Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác kết quả một bài toán hình học

n đường nào?
 Gợi ý giải: 
 + Gọi A là giao điểm của BE và CD => ∆ABC vuông cân tại A và cố định
	 + Chứng minh được AEMD là hình chữ nhật
 ---> làm tiếp dễ dàng.
 Kết quả: I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
*Khai thác 2.2.3: 
· Ở các bài toán trên, tiếp tục suy nghĩ, ta thấy từ điều kiện ME//CD và MD//BE => B = CMD và BME = C, mà BE cắt CD tại A nên muốn A cố định ta chỉ cần thêm giả thiết B = CMD = α và BME = C = β và ta có bài toán tổng quát HAY VÀ KHÓ:
 ¨Bài toán 8. Cho đoạn thẳng BC = a và điểm M bất kì nằm giữa B và C. Vẽ về một phía của BC các tam giác BME và MCD sao cho B = CMD = α và BME = C = β (α, β cho trước). Gọi I là trung điểm của DE. Khi M di chuyển trên đường thẳng BC thì I di chuyển trên đường nào?	 A
 Gợi ý giải: Hình 6
 +Gọi A là giao điểm của BE và CD,	 I D
vì B = α và C = β không đổi và BC cố định E
nên A cố định. 
 +Từ giả thiết, dễ dàng chứng minh được B M C
 AEMD là hình bình hành. Hình 6
---> làm tiếp dễ dàng, kết quả: Khi điểm M di chuyển trên đường thẳng BC thì điểm I di chuyển trên đường thẳng PQ (P,Q lần lượt là trung điểm của AB và AC).
· Đến đây, chúng ta thấy rằng đã có nhiều thú vị từ bài toán gốc và không ít chúng ta đến đây có lẽ đã chấp nhận dừng lại và thoả mãn với sự khai thác! . . . Nhưng chưa hết thú vị đâu, nếu tiếp tục suy xét, chịu khó suy nghĩ tìm tòi, chúng ta vẫn có thể khai thác tiếp và còn được những bài toán mới thú vị và hay hơn. 
*Khai thác 2.2.4:
· Ở các bài toán trên, bài toán mới chỉ tìm hiểu khi có một điểm M di động trên một đoạn BC cố định. Câu hỏi đặt ra: liệu có thể thay đổi giả thiết từ bài toán gốc để xét với 2 điểm di động trên các đoạn thẳng cố định hay không? Thật bất ngờ là hoàn toàn được!: Nhờ dựa vào tính chất của hình bình hành và cách giải các bài toán ở trên, chúng ta có bài toán HAY VÀ KHÓ HƠN sau đây:
 ¨Bài toán 9. Cho ∆ABC cân tại A. Hai điểm E và D thứ tự di chuyển trên các cạnh AB, AC sao cho AE = CD. Tìm tập hợp trung điểm I của DE.
 Gợi ý giải: Hình 7	 	 A	
+Kẻ DM // AB (M BC), E
=> ∆DMC cân tại D	 	 I 	 D
=> DM = DC = AE
=> AEMD là hình bình hành B M C
+Đến đây làm tiếp tương tự như các bài toán trên,	 Hình 7
 ta có kết quả : điểm I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
 ¨Bài toán 10. (bài toán 9 là trường hợp riêng của bài toán này): 
Cho ∆ABC. Hai điểm E và D lần lượt di chuyển trên các cạnh AB, AC 
sao cho. Tìm quỹ tích các trung điểm I của ED.
 Gợi ý giải:
 + Vẽ DM // AB (M BC) (hình 8)
 => (theo định lý Talet) mà (GT) A
=> => EM // AD (theo Talet đảo) E I D
 => ADME là hình bình hành 
=> trung điểm I của DE cũng là trung điểm của AM B M C
---> làm tiếp tương tự bài toán 9.	 Hình 8
*Khai thác 2.2.5: 
· Đến đây, ta thấy giả thiết “Cho ∆ABC” của bài toán gốc có thể thay bởi “Cho góc xAy” và B, C cố định có thể được cho bởi cách khác. Chẳng hạn, từ các bài toán 9 và 10, khéo léo thay đổi giả thiết, ta có được hai bài toán RẤT HAY và chắc chắn sẽ RẤT KHÓ nếu ta chưa biết đến các bài toán ở trên:
 ¨Bài toán 11. Cho góc xAy cố định (khác góc bẹt). Hai điểm E, D lần lượt di chuyển trên hai cạnh Ax, Ay sao cho AE + AD = a không đổi. Tìm quỹ tích trung điểm I của ED. 
 Gợi ý giải: Hình 9	 x
+Lấy B, C lần lượt trên tia Ex, Dy E B 
sao cho BE = AD, CD = AE P
=> AB = AE + EB = AE + AD = a I
tương tự AC = a A D
Vậy ∆ABC cân tại A và cố định Q C y	
---> Đến đây, ta thấy chính là bài toán 9 --->biết cách làm	 Hình 9
 ¨Bài toán 12. Cho ∆ABC cố định. Hai điểm E, D lần lượt di chuyển trên các cạnh AB, AC sao cho BE + CD = a không đổi. Tìm quỹ tích trung điểm I của DE.
 Gợi ý giải: Hình 10	 A
+Lấy G, H thứ tự trên tia EA và DA	 G H
sao cho EG = CD, DH = BE	 
+Từ giả thiết, chứng minh được	 D
BG = CH = a không đổi => G, H cố định K I M
+Gọi M, K, O, N lần lượt là trung điểm của 
CG, BH, BC và CE => M, K, O cố định E
và O,N,M thẳng hàng (vì ON//BE,OM//BG). N
+Áp dụng tính chất đường trung bình B O Hình 10 C
của tam giác, ta có: 	2OK = CH = a, 2OM = BG = a => OK = OM. 	
2NI = CD = EG = 2NM => NM = NI 
+Các tam giác cân KOM và INM có góc ở đỉnh bằng nhau (do OK // NI // AC) 
nên các góc ở đáy tương ứng bằng nhau => OMK = NMI mà O, N, M thẳng hàng
=> M, I, K thẳng hàng => I di chuyển trên đường thẳng MK.
+Khi D C thì E G, khi đó I M; khi E B thì D H, khi đó I K 
----> Kết quả: Quỹ tích điểm I là đoạn thẳng MK.
 Lưu ý: Cơ sở để đề xuất bài toán 12 này là xuất phát từ bài toán 9: Từ AE + AD không đổi => BE + CD = (AB + AC) – (AE + AD) cũng không đổi nếu B, C cố định. Nhưng nếu áp dụng cách giải của bài toán 11 để giải bài toán này thì rất phức tạp. Các bạn cứ thử xem, biết đâu lại có thú vị khác!.
*Khai thác 2.2.6: 
· Tiếp tục thay đổi dữ kiện góc xAy của bài toán 11 bằng cách tách rời hai tia Ax, Ay thành hai tia cố định, ta sẽ có bài toán mở rộng RẤT HAY và RẤT KHÓ:
 ¨Bài toán 13. Cho hai tia không cắt nhau Hm và Kn cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng HK. Hai điểm M, N lần lượt di chuyển trên Hm, Kn sao cho HM + KN = a không đổi. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
 Gợi ý giải: Hình 11	 m
 +Gọi A là trung điểm của HK. 	 M x
Kẻ các tia Ax, Ay theo thứ tự 	B
song song và cùng phía với Hm, Kn.	 H P E
+Kẻ ME//HK, ND//HK (E Ax, D Ay).	 I
AHME, AKND, DNEM là các hình bình hành A D Q
=> AE + AD = HM + KN = a không đổi C y	
và I cũng là trung điểm của DE. K N n 
+Đến đây làm tiếp tương tự theo bài toán 11, ta có kết quả: Hình 11
	Quỹ tích điểm I là đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC). 
*Tiểu kết: 
Quá trình đi sâu khai thác, phát triển bài toán có ý nghĩa vô cùng tích cực cho việc dạy và học toán. Quá trình này rèn luyện trí thông minh, óc sáng tạo cho HS. Sau khi giải xong một bài toán và tìm nhiều cách giải khác, nên tiếp tục sáng tạo: dựa vào bài toán đó mà tự nghĩ ra các bài toán mới. Việc làm này, giúp chúng ta nắm vững mối quan hệ giữa các đại lượng và những quan hệ bản chất trong mỗi bài toán. Từ đó mà hiểu bài, nắm chắc kiến thức hơn rất nhiều.
2.3. Khai thác theo hướng diễn đạt bài toán dưới hình thức khác:
Từ bài toán gốc và các bài toán ở trên, do mối liên hệ khá mật thiết giữa “quỹ tích” với “điểm cố định”, “các điểm thẳng hàng”, “các đường thẳng đồng quy” và bằng các phương pháp như: tương tự hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá, ta có thể tạo ra rất nhiều bài toán mới hay và khó, thú vị không kém các bài toán cho trước. 
· Chẳng hạn: Từ bài toán 1 (bài toán gốc), ta có bài toán sau: 
 ¨Bài toán 14: Cho tam giác ABC, điểm M bất kì trên BC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, AC và AM. Chứng minh rằng ba điểm P, Q, R thẳng hàng.
· Hoặc từ bài toán 4, ta có bài toán mới khá thú vị:
 ¨Bài toán 15: Cho đoạn thẳng BC cố định, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy. Vẽ về một phía của BC các tam giác đều BME và CMD. Gọi trung điểm của DE là I. Chứng minh rằng: BE, CD và MI luôn đồng quy tại một điểm cố định.
· Bằng cách thay đổi cách diễn đạt một cách linh hoạt và khoa học (có thể đặc biệt hoá, tương tự hoá, khái quát hoá), tương tự như thế ta sẽ có rất nhiều bài toán mới:
 ¨Bài toán 16: Cho ∆ABC cân tại A. Hai điểm E và D thứ tự di chuyển trên các cạnh AB, AC sao cho AE = CD. Gọi trung điểm của DE là I. Tìm quỹ tích các điểm M đối xứng với A qua I.
 ¨Bài toán 17: Cho tam giác ABC vuông cân. Điểm M di chuyển trên cạnh huyền BC, đường thẳng qua M vuông góc với BC cắt đường thẳng AB, AC lần lượt ở D và E. Gọi I, K thứ tự là trung điểm của CE và BD. Tìm quỹ tích các trung điểm của đoạn thẳng IK.
 ¨Bài toán 18: Cho đoạn thẳng AB. Điểm M di chuyển, nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMND và BMLK có tâm lần lượt là C và D. Gọi I là trung điểm của đoạn CD.
	a) Điểm I di chuyển trên đường nào?
	b) Chứng minh rằng PK luôn đi qua một điểm cố định.
 ¨Bài toán 19. Cho góc xAy bằng 600. Hai điểm E, D lần lượt di chuyển trên hai cạnh Ax, Ay sao cho AE + AD = 10 cm. Dựng đường thẳng d cắt 2 cạnh của góc xAy tại P và Q sao cho APQ là tam giác đều có cạnh bằng 5 cm. Chứng minh rằng d luôn đi qua trung điểm của DE. 
· Lời giải các bài toán trên dễ dàng tìm được dựa vào các bài toán trước. Phần giải chi tiết các bài toán xin dành cho bạn đọc, coi như bài tập vận dụng. 
*Tiểu kết: 
	Như các bạn đã thấy, nếu chịu khó suy nghĩ tìm tòi thì sau mỗi bài toán đều có chứa nhiều điều thú vị, bổ ích khác. Khai thác, phát triển bài toán ở nhiều khía cạnh, chúng ta có thể tìm cách giải khác, phát triển, đề xuất thêm được các bài toán mới hay và thú vị. Làm sao để có thể vận dụng tốt các kiến thức cơ bản vào việc giải quyết các bài toán? Điều này có thể rèn luyện bằng cách tự tìm tòi, khám phá những điều mới mẻ từ những bài toán cũ quen thuộc. Việc làm này rất bổ ích cho việc dạy và học toán, đặc biệt là cho người học toán đấy!
	Cuối cùng, xin nhấn mạnh: Đừng coi thường những bài toán đơn giản trong SGK hoặc các bài toán cũ quen thuộc bởi đằng sau chúng, xoay quanh chúng còn rất nhiều kết quả thú vị và mới mẻ!. 
Và sau đây là một số bài tập có liên quan đến các bài toán trong đề tài. Xin mời các bạn cùng thử sức giải quyết và tiếp tục khai thác, phát triển nhé: 
3. Bài tập áp dụng:
 ¨Bài 1. 
Cho góc xOy bằng 300. Trên cạnh Ox lấy điểm A sao cho OA = 2cm. Điểm B di động trên cạnh Oy. Gọi G là trọng tâm của tam giác AOB. Hỏi điểm G di động trên đường nào?
 ¨Bài 2. Cho ∆ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi N là điểm đối xứng với M qua A. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AM.
 ¨Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Một góc vuông EHF xoay quanh H, cắt cạnh AB và AC thứ tự tại E và F.
Chứng minh rằng hai tam giác ABC và HEF đồng dạng với nhau.
Tìm quỹ tích trung điểm I của EF.
Chứng minh rằng: Khi HA là tia phân giác của góc EHF thì AE = AF.
 ¨Bài 4. Cho hai tia không cắt nhau Am và Bn cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB. Hai điểm H, K lần lượt di động trên tia Am và Bn sao cho AH = BK; Hai điểm M, N lần lượt di chuyển trên các tia Hm, Kn sao cho HM + KN = a không đổi. 
a) Tìm quỹ tích trung điểm O của HK.
b) Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
 ¨Bài 5. Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Hai điểm E, D lần lượt di chuyển trên các cạnh AB, AC sao cho BE + CD = a không đổi. Trên các tia AB, AC lần lượt lấy H và K sao cho AH = AK = AE + AD. Gọi I là trung điểm của DE, M là điểm đối xứng với A qua I.
a) Chứng minh rằng ba điểm H, I, K thẳng hàng.
b) Tính độ dài HK khi M trùng với giao điểm của BC và HK. 
V. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
	Trong quá trình dạy học hình học, tôi đã áp dụng đề tài này không chỉ để dạy và bồi dưỡng cho đối tượng HS khá giỏi mà còn linh hoạt dạy cho cả HS đại trà. Đặc biệt là đối với HS lớp 8, bài toán quỹ tích bước đầu với các em còn mới lạ và trừu tượng, đòi hỏi tư duy cao. Do đó, lúc đầu nhiều em còn rất “ngại” học hình nói chung và rất “sợ” bài toán quỹ tích nói riêng. Hầu như HS chỉ có ý thức làm bài theo kiểu “cố gắng tìm được một lời giải là tốt rồi !” và dừng lại không suy nghĩ thêm sau khi có kết quả của bài toán, thỏa mãn với chính mình. Các em chưa thấy được tác dụng mạnh của việc nhìn lại bài toán dưới nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác sẽ củng cố được kiến thức của mình, rèn cho mình được thói quen suy nghĩ tích cực, phát triển tư duy sáng tạo, tính kiên trì, độc lập – những đức tính tốt và cần thiết của người học toán. Song, qua một thời gian kiên trì, linh hoạt áp dụng đề tài và dạy HS theo ý tưởng trên, đến nay, hầu hết các em đã tham gia, hưởng ứng một cách tích cực, chủ động, vận dụng kiến thức khá thành thạo khi làm một số dạng bài có liên quan từ dễ đến khó. 
 §Chẳng hạn: Kết quả thực nghiệm sau khi áp dụng dạy cho HS lớp 8 ở 2 năm học gần đây, ở một số trường (mỗi lần dạy 02 buổi = khoảng 8 đến 10 tiết), khi chúng tôi ra bài toán gốc: “Cho góc xAy khác góc bẹt. Hai điểm D và E lần lượt di động trên hai cạnh Ax, Ay sao cho AD = AE. Gọi I là trung điểm của DE. Hỏi điểm I di chuyển trên đường nào?”. (Gợi ý: điểm, đường nào cố định? Yếu tố, quan hệ nào không đổi? Điểm nào di chuyển? Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân có tính chất gì?). Với yêu cầu: Em hãy giải bài toán trên và khai thác kết quả bài toán (nếu có thể, càng phong phú càng tốt). (Thời gian dành cho HS làm: 150 phút)
 Tổng hợp kết quả, chúng tôi thu được từ 220 HS tham gia như sau:
	_Số HS tìm được ít nhất một cách giải (loại 1) = 195 HS = 88,6%
	_Số HS tìm thêm được cách giải khác (loại 2) (chứng minh 2 tam giác bằng nhau, từ đó => I thuộc tia phân giác của góc xAy): 175 HS = 79,5%
	_Số HS khai thác phát triển được thêm ít nhất 2 bài mới (loại 3): 165 HS = 75% (trong đó có cả một số em không tìm được lời giải bài toán gốc à điều ngạc nhiên tích cực)
Ví dụ các em đã đưa ra và nhiều em còn nêu được đúng hướng giải quyết các bài toán mới theo các khía cạnh như:
*Bài 01: Giữ nguyên giả thiết, yêu cầu: Tìm quỹ tích điểm I
*Bài 02: Cho D, E di chuyển trên cả hai đường thẳng chứa hai cạnh của góc xAy,	 yêu cầu: tìm quỹ tích điểm I.
*Bài 03: Thay AD = AE bởi AD + AE = a không đổi, giữ nguyên yêu cầu àđược bài toán mới, nhiều em còn phát hiện ra bài 03 này chính là bài toán 11 trong đề tài à từ đó có thêm nhiều khai thác, phát triển thú vị khác. . . .
	_Số HS biết cách diễn đạt các bài toán dưới hình thức khác (loại 4): 180 HS = 81,8% (trong đó cũng có một số HS chưa giải đúng bài toán gốc).
 §Cũng với bài toán gốc kèm gợi ý, thời gian cho phép như trên và yêu cầu rõ ràng hơn: “Em hãy giải bài toán trên và khai thác kết quả bài toán bằng cách như: tìm cách giải khác, thay đổi giả thiết để có bài toán mới, phát biểu bài toán theo cách diễn đạt khác, . . . khai thác càng phong phú càng tốt”, chúng tôi kiểm tra đối với 200 HS ở các đơn vị khác chưa được tiếp cận nội dung đề tài thì kết quả thu được kém hẳn: 	_Tỉ lệ loại 1 là: 55%	_Tỉ lệ loại 2 là: 30%
	_Tỉ lệ loại 3 là: 30%	_Tỉ lệ loại 4 là: 15%
	_Ngoài ra, trên 50% HS cảm thấy đây là bài khó và chỉ cố gắng tìm được một cách giải.
 Qua một số lần thực nghiệm, tôi thấy đều thu được kết quả tích cực. Điều quan trọng là các em không còn cảm thấy hình học đáng ngại, đáng sợ nữa. Do đó, trong học toán nói chung và học hình học nói riêng các em đã nhiệt tình, chủ động, tích cực hơn, có nhiều phát hiện thể hiện sự tìm tòi, sáng tạo bước đầu rất tích cực. Kết quả cho thấy HS đều có ý thức thi đua nhau học tập, rất hào hứng phát biểu các suy nghĩ, tìm tòi, phát hiện của mình về cách giải khác, bài toán mới, . . .. Và tôi thấy tinh thần học tập của các em sôi nổi, phấn khởi hơn, khả năng tự nghiên cứu toán học của các em được phát huy một cách tích cực; kết quả học tập môn toán, nhất là hình học có nhiều tiến bộ. Các em không những nắm vững kiến thức trong SGK, các em còn có cố gắng trong việc tìm hiểu giải các bài toán nâng cao, các bài toán khó, bước đầu có thói quen tốt: biết chịu khó, tích cực tìm tòi khai thác, phát triển các bài toán cho trước.
VI. MỘT SỐ Ý KIẾN ĐỀ XUẤT:
1. Với đối tượng HS trung bình trở xuống khả năng lĩnh hội kiến thức, tư duy, nhận thức chậm nên sự chuyển tải kiến thức rất khó khăn, nhất là dạng toán có điểm chuyển động, quỹ tích hình học. Do vậy cần có thời gian và phải vận dụng linh hoạt, thường xuyên, kiên trì và cần có nhiều tài liệu tham khảo liên quan.	
2. Muốn dạy HS biết cách “Khai thác kết quả một bài toán”, bản thân GV phải thường xuyên thực hiện điều đó, liên tục tự tìm tòi, nghiên cứu, học hỏi kinh nghiệm qua đồng nghiệp, sách, báo và đặc biệt là qua các trang Web có liên quan...; GV cần có sự chủ động, có kế hoạch trong từng ngày, từng giờ lên lớp. 
3. Việc khai thác, phát triển từ bài toán quen thuộc đã biết, giúp cho HS định hướng tìm ra lời giải một bài toán hình học là một vấn đề rất quan trọng và không thể thiếu được trong công tác dạy học toán nói chung và dạy học hình học nói riêng. Phong trào thi viết sáng kiến kinh nghiệm trong các trường học là một phong trào có tác dụng tốt, rất có ý nghĩa, đặc biệt là trong xu thế thời đại đang rất cần sự sáng tạo, chủ động, tích cực trên mọi lĩnh vực công tác hiện nay. Vì vậy, tôi mạnh dạn và mong muốn Phòng giáo dục đào tạo và cấp trên duy trì phong trào này, khích lệ động viên các tập thể, cá nhân có những sáng kiến hữu hiệu, tích cực; có hình thức phổ biến, trao đổi về các sáng kiến hay tới đông đảo GV.
PHẦN THỨ BA.
KẾT LUẬN
Việc khai thác, phát triển một bài toán cho trước góp phần rất quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy cho HS khi học môn Toán - nhất là việc bồi dưỡng HS giỏi. Qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu, bản thân tôi nhận thấy:
- Các GV giảng dạy toán đều đánh giá cao tầm quan trọng của việc khai thác, phát triển từ một bài toán đã có. Mở rộng, phát triển thêm các bài toán khác (đơn giản hoặc thường là phức tạp hơn) nhằm phát triển tư duy sáng tạo, linh hoạt, độc lập, tích cực suy nghĩ cho cả người dạy và người học.
- Trong quá trình học tập toán, việc khai thác, tìm hiểu sâu thêm kết quả của bài toán là rất quan trọng và rất có ích. Nó không chỉ giúp HS nắm bắt kĩ kiến thức của một dạng toán mà nó còn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá, tổng quát hoá một bài toán; từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt cho HS; giúp cho HS nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức hơn một cách lôgic, khoa học; tạo hứng thú khoa học yêu thích bộ môn toán hơn.
	Sau một thời gian kiên trì, nỗ lực thực hiện, tôi đã hoàn thành đề tài "Khai thác kết quả một bài toán hình học". Bước đầu, đề tài đã thu được khá nhiều kết quả tích cực, đã tạo thói quen tốt cho nhiều HS tính kiên trì, độc lập suy nghĩ và có khả năng sáng tạo khi học toán, thấy được sự phong phú, thú vị của toán học. Các em đã ham thích hơn với môn toán, đã góp phần nâng cao được chất lượng dạy và học môn toán trong nhà trường. Tôi mong muốn được học hỏi, trao đổi thêm cùng tất cả đồng nghiệp và bạn đọc quan tâm. Tuy đã cố gắng nhưng do kinh nghiệm cá nhân còn hạn chế nên đề tài này chắc chắn còn những khiếm khuyết. Tôi rất mong và xin chân thành cảm ơn sự chỉ bảo, đóng góp của quý vị về đề tài này.
Tôi xin chân thành cảm ơn !.
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1. SGK Toán 8 _ NXBGD
2. SBT Toán 8 _ NXBGD
3. Phương pháp dạy học môn Toán _ NXBGD (dùng cho hệ CĐSP).
4. Nâng cao và phát triển Toán 8 _ NXBGD.
5. Toán nâng cao và các chuyên đề hình học 8 _ NXB GD
6. Các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên chu kì I, II, III _ NXBGD.
7. Vẽ thêm yếu tố phụ để giải toán _ NXB GD
8. Một số tạp chí Toán tuổi thơ 2.
-----------------------------------------------
MỤC LỤC
Trang
Phần thứ nhất
MỞ ĐẦU
I.
Lý do chọn đề tài ............................................................................
1
II.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ..................................................
2
III.
Phương pháp nghiên cứu ................................................................
2
Phần thứ hai
NỘI DUNG
I.
Cơ sở lý luận của vấn đề ................................................................
3
II.
Thực trạng của vấn đề ....................................................................
4
III.
Giải pháp thực hiện ........................................................................
4
IV.
Nội dung cụ thể ..............................................................................
5
1.
Bài toán gốc ...................................................................................
5
2.
Khai thác bài toán ..........................................................................
6
2.1
Khai thác theo hướng tìm cách giải khác .......................................
6
2.2
Khai thác theo hướng tìm bài toán mới ..........................................
8
2.3
Khai thác theo hướng diễn đạt bài toán dưới hình thức khác ........
14
3.
Bài tập áp dụng ..............................................................................
16
V.
Kết quả đạt được ............................................................................
17
VI.
Một số ý kiến đề xuất .....................................................................
19
Phần thứ ba
KẾT LUẬN
20
TÀI LIỆU THAM KHẢO
21
-------------------------------------------