Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học

 và có độ dài bằng nửa tổng hai đáy. 
 Hướng làm: Xét thêm trung điểm I của đường chẻo AC,Ta có IM,IN là các đường trung bình của các tam giác ADC vầ ABC
 Khi đó sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác ta chứng minh được bài toán này.
 Bài toán 8: Cho tứ giác ABCD có M, N là trung điểm các cạnh AD, BC. Chứng minh độ dài đoạn MN .
 Hướng làm: Xét tứ giác ABCD mà có AB song song với CD thí theo tính chất của hình thang ta có MN đúng bằng nửa tổng AB và CD.
còn nếu AB không song song với CD, ta cũng lấy I là trung điểm của AC.
 Khi đó MI, NI là các đường trung bình của các tam giác ACD và ABD đông thời xet quan hệ ba cạnh của tam giác MNI ta có điều cần chứng minh.
 Từ các bài toán 7 và bài toán 8 ta cho học sinh làm bài sau:
 Bài toán 9: Chứng minh rằng: Một tứ giác là hình thang khi và chỉ khi đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối bằng nửa tổng hai cạnh còn lại
 Cũng với tính chất đường trung bình của tam giác, ta có bài toán sau:.
 Bài toán 10: Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q. lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
 Việc giải bài toán này không khó với học sinh lớp 8 còn với học sinh lớp 7 ta thay đổi một số tên gọi cho phù hợp thì bài này trở nên khá hấp dẫn, vì với học sinh lớp 7 việc chứng minh bài toán này đã phải sử dụng khá nhiều kiến thức: Tính chất đường trung bình của tam giác, đường thẳng song song, hai đoạn thẳng song song và bằng nhau, hai tam giác bằng nhau, . . .
 Từ bài toán này học sinh có thêm một tính chất hình học: 
Các “đường trung bình của tứ giác” gặp nhau tại trung điểm của chúng	
 Cũng từ bài toán 10 ta có bài toán tổng quát hơn sau:.
 Bài toán 11: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q, E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các đoạn: BC, DA, AB, CD, MA, MB, NB, NC. 
 Chứng minh các đường MN, PQ, EF, GH đồng quy.
C. Các bài toán nâng cao và phát triển
 I. Bài toán chứng minh
 Bài toán 12: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài các tam giác vuông cân tại A là ABM và ACN. Chứng minh rằng đường thẳng chứa trung tuyến AI của tam giác ABC cũng chứa đường cao của AH của tam giác AMN.
 Hướng làm: Đây là bài toán khá khó đối với học sinh lớp 7, và bài toán này lại được gặp ở lớp 8, nên ở lớp 7 ta dùng ngôn ngữ sau:
 Do đã có trung điểm I của BC nên ta nghĩ đến việc tạo ra I là trung điểm chung của hai đoạn, cụ thể là trên tia đối của tia IA lấy điểm D sao cho I là trung điểm của AD. 
 Khi đó từ tính chất trung ôiểm chung I của hai đoạn AD , BC ta có được hai đoạn CD và AB song song và bằng nhau từ đó ta có được hai tam giác ACD, MAN bằng nhau, sử dụng các góc bằng nhau của hai tam giác này và tính chất các góc tại đỉnh A ta có được AH vuông góc với MN.
 Từ bài toán này ta có bài toán sau:
 Bài toán 13: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACHF, vẽ hình bình hành AEQF,
 Chứng minh ba đường QA, HB, DC đồng quy.
 Hướng làm: Theo bài 12 ta đã có QA vuông góc với BC, ta chỉ cần chứng minh BH vuông góc với QC và CD vuông góc với QB (bằng cách xét cho các tam giác AQC , CBH bằng nhau và các tam giác AQB, BCD bằng nhau) khi đó QA, HB, DC chứa ba đường cao của tam giác QBC nên ba đường QA, HB, DC đồng quy.
 Tương tự như vậy ta có các bài toán sau:
 Bài toán 14: Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC,Dựng về phía ngòai các hình vuông ABDE, ACHF có tâm là I, J.
 Chứng minh tam giác MIJ vuông cân.
 Hướng làm: Nhìn vào hình vẽ ta thấy hai tam giác AEC và ABF bằng nhau 
 hai đoạn EC, BF bằng nhau và vuông góc với nhau mà MI, MJ là các đường trung bình của hai tam giác BEC và CBF nên ta chứng minh được hai đoạn MI, MJ băng nhau và vuông góc với nhau.
.
Từ bài toán này ta có loạt các bài toán sau:
 Bài toán 15 :Cho hình bình hành ABCD, về phía ngoài hình bình hành các tam giác ABM vuông cân tại M; ACN vuông cân tại N; BDP vuông cân tại P; CDQ vuông cân tại Q. 
 Chứng minh rằng tứ giác NMPQ là hình vuông.
 Hướng làm: Từ kết quả bài toán 14 ta có các tam giác IMN, INQ, IQP, IPM đều vuông cân tại I từ đó suy ra tứ giác MNQP là hình vuông.
 Từ bài toán này ta lại đưa ra bài toán sau:
 Bài toán 16: Cho hình bình hành ABDC, về phía ngoài hình bình hành các hình vuông ABEF, ACMN, DBPQ, CDKL, Gọi S, G, R, H lần lượt là tâm của các hình vuông trên. 
 Chứng minh rằng tứ giác SGHR là hình vuông.
 Tiếp tục bài toán trên, Nếu tứ giác ABCD không phải là hình bình hành mà là một tứ giác bất kỳ thì liệu tứ giác SGHR có tính chất gì không? Ta có bài toán sau:.
 Bài toán 17: Cho hình tứ giác ABCD, về phía ngoài tứ giác dựng các hình vuông ABMN, ADEF, DCGH, BCPQ, Gọi V, S, J, K lần lượt là tâm của các hình vuông trên. Chứng minh rằng KS = VJ và KS VJ.
 Hướng làm: Do có V, S, J, K là trung điểm của các đường chéo hình vuông nên để sử dụng đường trung bình của tam giác ta xét thêm trung điểm I của AC. Từ kết quả bài toán 14 ta có IV, IK vuông góc và bằng nhau cũng như vậy hai đoạn IS, IJ cũng vuông góc và bằng nhau. Từ đó hai tam giácIKS và IVJ bằng nhau. Suy ra hai đoạn thẳng KS và VJ bằng nhau và vuông góc với nhau.
 Đối với bài toán này việc vẽ đường phụ là quan trọng.ngoài việc biết khai thác yếu tố trung điểm như đã nêu học sinh cần áp dụng kiến thức về hai tam giác bằng nhau, kiến thức về tam giác cân, tam giác đều...., đã được học vào giải bài toán.Từ đó học sinh mới tư duy và tìm tòi lời giải. Giáo viên không nên đưa ra lời giải mà phải hướng dẫn để học sinh dần dần tìm lời giải cho mỗi bài toán.	
 Bài toán 18: Cho tam giác ABC trên các cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN, gọi E, F là trung điểm các đoạn BC, MN. Chứng minh EF song song với phân giác góc A.
 Hướng làm: Trong bài toán này đã có hai trung điểm M, N nên ta nghĩ đến việc lấy thêm một trung điểm nữa để cùng với hai trung điểm đã cho tao ra các đường trung bình của tam giác sẽ giúp ta giải bài toán, cụ thể như sau:
 Gọi I là trung điểm của BM khi đó IE, IF là đường trung bình của các tam giác BCM và MBN, Từ tính chất đường trung bình của tam giác và giả thiết của bài toán ta có tam giác IEF cân tại I. Từ đặc điểm các góc của tam giác IEF và các góc tại đỉnh A ta có được EF song song với phân giác của góc BAC.
C
 A
B
M
N
E
F
I
 Ta biết từ bài toán này chúng ra có thể đưa ra nhiều yêu cầu khá hay như:
 + Chứng minh đường thẳng MN tạo với hai đường thẳng AB, AC những góc bằng nhau.
 + Khi M,N thay đổi chứng minh trung điểm của đoạn MN luôn nằm trên một đường cố định.
 Bài toán 19: Chứng minh rằng trong một tam giác Trọng tâm, Trực tâm và Tâm đường tròn ngoại tiếp cùng nằm trên một đường thẳng ( Đường thẳng Ơ le).
 Hướng làm: Có rất nhiều cách chứng minh bài toán này, các cách đều sử dụng tính chất của trung điểm để tạo ra đường trung bình của tam giác để chứng minh: Khoảng cách từ trực tâm đến mỗi đỉnh luôn gấp đôi khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện với đỉnh đó (HA = 2 OM)
 Sau đó lại sử dụng tính chất đường trung bình IK của tam giác GAH để chứng minh hai tam giác: GIK và GOM bằng nhau từ đó có được ba điểm G, H, O thẳng hàng. ( Xin phép không trình bày chi tiết phép chứng minh này vì đây là bài toán điển hình mà ai cũng biết)
 Bài toán 20: Cho lục giác ABCDEF 
có M, N, P, I, K, L lần lượt là trung 
điểm các cạnh: AB, CD, EF, BC, DE, FA.
 Chứng minh hai tam giác MNP và IKL 
có chung trọng tâm.
 Hướng làm: Từ kết quả bài toán 10, gọi S là trung điểm đoạn BE thì hai đoạn
 MP và LS cũng như hai đoạn IK và SN có chung trung điểm là X và Y, khi đó NX và LY là các đường trung tuyến của các tam giác MNP và IKL, đồng thời NX và LY cũng là các đường trung tuyến của tam giác SNL mà NX và LY cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của các tam giác này. 
 Vậy hai tam giác MNP và IKL có chung trọng tâm.
 Bài toán 21: Cho tứ giác ABCD có M, N là trung điểm các cạnh AB, CD.Trên đoạn MN lấy điểm I bất kỳ, một đường thẳng d qua I cắt AD, AC, BD, BC lần lượt tại E, F, G, H. 
 Chứng minh: + + + 4.
 Hướng làm: Do có các trung điểm M,N nên ta nghĩ đến đường trung bình, mà bài toán lại có các tỷ số nên ta lại nghĩ đến định lý Talet, từ đó buộc ta phải nghĩ đến việc tạo ra các đường thẳng song song. cụ thể qua A, B, C, D kẻ các đường thẳng song song với MN chúng lần lượt cắt đường thẳng d tại A’, B’, C’, D’. Khi đó IM, IN là đường trung bình của các hình thang ABB’A’, DCC’D’, sử dụng tính chất đường trung bình của hình thang và định lý Talet ta có biểu thức vế trái được thay bằng tổng sau:
 + + + = (A’A + B’B)( + )
 = 
 Đến đây ta sử dung tính chất đường trung bình hình thang và bất đẳng thức Côsi ta có kêt quả cần chứng minh.
 Nhiều khi đã thành kỹ năng sử dụng trung điểm, mà trong bài toán không cho trung điểm thì chúng ta dự đoán và tạo ra trung điểm, như bài toán sau: 
 Bài toán 22: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O có BN là đường phân giác. Từ A kẻ một đường thẳng vuông góc với tia BN, cắt BC tại H. Chứng minh bốn điểm A; O; H; C nằm trên một đường tròn.
 Đối với bài toán này xảy ra hai trường hợp đối với hình vẽ . 
Trường hợp 1: H và O nằm cùng phía với AC Hình 1
Trường hợp 2: H và O nằm khác phía với AC Hình 2
 Khi có đường phân giác trong tam giác ta có thể tạo ra tam giác cân để đường phân giác cũng là đường cao, đường trung tuyến từ đó ta làm như sau:
 Hướng làm:(Trường hợp 1) Qua A kẻ các đường vuông góc với các phân giác của các góc ACB và ABC có các giao điểm như hình vẽ.Khi đó IK là đường trung bình của tam giác APH từ đó ta có góc IKC bằng góc KCB, mà tứ giác AIOK nội tiếp nên góc IKO bằng góc OAI từ đây ta có hai góc OAH và OCH bằng nhau 
 Do đó bốn điểm A,O,H,C cùng nằm trên một đường tròn.
 Bài toán 23:Cho đường tròn và hai dây AB, CD cắt nhau tại M, đường thẳng đi qua M và trung điểm N của BD cắt AC tại K.
 Chứng minh: = .
A
 Hướng làm: Ta thấy đã có trung điểm N của BD nên ta kẻ qua C đường song song với MN cắt AB tại P, từ P lại kẻ đường song song với BD cắI MN, CD tại I, Q. Ta có I là trung điểm của PQ dẫn đến M là trung điểm của CQ, từ đó ta có tứ giác ACPQ nội tiếp
. MA.MP = MC.MQ = MC MP = 
 Khi đó : = = MA : = 
 Bài toán 24: Cho đường tròn tâm O và hai đường kính AB, CD. Trên đường kính CD lấy hai điểm M,N sao cho O là trung điểm của MN, các tia AM, AN cắt đường tròn tại E, F, đường thẳng EF cắt CD tại S. 
 Chứng minh SB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
 Hướng làm: Ta thấy bài toán đã có O là trung điẻm chung của hai đoạn MN và AB nên ta nghĩ đến việc sử dụng tính chất trung điểm chung.
 Cụ thể ta nối BM,BN và đặt các giao điểm P, Q (hình vẽ).. Từ tính chất trung điểm chung, tính chất song song và góc nội tiếp ta có BE // PQ và do đó tứ giác BQFP nội tiếp..
 Góc BEF = Góc FBP = Góc BAF = Góc ABM. mà:
 Góc ABM + Góc ABF = 90°
 Góc ABF + Góc FBP = 90° SB là tiếp tuyến của đường tròn (O) .
R
 Bài toán 25: Cho đường tròn tâm O, qua trung điển I của dây cung AB kẻ hai dây cung bất kỳ CD và MN, gọi P, Q là giao điểm của CN, DM với AB. Chứng minh I cũng là trung điểm của PQ.
 Hướng làm: Đây là bài toán “ Con bướm” nổi tiếng !
 Ta thấy trong bài toán đã có trung điểm của dây cung nên ta kẻ ngay đường kính đi qua trung điểm I của dây cung AB, cũng như vậy ta kẻ các đường kính đi qua các trung điểm của các dây cung CD, MN (hình vẽ ).
 Khi đó xét các tứ giác nội tiếp PIOE, QIOF và từ các tam giác đồng dạng ICN, IMD dẫn đến các tam giác ICE, IMF đồng dạng dẫn đến tam giác OPQ cân tại O (vì có đường cao cũng là phân giác) từ đó suy ra I là trung điểm của PQ
 Bài toán “Con bướm” này cũng có trong tam giác:
 Bài toán 26: cho tam giác ABC có I là trung điểm cạnh BC, đường trẳng d bất kỳ qua I cắt AB, AC tại M, N. Đường thẳng d’ qua I cắt AB, AC tại P, Q. Gọi E, F là giao điểm của MP, NQ với BC. Chứng minh IE = IF.
 Bài toán “Con bướm” trong tứ giác:
 Bài toán 27: Cho tứ giác ABCD. Qua giao điểm I của hai đường chéo kẻ đường thẳng d bất kỳ cắt AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P, Q. Chứng minh rằng: I là trung điểm của MP khi và chỉ khi I là trung điểm của NQ.
 Việc kẻ thêm đường phụ khi có yếu tố trung điểm được thực hiện trong bài toán chứng minh, chứng ta cũng thực hiện trong các bài toán khác.
 II. Toán dựng hình
 Bài toán 28: Dựng tam giác ABC vuông tại A có AC = 2 AB và cạnh BC có độ dài bằng a cho trước.
 Hướng làm: trong việc phân tích tìm tòi lời giải ta thấy có điều kiện AC gấp đôi AB thì ta luôn cho học sinh có thói quen “ khi có đoạn này gấp đôi, gấp ba, . . , đoạn kia thì trên đoạn đó ta lấy các điểm chia đôi, chia ba, . . “. Tong bài toán này ta lấy I là trung điểm của AC để có AI = IC = AB.
 Khi đó kẻ đường cao AH và lấy thêm trung điểm K của HC ta có hai tam giác ABH và CIK bằng nhau, từ đó suy ra: BH = IK = AH = HC. 
 Vây ta có cách dựng tam giác AHB từ đó dựng tam giác ABC.
 Bài toán 29: Cho tứ giác ABCD có M, P trên các cạnh AB, CD. Dựng hình bình hành MNPQ có N, Q trên BC, DA.
 Hướng làm: Do tứ giác MNPQ là hình bình hành nên trung điểm O của MP cũng là trung điểm của NQ, hay O là tâm đối xứng của hình bình hành MNPQ. Từ đó ta dùng phép đối xứng tâm O để xác định N, Q đẻ có hình bình hành MNPQ.
 Bài toán 30: Cho 4 đường thẳng a, b, c, d (không có hai đường nào song song) và một điểm O. Dựng hình bình hành ABCD nhận O là tâm và có các đỉnh nằm trên các đường thẳng đã cho.
 Hướng làm: Do tâm O của hình bình hành cũng là tâm đối xứng, nên ta xét phép đối xứng tâm O để xâc định các điểm A, B, C, D,
 Bài toán 31: Cho góc xOy khác góc bẹt và điểm A nằm trong góc đó. Dựng đường thẳng qua A cắt hai cạnh của góc xOy tại C, D sao cho A là trung điểm của CD.
 Hướng làm: Đây là bài toán quen thuộc ở lớp 8 nhưng với học sinh lớp 7 cũng xem là hấp dẫn ! Ta khai thác yêu tố trung điểm trong bài toán này theo các hướng: 
 + Tạo ra A là trung điểm chung của hai đoạn OE và CD thì ta có được hai đoạn song song là CE // OD và DE // OC từ đó ta có cách dựng CD.
 + Tao ra AI là đường trung bình của tam giác DOC ( AI // Ox) khi đó I là trung điểm của CD từ đây ta có cách xác định điểm D và đường thẳng DC.
 Bài toán 32::Cho tam giác nhọn ABC. M là điểm bất kỳ trên cạnh BC, gọi E, F là hình chiếu của M trên AB, AC. Tìm vị trí của điểm M sao cho độ dài đoạn EF nhỏ nhất.
 Hướng làm: ở đây ta thấy có hai tam giác vuông chung cạnh huyền là AEM và AFM, nên ta nhanh chóng lấy thêm trung điểm I của AM để có các trung tuyến thuộc cạnh huyền của hai tam giác vuông. Từ đặc điểm của tam giác cân IEF có góc EIF không đổi và EF nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất, khi đó AM chính là đường cao.
 Bài toán 33: Cho góc vuông xOy và điểm A nằm trong góc đó. Một góc vuông đỉnh A quay xung quanh A các cạnh của góc này cắt Ox, Oy tại M, N. Xác định vị trí của góc vuông đỉnh A để đoạn MN nhỏ nhất.
 Hướng làm: Ta thấy ở đây cũng có hai tam giác vuông chung cạnh huyền là OMN và AMN, nên ta nghĩ ngay đến việc sử dụng trung tuyến thuộc cạnh huyền chung đó. Khi đó độ dài đoạn MN chính bằng IO + IA, xét quan hệ ba đoạn OA, AI, IO ta sẽ có MN nhỏ nhất là bằng đoạn OA, khi đó I cũng là trung điểm đoạn OA từ đó ta có cách xác định vị trí điểm M và N.
 III. Toán quỹ tích
Bài toán 34: Cho tam giác ABC có điểm M thay đổi trên BC. Tìm quỹ tích trung điển I của AM ?
 Hướng làm: Bài toán này không khó, yếu tố trung điểm được khai thác rất trực quan qua một số vị trí của điểm M, nên ta nhanh chóng nghĩ đến việc tạo ra đường trung bình của tam giác và khai thác tính chất đường trung bình để giải bài toán này.
 Bài toán 35: Cho góc vuông xOy. một đoạn thẳng AB có độ dài cho trước thay đổi sao cho các điểm A, B luôn nắm trên các tia Ox, Oy. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB ?
 Hướng làm: Trong bài toán này đã có trung điểm và lại có tam giác vuông mà cạnh huyền lại có độ dài không đổi, nên ta nghĩ ngay đến việc kẻ thêm đường trung tuyến thuộc cạnh huyền rồi sử dụng tính chât trung tuyến thuộc cạnh huyền để tìm ra mối quan liên hệ giữa điểm I và điểm O đẻ có kết quả.
 Bài toán 36: Cho góc vuông xOy và điểm A nằm trong góc đó, một góc vuông có đỉnh A quay xung quanh A, các cạnh góc này cắt Ox, Oy tại M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN ?
 Hướng làm: Cũng như bài 33 ở trên ta nối ngay IO,IA và sử dụng tính chất trung tuyến thuộc cạnh huyền trong các tam giác vuông OMN, AMN để từ đó có được :
IO = IA và trả lời bài toán.
 Bài toán 37: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH. Điểm M thay đổi trên đường cao AH, đường thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC tại N. Tìm quỹ tích trung điểm I của NM ?
 Hướng làm: Từ giả thiết ta có ngay MN song song với AC, do đó tam giác vuông HMN có HI là trung tuyến thuộc cạnh huyền thì HI cũng cắt AC tai trung điểm K của AC từ đó ta có I thuộc đoạn HK.
 Bài toán 38: Cho hình vuông ABCD, một góc vuông đỉnh A quay xung quanh A là xAy Tia Ax cắt BC, CD tại M, N; tia Ay cắt BC, CD tại P, Q. Tìm quỹ tich trung điểm I, K của NP, MQ.
 D. Bài tập tự luyện .
Bài tập 1: ở miền trong của hình vuông ABCD lấy một điểm E sao cho 
Góc EAB = Góc EBA = 150. Chứng minh rằng : CDE là tam giác đều.
Bài tập 2 : Cho hình thang cân ABCD, (AB // CD) có O là giao điểm hai đường chéo. Gọi M, N, P là trung điểm của OA, OD, BC, biết góc AOB bằng 60°.
 Chứng minh tam giác MNP đều.
Bài tập 3: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của đường chéo AC và BD gọi M và N là trung điểm của OB và CD chứng minh A; M; N; D cùng thuộc đường tròn
Bài tập 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AC. Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = 3AB. Đường thẳng Dy vuông góc với DC tại D cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại E. Chứng minh tam giác BDE là tam giác cân.
Bài tập 5: Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông ABEF; ACMN; BCPQ. Chứng minh các đường cao của các tam giác AFN; CMP; BQE xuất phát từ A, B, C đồng quy.
Bài tập 6: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài các tam giác đều BCA’, ABC’. Gọi M, N, P là trung điểm của AC, BC’, BA’. Chứng minh tam giác MNP đều.
Bài tập 7: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài các tam giác đều BCA’, CAB’, ABC’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn CA’, AB’, AC’.Chứng minh hai đoạn MN, CP bằng nhau và tạo với nhau một góc 60°.
Bài tập 8: Cho tam giác ABC dựng về phía ngoài các hình vuông. Gọi I, J, K là trung điểm các cạnh hình vuông đối diện với các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh AI, BJ, CK đồng quy.
Bài tập 9. Chứng minh rằng Một tứ giác là nội tiếp khi và chỉ khi các đường thẳng đI qua trung điểm mỗi cạnh và vuông góc với cạnh đối diện đồng quy.
Bài tập 10: Cho tam giác ABC có điểm M nằm trong tam giác, các tia AM, BM, CM cắt BC, CA, AB tại A’, B’, C’. Gọi X, Y, Z là trung điểm của BC, CA, AB và X’, Y’, Z’ là trung điểm của B’C’, C’A’, A’B’. 
Chứng minh XX’, YY’, ZZ’ đồng quy.
Bài toán 11: Cho tam diác ABC, dựng về phía ngoài các tam giác MBC, NCA, PAB tương ứng đồng dạng với nhau. Chứng minh rằng: Hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.
 Bài toán 12: Cho đa giác bất kỳ có chu vi 2p. Chứng minh rằng có thể phủ kín đa giác bằng một hình tròn có đường kính bằng p. 
 Kết luận
 Giảng dạy áp dụng sáng kiến trên đây đã mang lại hiệu quả của việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán. Nhiều học sinh đã chủ động tìm tòi, định hướng và sáng tạo ra nhiều cách giải toán không cần sự góp ý của giáo viên. Từ đó đã mang lại các kết quả bất ngờ từ việc giải toán thông qua các phương pháp sáng tạo tìm lời giải của một bài toán cho học sinh.
 Chính vì vậy mỗi giáo viên nói chung và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả năng tiếp thu bài của từng đối tượng học sinh để đưa ra các bài tập và phương pháp giải toán cho phù hợp, giúp các em làm được và sáng tạo các cách giải gây hứng thú cho các em, từ đó sẽ dần dần nâng cao kiến thức từ dễ đến khó.
 Để làm được như vậy đối với mỗi giáo viên cần tìm tòi tham khảo nhiều tài liệu để tìm ra các bài toán hay, với nhiều cách giải khác nhau để tung ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện các cách giải hay.
 Thông qua phương pháp này giáo dục cho các em năng lực tư duy độc lập, rèn tư duy sáng tạo tính tự giác học tập, có phương pháp giải toán nhanh, kỹ năng phát hiện tốt.
 Trên đây là vài kinh nghiệm về việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.
 Rất mong bạn bè,đồng nghiệp, thầy cô giáo góp ý để kinh nghiệm được áp dụng rộng rãi và hoàn thiện hơn.
 Diễn Châu, tháng 5 năm 2009