Sáng kiến kinh nghiệm Kỹ thuật dạy phương trình bậc hai một ẩn có hiệu quả

ì 4a2 > 0 với mọi a ≠ 0) 
 +Nếu ∆ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm .
 +Nếu ∆ = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép : x1 = x2 = - b/2a 
 +Nếu ∆ > 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt :
 x1 = (- b + sqrt∆)/2a ; x2 = (- b - sqrt∆)/2a 
 Sau khi thành lập công thức nghiệm xong ta có thể tóm tắc qui trình giải cho học sinh : 
 Dạng ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)
 Bước 1 : Tính biệt thức ∆ = b2 – 4ac 
 Bước 2 : Kiểm tra dấu của ∆ = b2 – 4ac
 Bước 3 : Trả lời kết quả 
 +Nếu ∆ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm .
 +Nếu ∆ = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép : x1 = x2 = - b/2a 
 +Nếu ∆ > 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt :
 x1 = (- b + sqrt∆)/2a ; x2 = (- b - sqrt∆)/2a 
4/Giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn :
 Cho học sinh giải phương trình : ax2 + 2b/x + c = 0 (a ≠ 0) (2) bằng công thức nghiệm , sau khi học sinh giải xong ta có thể bổ sung và hoàn thiện kiến thức, xây dựng công thức giải bằng công thức nghiệm thu gọn .
 Dạng ax2 + 2b/x + c = 0 (a ≠ 0) (2)
 Bước 1 : Tính biệt thức ∆/ = b/ 2 – ac 
 Bước 2 : Kiểm tra dấu của ∆/ = b/ 2 – ac
 Bước 3 : Trả lời kết quả 
 +Nếu ∆/ < 0 thì phương trình (2) vô nghiệm .
 +Nếu ∆/ = 0 thì phương trình (2) có nghiệm kép : x1 = x2 = - b/ /a 
 +Nếu ∆/ > 0 thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt :
 x1 = (- b/ + sqrt∆/)/a ; x2 = (- b/ - sqrt∆/)/a 
5/Giải phương trình bằng tính nhẩm nghiệm :
 Trong phần tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn , ta cần chú ý nhất là định lý Vi-ét thuận và đảo :
 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) có nghiệm 
 thì : tổng hai nghiệm : x1 + x2 = -b/a
 tích hai nghiệm : x1.x2 = c/a 
 Từ định lý Vi-ét ta có thể rút ra các tính chất sau :
 + Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) có nghiệm x1 = 1 
 thì a + b + c = 0 và x2 = c/a 
 + Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) có nghiệm x1 = -1 
 thì a - b + c = 0 và x2 = -c/a 
 Từ tính chất được rút ra ta chứng minh được công thức tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn : 
 Cho phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) 
 +Nếu a + b + c = 0 thì x1 = 1 ; x2 = c/a .
 +Nếu a - b + c = 0 thì x1 = -1 ; x2 = -c/a .
PHẦN THỨ HAI : ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI NGHIỆM 
 Đối với các phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (I) có chứa tham số m, tìm điều kiện của tham số m để phương trình có nghiệm, hoặc vô nghiệm, hoặc có hai nghiệm phân biệt, hoặc có nghiệm kép, hoặc có vô số nghiệm .
 +Phương trình (I) có nghiệm khi và chỉ khi 
 *Hệ số a, c trái dấu .
 *Hệ số a khác 0 và biệt thức denta lớn hơn hay bằng 0
 *Đường thẳng y = -bx – c cắt hoặc tiếp xúc với Parabol y = ax2 
 *Hệ số a = 0 , hệ số b ≠ 0 
 +Phương trình (I) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi :
 *Hệ số a, c trái dấu .
 *Hệ số a khác 0 và biệt thức denta lớn hơn 0
 *Đường thẳng y = -bx – c cắt Parabol y = ax2 
 +Phương trình (I) có một nghiệm kép khi và chỉ khi :
 *Hệ số a khác 0 và biệt thức denta bằng 0 .
 *Đường thẳng y = -bx – c tiếp xúc với Parabol y = ax2 
 +Phương trình (I) vô nghiệm khi và chỉ khi : 
 *Hệ số a khác 0 và biệt thức denta nhỏ hơn 0 .
 *Đường thẳng y = -bx – c không giao với Parabol y = ax2 
 *Hệ số a = 0 ; b = 0 ; c ≠ 0 
 +Phương trình (I) có vô số nghiệm khi và chỉ khi :
 *Hệ số a = 0 ; b = 0 ; c = 0 
PHẦN THỨ BA : CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH LUÔN CÓ NGHIỆM
 Đối với các phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (I) có chứa tham số m , chứng minh phương trình luôn luôn có nghiệm, hoặc vô nghiệm, hoặc có hai nghiệm phân biệt, hoặc có nghiệm kép với mọi tham số m .Ta cần chỉ ra một trong các vấn đề phù hợp với yêu cầu của đề bài .
 +Chứng minh phương trình (I) luôn có nghiệm với mọi m ta cần chỉ ra các vấn đề sau :
 *Hệ số a ≠ 0 và ∆ ≥ 0 với mọi m .
 *Hệ số a ≠ 0 và a.c <0 với mọi m .
 *Hệ số a = 0 và b ≠ 0 với mọi m .
 +Chứng minh phương trình (I) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ta cần chỉ ra các vấn đề sau:
 *Hệ số a ≠ 0 và ∆ > 0 với mọi m .
 *Hệ số a ≠ 0 và a.c <0 với mọi m . 
 +Chứng minh phương trình (I) luôn có nghiệm kép với mọi m ta cần chỉ ra vấn đề sau : 
 *Hệ số a ≠ 0 và ∆ = 0 với mọi m .
 Trường hợp chứng minh phương trình (I) có một nghiệm với mọi m ta cần chỉ ra các vấn đề sau :
 *Hệ số a ≠ 0 và ∆ = 0 với mọi m .
 *Hệ só a = 0 và hệ số b ≠ 0 với mọi m . 
 +Chứng minh phương trình (I) vô nghiệm với mọi m ta cần chỉ ra các vấn đề sau : 
 *Hệ số a ≠ 0 và ∆ < 0 với mọi m .
 *Hệ só a = 0 ; hệ số b = 0 và hệ số c ≠ 0 với mọi m . 
 Chú ý : Trong quá trình chứng minh yêu cầu của bài toán với tham số nào đó ta không nên loại trừ các trường hợp đặc biệt của bài toán có thể xãy ra , để tránh trường hợp thiếu nghiệm .
 Tránh nhầm lẫn giữa chứng minh phương trình luôn có nghiệm (có nghiệm kép ; vô nghiệm ; . . .)với tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (có nghiệm kép ; vô nghiệm ; . . .) 
PHẦN THỨ TƯ : HỆ THỨC VI-ÉT THUẬN VÀ ĐẢO 
 Về hệ thức Vi-ét thuận và đảo , phần nội dung học sinh nắm bài tương đối tốt nhưng về phần vận dụng vào giải các dạng toán đơn giản , có một bộ phận học sinh theo dõi không kịp , còn với dạng cao hơn một chút (có hai bước tư duy) thì chỉ có bộ phận học sinh khá giỏi theo kịp . Cho nên trong quá trình dạy phần này , ta chỉ cần xây dựng cho học sinh cách tìm tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai có nghiệm . Từ đó ta nâng dần lên cách tính nhẩm nghiệm , cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng , chú ý đến điều kiện tồn tại của hai số đó .
 Việc áp dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán toán học thuần túy và giải toán toán học ứng dụng còn đang là mới so với học sinh lớp 9 . Chẳng hạn tôi đưa ra các dạng áp dụng hệ thức Viets vào giải toán toán học thuần túy :
 +Dạng đề bài 1 : Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (I) tìm tổng tìm tích của hai nghiệm ? 
 Học sinh giải cần chú ý kiểm tra phương trình có nghiệm không . Đây là lỗi học sinh thường mắc phải khi giải toán loại này .
 +Dạng đề bài 2 : Cho phương tình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (I) có tham số m tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x1 + x2 = M ; x1.x2 = N (M;N є R)?
 Học sinh giải dạng này cần phải tìm ba điều kiện : 
 1/∆ = b2 – 4ac ≥ 0
 2/ -b/a = M
 3/ c/a = N 
 +Dạng đề bài 3 : Cho phương tình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (I) tìm phương trình mới có hai nghiệm thỏa mãn y1 = mx1 ; y2 = mx2 (m є R) ?
 Học sinh giải dạng này cần phải tìm ra các kết quả :
 1/∆ = b2 – 4ac ≥ 0
 2/ y1 + y2 = mx1 + mx2 = m(x1 + x2) = m.(-b/a) = -mb/a 
 3/ y1.y2 = mx1.mx2 = m2.x1x2 = m2.(c/a) = m2c/a
 4/ Phương trình cần tìm có dạng y2 – (-mb/a)y + m2c/a = 0
 +Dạng đề bài 4 : Cho phương tình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (I) có tham số m tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 
x12 + x22 = M ?
 Học sinh giải dạng này cần phải thiết lập phương trình theo các bước :
 1/∆ = b2 – 4ac ≥ 0
 2/ x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = (-b/a)2 – 2c/a 
 3/ Giải phương tình : (-b/a)2 – 2c/a = M theo ẩn m . kiểm tra với bước 1 trả lời kết quả .
 Chú ý : Với dạng toán về hệ thức Vi-ét học sinh thường hay quên đi điều kiện để phương trình có nghiệm, cho nên khi dạy để hình thành định lý ta nên đưa một số trường hợp sai để học sinh nhớ lâu hơn (điều kiện để có nghiệm có thể hoặc a ≠ 0 và ∆ ≥ 0 hoặc a.c < 0 học sinh có thể chọn điều kiện nào cũng được miễn sao kết quả đúng)
 Để học tốt được phần này học sinh cần phải nắm chắc các hằng đẳng thức đã học ở lớp 8 như : (a + b)2 ; (a - b)2 ; (a + b)3 ; (a - b)3 ; a2 – b2 ;
a3 + b3 ; a3 – b3 .
PHẦN THỨ NĂM : ỨNG DỤNG CỦA VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 
 Để vận dụng phương trình bậc hai vào giải phương trình ta đưa phương trình đó về dạng phương trình bậc hai dạng: ax 2+ bx + c = 0 (a ≠ 0)bằng cách đặt hoặc biến đổi đồng nhất. Khi đưa phương trình đó về dạng phương trình bậc hai một ẩn ta đã có công cụ giải ở lớp 9 đó là công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét.
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THƯỜNG DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI .
 +Phương trình trùng phương .
 +Phương trình hồi qui .
 +Phương trình đối xứng bậc chẵn .
 +Phương trình dạng : (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m 
 hoặc dạng : (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2 .
 +Phương trình dạng : 
 +Phương trình vô tỉ 
 Ta xét cách giải cho từng loại phương trình và ví dụ minh họa cho mỗi dạng .
 1. Phương trình trùng phương.
 a. Kiến thức và cách giải.
Phương trình trùng phương có dạng : a x4 +bx2 +c =0 (a0 )
Để đưa phương trìng trên về dạng phương trìng bậc hai ta đặt ẩn phụ : x2= t (t0 )
Ta được phương trình bậc hai :	 at2 + bt +c = 0
 b. Ví vụ: Giải phương trình :	 2x4-3x2-2=0 
 Phân tích và định hướng giải: 
 Bài toán cho có ẩn là lũy thừa bậc chẵn (2, 4 ) nên ta có thể đưa về dạng phương trình bậc hai quen thuộc để giải.
 Đặt x2 =t. Điều kiện t0 ta được phương trình bậc hai đối với ẩn t .
2t2 - 3t - 2 = 0
=9 +16 = 25; =5 Phương trình có hai nghiệm:
t1= ( loại ); t2= ( thỏa ĐK )
 +Với t = t2 = 2 ta có x2 = 2 x1 = ; x2= - .
Vậy phương trình có hai nghiệm : x1 = ; x2 = -
 c. Nhận xét: Học sinh có thể xét giá trị của , tổng tích hai nghiệm từ đó rút ra số nghiệm của phương trình. 
 2. Phương trình hồi quy.
 a. Kiến thức và cách giải: 	 
 Phương trình có dạng: a x4+ bx3+cx2+dx +k = 0 (a
vì x= 0 không phải là nghiệm nên ta chia cả hai vế cho x2 ta được phương trình tương đương :
	a(x2 + + b(x +
trong đó : đặt x + 
hay x2 + vậy phương trình đã cho được đưa vể dạng phương trình bậc hai đối với ẩn t :	at2 + bt + c +2
 b. Ví dụ: 
 Giải phương trình : 	2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50 = 0 (1)
 Giải :
 Vì x = 0 không là nghiệm của (1) nên chia cả hai vế cho x2 ta được phương trình tương đương : 	
 Đặt 
 Khi đó phương trình trên có dạng phương trình bậc hai đối với ẩn t :
	2t2 - 21t +54 = 0
 Giải phương trình bậc hai trên ta được hai nghiệm : 
	t1 = 6 và t2 = 4,5 
 +với t1 = 6 ta có hay x2 - 6x + 5 = 0
 giải phương trình trên ta được :
	x1 = 1 ; x2 =5 
 +với t2 = 4,5 ta có : x + hay x2 - 4,5x + 5 = 0
 Giải phương trình ta được x3 = 2 ; x4 =2,5 
 Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là :
	x1 = 1 ; x2 = 5 ; x3 = 2 ; x4 =2,5
 c. Nhận xét :
 Phương trình hồi quy trong đó ; k có ẩn phụ dạng t =x + 
3. Phương trình đối xứng bậc chẵn:
 a. Kiến thức và cách giải: 
 Ta xét phương trình bậc bốn dạng:	 a x4 + bx3 +c x2 +bx +a = 0
 (a; các hệ số của ẩn cách đều số hạng chính giữa ) 
 vì x= 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho x2 ta có : 
	 (1)
 Đặt ta có : 	
 Do đó phương trình ( 1) có dạng phương trình bậc hai : 
	ay2 + by +c -2a = 0 (2)
 Giải phương trình bậc hai với ẩn số y ta tìm được y từ đó suy ra x .
 b. Ví dụ :
 Giải phương trình : 	2x4 + 3x3 - x2 +3x +2 = 0
 Giải :
 Nhận thấy x= 0 không là nghiệm của phương trình , với x chia cả hai vế của phương trình cho x2 ta được phương trình tương đương :
 tới đây ta nhận thấy phương trình trên có dạng bậc hai nếu đặt 
 đưa phương trình về dạng : 2y2 + 3y -5 = 0 giải phương trình ta được :
	y1 =1 ; y2 = - 
 +Với ta có : 	x2 - x+ 1 = 0 vô nghiệm.
 +Với x + 2 + 5x + 2 = 0 giải phương trình ta được hai nghiệm :
	x1 = -2 ; x2 = - 
 c. Nhận xét : phương trình đối xứng bậc chẵn ( dạng của phương trình phản thương ) nếu m là nghiệm thì cũng là nghiệm của phương trình .
 Nếu phương trình có dạng :	 a x5 +bx4 cx3 +cx2 +bx +a = 0
được gọi là phương trình đối xứng bậc lẻ , phương trình này bao giờ cũng nhận -1 làm nghiệm . Do đó có thể hạ bậc để đưa phương trình về phương trình đối xứng bậc chẵn mà ta vừa trình bày cách giải ở trên . 
4. Phương trình dạng : (x + a) (x + b )(x + c)( x+ d) = m.
	hoặc :	( x + a )(x +b)(x + c)(x +d) = mx2 
 a. Ví dụ1: 
 Giải phương trình : ( x + 1 )( x+ 2)(x +3)(x+4) =3 (1)
 Giải :
 ( x+1)(x+2)(x +3)( x+4) = 3 
	( x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = 3
	(x2 + 5x +4 )(x2 +5x+6) = 3
Đặt : x2 +5x + 4 = t ta được phương trình bậc hai với ẩn t :
	t(t + 2) = 3 
	t2 +2t-3 = 0
Giải phương trình bậc hai đối với ẩn t ta được : t1 =1 ;t2 = -3
 +với t1 = 1 ta có : x2 +5x+4 = 1x2+5x +3 =0 
Giải phương trình ta được :
	x1;2 = 
 +với t2 = -3 ta có : x2+5x+4= -3 x2+ 5x + 7 = 0 ; phương trình này vô nghiệm 
(vì = 25 - 28 = -3 < 0 )
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm : x1;2 = 
 b.Ví dụ 2 : 
 Giải phương trình :	 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x2 (2)
 Giải : 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x2 
	 4(x2+17x + 60)(x2 + 16x + 60) = 3x2 
	4(x +17 +)(x + 16 + ) = 3 (vì x)
 Đặt x+16 + = y 
 Ta được phương trình bậc hai ẩn y: 4(y + 1)y = 3 4y2 + 4y - 3 = 0
 Phương trình có hai nghiệm vì = 4 + 12 = 16 
 Giải phương trình ta được :
	y1 = ; y2 = 
 +Với y1 = ta có : 2x2 + 31x +120 = 0 giải phương trình ta được : 
 x1 = - 8 ;x2 = -
 +Với y2 = - ta có : 2x2 + 35x + 120 = 0 giải phương trình ta được :
	x3;4 = 
 Vậy phương trình (2) có nghiệm : 
	x1 = - 8 ; x2 = ;	 x3;4 = 
 c. Nhận xét : 
 - Đối với phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0 trong đó các hệ số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện : a + d = b +c ta nhóm 
từ đó ta đặt ẩn phụ để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai một ẩn .
 - Đối với phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2 trong đó các hệ số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: ad = bc ta nhóm 
ẩn phụ có thể đặt là : y= x + hoặc y = (x + a)(x + d).
 - Đối với phương trình dạng d(x + a)(x + b)(x + c) = mx trong đó 
 d = 
m = (d - a)(d - b)(d - c) ta đặt ẩn phụ y = x + d một nghiệm của phương trình là y = 0
 5. Phương trình dạng : 
 a. Ví dụ
	Giải phương trình sau : 
 Giải
 Ta có : 4x2 - 8x + 7 = 0 4(x - 1)2 + 3 > 0, x.
	 4x2 - 10x + 7 = 0 (2x - )2 + > 0, x
 Dễ thấy rằng x = 0 không là nghiệm của phương trình.
 Chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho , ta được :
 Đặt , phương trình trở thành :
 +Với y = 9, ta được : vô nghiệm.
 +Với y = 16, ta được : 
 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : .
 b. Nhận xét : 
 Ở dạng phương trình này ta chứng tỏ x = 0 không là nghiệm sau đó chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x rồi đặt y = ax + .
Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai theo ẩn y giải tìm nghiệm theo y.
Thay giá trị y tương ứng tìm x, đối chiếu với điều kiện xác định của phương trình rồi kết luận.
6. Phương trình vô tỉ :
 a. Cơ sở lí thuyết :
Trong quá trình giải phương trình vô tỉ đôi khi ta gặp những phương trình nếu ta dùng phương pháp bình phương hai vế để phá căn thức bậc hai thì dẫn đến phương trình bậc cao mà việc giải phương trình đó không đơn giản . Song nếu khéo léo đặt ẩn phụ ta có thể qui phương trình đó về phương trình bậc hai, sau đây ta sẽ xét một vài ví dụ:
 b. Ví dụ: 
 Ví dụ 1: Giải phương trình :
 2x2 - 8x - 3 = 12 (1)
 Giải :
 (1) - 2 = 0
 Đặt = t (t ta quy phương trình bậc hai với ẩn t :
 2t2 - 3t - 2 = 0
 Giải phương trình này ta được hai nghiệm t1 = 2 ; t2 = -
 +với t2 = - loại ( vì t
 +với t1 = 2 ta giải phương trình : = 2 hai vế không âm phương trình 
 tương đương với x2 - 4x - 5 = 4
 x2 - 4x - 9 = 0
 giải phương trình trên ta được hai nghiệm : x1;2 = 2
 Vậy phương trình (1) có hai nghiệm : x1;2 = 2
 Ví dụ 2: Giải phương trình :
 (4x - 1) = 2x2 + 2x + 1 (2)
 Định hướng giải :
 Nếu bình phương hai vế để phá căn thức ta quy về phương trình bậc bốn đầy đủ việc giải gặp khó khăn hơn , nếu đặt t = ( tx2 = t2 - 1 phương trình trên trở thành (4x - 1)t = 2(t2 - 1) + 2x + 1
ta quy về phương trình bậc hai đối với ẩn t :
 2t2 -(4x - 1)t + 2x - 1 = 0
 = (4x - 1)2 - 8(2x - 1) = (4x - 3)2
 t1;2 = 
 t1 = 2x - 1 ; t2 = < 1 (loại)
 +với t = 2x - 1 thay t = ta được phương triình: 4x2- 4x + 1 = x2+ 1 (t
 3x2 - 4x = 0
 Giải phương trình ta được x1 = ; x2 = 0 (loại)
 vậy x = là nghiệm của phương trình (2).
 c. Nhận xét: ở dạng này có nhiều cách giải được nên học sinh có thể định hướng theo cách giải bình phương hai vế nhưng sẻ dẫn đến phương trình bậc cao khó giải hơn.
 Ngoài ra ta còn vận dụng việc giải phương trình bậc hai vào giải các bài toán thực tế (thực chất là giải toán bằng cách lập phương trình ) 
 CÁC DẠNG TOÁN THỰC TẾ VỀ GIẢI BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
 +Dạng hình học.
 +Dạng chuyển động.
 +Dạng khối lượng , trọng lượng riêng 
 +Dạng về nồng độ phần trăm.
 +Dạng về lãi suất ngân hàng.
 +Dạng về phát triển kinh tế tự nhiên.
 +Dạng toán về số học.
 Mỗi dạng như vậy có một cách giải riêng , cho nên trong quá trình dạy phần này cần chú ý cho học sinh chuẩn bị một kiến thức phù hợp với từng dạng bài để giải , như : Số học cấu tạo số
 Hình học cạnh , chu vi ,diện tích 
 Chuyển động Quãng đường, thời gian, vận tốc 
 . . . . . . .
 Qua quá trình thực hiện dạy học theo cách trên , trong nhiều năm tôi nhận thấy học sinh có hưng phấn khi học vào phần phương trình bậc hai và các ứng dụng của nó . Với cánh dạy học đi từ các kiến thức đã biết, đến các kiến thức cần xây dựng, cần tìm hiểu, đi từ phần dễ đến phần khó, làm cho học sinh ít choáng ngợp, học sinh cảm nhận và nhớ lâu hơn . 
D/PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI :
 +Áp dụng trực tiếp cho HS khối 9 vào học , ôn luyện thi.
 +Mở rộng cho việc bồi dưỡng HS giỏi khối 9 vào việc giải phương trình
 qui được về phương trình bậc hai.
 +Mở rộng cho khối 8 giải phương trình.
 +Mở rộng cho khối 6,7 tìm x.
 +Vận dụng vào giải phương trình nghiệm nguyên.
 +Tìm số hạng (chữ số) thứ mấy của dãy (số)
E/KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC : 
 +năm học 2007 – 2008 có 55% học sinh khối 9 ham học phần phương trình bậc hai và các ứng dụng của nó . 
 +năm học 2008 – 2009 có 65% học sinh khối 9 ham học phần phương trình bậc hai và các ứng dụng của nó . 
 +năm học 2009 – 2010 có 75% học sinh khối 9 ham học phần phương trình bậc hai và các ứng dụng của nó trong đó có trên 50% học sinh vận dụng và thực hiện thành thạo viện giải phương trình bậc hai vào loại khá, giỏi . 
F/BÀI HỌC KINH NGHIỆM : 
 Việc sử dụng các kiến thức có sẳn, đã tiếp thu được của các kiến thức trước vào việc dạy phương trình bậc hai một ẩn , kết hợp với nhiều phương pháp giải phương trình bậc hai một ẩn và vận dụng các cách giải phương trình bậc hai vào giải các phương trình bậc cao qui về phương trình bậc hai của bậc THCS trong ôn , luyện thi vào lớp 10 bậc PTTH , ôn luyện thi học sinh giỏi các cấp và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi trong những năm qua tôi nhận thấy được những kết quả như sau:
	Học sinh nhận diện được bài toán phải giải theo phương pháp nào, dạng nào cho phù hợp. 
	Hầu hết học sinh đã làm quen với phương pháp giải và thực hiện nhanh chóng, hiệu quả và vận dụng tốt trong việc giải phương trình, giải bài toán bằng cách lập phương trình .
 Vận dụng và giải tốt các dạng toán về hệ thức Vi-ét .
 Học sinh hiểu và biết cách tìm sự tương quan của đồ thị hai hàm số 
 y = ax2 (a ≠ 0) và y = ax + b , dựa vào sự tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn . 
 Tuy nhiên đôi khi học sinh còn vấp phải một số sai lầm khi xác định bài toán đưa về dạng phương trình bậc hai để xét hoặc giải phương trình theo cách thông thường như bình phương hai vế 
 Trên đây là một số ý kiến, quan điểm của tôi xung quanh vấn đề nâng cao chất lượng dạy học môn toán. Đồng thời phát huy tính tích cực, độc lập sáng tạo của học sinh thông qua đề tài ''Kỷ thuật dạy phương trình bậc hai một ẩn có hiệu quả''. Khi viết đề tài này chắc hẳn không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được sự góp ý, phê bình của các đồng nghiệp để xây dựng cho kiến thức chuyên môn của mình.
	Cuối cùng tôi xin chân thành cám ơn!
 Đại an ngày 25/02/2011
 Người viết 
 Nuyễn Văn Minh 
MỤC LỤC :
 A. Đặt vấn đề 
 B. Cơ sở chọn đề tài 
 I/ Cơ sở lý luận 
 II/ Cơ sở thực tiển 
 III/Các giải pháp .
 IV/Mục đích .
 V/ Nhiệm vụ .
 VI/Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .
 VII/Phương pháp nghiên cứu .
 VIII/Thời gian nghiên cứu . 
 C. Giải quyết vấn đề 
 Phần thứ I : Giải phương trình .
Phương pháp đại số .
Phương pháp đồ thị .
Công thức nghiệm tổng quát .
Công thức nghiệm thu gọn .
Tính nhẩm nghiệm . 
 Phần thứ II : Điều kiện tồn tại nghiệm .
 Phần thứ III : Chứng minh phương trình luôn có nghiệm
 Phần thứ IV : Hệ thức Vi-ét thuận và đảo .
 Phần thứ V : Ứng dụng của việc giải phương trình .
 D. Phạm vi của đề tài .
 E. Kết quả đạt được .
 F. Bài học kinh nghiệm .