - 5 = 27 => x2 + 4x - 32 = 0 => x1 =-8; x2 = 4
Với y2 =-11 => x2 + 4x - 5 = -11 => x2 + 4x +6 = 0 PT vô nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình (2.9.2) là: S = {-8;4}
2.10. Phương trình tam thức:
a. Định nghĩa: Phương trình tam thức là phương trình có dạng:
ax2n + bxn + c = 0 (a0)	(2.10)
Trong đó: a,b,c là các số thức, n nguyên dương, n2.
Nếu a,b,c là các số thực đồng thời khác 0 và n = 2 thì (2.10) là phương trình trùng phương.
b. Cách giải:
Đặt xn = y (2.10) 
Giải; (**) ta tìm được y0 thay vào (*) ta tìm được x0 là nghiệm của (2.10).
c. Các ví dụ: 
Ví dụ 1: Giải phương trình: x6 - 7x3 + 6 = 0 	(2.10.1)
Giải: Đặt x3 = y thì (2.10.1) y2 - 7y + 6 = 0 => y1 = 1; y2 = 6
Với y1 = 1 => x3 = 1 => x=1
Với y2 = 6 => x3 = 6 => x = 
Tập nghiệm của phương trình (2.10.1) là: S = {1; }
Ví dụ 2: Giải phương trình: x10 + x5 - 6 = 0	(2.10.2)
Giải: Đặt x5 = y thì (2.10.2) y2 + y - 6 = 0 => y1 = 2; y2 = -3
Với y1 = 2 => x5 = 2 => x = 
Với y2 = -3 => x5 = -3 => x = 
Tập nghiệm của phương trình (2.10.2) là: S = {; }
3. Phương pháp 3: Đưa hai vế về luỹ thừa cùng bậc.
a. Cơ sở lý luận: Thêm bớt vào hai vế của phương trình đi cùng một biểu thức (hay 1 số) để đưa 2 vế của phương trình trở thành 2 luỹ thừa cùng bậc.
Phương trình: An = Bn 	(3.1)
+ Nếu n là số chẵn thì A = B 	(3.2)
+ Nếu n là số lẻ thì A = B 	(3.3)
 Giải phương trình (3.2) và (3.3) ta tìm được nghiệm của phương trình (3.1)
b. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 = 24x + 32 	(3.1.1)
Giải: Cộng 4x2 + 4 vào hai vế của phương trình (3.1.1) ta có:
x4 +4x2 + 4 = 4x2 + 24x + 36
 (x2 + 2) 2 = (2x+ 6)2 
phương trình vô nghiệm
Tập nghiệm của phương trình (3.1.1) là: S = { ; }
Ví dụ 2: Giải phương trình: (x2 - 9)2 = 12x +1	(3.1.2)
Giải: Cộng 36x2 vào hai vế của phương trình thì (3.1.2)
 (x2 - 9)2 + 36x2 = 36x2 + 12x + 1
 (x2 + 9)2 = (6x + 1)2 
phương trình vô nghiệm
Tập nghiệm của phương trình (3.1.2) là: S = {2;4}
4. Phương pháp 4: Dùng bất đẳng thức
a. Cơ sở lý luận:
* Dùng tính đơn điệu của hàm số trên từng khoảng:
Đưa phương trình đã cho về dạng f(x) = g(x)	(1*)
+ Nếu x1 > x2 mà f(x1) > f(x2) thì f(x) là hàm đồng biến.
+ Nếu x1 > x2 mà f(x1) < f(x2) thì f(x) là hàm nghịch biến.
+ Nếu 	f(x) tăng trên [a,b]
g(x) giảm trên [a,b] thì x0 là nghiệm duy nhất của (1*)
f(x0) = g(x0)
+ Nếu 	f(x) giảm trên [a,b]
g(x) tăng trên [a,b] thì x0 là nghiệm duy nhất của (1*)
f(x0) = g(x0)
* Dùng các bất đẳng thức.
 dấu "=" xẩy ra khi AB 0
 dấu "=" xẩy ra khi AB 0
 dấu "=" xẩy ra khi A 0
b. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: 	(4.1)
Giải: áp dụng hằng bất đẳng thức
 dấu "=" xẩy ra khi AB 0
Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi: x(1-x) 0 0x1
Tập nghiệm của phương trình (4.1) là: S = {x/0x1}
Ví dụ 2: Giải phương trình 	(4.2)
Giải: Viết phương trình (4.2) dưới dạng:
Dễ thấyx =8; x =9 đều là nghiệm của(4.2).Xét các giá trị còn lại của x.
Với x<8 thì còn 
=> vậy phương trình (4.2) vô nghiệm khi x<8.
Với x>9 thì còn >0
=> phương trình (4.2) vô nghiệm khi x>9.
Với 8<x<9 thì
0 = x - 8
0 
=> 
=> => phương trình (4.2) vô nghiệm.
Kết luận:Tập nghiệm của phương trình (4.2) là: S = {8;9}
5. Phương pháp 5: Dùng tính chất về số nghiệm thực của phương trình
a. Cơ sở lý luận:
 Người ta chứng minh được rằng phương trình đại số bậc n có không quá n nghiệm thực. Do đó nếu ta chỉ ra được n nghiệm của một phương trình đại số bậc n thì đó là tất cả các nghiệm của phương trình đó.
Ví dụ: Giải phương trình với a là tham số:
(a2 - a)2 (x2 - x+1)3 = (x2 - x)2 (a2 - a + 1)3 	(5.1)
Giải: Với a = 0 hoặc a = 1 thì (5.1) có hai nghiệm: 0 và 1
Xét a 0, a 1. Khi đó x 0 (Vì nếu x = 0 thì a = 0 hoặc a = 1). Gọi m là nghiệm của (5.1).
=> (a2 - a)2 (m2 - m + 1)3 = (m2 - m)2 (a2 - a + 1)3 	(5.1.1')
Chia hai vế của (5.1.1') cho m2 ta có:
(a2 - a)2 (1-1/m+1/m2)3 = (1/m - 1/m2)2 (a2 - a + 1)3
 (a2 - a)2 (1/m2 - 1/m + 1)3 = (1/m2 - 1/m)2 (a2 - a + 1)3.
Điều này chứng tỏ rằng 1/m cũng là nghiệm của (5.1). Ta dễ dàng chứng minh được 1- m cũng là nghiệm của (5.1).
Vậy a là một nghiệm của (5.1) theo trên thì 1/a và 1-a cũng là nghiệm của (5.1). Do 1/a là nghiệm của (5.1) nên 1-1/a cũng là nghiệm của (5.1). Do 1-a là nghiệm của (5.1) nên cũng là nghiệm của (5.1). Do đó 1- cũng là nghiệm của (5.1). Điều kiện để sáu giá trị a, 1/a, 1-a, 1-1/a, , 
1- đôi 1 khác nhau là: a0, a 1, a-1; a 2; a1/2.
Các trường hợp a = 0, a = 1 đã xét ở trên.
Trong mỗi trường hợp a = -1, a =2, a = 1/2, phương trình (5.1) đều có dạng: 4(x2 - x + 1)3 = 27 (x2 - x)2.
 (x+1)2 (x-2)2 (2x-1)2 = 0
Phương trình có 3 nghiệm kép: -1; 2; 1/2.
Trong trường hợp a0, a1, a 2, a1/2, phương trình có 6 nghiệm nêu trên, không còn nghiệm nào khác.
6. Một số phương pháp khác:
Ví dụ 1: Giải phương trình: (3-x)4 + (2-x)4 = (5-2x)4	(6.1)
Giải: Đặt 3-x = y; 2-x = z => 5-2x = y+z phương trình (6.1 có dạng: 
y4 + z4 = (y+z)4. Khai triển vế phải, rút gọn rồi biến đổi ta được:
yz (2y2 + 3yz + 2z2 ) = 0
Với y = 0 => 3-x = 0 => x1 = 3
Với z = 0 => 2 - x = 0 => x2 = 2
Với 2y2 + 3yz + 2z2 = 0 => 2(3-x)2 + 3 (3-x) (2-x) + 2 (2-x)2 = 0
 7x2 - 35x + 44 = 0 phương trình vô nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình (6.1) là: S = {3;2}
Ví dụ 2: Giải phương trình:
(x2 - x + 1)4 - 10x2 (x2 - x + 1)2 + 9x4 = 0	(6.2)
Giải: Đặt (x2-x+1)2 = y phương trình (6.2) trở thành: y2-10x2y +9x4 = 0
 (y-x2) (y-9x2) = 0 => y1 = x2; y2 = 9x2
Với y1 = x2 => (x2 - x + 1)2 = x2 
Phương trình vô nghiệm
Với y2 = 9x2 => (x2 - x + 1)2 = 9x2 
Tập nghiệm của phương trình (6.2) là: S = {1; - 1; ; }
Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình với a là tham số:
x4 - 2ax2 - x + a2 - a = 0	(6.3)
Giải: Biến đổi (6.3) (x2 - x - a) (x2 + x + 1 - a) = 0
Phương trình (*) có 1 = 1+4a, phương trình (**) có 2 = 4a-3
- Nếu a<-1/4 phương trình vô nghiệm
- Nếu a =-1/4 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1/2
- Nếu -1/4 <a < 3/4 phương trình có hai nghiệm:
- Nếu a = 3/4 phương trình có hai nghiệm: x1 = -1/2; x2 = 3/2
- Nếu a > 3/4 phương trình có 4 nghiệm:
V. Kết luận:
Giải phương trình bậc cao là một nội dung rộng, đã được nhiều người đề cập đến và đối với học sinh những bài toán giải phương trình bậc cao là những bài toán khó nó bổ trợ cho sự rèn luyện, phát triển năng lực tư duy sáng tạo và trí thông minh của học sinh.
Mỗi một bài toán về giải phương trình bậc cao đều có một phương pháp riêng để đưa về giải phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai. Trong khuôn khổ của đề tài mang nội dung rộng và khó, tôi mới chỉ đưa ra một số cách giải phương trình bậc cao mà tôi đúc rút được qua việc giải bài tập, qua nghiên cứu các tài liệu, qua quá trình giảng dạy và trao đổi với các đồng nghiệp.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài chắc còn có những thiết sót. Rất mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo, các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh.
Phần III: Bài tập tự luyện
Giải phương trình:
Bài 1:
a. x3 - 5x2 + 8x - 4 = 0
b. 9a x3 - 18x2 - 4ax + 8 = 0
c. x3 + x2 + 4 = 0
d. (x-1)3 + (x+2)3 = (2x+1)3
 Bài 2:
a. (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12
b. (x-7) (x-5) (x-4) (x-2) = 72
c. (6x + 7)2 (3x + 4) (x+1) = 6
Bài 3:
a. (x2 - 4x)2 + 2(x-2)2 = 43
b. x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0
c. 2x4 + x3 - 6x2 + x + 2 = 0
Bài 4:
a. (x2 - 6x + 9)2 - 15 (x2 -6x + 10) = 1
b. (x2 - 6x - 9)2 = x(x2 - 4x - 9)
c. x4 = 2x2 + 8x + 3
d. (x-2)6 + (x-4)6 = 64
Bài 5: 
a. (x2 - x + 1)4 + 5x4 = 6x2 (x2 - x+1)2.
b. (x+2)2 + (x+3)3 + (x+4)4 = 2
c. (x-)3 + (x+)3 + (- - 2x)3 = 0
Bài 6: Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm:
1999x4 + 1998x3 + 2000x2 + 1997x + 1999= 0
Bài 7: Giải và biện luận phương trình:
x4 - 10x3 - 2(a-11)x2 + 2(5a+6)x + 2a + a2 = 0 (a là tham số)
Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa Đại số lớp 8
(Nguyễn Duy Thuận)
2. Sách giáo khoa Đại số lớp 9
(Ngô Hữu Dũng - Trần Kiều)
3. Toán bồi dưỡng HS lớp 8- Đại số
(Vũ Hữu Bình - Tôn Thân- Đỗ Quang Thiều)
4. Một số vấn đề phát triển Đại số lớp 8
(Vũ Hữu Bình)
5. Toán nâng cao và các chuyên đề ĐS8
(Nguyễn Ngọc Đạm- Nguyễn Việt Hải- Vũ Dương Thuỵ)
6. Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS môn Toán (Bộ GD&ĐT)
7. Toán bồi dưỡng HS lớp 9- Đại số
(Vũ Hữu Bình - Tôn Thân- Đỗ Quang Thiều)
8. Một số vấn đề phát triển - Đại số 9
(Vũ Hữu Bình)
9. Toán nâng cao và các chuyên đề ĐS9
(Nguyễn Ngọc Đạm- Nguyễn Việt Hải- Vũ Dương Thuỵ)
10. 1001 bài toán sơ cấp
(Nguyễn Văn Vĩnh - Nguyễn Đức Đồng)
11. Tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS
(Vũ Dương Thuỵ- Trương Công Thành- Nguyễn Ngọc Đạm