Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác và phát triển một số bài toán Số học

iết khai thác, phát triển, khái quát bái toán, nhìn bài toán dưới nhiều góc độ, tiếp cận với nhiều phương pháp giải, phát huy sự say mê, tư duy sáng tạo, sự linh hoạt cho các em. Bên cạnh đó làm cho các em tự tin hơn, hứng thú hơn khi học toán cũng như các môn học khác. 
v - phương pháp nghiên cứu:
1. Phương pháp điều tra.
2. Phương pháp đối chứng.
3. Phương pháp thực nghiệm
 Phần B – Giải quyết vấn đề
I. Thực trạng của vấn đề:
Trong thực tiễn giảng dạy của tôi và một số đồng nghiệp tôi thấy việc phát triển một bài toán số học trong giảng dạy thật sự chưa đạt hiệu quả, theo ý muốn của giáo viên.
Học sinh học tập thụ động trong các tiết luyện tập, ôn tập, các buổi bồi dưỡng học sinh khá giỏi của phân môn này và chưa có ý thức tự lập, sáng tạo trong việc khai thác và phát triển bài toán.
Trong giảng dạy tôi đã điều tra việc khai thác, phát triển một số bài toán số học như sau ( đối với học sinh khá, giỏi: cho học sinh làm bài kiểm tra):
Đề bài (thời gian làm bài 45 phút):
Câu 1: Cho S = 2+ 22 + 23 + . . . +220 	 
Hỏi S có chia hết cho 6 không?	
Câu 2: Tính các tổng sau:
A = 1 + 2 + 3 + . . . + 200
	B = 
Câu 3: 	Biết: 12+22+32+...+102 = 385
	Tính: 22+42+62+ . . . + 202
Kết quả:
Số lượng
Số học sinh đạt điểm giỏi
Số học sinh đạt điểm khá
Số học sinh đạt điểm TB
Số học sinh đạt điểm yếu
Học sinh
30
3 (10%)
7 (23,3%)
15 (50%)
5 (16,7%)
II. Nội dung thực hiện:
Phương pháp tiến hành:
 Học sinh biết vận dụng kiến thức, làm bài tập áp dụng, biết suy luận, khai thác, phát triển các bài toán nói chung và các bài toán số học nói riêng .
1. Dạng 1: Khai thác, phát triển từ một bài toán chia hết.
Ta bắt đầu từ một bài toán đơn giản sau:
1.1. Bài 1: Chứng minh rằng: S = 2 + 22 + 23 + 24 6
Với bài toán này một số em đi tính S ( S = 30 nên S 6), nhưng nếu gặp bài toán mà tổng S gồm nhiều số hạng, luỹ thừa với số mũ rất lớn thì việc tính S sẽ gặp nhiều khó khăn( đôi khi không tính được). Tuy nhiên nếu quan sát kỹ một chút, ta có cách giải hợp lý.
*Bài giải: 
Ta có:	S = 2 + 22 + 23 + 24
	S = 2(1+2) + 23 (1+2)
	S = 2.3 + 23.3
	S = 3(2+23)
	Dễ thấy: S 3 và S 2
	Mà (2; 3) = 1
	Do đó S 6
Như vậy: Muốn giải được dạng toán này trước hết ta dùng phương pháp nhóm sau đó sử dụng tính chất chia hết rồi nhận xét.
Từ bài toán trên, nhận xét rằng (7;6) = 1 và 42 = 7. 6, ta có thể phát triển thành bài toán sau:
1.2. Bài 2: 	Chứng minh rằng:
	S = 2 + 22 + 23 + 2 4 + 2 5 + 26 42.
Bài giải: 
	Ta có: 	S = (2 + 22+ 23 )+ ( 24 + 25 + 26)
	S = 2(1+2 + 22 ) + 2 4(1 + 2 + 22)
	S = 2. 7 + 24.7
	S = 7.( 2 + 24 )
ị S 7 và S 6 
	Vì (6;7) = 1
	Nên S 6. 7 hay S 42.
*Lưu ý: 
ở bài này ta nhóm 3 số hạng để được tổng có các số hạng chia hết cho 7, trên cơ sở đó ta phát triển thành bài toán sau:
1.3. Bài 3	 Chứng minh rằng:
S = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 22016 14.
Hướng dẫn giải: Vì S 2 và bằng cách nhóm 3 số hạng như trên, ta dễ dàng chứng minh được S 7 và (2;7) = 1 nên 
S 2. 7 hay S 14.
ở hai bài toán trên ta nhóm 3 số hạng để được tổng có các số hạng chia hết cho 7. Bằng cách tương tự ta có thể nhóm nhiều số hạng hơn. 
Cụ thể, vì 20164, do đó tổng trên có thể nhóm 4 hạng tử với nhau, từ đó ta lại phát triển thành bài toán sau:
1.4 Bài 4	Chứng minh rằng:
S = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 22016 210.
Nhận xét: ta thấy 210 = 14. 15, do đó ta chứng minh S 15.
Mặt khác vì 2016 4, nên ta có thể nhóm 4 hạng tử với nhau.
*Bài giải:
 Ta có S = (2 + 22 + 23 + 24) + . . . + (22013 + 22014 + 22015 + 22016)
	S = 2(1+2+22+23) + . . . + 22013 (1 + 2 + 22 + 23)
	S = 2.15 + . . . +22013.15 
	S = 15(2 + 25 + . . . + 22013) 
ị	S 15, 
 Ta có S 14
Mặt khác: (15; 14) = 1
Vậy S 15.14 hay S 210.
Từ các bài toán trên, bằng cách tương tự ta có thể phát triển thành bài toán tổng quát sau:
1.5 Bài 5: 	Chứng minh rằng:
(2 + 22 + 23 + . . . + 2n) 210 với n = 12k, k ẻ N* 
Hướng dẫn: Cách giải tương tự bài 4 
*Lưu ý: Các bài tập dạng này cần chú ý đến số bị chia hết để phân tích số đó thành tích các số đôi một nguyên tố cùng nhau, sau đó sử dụng phương pháp nhóm.
1.5. Các bài tập tự luyện tập Chứng minh rằng:
a. (2 + 22+ 23 + . . . + 22005) 31	
Gợi ý: Ta thấy (2 + 22 + 23 + 24 + 25) 31, do đó có cách nhóm hợp lý.
b. (2 + 22 + 23 + . . . + 22004) 63
c. (2 + 22 + 23 + . . . + 22040) 210 
2. Dạng 2: 	Khai thác, phát triển từ một bài toán tìm chữ số tận cùng.
	Ta bắt đầu từ bài toán khá đơn giản sau:
2.1. Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của 220.
	*Bài giải: Ta có: 
	24 = 16 ị (24)n = ..... 6
	(Với n ẻ N*, (24)n có tận cùng là 6.
	Mặt khác: 220 = 24.5 = (24)5
	Vậy 220 có tận cùng là 6.
	Như vậy: ở bài này ta đã sử dụng đến tính chất của luỹ thừa đặc biệt là luỹ thừa của 6.
Từ bài toán trên ta có thể phát triển thành bài toán sau:
2.2. Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của 22000
Bài giải: Ta có:
	22000 = 24.500 = (24)500
Theo trên ta có 22000 = ..... 6
Hay 22000 có tận cùng là 6.
Bằng cách sử dụng các tính chất của luỹ thừa ta khai thác để có bài toán phức tạp hơn như sau:
2.3. Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của tổng sau:
	22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004
Bài giải: Ta có:
	22000 = ..... 6
	22001 = 22000 + 1 = 22000.2 = (..... 6).2 = ..... 2
22002 = 22001 + 1 = 2.22001 = 2.(..... 2) = ..... 4
22003 = 22002 + 1 = 2.22002 = 2.(..... 4) = ..... 8
22004 = 22003 + 1 = 2.22003 = 2.(..... 8) = ..... 6
Vậy: 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004= .... 6 + .... 2 + .... 4 + .... 8 + .... 6
Hay: 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004= .... 6
Vậy: Tổng đã cho có tận cùng là 6.
2.4. Bài tập tự luyện tập: Tìm chữ số tận cùng của các tổng sau: 
a. 220 + 221 + 222 + . . . + 230
b. 22004 + 22005 + . . . + 22008
c. 1+ 3 + 32 + 3 3 + ... + 330
3. Dạng 3: Khai thác, phát triển từ một số bài toán tính tổng cơ bản thường gặp:
a. Ta bắt đầu từ một bài toán tính tổng quen thuộc:
*a.1. Bài 1: 	Tính tổng sau:
S = 1 + 2 + 3 + ... + 2008
 *Bài giải
+
	Cách 1: Ta có S = 1 + 2 + 3 + ... + 2008
	 S = 2008 + 2007 + 2006 + . . . + 1
	2 S = 2009 + 2009 + . . . + 2009.
	 2008 số hạng
	 2 S = 2008 . 2009 
 S = 1004 . 2009 
 S = 2017036
	* Lưu ý: 
- Trước hết ta phải tính được tổng có bao nhiêu số hạng.
- Sử dụng tính chất giao hoán kết hợp của phép cộng.
- Rồi tính tổng.	
	Cách 2: Ta có số các số hạng của tổng trên là:
Do đó: 
S = 1 + 2 + 3 + ... + 2008
S = (1+2008) + ... + (1004+1005)
	 1004 cặp
S = 2009 + 2009 + 2009 + ... + 2009
 1004 số hạng
S = 2009.1004
S = 2017036
	Như vậy: Muốn làm tốt bài toán này ta làm các bước sau:
	* Bước 1: Tìm số các số hạng dựa theo công thức: 
+1
	Số cuối - Số đầu
	 Khoảng cách 2 số liên tiếp 
	* Bước 2: Ghép cặp.
	Có nhiều cách ghép cặp, tuy nhiên thông thường ta nên ghép cặp như sau: Số hạng đầu với số hạng cuối.
	* Bước 3: Tính tổng đã cho bằng cách chuyển tổng cần tìm về tìm tích.
Từ bài toán trên ta có có thể phát triển thành bài toán tổng quát sau:
a.2. Bài 2: 	Tính tổng sau:
S = 1 + 2 + 3 + . . . + n (với n ẻ N*)
Bài giải: Ta có: 
+
S = 1 + 2 + 3 + . . . + n (với n ẻ N*, )
S = n + (n-1) + (n-2) + . . . +1
 2S = (n+1) + (n+1) + (n+1) + . . . + (n+1)
	 n số hạng (n +1)
 2S = n.(n+1)
	S = 	
Vậy ta dựa vào công thức tổng quát này để tính tổng các số hạng là cách 1.
Cách 2: Ta dùng phương pháp ghép cặp
a.3. Bài 3: 
 Tính tổng các số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho cả 5 và 9.
*Bài giải:
Muốn tính tổng các số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho cả 5 và 9, trước hết ta đi tìm tổng các số tự nhiên có 3 chữ số .
Thật vậy: Tổng các số tự nhiên có 3 chữ số là: 
	B = 100 + 101 + 102 + ... + 999.
Số các số hạng là:
Ta có: B = 100 + 101 + 102 + ... + 999	
	 B = (100 +999) + (101 + 998) + ... + (549 + 550)
	 	 450 cặp
B = 1099 + 1099 + ... + 1099
 450 số hạng
B = 1099.450
B = 494 550
	Mặt khác: Các số chia hết cho cả 5 và 9 có dạng: 45.k (k ẻ N)
Theo bài: 	100Ê 45. k Ê 999; k ẻ N
	 Ê k Ê 22,2
Vì k ẻ N ị k {3; 4; 5; ...; 22}
Do đó tổng các số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho cả 5 và 9 là:
	C = 45.3 + 45.4 + 45.5 + ... + 45.22
C = 45. (3 + 4 + 5 + ... + 22)
C = 45. 250
C = 11 250
	Lưu ý: 
Có thể tính tổng bằng cách trực tiếp hoặc gián tiếp, vì như ở bài toán này ta đã dùng cách tính trực tiếp.
Khai thác từ các bài toán trên, bằng cách khái quát, ta có thể giải được bài toán tương đối phức tạp sau:
a.4. Bài 4 	Cho bảng số có dạng hình tháp sau:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
..........................................................................................................................................................................................................................................................
a. Hãy tìm tổng các số ở 8 dòng đầu tiên.
b. Tìm số đầu tiên của dòng 2008.
Bài giải: 
Trước hết ta có nhận xét:
Dòng 1 có một số là số: 1.
Số cuối của dòng 2 là: 3 = 1 + 2
Số cuối của dòng 3 là: 6 = 1 + 2 + 3
Số cuối của dòng 4 là: 10 = 1 + 2 + 3 + 4
Số cuối của dòng 5 là: 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
..................................................................................................................
Số cuối của dòng n là: S = 1 + 2 + . . . + n (với n ẻ N).
a. Theo trên, ta có số cuối của dòng 8 là: 
	1 + 2 + 3 + . . . + 7 + 8 = 36.
Vậy: tổng các số của 7 dòng đầu tiên là: 
	A = 1 + 2 + 3 + . . . + 36
Số các số hạng là: 
Do đó: A = 1 + 2 + 3 + . . . + 36
 A = (1 + 36) + (2 + 35) + ... + (18 + 19)
	 A= 37 + 37 + 37 + 37 +. . . + 37
 18 số hạng
 	 A = 37.18
	 A = 666.
b. Muốn tìm số đầu tiên của dòng n (n ẻ N) của tháp số trên, ta tìm số cuối của dòng n - 1 sau đó lấy số đó cộng với 1.
Do đó: số cuối của dòng 2007 là: 
	F = 1 + 2 + 3 + . . . + 2007
Số các số hạng là:
	Khi ghép cặp ta có 1003 cặp và dư 1 số hạng.
	ị 	F = 1 + 2 + 3 + . . . + 2007
	F = (1 + 2007) + (2+ 2006) + . . . + (1003 + 1005) + 1004
	 	 1003 cặp
	F = 2008 + 2008 + . . . + 2008 	 + 1004
	 1003 số hạng
 F = 2008.1003 + 1004
	F = 2014024 + 1004
	F = 2015028
	Vậy: số đầu tiên của dòng 2008 là: 
	 2015028 + 1 = 2015029
	Do đó: Số cần tìm là 2015029
Cứ tiếp tục khai thác, phát triển lên, học sinh có thể tự giả được các bài toán phức tạp hơn, hoặc có thể tự mình ra được các bài tập hay và khó hơn nữa. 
	* Lưu ý:
	ở bài a.4 ta cũng có thể sử dụng cách 1 để tính kết quả sẽ nhanh hơn.
	a.5. Các bài tập tự luyện tập:
	a.)Tính các tổng sau:
	B = 2 + 4 + 6 + . . . + 1000
	C = 1 + 2 + 3 + . . . + 2020
	D = 3 + 6 + 9 + . . . + 2010
	E = 1000 + 1001 + 1002 + . . . + 1999
 * G = 1 + 3 + 5 + ... + 2n + 1 ( nN)
 *H = 2 + 4 + 6 + ... + 2n ( nN *)
	b) Tính tổng các số có 4 chữ số chia hết cho 5.
	c) Tính tổng các số có 3 chữ số không chia hết cho cả 3; 2; 5 và 9.
d) Tính tổng các số có 4 chữ số chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9.
e) Tính tổng các số có 5 chữ số chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9.
b. Khai thác, phát triển từ một bài toán tính tổng khác :
Ta lại bắt đầu từ một bài toán đơn giản sau:
b.1. Bài 1:	 Tính tổng: 
Với cách giải bình thường, ta chỉ việc qui đòng mẫu các phân số rồi cộng, tuy nhiên nếu nhìn sâu hơn một chút về đặc điểm của các mẫu: 2 = 1. 2; 
6 = 2. 3; 12 = 3. 4, ta có thể giải bài toán như sau:	
 *Bài giải: Ta có: 
	b.2. Bài 2: 
Từ bài toán đơn giản trên bằng cách tương tự ta có thể phát triển thành bài toán phức tạp hơn như sau: Tính tổng:
	S = 
*Bài giải:
Ta có:	S = 	
	b.3. Bài 3: 
Từ bài toán trên nếu thay 2008 bởi số tự nhiên n tuỳ ý, ta có bài toán tổng quát sau: Tính tổng:
	 với n ẻ N, n > 1
*Bài giải:
	Ta có:	 (n ẻ N, n > 1)
	Đây chính là bài toán tổng quát của dạng tính tổng này này. 
Vậy với tổng sau ta tính như nào? 
	Hướng dẫn ta có: 	
.......
	Vậy: 
b.4. Bài tập tự luyện tập:
	a) Tính tổng: 
	b) Tính tổng: 
	c) Chứng minh rằng tổng:
	Không phải là số nguyên, 
	d) Tính tổng: 
c. Từ một bài toán tính tổng khác nữa
c.1. Bài 1: 	Biết: 12+22+32+...+102 = 385
	Tính: 22+42+62+ . . . + 202
*Bài giải:
	S 	= 22 + 42 + 62 + . . . + 202
	 	= (2.1)2 + (2.2)2 + (2.3)2 + . . . (2.10)2
	= 22.12 + 22.22 + 22-32 + . . .+ 22.102
	= 22(12 + 22+ 32 + . . .+ 102)
	= 4. 385
	= 1540
Như vậy: nếu cho S = 22+ 42 + 62 + . . . + 202= 1540
Tính P = 12 + 22 +32 + . . .+ 102 ị S = 4P
Thì ta xét: hay 
Tương tự bài toán trên ta có thể khai thác để có bài toán sau:
c.2. Bài 2: 
Biết P = 12 + 22 + 32 + . . . + 102 = 385
Tính: 0,52 + 12+ 1,52 + . . . + 52
Ta chỉ việc tìm thì suy ra tổng cần tìm.
Khai thác từ bài toán trên học sinh dễ dàng giải được các bài toán sau :
c.3. Các bài tập tự luyện tập
a) Biết: 13 + 23 + . . . 103 = 3025
	Tính: 23 + 43 + . . . + 203
b) Biết: 14 + 24 + . . . + 104 = 25333
	Tính: 24 + 44 + . . . + 204
iii. Kết quả thực hiện đề tài:
Dựa vào sáng kiến kinh nghiệm này bản thân và tôi một số đồng	 nghiệp đã tích cực hơn trong khi khai thác, phát triển một bài toán, đặc biệt học sinh sẽ không còn bỡ ngỡ trong các tiết luyện tập mở rộng và phát triển một bài toán số học.
Kết quả điều tra ban đầu sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này, tôi cho học sinh làm bài kiểm tra với đề bài như sau: 
Đề bài (thời gian làm bài 45 phút):
Câu 1: Tính tổng:
A = 1 + 2 + 3 + . . . + 2020
B = 2 + 4 + 6 + ... + 2n ( n là số tự nhiên khác 0)
	C = 
Câu 2: Cho S = 2+ 22 + 23 + . . . +22019 + 22020	 
Hỏi S có chia hết cho 6 không?	
Câu 3: 	Biết: 12+22+32+...+102 = 385
	Tính: 22+42+62+ . . . + 202
Kết quả:
Số lượng
Số học sinh đạt điểm giỏi
Số học sinh đạt điểm khá
Số học sinh đạt điểm TB
Số học sinh đạt điểm yếu
Học sinh
30
9 (30%)
12 (40%)
9 (30%)
0(0%)
iv - bài học kinh nghiệm
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy để thực hiện một cách có hiệu quả chuyên đề này cần phải có các điều kiện sau:
1. Về phía giáo viên :
* Cần đầu tư chuẩn bị kỹ bài, sắp xếp hệ thống câu hỏi thật lô gíc.
* Cần chịu khó nghiên cứu tìm tòi, sưu tầm các bài toán hay để mở rộng vốn kiến thức.
* Cần chuẩn bị các tình huống có vấn đề gây sự tò mò hứng thú cho học sinh để phát huy trí lực cho các em. 
* Khi gặp các tình huống có vấn đề cần xử lý linh hoạt, phải thường xuyên bổ sung phần kiến thức còn hổng cho các em. Cần phân tích và chỉ rõ những sai lầm, thiếu sót mà học sinh thường mắc phải, đặc biệt trong cách trình bày.
* Cần kiểm tra thường xuyên sự chuẩn bị của học sinh để động viên khích lệ các em chuẩn bị bài.
 2. Về phía học sinh :
* Phải chủ động, tự giác, quyết tâm và phát huy tính cực trong học tập của mình.
* Cần có vốn kiến thức số học vững vàng, nắm vững và vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt để giải toán.
* Cần chuẩn bị thật kỹ bài, đầu tư nhiều thời gian, phải phân tích thật kỹ các bài toán và cần có tính kiên trì trong học tập, có tố chất. 
3. Về phía nhà trường:
* Phải có nề nếp và phong trào học tập tốt.
* Phải quan tâm và đầu tư về mọi mặt cho các hoạt động dạy và học.
v - những vấn đề còn bỏ ngỏ
 Trên đây chỉ là một vài hướng khai thác và phát triển một số bài toán số học mà bản thân tôi rút ra trong quá trình giảng dạy, tuy nhiên với mỗi bài toán có thể còn có những cách khai thác và phát triển khác nữa mà bản thân tôi có thể chưa nghĩ tới. Đồng thời với những bài toán đó cũng có thể đưa ra những bài tập tổng quát hơn cho mỗi dạng hoặc có thể có những cách giải ngắn gọn, độc đáo hơn các cách giải trên, Bên cạnh đó còn rất nhiều các dạng toán hay có thể khai thác và phát triển được. Đó là những vấn đề mà tôi tự đặt ra với bản thân để tiếp tục nghiên cứu trong thời gian tới, cũng như nêu vấn đề để các đồng nghiệp cùng suy ngẫm và nghiên cứu.
Phần C - Kết luận
I - ý nghĩa, tác dụng của đề tài 
	Qua một số ví dụ trên ta thấy việc khai thác và phát triển một bài toán ( thực chất là khái quát hoá, đặc biệt hoá, tổng quát hoá bài toán) là một phương pháp rất tốt để nâng cao năng lực, tư duy, bồi dưỡng óc sáng tạo cho học sinh, đặc biệt là học sinh khá, giỏi. 
Với một số phương pháp nêu trên, hầu hết các học sinh do tôi giảng dạy đều ít nhiều đạt được những kỹ năng cần thiết để khai thác và phát triển một bài toán số học.
Tuy nhiên để có kỹ năng khai thác và phát triển một bài toán không thể một sớm một chiều mà yêu cầu học sinh cần phải cần cù, kiên trì, chịu khó trong cả một quá trình học tập. 
Toán học nói chung và số học nói riêng có tầm quan trọng đặc biệt. Do vậy, với chương trình sách giáo khoa mới, trình bày theo quan điểm hiện đại, để giảng dạy kịp đổi mới, mỗi giáo viên chúng ta phải không ngừng học tập, rèn luyện để ngày càng hoàn thiện chuyên môn của mình.
Tôi mong rằng: "Khai thác và phát triển một số bài toán số học" là kinh nghiệm giúp giáo viên có cái nhìn mới về phương pháp dạy học. Mặt khác, với kinh nghiệm này học sinh sẽ phát triển hơn tư duy logic, suy luận chặt chẽ hơn về môn toán nói chung cũng như môn số học nói riêng.
Trên đây là một vài vấn đề mà tôi đã rút ra trong quá trình giảng dạy. Cho dù các phương pháp nêu trên chưa hẳn đã mẫu mực và đầy đủ, nhưng dù sao nó cũng giúp học sinh phần nào bớt đi khó khăn trong việc giải một số bài toán số học cũng như giải các bài toán nói chung. Các em có tiến bộ, yêu thích môn Toán hơn, trình bày mẫu mực và chặt chẽ hơn. Các em tự tin hơn trong việc tìm tòi, lĩnh hội kiến thức, tạo niềm say mê, sáng tạo và hứng thú. Từ đó thúc đẩy phong trào học tập của trường ngày càng tiến bộ. Bản thân tôi cũng cảm thấy tự tin hơn, thoải mái hơn và giảm đi được phần nào sự băn khoăn, trăn trở khi dạy toán.
ii - một số kiến nghị, đề xuất
 Qua thực tế giảng dạy, để đề tài được áp dụng có hiệu quả tôi có một số kiến nghị, đề xuất như sau:
* Với mỗi bài toán giáo viên cần cho học sinh khai thác sâu bài toán, tìm ra nhiều cách giải khác nhau. Từ bài toán ban đầu có thể khai thác, phát triển thành nhiều bài toán khác tương tự, có thể phát triển thành bài toán tổng quát. Có thể thay đổi dữ kiện cho học sinh tự ra các bài toán ngược hoặc tự ra được các đề toán, giúp học sinh linh hoạt, sáng tạo, hiểu sâu sắc hơn khi giải toán. Từ đó phát triển được tư duy sáng tạo cho các em, giúp các em hưng phấn, hứng thú hơn trong học tập 
* Để thực hiện giảng dạy và học tập theo phương pháp mới có hiệu quả, các trường cần phải có đày đủ các phương tiện dạy học, đặc biệt là các phương tiện dạy học hiện đại (có phòng học bộ môn, đèn chiếu, máy chiếu đa năng ...).
* Nếu có thể, các trường cần tạo điều kiện cho giáo viên không phải dạy chéo khối, giúp cho giáo viên có nhiều thời gian nghiên cứu, chuẩn bị cho bài dạy.
* Trong mỗi tiết dạy( tiết luyện tập hay ôn tập chương, đặc biệt là trong các tiết bồi dưỡng học sinh khá, giỏi) giáo viên cần dành thời gian để nêu hướng mở rộng, khai thác và phát triển sau mỗi bài toán. Giáo viên nên tạo thói quen này thường xuyên cho học sinh.
* Vận động các em mua các sách tham khảo, sách nâng cao, tham gia mua và giải toán trong báo toán tuổi thơ 2, tạp chí toán học và tuổi trẻ. 
* Mỗi trường nên thành lập câu lạc bộ các em yêu toán, hoạt động thường xuyên để động viên khích lệ các em.
* Sở giáo dục, phòng giáo dục nếu có điều kiện, nên tổ chức nhiều hơn các cuộc hội thảo, các chuyên đề về chuyên môn để giáo viên có điều kiện trao đổi, học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau.
iii - lời kết
Chuyên đề: Khai thác và phát triển từ một số bài toán cơ bản nói chung và một số bài toán số học nói riêng là một vấn đề quen thuộc mà đã có nhiều tác giả nghiên cứu, song với lòng ham muốn tìm tòi, học hỏi để nâng cao trình độ của mình, giảm bớt khó khăn cho học trò, tôi đã mạnh dạn viết lên những vấn đề trên. Trong quá trình viết đề tài, do điều kiện thời gian và trình độ có hạn, đề tài có thể còn chưa sâu sắc, chưa đày đủ hoặc còn thiếu sót. Tôi rất mong được sự góp ý, giúp đỡ quý báu của các đồng nghiệp. 
Tôi xin chân thành cảm ơn!
 Mục lục trang
 phần A - đặt vấn đề 	 1 	I - Lý do chọn đề tài	 1
 II - Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ của đề tài 2	
 III - Giới hạn và phạm vi áp dụng của đề tài	 3	 IV - Dự kiến kết quả của đề tài	 3	 V – phương pháp nghiên cứu 4	 
phần B - Nội dung giải quyết vấn đề	 	 5	I – thực trạng của vấn đề	 5	 
II – nội dung thực hiện	 6 iii - kết quả thực hiện đề tài	 17
iv - bài học kinh nghiệm 18
v- những vấn đề còn bỏ ngỏ 19
phần c - Kết luận	 20
i - ý nghĩa, tác dụng của đề tài 	 20
ii - một số kiến nghị, đề xuất 21
iii - lời kết 22