Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác từ kết quả một bài toán hình học

án quỹ tích lớp 8).
Cho ∆ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi I là trung điểm của AM, điểm I di chuyển trên đường nào? (Bài 126 - SBT Toán 8 - Trang 73)
1.1/ Phân tích tìm cách giải: A 
 ∆ABC, Mcạnh BC, 
 GT P I Q 	 d 	 
	 KL	 I di chuyển trên đường nào?	 B M C
	 Hình 1
 Ở bài toán này, ta dễ nhận thấy khi điểm M di chuyển trên cạnh BC cố định thì điểm I di chuyển theo và luôn là trung điểm của AM. Để xác định được quỹ tích điểm I, ta xét 2 vị trí đặc biệt của M:
+Khi M B thì I P (P là trung điểm của AB, P cố định),
+Khi M C thì I Q (Q là trung điểm của AC, Q cố định).
Từ đó suy ra được I PQ (PQ là đường trung bình của ∆ABC).
1.2/ Lời giải: (tóm tắt theo SBT)
	Qua I kẻ đường thẳng d // BC, d cắt AB, AC lần lượt tại P và Q (Hình 1).
∆AMB có AI = IM, IP // BM => P là trung điểm của AB.
Tương tự , ta có: Q là trung điểm của AC. Các điểm P, Q cố định. 
Vậy I di chuyển trên đoạn thẳng PQ (PQ là đường trung bình của ∆ABC).
2. Khai thác bài toán:
2.1/ Khai thác theo hướng tìm cách giải khác:
 *Từ phân tích ở trên, thông qua dự đoán quỹ tích, ta dễ dàng tìm ra hướng chứng minh điểm I cách BC một khoảng không đổi. Từ đó có cách giải thứ 2:
Cách 2: 
 Kẻ AH, IK vuông góc với BC (Hình 2). A
 ∆AMH có IA = IM (GT), IK // AH (cùng BC) P I Q 
 => IK là đường trung bình của ∆AMH 
 => không đổi (vì AH không đổi).	 B H K M C
 Mà K BC cố định nên I nằm trên đường thẳng // BC,	 Hình 2
cách BC một khoảng bằng . 
-Khi M B thì I trung điểm P của AB (P cố định),
-Khi M C thì I trung điểm Q của AC (Q cố định).
Vậy I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
 	*Từ việc xét 2 vị trí đặc biệt của M, cùng với nhận xét rằng đường trung bình PQ cố định và I lại là trung điểm của AM giúp ta nghĩ đến đi chứng minh I, P, Q thẳng hàng và ta có cách giải khác:
Cách 3: 
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC. Ta có P, Q cố định.
 Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác ta suy ra: PQ//BC và PI//BC
 => I, P, Q thẳng hàng.
 -Khi M B thì I trung điểm P của AB (P cố định),
 -Khi M C thì I trung điểm Q của AC (Q cố định).
Vậy I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
*Tiểu kết: 
	Việc tìm hiểu nhiều cách giải khau nhau cho một bài toán có vai trò to lớn trong việc rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, phát triển trí thông minh và óc sáng tạo cho HS. Sở dĩ như vậy là vì trong khi cố gắng tìm ra những cách giải khác nhau của bài toán HS sẽ có dịp suy nghĩ đến nhiều khía cạnh khác nhau của bài toán, do đó sẽ hiểu sâu hơn mối quan hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm. Đồng thời, việc tìm ra nhiều cách giải khác nhau sẽ giúp HS có dịp so sánh các cách giải đó, chọn ra được cách hay hơn và tích luỹ được nhiều kinh nghiệm để giải toán. Ngoài ra, với một bài toán khó chưa biết cách giải, nếu HS được biết rằng dù khó như vậy nhưng bài toán vẫn có nhiều cách giải khác nhau thì các em sẽ cố gắng tìm lời giải hơn; tức là tính tò mò, ham hiểu biết được khơi dậy trong HS.
	Chẳng hạn, ở bài toán gốc, nếu mỗi chúng ta hiểu, nắm được 3 cách giải bài toán này thì ít nhất từ HS (vốn sợ bài toán quỹ tích hình học) cũng sẽ thấy sự thú vị của một bài toán. Từ đó, bản thân sẽ bớt “sợ quỹ tích” hơn, khơi dậy tính tò mò muốn được tự khám phá, ham tìm tòi để chiếm lĩnh kiến thức hơn. 
2.2/ Khai thác theo hướng thay đổi giả thiết, tìm bài toán mới:
	Có thể nói, Bài toán 1 là một bài tập hết sức cơ bản về quỹ tích. Khai thác bài toán gốc này không phải theo hướng tìm lời giải khác, mà theo hướng thử sáng tạo: thay đổi dữ kiện - tìm bài toán mới, chúng ta có thêm một chuỗi các bài toán mới với lời giải dễ dàng tìm được.
*Khai thác 2.2.1: 
Nếu qua M, ta kẻ MD//AB và ME//AC (D AC, E AB) thì ta dễ dàng chứng minh được AEMD là hình bình hành => I cũng là trung điểm của DE. Ta có bài toán mới:
¨Bài toán 2. Cho ∆ABC, từ điểm M bất kì trên cạnh BC kẻ các đường thẳng song song với AB, AC lần lượt cắt AB, AC lần lượt tại E và D. Gọi I là trung điểm của DE. Tìm quỹ tích điểm I khi M di chuyển trên cạnh BC. A
 Gợi ý giải: Hình 3 E
	Ta có ME // AD, MD // AE (GT) 	 I D 
 => AEMD là hình bình hành B M C
 mà I là trung điểm của DE Hình 3 
=> I cũng là trung điểm của AM.	
Đến đây, ta dễ dàng làm tiếp dựa vào kết quả bài toán gốc và có kết quả: 
Quỹ tích các điểm I chính là đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
*Khai thác 2.2.2: 
Từ bài toán 2, tiếp tục thay đổi giả thiết: “ME, MD lần lượt song song với AC, AB” bởi quan hệ vuông góc và thêm giả thiết  = 900, ta có bài toán tương tự:
¨Bài toán 3.
Cho ∆ABC vuông tại A, điểm M di động trên cạnh huyền. Gọi E và D lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Trung điểm I của ED di chuyển trên đường nào?
 Gợi ý giải: Hình 4	 A
-Chứng minh được AEMD là hình chữ nhật E I D
Mà I là trung điểm của ED 
=> I cũng là trung điểm của AM B M C 
Đến đây, làm tiếp dựa vào kết quả bài toán gốc và có kết quả: Hình 4
Các điểm I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
*Khai thác 2.2.3: Tiếp tục khai thác, với chú ý rằng điểm quan trọng trong điều kiện ở giả thiết của hai bài toán 2 và bài toán 3 là ME // CD, MD // BE và BE cắt CD tại A cố định. Bằng cách linh hoạt thay đổi giả thiết nhưng vẫn đảm bảo các điều kiện đó, ta có được các bài toán mới lạ hơn như sau:
¨Bài toán 4. Cho đoạn thẳng BC cố định, lấy điểm M tuỳ ý nằm giữa B và C. Vẽ về một phía của BC các tam giác đều BME và CMD. Tìm quỹ tích trung điểm I của DE khi M di chuyển trên đoạn BC.
 Gợi ý giải: Hình 5	 A
+ Gọi A là giao điểm của BE và CD=> ∆ABC đều và cố định E
+ Chứng minh được AEMD là hình bình hành I D 
---> làm tiếp dễ dàng.	 
Kết quả: Quỹ tích các điểm I chính là B M C
đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC). 	 Hình 5
¨Bài toán 5. 
	Cho đoạn thẳng BC = a, lấy điểm M bất kì nằm giữa B và C. Vẽ về một phía của BC các tam giác BME và CMD vuông cân lần lượt tại E và D. Khi M di chuyển trên đoạn BC thì I di chuyển trên đường nào?
 Gợi ý giải: 
 + Gọi A là giao điểm của BE và CD => ∆ABC vuông cân tại A và cố định
	 + Chứng minh được AEMD là hình chữ nhật
 ---> làm tiếp tương tự như bài toán 3.
 Kết quả: I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
*Khai thác 2.2.4: 
Ở các bài toán trên, tiếp tục suy nghĩ, ta thấy từ điều kiện ME//CD và MD//BC => B = CMD và BME = C, mà BE cắt CD tại A nên muốn A cố định ta chỉ cần thêm giả thiết B = CMD = α và BME = C = β và ta có bài toán tổng quát hay và khó:
¨Bài toán 6. 
Cho đoạn thẳng BC = a và điểm M bất kì nằm giữa B và C. Vẽ về một phía của BC các tam giác BME và MCD sao cho B = CMD = α và BME = C = β (α, β cho trước). Gọi I là trung điểm của DE. Khi M di chuyển trên đường thẳng BC thì I di chuyển trên đường nào?	 A
 Gợi ý giải: Hình 6
 +Gọi A là giao điểm của BE và CD,	 I D
vì B = α và C = β không đổi và BC cố định E
nên A cố định. 
 +Từ giả thiết, dễ dàng chứng minh được B M C
 AEMD là hình bình hành. Hình 6
---> làm tiếp như bài toán 5, kết quả: 
 Khi điểm M di chuyển trên đường thẳng BC thì điểm I di chuyển trên đường thẳng PQ (P,Q lần lượt là trung điểm của AB và AC).
Đến đây, chúng ta thấy rằng đã có nhiều thú vị từ bài toán gốc và không ít chúng ta đến đây có lẽ đã chấp nhận dừng lại và thoả mãn với sự khai thác! . . . Nhưng chưa hết thú vị đâu, nếu tiếp tục suy xét, chịu khó suy nghĩ tìm tòi, chúng ta vẫn có thể khai thác tiếp và còn được những bài toán mới thú vị và hay hơn. 
*Khai thác 2.2.5: Ở các bài toán trên, bài toán mới chỉ tìm hiểu khi có một điểm M di động trên một đoạn BC cố định. Câu hỏi đặt ra: liệu có thể thay đổi giả thiết từ bài toán gốc để xét với 2 điểm di động trên các đoạn thẳng cố định hay không? Thật bất ngờ là hoàn toàn được!: Nhờ dựa vào tính chất của hình bình hành và cách giải các bài toán ở trên, chúng ta có bài toán hay và khó hơn sau đây:
¨Bài toán 7.
Cho ∆ABC cân tại A. Hai điểm E và D thứ tự di chuyển trên các cạnh AB, AC sao cho AE = CD. Tìm tập hợp trung điểm I của DE.
 Gợi ý giải: Hình 7	 	 A	
+Kẻ DM // AB (M BC), E
=> ∆DMC cân tại D	 	 I 	 D
=> DM = DC = AE
=> AEMD là hình bình hành B M C
+Đến đây làm tiếp tương tự như các bài toán trên,	 Hình 7
 ta có kết quả : điểm I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
¨Bài toán 8. (bài toán 7 là trường hợp riêng của bài toán 8): 
Cho ∆ABC. Hai điểm E và D lần lượt di chuyển trên các cạnh AB, AC 
sao cho. Tìm quỹ tích các trung điểm I của ED.
 Gợi ý giải:
 + Vẽ DM // AB (M BC) (hình 8)
 => (talet) mà (GT) A
=> => EM // AD (talet đảo) E I D
 => ADME là hình bình hành 
=> trung điểm I của DE cũng là trung điểm của AM B M C
---> làm tiếp tương tự bài toán 7.	 Hình 8
Kết quả: 
Quỹ tích các điểm I chính là đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
*Khai thác 2.2.6: 
	Từ các bài toán 7 và 8, lại khéo léo thay đổi giả thiết, ta có được hai bài toán rất hay và chắc chắn sẽ rất khó nếu ta chưa biết đến các bài toán ở trên:
¨Bài toán 9. 
	Cho góc xAy cố định. Hai điểm E, D lần lượt di chuyển trên hai cạnh Ax, Ay sao cho AE + AD = a không đổi. Tìm quỹ tích các trung điểm I của ED. 
 Gợi ý giải: Hình 9	 x
+Lấy B, C lần lượt trên tia Ex, Dy E B 
sao cho BE = AD, CD = AE P
=> AB = AE + EB = AE + AD = a I
tương tự AC = a A D
Vậy ∆ABC cân tại A và cố định Q C y	
---> Đến đây, ta thấy chính là bài toán 7 	Hình 9
---> dễ dàng làm tiếp và cho kết quả: 
Quỹ tích các điểm I chính là đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).	
¨Bài toán 10. 
Cho ∆ABC cố định. Hai điểm E, D lần lượt di chuyển trên các cạnh AB, AC sao cho BE + CD = a không đổi. Tìm tập hợp các trung điểm M của DE.
 Gợi ý giải: Hình 10	 A
+Lấy G, H thứ tự trên tia EA và DA	 G H
sao cho EG = CD, DH = BE	 
Từ giả thiết, chứng minh được 	 D
BG = CH = a không đổi => G, H cố định K M I
+Gọi I, K, O, N lần lượt là trung điểm của 
CG, BH, BC và CE => I, K, O cố định E
và O, N, I thẳng hàng (vì ON//BE, OI//BG). N
+Áp dụng tính chất đường trung bình B O C
của tam giác, ta có: Hình 10 	 
2OK = CH = a, 2OI = BG = a => OK = OI.	 	
Chứng minh tương tự => NI = NM 
+Các tam giác cân KOI và MNI có góc ở đỉnh bằng nhau (do OK // NM // AC) 
nên các góc ở đáy tương ứng bằng nhau => OIK = NIM
=> I, M, K thẳng hàng => M di chuyển trên đường thẳng IK.
-Khi D C thì E G, khi đó M I,
-Khi E B thì D H, khi đó M K 
=> Kết quả: Tập hợp các điểm M là đoạn thẳng IK.
*Tiểu kết: 
	Quá trình đi sâu khai thác, phát triển bài toán có ý nghĩa vô cùng tích cực cho việc dạy và học toán. Quá trình này rèn luyện trí thông minh, óc sáng tạo cho HS. Sau khi giải xong một bài toán và tìm nhiều cách giải khác, nên tiếp tục sáng tạo: dựa vào bài toán đó mà tự nghĩ ra các bài toán mới. Việc làm này, giúp chúng ta nắm vững mối quan hệ giữa các đại lượng và những quan hệ bản chất trong mỗi bài toán. Từ đó mà HS hiểu bài hơn rất nhiều.
2.3/ Khai thác theo hướng diễn đạt bài toán dưới hình thức khác:
	Từ bài toán gốc, do mối liên hệ khá mật thiết giữa “quỹ tích” với “điểm cố định”, “các điểm thẳng hàng”, “các đường thẳng đồng quy”, “bài toán dựng hình” nên ta có thể tạo ra rất nhiều bài toán mới hay và khó, thú vị không kém các bài toán ở trên. Chẳng hạn:
	Từ bài toán 1 (bài toán gốc), ta có bài toán sau: 
¨Bài toán 11: Cho tam giác ABC, điểm M bất kì trên BC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, AC và AM. Chứng minh rằng: P, Q, R thẳng hàng.
	Hoặc từ bài toán 4, ta có bài toán mới khá thú vị:
¨Bài toán 12: Cho đoạn thẳng BC cố định, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy. Vẽ về một phía của BC các tam giác đều BME và CMD. Gọi trung điểm của DE là I. Chứng minh rằng: BE, CD và MI luôn đồng quy tại một điểm cố định.
	Bằng cách thay đổi cách phát biểu một cách linh hoạt và khoa học, tương tự như thế ta sẽ có nhiều bài toán mới nữa:
¨Bài toán 13: Cho ∆ABC cân tại A. Hai điểm E và D thứ tự di chuyển trên các cạnh AB, AC sao cho AE = CD. Gọi trung điểm của DE là I. Tìm quỹ tích các điểm M đối xứng với A qua I.
¨Bài toán 14: Cho tam giác ABC vuông cân. Điểm M di chuyển trên cạnh huyền BC, đường thẳng qua M vuông góc với BC cắt đường thẳng AB, AC lần lượt ở D và E. Gọi I, K thứ tự là trung điểm của CE và BD. Tìm quỹ tích các trung điểm của đoạn thẳng IK.
¨Bài toán 15: Cho đoạn thẳng AB. Điểm M di chuyển, nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMND và BMLK có tâm lần lượt là C và D. Gọi I là trung điểm của đoạn CD.
	a) Điểm I di chuyển trên đường nào?
	b) Chứng minh rằng PK luôn đi qua một điểm cố định.
¨Bài toán 16. Cho góc xAy 600. Hai điểm E, D lần lượt di chuyển trên hai cạnh Ax, Ay sao cho AE + AD = 10 cm. Dựng đường thẳng d cắt 2 cạnh của góc xAy tại P và Q sao cho APQ là tam giác đều có cạnh bằng 5 cm. Chứng minh rằng d luôn đi qua trung điểm của DE. 
	Lời giải các bài toán trên dễ dàng tìm được dựa vào các bài toán trước. Phần giải chi tiết các bài toán xin dành cho bạn đọc, coi như bài tập vận dụng. 
*Tiểu kết: 
	Như các bạn đã thấy, nếu chịu khó suy nghĩ tìm tòi thì sau mỗi bài toán đều có chứa nhiều điều thú vị, bổ ích khác. Khai thác, phát triển bài toán ở nhiều khía cạnh, chúng ta có thể tìm cách giải khác, phát triển, đề xuất thêm được các bài toán mới hay và thú vị. Điều này rất bổ ích cho việc dạy và học toán, đặc biệt là cho người học toán đấy!
	Cuối cùng, tôi xin đưa ra một số bài tập: 
¨Bài 1. Cho góc xOy bằng 300. Trên cạnh Ox lấy điểm A sao cho OA = 2cm. Điểm B di động trên cạnh Oy. Gọi G là trọng tâm của tam giác AOB. Hỏi điểm G di động trên đường nào?
¨Bài 2. Cho góc vuông xOy và điểm A cố định thuộc cạnh Ox. Một điểm B chuyển động trên Oy. Dựng hình vuông ABCD ở miền trong của góc xOy.
Tìm quỹ tích điểm D.
Tìm quỹ tích điểm C.
Tìm quỹ tích tâm I của hình vuông.
¨Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Một góc vuông EHF xoay quanh H, cắt cạnh AB và AC thứ tự tại E và F.
Chứng minh rằng hai tam giác ABC và HEF đồng dạng với nhau.
Tìm quỹ tích trung điểm I của EF.
Chứng minh rằng: Khi HA là tia phân giác của góc EHF thì AE = AF.
V. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
	Trong quá trình dạy học hình học, tôi đã áp dụng đề tài này không chỉ để dạy và bồi dưỡng cho đối tượng HS khá giỏi mà còn linh hoạt dạy cho cả HS đại trà. Đặc biệt là đối với HS lớp 8, bài toán quỹ tích bước đầu với các em còn mới lạ và trừu tượng, đòi hỏi tư duy cao. Do đó, lúc đầu nhiều em còn rất “ngại” học hình nói chung và rất “sợ” bài toán quỹ tích nói riêng. Hầu như HS chỉ có ý thức làm bài tìm một lời giải và dừng lại không suy nghĩ thêm sau khi có kết quả của bài toán, thỏa mãn với chính mình. Các em chưa thấy được tác dụng mạnh của việc nhìn lại bài toán dưới nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác sẽ củng cố được kiến thức của mình, rèn cho mình được thói quen suy nghĩ tích cực, phát triển tư duy sáng tạo, tính kiên trì, độc lập – những đức tính tốt và cần thiết của người học toán. Song, qua một thời gian kiên trì, linh hoạt áp dụng đề tài và dạy HS theo ý tưởng trên, đến nay, hầu hết các em đã tham gia, hưởng ứng một cách tích cực, chủ động, vận dụng kiến thức khá thành thạo khi làm một số dạng bài có liên quan từ dễ đến khó. Quan trọng hơn, các em không còn cảm thấy hình học đáng ngại, đáng sợ nữa. Do đó, trong học toán nói chung và học hình học nói riêng các em đã nhiệt tình, chủ động, tích cực hơn, có nhiều phát hiện thể hiện sự tìm tòi, sáng tạo bước đầu rất tích cực.
	Thực tế, tôi đã sử dụng vào giảng dạy cho khối 8 hai năm học liền gần đây thì kết quả cho thấy HS đều có ý thức thi đua nhau học tập, rất hào hứng phát biểu các suy nghĩ, tìm tòi, phát hiện của mình về cách giải khác, bài toán mới, . . .. Và tôi thấy tinh thần học tập của các em sôi nổi, phấn khởi hơn, khả năng tự nghiên cứu toán học của các em được phát huy một cách tích cực; kết quả học tập môn toán, nhất là hình học có nhiều tiến bộ. Các em không những nắm vững kiến thức trong SGK, các em còn có cố gắng trong việc tìm hiểu giải các bài toán nâng cao, các bài toán khó, bước đầu có thói quen tốt: biết chịu khó, tích cực tìm tòi khai thác, phát triển các bài toán cho trước.
VI. NHỮNG KIẾN NGHỊ KHI ÁP DỤNG:
- Với đối tượng HS trung bình trở xuống khả năng lĩnh hội kiến thức, tư duy, nhận thức chậm nên sự chuyển tải kiến thức rất khó khăn, nhất là dạng toán có điểm chuyển động, quỹ tích hình học. Do vậy cần có thời gian và phải vận dụng linh hoạt, thường xuyên, kiên trì và cần có nhiều tài liệu tham khảo liên quan.	
- Muốn dạy HS biết cách “Khai thác từ kết quả một bài toán”, bản thân GV phải thường xuyên thực hiện điều đó, liên tục tự tìm tòi, nghiên cứu, học hỏi kinh nghiệm qua đồng nghiệp, sách, báo và đặc biệt là qua các trang Web có liên quan...; GV cần có sự chủ động, có kế hoạch trong từng ngày, từng giờ lên lớp. 
- Việc khai thác, phát triển từ bài toán quen thuộc đã biết, giúp cho HS định hướng tìm ra lời giải một bài toán hình học là một vấn đề rất quan trọng và không thể thiếu được trong công tác dạy học toán nói chung và dạy học hình học nói riêng. Phong trào thi viết sáng kiến kinh nghiệm trong các trường học là một phong trào có tác dụng tốt, rất có ý nghĩa, đặc biệt là trong xu thế thời đại đang rất cần sự sáng tạo, chủ động, tích cực trên mọi lĩnh vực công tác hiện nay. Vì vậy, tôi mạnh dạn và mong muốn Phòng giáo dục đào tạo và cấp trên duy trì phong trào này, khích lệ động viên các tập thể, cá nhân có những sáng kiến hữu hiệu, tích cực; có hình thức phổ biến, trao đổi về các sáng kiến hay tới đông đảo giáo viên. 
PHẦN THỨ BA. 
KẾT LUẬN
Việc khai thác, phát triển một bài toán cho trước góp phần rất quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy cho HS khi học môn Toán - nhất là việc bồi dưỡng HS giỏi. Qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu, bản thân tôi nhận thấy:
- Các GV giảng dạy toán đều đánh giá cao tầm quan trọng của việc khai thác, phát triển từ một bài toán mà HS đã giải được. Mở rộng, phát triển thêm các bài toán khác (đơn giản hoặc thường là phức tạp hơn) nhằm phát triển tư duy sáng tạo, linh hoạt, độc lập, tích cực suy nghĩ cho cả người dạy và người học.
- Trong quá trình giảng dạy và học tập toán, việc khai thác, tìm hiểu sâu thêm kết quả của bài toán là rất quan trọng và rất có ích. Nó không chỉ giúp chúng ta nắm bắt kĩ kiến thức của một dạng toán mà nó còn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá, tổng quát hoá một bài toán; từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt cho các em HS; giúp cho HS nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức hơn một cách lôgic, khoa học; tạo hứng thú khoa học yêu thích bộ môn toán hơn.
	Sau một thời gian kiên trì, nghiêm túc và nỗ lực thực hiện với sự giúp đỡ của đồng nghiệp, tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài "Khai thác từ kết quả một bài toán hình học". Tôi mong muốn được học hỏi, trao đổi thêm cùng tất cả đồng nghiệp và bạn đọc quan tâm vấn đề này. Đồng thời, tôi cũng hi vọng đề tài này sẽ đóng góp một phần nhỏ trong việc bổ sung hiểu biết, góp phần làm tài liệu tham khảo cho công tác giảng dạy toán cũng như học toán, từ đó nâng cao được chất lượng dạy và học môn toán trong nhà trường. 
Bước đầu, đề tài đã thu được khá nhiều kết quả tích cực, đã tạo thói quen tốt cho nhiều HS tính kiên trì, độc lập suy nghĩ và có khả năng sáng tạo khi học toán, tự thấy được sự phong phú, thú vị của toán học. Các em đã ham thích hơn với môn toán. Mặc dù vậy, với khuôn khổ của đề tài này thì đây cũng chưa phải cho tất cả các đối tượng HS và đây cũng chỉ là ý kiến của riêng cá nhân tôi là chính. 
Tuy đã cố gắng nhưng do kinh nghiệm cá nhân còn hạn chế nên nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này chắc chắn không tránh khỏi nhiều khiếm khuyết. Tôi rất mong được sự trao đổi, chỉ bảo và đóng góp ý kiến bổ sung của các thầy giáo, cô giáo để đề tài được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !.
Yên Bình, ngày 04 tháng 01 năm 2011
Người viết
Nguyễn Văn Tuấn
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
	- SGK Toán 8 - NXBGD
	- SBT Toán 8 - NXBGD
	- Phương pháp dạy học môn Toán - NXBGD (dùng cho hệ CĐSP).
	- Nâng cao và phát triển Toán 8 – NXBGD.
	- Các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THCS chu kì I, II, III.
	- Một số tạp chí Toán tuổi thơ 2.
	- Một số tạp chí Thế giới trong ta.
-----------------------------------------------