Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác tính ưu việt trong việc vẽ tam giác đều để giải bài toán tính số đo góc

Phần I
đặt vấn đề
 I. Lý do và mục đích chọn đề tài :
1/ Lý do :
 Đứng trước yêu cầu của công cuộc đổi mớí, giáo dục phải luôn đi trước một bước, vì thế đòi hỏi ngành giáo dục nói chung và mỗi thầy cô giáo nói riêng phải gánh vác một trọng trách hết sức nặng nề. Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại xứng đáng với vị trí của nó trong xã hội thì các nhà giáo dục phải đổi mới và đề ra những định hướng kịp thời. Trong quá trình giáo dục thì việc luôn phấn đấu, tìm tòi, đổi mới phương pháp giảng dạy, nâng cao hiệu suất giờ lên lớp. Có làm được như vậy mới nâng cao được chất lượng đào tạo, gây uy tín với HS, củng cố niềm tin đối với phụ huynh học sinh và toàn xã hội.
 Là một giáo viên toán trường THCS, tôi thấy Hình học 7 là bộ môn kế tiếp của Hình học 6, nó là cơ sở lý luận cho các em học hình học ở các lớp sau. Do đó việc dạy hình học ở lớp 7 có một vị trí đặc biệt quan trọng trong quá trình dạy Toán ở trường phổ thông. Trong những năm qua tôi đã đặt ra cho mình những câu hỏi, những trăn trở để từ đó tìm hiểu, nghiên cứu rút ra phương pháp giảng dạy thích hợp. Trong chương trình Hình học 7, tuy là môn học vẫn còn mới mẻ đối với HS, nhưng vẫn có những bài tập khó mà các em còn lúng túng khi tìm hướng giải. Qua nhiều năm giảng dạy và nhất là công tác bồi dưỡng HS giỏi tôi đã hệ thống được ba loại bài tập khó đối với HS như sau :
1 - Loại bài tập có thể “nhìn thấy” được kết quả hoặc hướng chứng minh nhưng rất khó trình bày để đi đến kết quả đó.
2 - Loại bài tập có đầu bài rất rích rắc, phức tạp, khó hiểu.
3 - Loại bài tập có đầu bài rất tường minh, ngắn gọn nhưng khó giải vì có quá ít dữ kiện.
 Đối với mỗi loại bài tập nói trên, người dạy phải định ra cho HS hướng giải quyết như thế nào cho phù hợp. ở đây tôi chỉ xin đề cập đến một phần của cách giải quyết loại bài tập thứ 3 : Loại bài tập có đầu bài rất tường minh, ngắn gọn nhưng khó giải vì có quá ít dữ kiện. Loại bài tập này đòi hỏi HS phải biết tạo ra các dữ kiện mới bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ. Nhưng thực tế, việc định hướng để xác định xem phải vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào cho hợp lý thì HS còn gặp nhiều khó khăn mà đây là một vấn đề mà giáo viên phải hình thành cho HS ngay từ lớp 7 để các em phát triển được tư duy hình học của mình.
 Vì vậy, trong quá trình nghiên cứu, tìm tòi và bồi dưỡng HS khá giỏi tôi đã rút ra được một chút ít kinh nghiệm về việc hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ cụ thể là vẽ thêm tam giác đều để giải một số bài toán về tính độ lớn của góc. Đó chính là lý do mà tôi chọn chuyên đề : "Khai thác tính ưu việt trong việc vẽ tam giác đều để giải bài toán tính số đo góc".
2/ mục đích : 
 Tôi nghiên cứu, viết chuyên đề này hy vọng giúp các em HS lớp 7 (đặc biệt là HS khá giỏi) có phương pháp và hướng để giải các bài toán hình học. 
 Đồng thời qua chuyên đề này các em được hình thành, rèn luyện, củng cố kiến thức kỹ năng vẽ hình, kỹ năng trình bày một bài tập hình học. Giúp HS mở mang tầm hiểu biết thực tiễn của mình, giúp giáo dục tư tưởng đạo đức và rèn phong cách làm việc của người lao động mới :
 Có kế hoạch, có định hướng hợp lý trước khi làm bất kỳ công việc nào đó.
 II. Phạm vi áp dụng :
 Chuyên đề này cho các thầy cô đang dạy ở trường THCS ; Cho các em HS lớp 7, đặc biệt là đối với HS khá giỏi ; Các bậc phụ huynh cũng có thể sử dụng để là tài liệu tham khảo. Chuyên đề nhằm giúp hướng dẫn HS vẽ những yếu tố phụ "tam giác đều" để giải một số bài toán về tính số đo góc trong hình học 7.
 III. phương pháp nghiên cứu :
Nghiên cứu lý thuyết.
Phân tích tổng hợp.
Thực nghiệm.
Phần II
giải quyết vấn đề
 I. Cơ sở lý luận :
1) Vai trò của việc hướng dẫn HS giải bài tập hình học :
 Hướng dẫn HS giải bài tập hình học là phương tiện rất hiệu lực để thực hiện mục đích việc dạy học toán ở trường phổ thông. Củng cố, ôn tập , khắc sâu, hệ thống hoá kiến thức và mở rộng các kiến thức, rèn kỹ năng vẽ hình, kỹ năng trình bày, kỹ năng tính toán, vận dụng các kiến thức vào thực tế và các môn học khác, rèn tính tích cực học tập của học sinh. Vì vậy đứng về phương diện điều khiển hoạt động của HS, bài tập hình học là phương tiện kiểm tra kiến thức và kỹ năng của HS.
2) Phương pháp hướng dẫn HS vẽ yếu tố phụ "tam giác đều" để giải các bài toán về tính số đo góc :
 Đối với các bài tập về tính số đo góc, trước tiên ta cần hướng dẫn HS chú ý đến những tam giác chứa góc có số đo xác định như :
Tam giác cân có một góc xác định.
Tam giác đều.
Tam giác vuông cân.
Tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền...
 Sau đó hướng dẫn HS nghĩ đến việc tìm số đo của góc cần tìm thông qua mối liên hệ với các góc của một trong các hình chứa góc có số đo hoàn toàn xác định nêu trên (Thường là đi với mối liên hệ bằng nhau của tam giác rồi rút ra góc tương ứng của chúng bằng nhau).
 II. Nội dung :
1- Ví dụ 1 :
Cho tam giác ABC (AB = AC) có góc ở đáy bằng 800. Trên AB lấy D sao cho AD = BC. Tính số đo góc ACD .
 * Hướng giải quyết: 
Giáo viên có thể gợi ý cho các em đi tìm mối liên hệ giữa các góc của tam giác ABC. Có thể các em sẽ phát hiện thấy (hoặc giáo viênchỉ ra): tam giác cân ABC đã cho có góc 800, 800, 200. Mà 800 - 200 = 600 chính là các góc của tam giác đều. Từ đó hướng dẫn học sinh thử đi vẽ thêm một tam giác đều nào đó, xem có nhận thấy điều gì không?
 Từ sự gợi ý trên, đa số học sinh đều làm theo cách sau:
 - Cách 1:
Vẽ tam giác đều BEC nằm trong tam giác ABC để tạo ra 
 Khi đó ∆ ECA = ∆ DAC (c.g.c) vì: 
 ⇒ 
 Mà ∆ ABE = ∆ ACE (c.c.c) 
vì : ⇒ 
Từ (1) và (2) ⇒
 Cũng có một số em làm theo cách:
 - Cách 2:
 Vẽ tam giác đều EAD nằm ngoài tam giác ABC, tạo ra 
Khi đó ∆ EAC = ∆ CBA (c.g.c) vì: 
⇒ CE = CA Và 
800
A
C
B
D
800
A
C
B
D
E
800
A
C
B
D
E
1
?
Do đó ∆CDA = ∆CDE (c.c.c) vì: ị 
 Sau khi phân tích, hướng dẫn học sinh làm hai cách trên, có thể hướng dẫn học sinh làm thêm theo cách sau:
* Cách 3 :
 Vẽ tam giác đều EAC nằm ngoài tam giác ABC, tạo 
Khi đó ∆DAE = ∆CBA (c.g.c) vì :
Vậy ∆ DEC cân tại đỉnh E và có góc ở đỉnh ị Góc đáy = (1800 - 400) : 2 = 700 Do đó = 700 - 600 = 100
* Cách 4 :
 Vẽ ∆ đều ABE (E,C nằm cùng phía đối với AB) tạo ra 
 Khi đó ∆ CBE = ∆ DAC (c.c.c) vì :
 ị
Vậy để tìm ta chỉ cần tính 
Dễ thấy ∆ AEC cân tại A vì có góc ở đỉnh = 600 - 200 = 400
800
A
C
B
D
E
2
1
1
?
800
A
C
B
D
1
1
?
800
A
B
D
E
1
ị Góc ở đáy = (1800 - 400) : 2 = 700 Mà góc = 600 (góc trong tam giác đều) ị Góc = 700 - 600 = 100 ị
 ở ví dụ này đề bài cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau là : AB = AC ; AD = BC. Như vậy có thể giải bằng 4 cách : Vẽ tam giác đều có một cạnh là AC ; vẽ tam giác đều có một cạnh là AB ; vẽ tam giác đều có một cạnh là BC ; rồi AD. Qua ví dụ bước đầu các em đã định hình được phương pháp vẽ tam giác đều và các cách triển khai theo phương pháp đó.
2) Ví dụ 2 : Cho ∆ ABC vuông, cân tại A, điểm E nằm trong tam giác sao cho . Tính .
* Hướng dẫn :
 Cũng như ở ví dụ 1. ở ví dụ này các em sẽ sớm phát hiện thấy 
mà 750 - 150 = 600 là góc của tam giác đều (Cũng có em nhận xét : 
 và 450 + 150 = 600).
 Còn đối với những em chưa xác định được điều gì ta cũng gợi ý, hướng dẫn các em tính số đo các góc trong bài rồi tìm mối liên quan giữa các góc đó. Từ đó có thể hướng dẫn các em các cách vẽ thêm tam giác đều như sau : 
 * Cách 1 : 
Vẽ tam giác đều AKE nằm trong tam giác ABE tạo ra Khi đó : 
∆ BAK = ∆CAE (c.g.c) vì : 
ị ∆ ABK cân tại K và có góc ở đáy bằng 150 
A
B
C
E
?
150
150
2
1
K
A
B
C
E
?
150
150
ị ị 
Mà = 600 ị ∆ AKB = ∆ EKB (c.g.c) vì : 
ị ị = 150 + 600 = 750 
 * Cách 2: Vẽ tam giác đều KCE nằm phía ngoài ∆ AEC, tạo ra 
Khi đó ∆ KCA = ∆ AEB (c.g.c)
 vì : ị
Lại có 
ị = 3600 - (1500 + 600) = 1500 
1
K
A
B
C
E
?
150
150
⇒ ∆ AEC = ∆AEK (c.g.c) vì : 
ị ị = 150 + 600 = 750 ị = 750
* Cách 3:
Vẽ tam giác đều AKB (K, C nằm cùng phía đối với AB) tạo ra 
 Khi đó : ∆ EAC = ∆ EAK (c.g.c) vì :
 ⇒EK = EC 
K
A
B
C
E
?
150
150
Vậy ∆ ABE = ∆ KBE (c.c.c) vì : ị 
Như vậy ∆ BEA có = 300 ; = 750. Hoặc ∆ AKC cân tại A có góc ở đỉnh bằng 300 ⇒ = = (1800 - 300) : 2 = 750 mà = 150 ⇒ = 600
 Vậy ∆ ACK đều ⇒ KC = EC = AE ⇒ ∆ ABE = ∆ CAK (c.g.c) 
vì : ⇒ = 750
* Cách 4 : Vẽ tam giác đều ACK ra phía ngoài ∆ ABC tạo ra 
 Khi đó ∆ BAE = ∆ KAE (c.g.c) vì : 
Mà vì ∆ AEK = ∆ CEK (c.c.c)
⇒ 
* Cách 5: Vẽ tam giác đều AKC “trùm” lên ∆ EAC, 
tạo ra .
Từ K kẻ tia KM sao cho = 15o 
thì ∆ MKC = ∆ EAC (g.c.g) vì:
 ⇒ KM = AE
Mặt khác ∆ ABK cân tại A có góc tại đỉnh bằng 30o 
⇒ góc ở đáy bằng 75o. 
A
B
C
E
?
K
1
2
M
K
A
B
C
E
?
150
150
Do đó = 75o - 45o = 30o = ⇒ ∆ KMB cân tại K ⇒ KB = KM = AE
Vậy ∆ ABE = ∆ BAK (c.g.c) vì:
ở ví dụ này đầu bài cũng cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau là:
 AB = AC; EA = EC. Do vậy cũng có thể giải bài toán đó theo các cách: Vẽ tam giác đều có một cạnh là AE; hoặc EC; hoặc AC.
 Như vậy với sự gợi ý, hướng dẫn của giáo viên, học sinh đã biết phân tích đầu bài, tìm được mối liên hệ giữa các dữ kiện của giả thiết, từ đó định hướng được cách giải. Đó chính là thành công của người thày. Và điều quan trọng nữa là khi hướng dẫn học sinh triển khai một bài toán theo nhiều cách khác nhau, giáo viên đã tạo cho học sinh óc quan sát nhạy bén, linh hoạt và cũng làm cho tư duy hình học của các em được phát triển hơn.
 3. Ví dụ 3:
Cho tam giác cân ABC có đáy BC, góc ở đáy bằng 50o. Lấy điểm K trong tam giác, sao cho . Tính số đo các góc của ∆ ABK.
 * Hướng giải quyết:
 ∆ ABK có: = 50o - 10o = 40o
Vậy chỉ còn phải tính hai góc còn lại là: và . Xem xét đầu bài ta thấy ∆ ABC 
A
B
C
K
?
100
300
?
?
A
B
C
K
?
100
300
?
?
E
1
2
100
có các góc 50o, 50o, 80o mà 50o + 10o = 60o chính là góc của tam giác đều. Từ đó có thể giải bài toán trên theo cách sau (học sinh tìm ra hoặc giáo viên gợi ý):
 * Cách 1:
Vẽ ∆ đều BCE “trùm” lên ∆ ABC, tạo ra 
Dễ thấy ∆ EAB = ∆ EAC (c.c.c) vì: 
Khi đó ∆ ABE = ∆ KBC (g.c.g) vì: 
 ⇒ AB = KB. Do đó ∆ ABK cân tại B có góc ở đỉnh = 40o
⇒= (180o - 40o) : 2 = 70o 
Vậy các góc của ∆ ABK là 40o; 70o; 70o.
 * Cách 2:
A
B
C
K
?
100
300
?
?
E
Vẽ ∆ đều ABE (E, C nằm cùng phía đối với AB), tạo ra
và tạo ra ∆ AEC cân ở A có góc
ở đỉnh bằng 80o - 60o = 20o
 ⇒ Góc ở đáy bằng (180o - 20o) : 2 = 80o
 ⇒ ∠ BCE = 80o - 50o = 30o
Do vậy ∆KBC = ∆EBC (g.c.g) vì:
⇒ BK = BE ⇒ BK = BA ị ∆ ABK cân tại B ⇒ Các góc là 40o; 70o; 70o.
 * Cách 3:
A
B
C
K
?
100
300
?
?
E
Vẽ ∆ đều AEC (E, B nằm cùng phía đối với AC), tạo ra và tạo ra ∆ ABE cân tại A có góc ở đỉnh bằng 80o - 60o = 20o
 ⇒ góc ở đáy bằng 80o ⇒ = 80o - 50o = 30o
Do đó ∆KBC = ∆ECB (g.c.g) vì: 
⇒ AK = EC = AB ⇒ ∆ ABK cân tại B
Vậy các góc cần tính là: 40o; 70o; 70o.
 ở ví dụ này có hai đoạn thẳng bằng nhau là AB = AC. Do đó khi vẽ thêm tam giác đều dựa trên lần lượt một trong hai cạnh đó, ta sẽ được hai cách: cách 2, cách 3. Ngoài ra nếu vẽ tam giác đều mà cạnh của nó không bằng đoạn nào khác thì cũng có thể giải quyết được: cách 1, nhưng cũng có thể không, vì sẽ không đủ dữ kiện (ví dụ: vẽ tam giác đều có một cạnh là KC hoặc BK).
 Qua ví dụ này, có thể cho học sinh thấy rằng cách 2 và cách 3 là tương đương nhau: đều tạo ra tam giác đều có cạnh bằng một trong hai cạnh bên của tam giác cân đã cho, từ đó dẫn đến cạnh BK bằng một cạnh nào đó của tam giác đều vừa tạo ra để suy ra tam giác ABK cân. Còn nếu đi vẽ tam giác đều có một cạnh là KC để tạo ra góc bằng hoặc vẽ tam giác đều có một cạnh là BK để tạo ra góc bằng thì sẽ không giải quyết được bài toán, vì vẫn không đủ dữ kiện, và học sinh cũng cần phải thấy được điều này để có cách vẽ cho thích hợp.
 4, Ví dụ 4:
A
B
C
H
750
 Tính số đo 
Phân tích:
∆ AHC vuông tại H có ⇒ = 15o
 Mà 75o - 15o = 60o là góc của tam giác đều.
 Từ đó hướng dẫn HS vẽ thêm tam giác đều. Có các
cách vẽ như sau:
 * Cách 1: 
K
E
A
B
H
750
1
2
 Vẽ tam giác đều AEC nằm trong ∆ ABC, tạo ra: . Kẻ EK ⊥ BC (có thể hướng dẫn và giải thích cho học sinh tại sao lại kẻ như vậy). Khi đó ∆ vuông EKC = ∆ vuông CHA (cạnh huyền, góc nhọn) vì:
 ⇒ KC = AH, mà 
 Vậy K là trung điểm của BC, do đó DEBC cân tại E.
 và 
 Mặt khác: = 180o - 2.15o = 150o ị = 360o - (60o + 150o) = 150o
 ⇒ ∆ BEC = ∆ BEA (c.g.c) vì: 
Vậy = 30o (Hoặc từ ∆ BEC = ∆ BEA ⇒ AB = BC ị ∆ ABC cân tại B có góc ở đáy bằng 75o ) (gt) 
* Cách 2:
E
K
1
2
A
B
C
H
C
750
2
 Vẽ tam giác đều BEC (E, A nằm cùng phía đối với BC) tạo ra 
Từ A kẻ AK ⊥ EC thì ∆ vuông AKC = ∆ vuông CHA
 (cạnh huyền, góc nhọn) vì: 
 Vậy K là trung điểm của EC.
 Vậy ∆ EAC cân tại A, do đó ∆ AEB = ∆ ACB (c.c.c) vì: 
 (Và suy ra K là giao điểm của AB và EC)
 ở ví dụ này bài cho không có cặp đoạn thẳng nào bằng nhau thì phải vẽ tam giác đều sao cho liên hệ được các dữ kiện của giả thiết.
 Như vậy qua các ví dụ trên, giáo viên đã hình thành cho học sinh phương pháp vẽ thêm tam giác đều từ việc liên hệ các dữ kiện của giả thiết. Và sau các ví dụ này, giáo viên nên cho học sinh tự nhận xét, tổng kết dạng bài tập về tính số đo góc giải bằng phương pháp vẽ tam giác đều, sau đó có thể chốt lại cho các em là :
 Khi xét mối liên quan giữa các góc, nếu phát hiện ra góc của tam giác đều nên nghĩ đến cách vẽ thêm tam giác đều để tạo ra những góc bằng góc đã cho. Hơn nữa việc vẽ thêm tam giác đều còn tạo được các đoạn thẳng bằng nhau, hoặc tạo được một đường có nhiều tính chất, từ đó dễ dàng phát hiện được những yếu tố bằng nhau, liên kết với nhau để tìm ra lời giải.
 Cũng cần chỉ ra cho học sinh thấy kinh nghiệm của việc vẽ thêm tam giác đều : Nếu vẽ thêm tam giác đều mà cạnh của nó có sự bằng nhau với các đoạn thẳng khác trong bài thì bao giờ cũng giải quyết được bài toán.
 Qua các ví dụ này học sinh cũng cần thấy rằng, có thể có nhiều cách để tạo ra tam giác đều, nhưng nên chọn cách nào dẫn đến chứng minh bài toán đơn giản hơn.
 iii. bài tập áp dụng:
 Bài 1: Cho hình vuông ABCD và một điểm M nằm trong hình vuông sao cho . tính số đo các góc của tam giác MDC.
 Bài 2:
 Cho tam giác ABC có 
 Đường vuông góc với AB tại A cắt Bx ở I. Tính .
 Bài 3 :
 Trong ∆ cân ABC có . Kẻ tia Ax sao cho = 30o, tia phân giác của cắt tia Ax ở M. Tính .
 IV. những tồn tại và biện pháp khắc phục:
 Qua các ví dụ trên, ta thấy việc vẽ thêm đường phụ tạo ra tam giác đều là một phương pháp rất tốt để giải các bài toán về tính số đo góc. Nhưng qua thực tế giảng dạy, tôi thấy không phải lúc nào các em cũng định hướng được cách làm, nhất là đối với các bài tập khó. Cụ thể là sau khi học xong loại toán, dạng bài tập nào, nếu cho bài tập áp dụng ngay thì hầu như các em đều làm được. Nhưng nếu để học xong vài dạng hoặc sau một thời gian mới cho các em làm, thì các em lúng túng, không biết chọn hướng đi nào cho thích hợp.
 Sở dĩ có hạn chế này, tôi nghĩ có thể do ở lớp 7, lần đầu tiên các em được làm quen với suy luận hình học, với các chứng minh hình học và cũng có thể chưa nhận thức được sâu sắc các thuộc tính của các khái niệm hình học, nên chưa có kĩ năng phân tích, phán đoán suy luận hợp lôgic, từ đó khó tìm ra hướng giải. Bên cạnh đó, việc nghĩ rằng học hình học khó hơn học đại số dường như đã “ăn sâu” vào trong ý nghĩ của các em và được lưu truyền từ những lứa học sinh trước đến những lứa học sinh sau, do vậy việc “sợ” học hình cũng có ảnh hưởng không nhỏ tới tư duy hình học của các em.
 Vì vậy theo tôi, để dạy cho học sinh lớp 7 thành thạo trong việc giải bài tập hình học và có định hướng đúng trong việc tìm ra cách giải những bài tập khó, giáo viên cần phải chú ý những vấn đề sau:
 + Học sinh cần phải nắm chắc, hiểu sâu kiến thức cơ bản và tăng cường luyện tập để các em vận dụng được thành thạo các kiến thức đó.
+ Từ một bài tập cụ thể cần khai thác sâu, mở rộng triệt để, giúp HS có một óc tư duy linh hoạt và sáng tạo. Ví dụ:
 - Với những giả thiết ban đầu, tìm ra kết luận mới cho bài toán.
- Thay đổi hoặc thêm bớt một số điều kiện để tìm ra kết luận mới có tính khái quát hơn.
- Khai thác bài toán theo hai chiều thuận, đảo.
 + Hệ thống bài tập phải được chọn lọc, sắp xếp theo một trình tự, lôgic, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp và qua hệ thống bài tập, giáo viên cần phải khái quát hóa cách giải dạng bài tập đó.
+ Nên đưa ra những bài tập hình có nội dung thực tế như: đo chiều cao của một cây to trong trường, đo khoảng cách giữa hai điểm ở hai bên bờ sông.... để tạo hứng thú cho học sinh; làm cho các em không còn cảm giác “sợ” khi học hình.
+ Một yếu tố quan trọng nữa là phải dạy học sinh biết cách tư duy hình học, đứng trước một bài toán phải biết phân tích đầu bài, tìm được mối liên quan giữa các dữ kiện của giả thiết, từ đó xác định được hướng giải quyết, và từ một dạng toán đã làm có thể mở rộng được ra các dạng toán khác.
 + Cuối cùng là sự chuẩn bị của thày phải chu đáo để có thể giải quyết được mọi tình huống xảy ra.
 v. thực nghiệm – khảo sát
 Với các biện pháp nêu trên hầu hết học sinh đều biết cách giải một bài tập hình học; biết cách chứng minh hình. Đặc biệt đối với chuyên đề này, sau khi hướng dẫn học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi khối 7 làm các ví dụ trên bằng phương pháp phân tích đi lên tôi đã cho các em làm 3 bài tập áp dụng đã nêu để lấy điểm. Kết quả như sau:
Đội tuyển HS giỏi khối 7: 15 em
Tìm ra hướng và giải hoàn chỉnh
Không tìm ra hướng giải
Khi chưa áp dụng KN
2 em: 13%
13 em: 87%
Khi áp dụng KN
10 em: 67%
5 em: 33%
 Kết quả trên tuy còn khiêm tốn, song nó cũng thể hiện được rõ nét tính ưu việt của việc sử dụng phương pháp vẽ tam giác đều trong giải bài toán tính số đo góc. Kết quả này có thể còn cao hơn nữa nếu có sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp cho chuyên đề này.