Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm hay về bất đẳng thức Côsi

Cộng hòa xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
----------------------- 
PHòNG GIáO DụC Và ĐàO TạO HồNG LĩNH
 Sáng kiến kinh nghiệm 
 GV: Lê bá hoàng 
 Đơn vị: Phòng GIáO DụC Và ĐàO TạO
A/Phần mở đầu:
	I/ Lý do chọn đề tài:
	1/ Cơ sở lý luận:
Bất đẳng thức một trong những mảng kiến thức khó của toán học phổ thông. Nhưng thông qua các bài tập về bất đẳng thức người học toán hiểu kĩ và sâu sắc hơn về các mối quan hệ giữa bất đẳng thức và dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Nhưng đối với học sinh, không thể tránh khỏi sai lầm trong khi giải toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức.
	2/ Cơ sở thực tiễn:
	Trong nhiều năm liền, hầu hết các đề thi học sinh giỏi cũng như các đề thi vào các lớp chuyên, chọn đều có dạng bài tập: chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức. Nhưng hầu như các em đều nhận định đây là một trong những dạng toán khó của các đề thi mà các em gặp. ở chương trình THCS (phần nâng cao) học sinh đã làm quen với số bất đẳng thức : như Côsi, Bunhiacopski, Nhưng vận dụng bất đẳng thức vào giải toán thì quả là còn quá hạn chế và thường có những sai lầm đáng tiếc. 
	II/ Nhiệm vụ nghiên cứu:
1/ Nghiên cứu lý luận:
	Xuất phát từ cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn trên tôi xin trình bày một số kinh nghiệm nhỏ: Tổng kết các sai lầm cơ bản mà học sinh dể mắc phải trong việc tìm giá trị Max, Min của một biểu thức.
	2/ Khảo sát thực tiễn của đề tài:
	a/ Số liệu thống kê: 
Khi chưa áp dụng đề tài này giáo viên ra bài tập chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị Max, Min của một biểu thức:
Số HS không giải được
Số HS giải đem ra kết quả sai
Số HS giải đúng 
80%
12%
8%
b/ Phân tích nguyên nhân:
* Học sinh không giải được:
- Học sinh chưa nắm được về các tính chất của bất đẳng thức và một số bất đẳng thức phụ thường dùng.
- Chưa được trang bị các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
* Học sinh giải đem ra kết quả sai:
- Do mắc một số sai lầm khi vận dụng các tính chất của bất đẳng thức vào giải toán.
- Chưa nắm vững các cách áp dụng bất đẳng thức, và điều kiện trong bất đẳng thức.
3/ Đề xuất giải pháp 
Khi giải toán bất đẳng thức giáo viên cần cung cấp cho học sinh nắm vững về bất đẳng thức Côsi, cách phân tích trong kỹ thuật chọn điểm rơi, chú ý dấu bằng xảy ra.
B/ Nội dung giải quyết vấn đề
I/ Kiến thức cần nhớ:
1/ Định nghĩa bất đẳng thức:
Bất đẳng thức CôSi:
 Cho a1 , a2 , .., an 0 ta luôn có:	
Dấu “=” xẩy ra ú a1 = a2 =  =an
Sơ đồ Tìm Max của S . Chứng minh S M trong đó M là hằng số và chỉ ra được S = M là tồn tại giá trị các biến trong S. Kết luận M là Max của S
Sơ đồ tìm Min của S : Chứng minh S m trong đó m là hằng số và chỉ ra được S = m là tồn tại giá trị các biến trong S . Kết luận m là Min của S.
I1/ Các ví dụ: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi và một số sai lầm trong giải toán: Tìm Max, Min của một biểu thức. 
 I. Làm quen với điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi.
Bài toán xuất phát: Cho a, b > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của S =
Giải:
Nhận xét: Từ bài toán này ta có thể thay đổi miền xác định để có một số bài toán sau:
Bài 1. 
Bình luận và lời giải
a
4
5
6
7
8
9
10
11
12
45
S
Nhìn bảng trên ta thấy khi a tăng thì S càng lớn và từ đó khi a = 4 thì S nhận giá trị nhỏ nhất. Để dể hiểu và tạo sự ấn tượng ta sẽ nói rằng Min S = tại 
 “ Điểm rơi : a = 4 ”.
Do bất đẳng thức Côsi xảy ra dấu bằng tại điều kiện các tham số tham gia phải bằng nhau, nên tại “ Điểm rơi: a = 4 ” ta không thể sử dụng bất đẳng thức Côsi trực tiếp cho 2 số: 
Bình luận và lời giải
 *Sai lầm thường gặp: 
a
2.a
100
81
64
49
36
25
16
9
4
S
Nhìn bảng biến thiên ta thấy khi a càng tăng thì S càng nhỏ từ đó dẫn đến dự đoán 
khi a = thì S đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5. 
 :
Nguyên nhân sai lầm : Khi Max S = . Khi đó a2b2 +1 = 2ab. Suy ra ab =1
 Bài tập áp dụng.
VI/ Kết quả:
	Qua quá trình trang bị cho học sinh các phương pháp chứng minh bất đẳng thức cô si , và vận dụng bất đẳng thức vào giải toán cực trị tôi thấy học sinh rất say mê học và thực sự đã phát huy được tính tò mò, sáng tạo, tích cực học tập của học sinh.
	Cụ thể: Sau khi học sinh được giáo viên truyền đạt nội dung của đề tài thì có 80% học sinh tiếp thu nhanh, vận dụng tốt ( trong đó 30% học sinh giỏi, 50% học sinh khá).
C: Kết luận và kiến nghị.
	1. Kết luận: Qua nhiều năm quản lí chỉ đạo việc bồi dưỡng học sinh giỏi, đặc biệt là môn toán tôi đã đúc rút được một số kinh nghiệm viết lên đề tài trên. Tôi rất tâm huyết với đề tài đó.
	Thực tế cho thấy khi học sinh học bất đẳng thức ngoài việc được rèn luyện kỷ năng chứng minh bất đẳng thức, vận dụng bất đẳng thức vào giải toán mà còn được nâng cao về mặt tư duy logic lập luận các vấn đề chặt chẽ, phát huy tính sáng tạo, tích cực học tập.
	Khi nghiên cứu viết đề tài trên bản thân tôi tự thấy trình độ chuyên môn được nâng lên. Hơn nữa làm cho bản thân có lòng say mê trong chuyên môn ngày càng cao.
	Đây là đề tài có thể áp dụng cho bản thân và đồng nghiệp trong quá trình dạy toán. 
Với thời gian nghiên cứu kỹ lưỡng để viết đề tài song không sao tránh khỏi những khiếm khuyết. Rất mong sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và các quý cấp để đề tài được hoàn thiện hơn.
2. Kiến nghị: 
Đề tài được áp dụng đối với học sinh lớp 9 là chủ yếu.
Giáo viên bồi dưỡng toán 9 cần trang bị cho học sinh nội dung của đề tài một cách linh hoạt và hợp lý.
Trong sinh hoạt chuyên môn nhóm tổ cần đưa ra một số đề tài để cho giáo viên trao đổi trong chuyên môn nhằm nâng cao chất lượng mũi nhọn học sinh.
	Ngày 15 – 4 – 2005
	 Người viết