Sáng kiến kinh nghiệm Lời giải chi tiết một số câu hỏi trắc nghiệm hay và khó trong các đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán

MỤC LỤC
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu 
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vị trí, vai trò hết sức quan trọng, là môn học cơ bản, môn học công cụ. Nếu học tốt môn Toán thì những tri thức cùng với phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết; môn toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo và bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Với nguyện vọng giúp học sinh nâng cao tư duy về môn toán tôi tập trung khai thác các bài toán khó trong một số đề thi thử THPTQG môn Toán. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh lớp 12 có thêm một phương pháp giải một số các bài toán khó.
2. Tên sáng kiến: LỜI GIẢI CHI TIẾT MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM HAY VÀ KHÓ TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPTQG MÔN TOÁN
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thị Minh Huệ
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Bình Xuyên.
- Số điện thoại: 0915727568. E_mail: minhhuec3bx@gmail.com
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Thị Minh Huệ
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Đề tài được sử dụng để giảng dạy, ôn thi đại học và bồi dưỡng cho các em học sinh giỏi lớp 12 hệ THPT và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy ôn thi THPTQG môn Toán. Các thầy cô và học sinh có thể sử dụng các bài toán trong đề tài này làm bài toán gốc để đặt và giải quyết các bài tập tương tự.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 9 năm 2018 khi tôi trực tiếp giảng dạy lớp 12. 
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
	- Về nội dung của sáng kiến được chia thành 5 phần
1, Một số bài tập hay về phần hàm số.
2, Một số bài tập hay về phần mũ và logarit.
3, Một số bài tập hay về phần tích phân.
4, Một số bài tập hay về phần hình học không gian.
5, Một số bài tập hay về phần phương pháp tọa độ trong không gian.
	Sau đây, tác giả trình bày nội dung cụ thể của từng phần.
PHẦN 1: MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ PHẦN HÀM SỐ.
Bài tập 1: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số nghịch biến trên ?
2016
B.
2019
C.
2017
D.
2018
Lời giải:
Chọn C
TH1: , do đó hàm số nghịch biến trên . Vậy thỏa mãn yêu cầu đề bài.
TH2: , ta có . Để hàm số nghịch biến trên , điều kiện 
Từ 2 trường hợp trên suy ra , và m là số nguyên nên . Vậy có 2017 giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài. Chọn đáp án C.
Bài tập 2: Cho hàm số với và . Số cực trị của hàm số bằng
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Chọn D
Ta có hàm số là hàm số bậc ba liên tục trên . 
Do nên 
Để ý nên phương trình có đúng 
 nghiệm phân biệt trên .
Khi đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm phân biệt nên hàm số 
 có đúng cực trị.
Bài tập 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị 
của hàm số tại hai điểm A, B phân biệt sao cho đạt giá trị nhỏ nhất 
(với là hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B của đồ thị 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Chọn B
Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị là nghiệm PT 
Ta có 
Đạt được khi 
Bài tập 4: Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không
nắp có thể tích bằng , đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá 
thuê nhân công để xây bể là đồng/. Nếu người đó biết xác định các kích thước của 
bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi người đó trả chi phí thấp nhất để thuê 
nhân công xây dựng bể đó là bao nhiêu?
A. triệu đồng. B. triệu đồng. C. triệu đồng. D. triệu đồng.
Lời giải
Chọn A 
Gọi là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là và là chiều cao bể.
Bể có thể tích bằng .
Diện tích cần xây là  .
Xét hàm  .
Lập bảng biến thiên suy ra .
Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng .
Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là đồng.
Chú ý: Có thể sử dụng BĐT Cô si để tìm min, cụ thể
 khi .
Bài tập 5: Cho hai hàm số , . Hai hàm số và có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số .
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có .
Dựa vào đồ thị, , ta có , ;
, do đó .
Suy ra . Do đó hàm số đồng biến trên .
Bài tập 6: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đạt cực tiểu tại 
A. .	B. .	C. .	D. Vô số.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: .
Ta xét các trường hợp sau
* Nếu 
 Khi là điểm cực tiểu.
 Khi không là điểm cực tiểu.
* Nếu Khi đó ta có
Số cực trị của hàm bằng số cực trị của hàm 
Nếu là điểm cực tiểu thì . Khi đó
Vậy có 4 giá trị nguyên của m.
Bài tập 7: Biết giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là 2018. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng? 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Đáp án A
Xét hàm số có
Xét . Do đó với thì 
Từ đó .
Bài tập rèn luyện
Bài 1. Cho hàm số có đạo hàm đến cấp hai trên Biết ; và bảng xét dấu của như sau:
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm thuộc khoảng nào sau đây?
A. 	B. 	C. D. 
Bài 2. Có bao nhiêu số nguyên để hàm số đồng biến trên khoảng 
A.
2017
B.
2016
C.
2018
D.
2015
Bài 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm?
A. 5	B. 4	C. 6 	D. 3
Bài 4. Giả sử đường thẳng là tiếp tuyến chung của đồ thị các hàm số và . Tính .
A. 	B. 	C. D. 
PHẦN 2. MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ PHẦN MŨ VÀ LOGARIT.
Bài tập 1: Biết là hai nghiệm của phương trình và với a, b là hai số nguyên dương. Tính 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Chọn B.
Điều kiện: 
Đặt nên phương trình có dạng: 
 Xét hàm số trên . 
Hàm số đồng biến trên và .
 PT (*) 
Do đó 
Bài tập 2: Biết rằng trong đó Tính giá trị của biểu thức 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Chọn B.
Ta có Lại có: 
Đặt Ta xét hàm số trên có kết quả Vậy .
Khi đó 
Ta có Lại có: 
Đặt Ta xét hàm số trên có kết quả Vậy .
Khi đó 
Bài tập 3: Xét các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của 
A. 	B. C. D. 
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện: dương và 
Đặt và Giả thiết trở thành 	(1)
Xét hàm số trên Ta có Do đó đồng biến trên 
Vì vậy (1) tương đương với 
Ta có nên 
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 
Ta có và (loại).
Lập BBT ta được 
Bài tập 4: Cho , thỏa mãn . Giá trị của bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có , nên .
Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương ta được
.
Vì dấu “” đã xảy ra nên
 (vì ). Suy ra .
Vậy .
Bài tập 5: Cho phương trình với là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện 
Ta có 
 .
Xét hàm số , , do đó từ suy ra .
Xét hàm số , , .
Bảng biến thiên
Do đó để phương trình có nghiệm thì .
Các giá trị nguyên của là , có giá trị thỏa mãn.
Bài tập 6: Cho x, y là các số thực thỏa mãn . Biết giá trị nhỏ nhất của biển thức là . Giá trị là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Đáp án C.
Từ giả thiết ta có 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương và ta được:
Dấu “=” xảy ra (do )
Vậy , do đó 
Bài tập rèn luyện	
Bài 1: Số nghiệm của phương trình là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 2: Cho các số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên để phương trình có nghiệm.
A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình có nghiệm?
A. 6.	B. 4.	C. 	D. 
PHẦN 3. MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ PHẦN TÍCH PHÂN.
Bài tập 1: Cho hàm số Đồ thị của hàm số như hình dưới đây. Đặt 
 Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 	B. 
C. 	D. 
Lời giải
Theo hình vẽ (mỗi ô vuông có diện tích bằng 1) ta có
Do đó ta được 
* Theo hình vẽ ta có 
Do đó ta được 
Vậy 
Bài tập 2: Cho hàm số thỏa mãn và với mọi . Giá trị của bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có .
Từ suy ra .
Do đó .
Bài tập rèn luyện
Bài 1: Cho hàm số thỏa mãn và . Giá trị của bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 2: Cho là hàm số có đạo hàm liên tục trên có và . Khi đó bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
PHẦN 4. MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ PHẦN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.
Bài tập 1: Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng . Tính thể tích của khối chóp có thể tích lớn nhất.
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi , là trung điểm và là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều .
Ta có .
Ta có 
 .
Bài tập 2: Cho tứ diện và các điểm , , thuộc các cạnh , , sao cho , , . Tính tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện được phân chia bởi mặt phẳng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B 
Trong mặt phẳng vẽ cắt tại .
Trong mặt phẳng vẽ cắt tại .
Theo định lý Mennelaus cho tam giác cát tuyến ta có .
Theo định lý Mennelaus cho tam giác cát tuyến ta có .
Đặt , ta có
·	 .
·	 và .
·	 và .
.
Bài tập 3: Cho tam giác đều cạnh , gọi là đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng . Trên lấy điểm và đặt , . Gọi và lần lượt là trực tâm của các tam giác và . Biết cắt tại điểm . Khi ngắn nhất thì khối chóp có thể tích bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Xét tam giác có H là trực tâm, ta có 
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 
Dấu “” xảy ra khi .
Bài tập 4: Cho tứ diện có,,. Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
A. .	B. . 	C. .	D. . 
Lời giải
Chọn C
Xây dựng bài toán tổng quát 
Từ giả thiết ta có: MNDC là hình thoi; các tam giác CAN, DAM là các tam giác cân, suy ra: ,
Ta có: 
Từ 
Suy ra: 
 .
Ta có 
Ta có .
Bài tập rèn luyện
Bài 1: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Tam giác vuông tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng , với . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp .
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 2: Cho tứ diện , trên các cạnh , , lần lượt lấy các điểm , , sao cho , , . Mặt phẳng chia khối tứ diện thành hai phần có thể tích là , . Tính tỉ số .
A. .	B. .	C. . D. .
PHẦN 5. MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ PHẦN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
Bài tập 1: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng , và vuông góc với mặt phẳng đáy . Gọi , là hai điểm thay đổi trên hai cạnh , sao cho mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Tính tổng khi thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất.
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho , , , .
Suy ra . Đặt , , , suy ra , .
, , .
, .
Do nên .
, do nên .
.
Do đó .
Xét với , .
; (loại).
Lập BBT ta suy ra .
Vậy .
Bài tập 2: Cho hình lăng trụ đều . Biết khoảng cách từ điểm đến mặt 
phẳng bằng a, góc giữa hai mặt phẳng và bằng với 
 (tham khảo hình vẽ dưới đây). Thể tích khối lăng trụ bằng
A. . B. .	 C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi là trung điểm của , là trung điểm của 
Trong kẻ tại 
Khi đó 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gọi là độ dài cạnh của tam giác ta có
Khi đó, , , , , 
VTPT của mặt phẳng là 
VTPT của mặt phẳng là 
.
Bài tập 3: Cho và mặt phẳng Xét đường thẳng thuộc và đi qua Gọi là hình chiếu của lên Biết rằng thay đổi thì thuộc đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn đó.
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Vì nên thuộc mặt cầu có đường kính Vì vậy thuộc đường tròn cố định là giao tuyến của và 
* Tâm của trung điểm bán kính 
* Ta có 
Do đó bán kính của là 
Bài tập 4: Trong không gian , cho mặt cầu có tâm và đi qua điểm . Xét các điểm , , thuộc sao cho , , đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện có giá trị lớn nhất bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D.
Đặt , , thì là tứ diện vuông đỉnh , nội tiếp mặt cầu .
Khi đó là tứ diện đặt ở góc của hình hộp chữ nhật tương ứng có các cạnh , , và đường chéo là đường kính của cầu. Ta có .
Xét .
Mà 
Với . Vậy .
--------------------Hết-------------------
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Không
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 12 có học lực khá và tốt về môn Toán và nắm chắc kiến thức cơ bản lớp 12.
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả:
Đề tài của tôi được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải một số bài tập khó trong các đề thi.
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
................................................................................................................................. 
Vĩnh Phúc, ngày  tháng 01 năm 2019
Thủ trưởng đơn vị
KẾT LUẬN
1. KẾT LUẬN
- Trên đây là những bài tập mà tôi đúc rút được trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12 tại trường THPT Bình Xuyên.
- Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong năm học này, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải dạng toán trắc nghiệm. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cũng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. 
- Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn !
2. KIẾN NGHỊ
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới vào phòng thư viện để giáo viên và học sinh có thể nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ 	
- Tổ chuyên môn cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy cũng như các mảng chuyên đề hay trong các buổi họp tổ chuyên môn để học hỏi kinh nghiệm của nhau.
- Học sinh cần tăng cường tính tự giác học tập, ôn bài tại nhà để nâng cao chất lượng học tập. 
Tôi xin chân thành cám ơn !
Vĩnh Phúc, ngày 09 tháng 01 năm 2019
Tác giả sáng kiến
Nguyễn Thị Minh Huệ
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Website: ttps://dethi.violet.vn/ 
[2] Đại số và Giải tích 12 – Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn – Nhà xuất bản Đại học Sư phạm;
[3] Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo dục;
[4] Các đề thi THPTQG các năm 2016-2017, 2017-2018.
[5] Các đề thi thử THPTQG của các trường trong cả nước.
[6] Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 của các tỉnh những năm trước.
———— ––––