Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm trong dạy học giải Toán chứng minh Hình học 8 bằng cách vẽ thêm đường phụ

Trường thcs trung giang
 Tổ tự nhiên
kinh nghiệm trong dạy học giảI toán 
chứng minh hình học 8 bằng cách vẽ thêm đường phụ
A. Lời nói đầu 
Trong chương trình hình học lớp 8, đặc biệt là chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi, có những bài toán chứng minh mà trong quá trình chứng minh phải vẽ thêm đường phụ mới đi đến kết quả. Có nhiều bài toán khó, chỉ sau vài đường kẻ thêm thì phương pháp chứng minh hiện ra thật đơn giản, thậm chí có thể nhìn thấy ngay ra cách giải. Tuy nhiên với học sinh việc giải toán bằng cách vẽ thêm đường phụ là rất khó khăn và thường thì học sinh vấp phải một trong hai vấn đề sau :
 	Thứ nhất : Lúng túng trong việc tìm cách vẽ thêm đường hay cụ thể hơn là trong việc tìm cách vẽ thêm như thế nào cho có lợi, kết quả là có nhiều đường vẽ thêm không cần thiết, không đúng hướng chứng minh dẫn đến hình rối và lạc hướng.
 	Thứ hai : Ngộ nhận các tính chất của đường vẽ thêm để áp dụng vào lời giải mà không chứng minh .
 	Thực tế cho thấy, có nhiều đường phụ khác nhau và không có phương pháp chung, nên đòi hỏi sự khéo léo, sáng tạo, sự linh hoạt tuỳ theo yêu cầu của mỗi bài toán cụ thể và điều quan trọng là khi vẽ phải xác định được đường phụ này tạo điều kiện để chứng minh. Nghĩa là vẽ có mục đích chứ không vẽ tuỳ tiện và cần tuân theo các phép dựng và bài toán dựng hình cơ bản .
 	Xuất phát từ những suy nghĩ trên tôi xin đề cập một khía cạnh nhỏ về một phương pháp chứng minh bài toán hình học thông qua cách vẽ đường phụ. Trong chuyên đề này tôi chỉ trình bày một vài phương pháp vẽ thêm đường phụ (vì vấn đề này là vô cùng rộng, đa dạng mà với mỗi người lại có cách thể hiện riêng, độc đáo khác nhau và củng đã có nhiều tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi viết về vấn đề này) với một vài bài toán điển hình, một số nhận xét suy nghĩ để tìm tòi cách vẽ .
Việc dạy học sinh vẽ thêm đường phụ là dạy suy nghĩ, tìm tòi sáng tạo, dạy cho các em biết định hướng mục đích công việc và bản chất sự việc chứ không phải dạy cách giải những bài toán cá thể. Hướng cho học sinh biết rút ra những nhận xét có tính chất khái quát để tìm lời giải. Người viết cũng hy vọng rằng chuyên đề nhỏ này sẽ mang lại cho một vài điều bổ ích cho các em học sinh nhất là học sinh giỏi trong quá trình học và giải toán chứng minh hình học .
B. Nội dung
1. Một số loại đường phụ cơ bản thường vẽ như sau :
a. Kéo dài một đoạn bằng đoạn thẳng cho trước hay đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước 
b. Vẽ một đường thẳng song song với đoạn thẳng cho trước từ một điểm cho trước .
c. Từ một điểm cho trước vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước 
d. Nối hai điểm cho trước hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho trước 
e. Dựng đường phân giác của một góc cho trước 
f. Dựng một góc bằng một góc cho trước hay bằng nửa góc cho trước 
2. Những điểm cần chú ý khi vẽ đường phụ 
a. Vẽ đường phụ phải có mục đích, không vẽ tuỳ tiện phải nắm thật vững đề bài ,định hướng chứng minh từ đó mà tìm xem cần vẽ đường phụ nào phục vụ cho mục đích chứng minh của mình 
b. Vẽ đường phụ phải chính xác và tuân theo đúng các phép dùng hình cơ bản. 
c. Với một bài toán nhưng vẽ đường phụ khác nhau thì cách chứng minh cũng khác nhau, có khi cùng một đường phụ nhưng cách vẽ lại khác nhau. 
C. các phương pháp áp dụng
1. Phương pháp 1 : Tìm yếu tố trung gian.
Thực chất của phương pháp này là dựa vào kết luận, lựa chọn điều kiện cần có, gợi ra hướng vẽ hình phụ để từ giả thiết có thể suy luận đến yếu tố trung gian đó để suy ra kết luận.
Ví dụ 1: (Bài 155 trang 76 SBT)
Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC.
Chứng minh rằng CE vuông góc với DF.
Gọi M là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng AM = AD.
GT
A
B
C
D
E
F
M
K
N
Hình vuông ABCD
CE cắt DF tại M
EA = EB; FB = FC
KL
a) CE ^ DF
b) AM = AD 
Phân tích
Học sinh chưa cần tạo ra yếu tố phụ trên hình vẽ cũng chứng minh được : 
 DBEC = DCFD (c – g – c) => 
Do đó => 
Đối với trường hợp này, giáo viên dẫn dắt học sinh phải kẻ đường phụ như sau: Để AM = AD khi và chỉ khi tam giác AMD cân tại A, khi và chỉ khi trung tuyến đồng thời là đường cao. Vậy dẫn tới kẻ thêm đường phụ phải mang yếu tố trung điểm và vuông góc. Từ đó phải xuất phát từ trung điểm K của DC. Lấy K là trung điểm của DC nối AK cắt DF tại N. Ta Chứng minh cho AN là trung tuyến, là đường cao của tam giác ADM.
Lời giải
Xét hai tam giác BEC và CFD có :
 CD = BC (cạnh hình vuông), , CF = BE ()
nên DBEC = DCFD (c – g – c) => .
Do đó => 
Hay CE ^ DF (1)
b) Gọi K là trung điểm của CD, N là giao điểm của AK và CD.
Tứ giác AECK là hình bình hành vì AE // CK, AE = CK.
Suy ra AK // CE (2)
Từ (1) và (2) suy ra AK ^ DF (3)
Mà K là trung điểm của CD, AK // CE (c/m trên) nên ND = NM (4)
Từ (3) và (4) suy ra AN vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác ADM. Do đó tam giác ADM cân tại A.
Hay AD = AM (đpcm).
2. Phương pháp 2 : Biến đổi kết luận của bài toán về dạng tương đương.
 Thực chất của phương pháp này là biến đổi kết luận (ở dạng chưa thấy hướng giải) thành một trong các dạng tương đương có khả năng gợi ra hướng vẽ hình phụ và từ đó đi đến hướng giải. Đây là phương pháp đơn giản và thường được “ thử nghiệm” đầu tiên.
Ví dụ 2 : Dựng về phía ngoài của tam giác ABC các hình vuông ABDE và BCKF. Chứng minh rằng trung tuyến BM của tam giác ABC bằng nửa đoạn thẳng DF.
GT
B
A
C
E
D
F
K
M
N
rABC
Dựng các hình vuông
ABDE; BCKF
MA = MC
KL
Phân tích
 Ta thử biến đổi kết luận:
 Vế trái của đẳng thức (2) gợi ý kéo dài BM để có BN = 2BM khi đó ta thử tìm cách chứng minh BN = DF. 
 Nối NC, NA (nét đứt biểu hiện yếu tố mới vẽ thêm).
 Hình bình hành ABCN và cặp tam giác bằng nhau. DBDF = DCNB (c.g.c) sẽ cho ta lời giải BN = DF hay BM = DF.
Chứng minh
 Lấy N đối xứng với B qua M. Tứ giác ABNC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.
 Từ đó suy ra NC = AB và . Mà AB = BD (cạnh hình vuông) và 
nên BD = NC và .
Hai tam giác BDF và CNB có BC = BF, BD = NC và , nên chúng bằng nhau theo trường hợp c – g – c. 
Vậy DF = BN hay DF = 2BM 
3. Phương pháp 3: Vẽ hình phụ bằng hoặc tỉ lệ với các hình có trong kết luận.
Thực chất của phương pháp này là vẽ thêm các yếu tố phụ hoặc bằng, hoặc tỉ lệ (hoặc có diện tích bằng hoặc tỉ lệ) phụ thuộc vào yêu cầu bài toán với các hình có trong kết luận ở dạng nhìn thấy hướng giải rõ hơn.
 Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD, một điềm M chạy trên cạnh CD. Gọi P, Q và R theo thứ tự là chân các đường vuông góc hạ từ B, C, D xuống đường thẳng AM. Chứng minh rằng BP = DQ + CR.
GT
 A B
 Q R’
 C’
 P
D M C
 R
ABCD là hình bình hành
CR ^ AM , M ẻ CD; 
BP ^ AM; QD ^ AM
KL
BP = DQ + CR
Phân tích :
Ta thấy các đoạn thẳng có trong đẳng thức của KL chưa có mối liên hệ trực tiếp nào. Có thể nghĩ đến tạo ra các đoạn thẳng trung gian bằng các đoạn thẳng trong đẳng thức ở kết luận trên hình vẽ, nên có các hướng sau:
Vẽ trên đoạn thẳng lớn BP một đoạn thẳng bằng DQ (hoặc bằng CR) và tìm cách cm phần còn lại của đoạn thẳng thứ hai.
Kéo dài đoạn thẳng CR (hoặc DQ) một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng ngắn thứ hai và tìm cách c/m phần còn lại của đoạn thẳng thứ hai.
Hướng thứ nhất gợi cho ta hai cách vẽ hình phụ:
Để PC’ = CR (hoặc CC’ = PR) chỉ còn phải c/m BC’ = DQ ( Dễ dàng c/m được DBC’C = DDQA trường hợp cạnh huyền - góc nhọn).
Kẻ RR’ // BC => BR’ = CR. Cần c/m PR’ = QD ta cũng có cách vẽ tương tự với hướng thứ hai.
Chứng minh
Cách 1 : Kẻ CC’ ^ AM. Tứ giác CRPC’ lcó ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật, suy ra CR = C’P.
Xét hai tam giác vuông DQA và BC’C có = 900, AD = BC ( cạnh đối của hình bình hành, (góc có cạnh tương ứng song song) nên (cạnh huyền – góc nhọn) 
Suy ra DQ = BC’
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2 : Kẻ RR’ // BC, chứng minh RC = BR’, DR/ = DQ. Từ đó suy ra điều phải chứng minh..
	 	 B M C N
 O
 I
P A E D
 Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 1. Nối A với trung điểm M của cạnh BC, AM cắt đường chéo BD tại O. Tính diện tích của tứ giác OMCD.
GT
MB = MC
SABCD = 1
AM ầ BD = 0
KL
Tính SOMCD = ? 
Phân tích
Trên hình vẽ cần tạo ra D bằng hoặc có diện tích bằng DBOM và các tứ giác có diện tích bằng nhau (có thể tính được), sao cho giữa tứ giác OMCD có mối liên hệ diện tích với các tứ giác, tam giác nói trên, với hình bình hành ABCD.
Muốn thế từ B, trung điểm E của AD và D vẽ các đường // với AM chúng cắt BC, BD, AD, tạo thành các tứ giác. 
Dễ dàng chứng minh được: 
SAMCE = S BCD ( = SABCD)
SOMCI = SOBM + SCID; SOMCI = 3 SBOM
SOMCD = . SABCD = SABCD
Vì SABCD = 1 => SOMCD = .
Chứng minh
Từ B, trung điểm E của AD và D vẽ các đường // với AM chúng cắt BC, BD, AD, tạo thành các tứ giác. 
Dễ dàng chứng minh được: 
SAMCE = S BCD ( = SABCD)
SOMCI = SOBM + SCID; SOMCI = 3 SBOM
SOMCD = . SABCD = SABCD
Vì SABCD = 1 => SOMCD = .
Trên đây tôi xin đề cập đến ba phương pháp thường dùng để vẽ thường dùng để vẽ đường phụ để giải toán chứng minh hình học 8 với những ví dụ điển hình. Tất cả những bài toán trên đều sử dụng phương pháp vẽ thêm đường phụ bằng những suy luận từ giả thiết và sự linh hoạt trong phương pháp . 
Bài tập vân dụng
Bài 1 : Cho hình vuông ABCD. E thuộc miền trong của hình vuông sao cho . Chứng minh tam giác ABE là tam giác đều.
Bài 2 : Cho hình thang vuông ABCD có . Qua điểm E thuộc cạnh AB, kẻ đường vuông góc với DE, cắt BC tại F. Chứng minh rằng ED = EF.
Bài 3 : Cho tam giác ABC cân tại A. Từ một điểm D trên đáy BC, vẽ đường thẳng vuông góc với Bc, cắt các đường thẳng AB, AC ở E, F. Vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK. Chứng minh A là trung điểm của HK.
Bài 4. Cho tam giác ABC. Lờy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB = CK.
Bài 5 : Cho tứ giác lồi ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm P tuỳ ý. Hãy kẻ qua P đường thẳng chia tứ giác thành 2 đa giác có diện tích bằng nhau.
Bài 6: Cho hình bình hành OBCA. Gọi E và F lần lượt là các điểm trên cạnh OA và OB sao cho OE = OA; OF = OB. 
Đoạn thẳng EF cắt đường chéo OC tại M. Tính tỉ lệ số = ?
Bài 7: Giả sử AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD . Từ C kẻ các đường thẳng CE , CF tương ứng vuông góc với AB , AD . CMR : AB . AE + AD.AF = AC2 .
 Bài 8: Cho hình bình hành ABCD . Một đường thẳng cắt AB tại E . AD tại F và đường chéo AE tại G . CMR : + 
 Bài 9: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm . Một đường thẳng bất kỳ qua G cắt cạnh AB , AC tại M và N . CMR : 
 Bài 10 : Cho tam giác ABC có góc A = 90o chọn trên AB một điểm D , kẻ Dx // AC , cắt BC tại E sao cho AE CD tại K . Cho . Tính .
 Bài 11 : Cho hình thang ABCD ( AB//CD ) gọi E là giao điểm của AD và BC , F là giao điểm của AC và BD . CMR : EF đi qua trung điểm của AB và CD .
 Bài 12 : Cho A/, B/, C/, D/, lần lượt nằm trên cạnh BC , AC , AB của tam giác ABC . Biết rằng AA/ , BB/ , CC/ , đồng quy tại M . CMR : 
D. Kết luận
Trong quả trình giảng dạy về phương pháp chứng minh một bài toán hình học, người viết chỉ đưa ra vài phương pháp cơ bản thường trong chương trình toán 8. Chuyên đề nhỏ này đã hệ thống hoá vài tình huống vẽ hình phụ trong bài tập hình học, bên cạnh đó là một số ví dụ chứng minh minh hoạ cụ thể cho các tình huống đó và các bài tập tham khảo. 
 	Tuy nhiên chuyên đề này vẫn có những hạn chế về thể loại, sự đa dạng về bài tập, chưa đáp ứng được hết các đối tượng học sinh. Trong những phương pháp trên vẫn còn những hạn chế về nội dung và phương pháp. Tôi rất mong nhận được sự góp ý xây dựng của các đồng chí đồng nghiệp nhất là những đồng chí giàu kinh nghiệm trong giảng dạy môn toán ở THCS để chuyên đề này được sửa chữa, củng cố đáp ứng được với các đối tượng học sinh .
Xin cảm ơn !
Trung Giang, ngày 14 tháng 10 năm 2010.
Người viết 
Nguyễn Đức Minh