Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác các bài tập trong Sách giáo khoa

I - Lý do chọn đề tài
Để đảm đảo bảo một tiết học có hiệu quả, kiến thức mà người giáo viên truyền đạt đến với học sinh phải chính xác, khoa học, đầy đủ, ngắn gọn lôgic và sát với từng đối tượng quả là một điều không đơn giản. Các bài tập sách giáo khoa đối với học sinh khá, giỏi thật đơn giản, dễ dàng. Vì vậy để phát huy được trí lực, tạo ra các tình huống có vấn đề kích thích sự say mê, sáng tạo của học sinh khá, giỏi, trong từng tiết học cần có sự khai thác sâu các bài tập sách giáo khoa.
Trong nội dung bài viết này tôi muốn giới thiệu với bạn đồng nghiệp một ví dụ về sách giáo khoa.
II - Nội dung
Ví dụ 1: ở bài tập 31 trang 116 SGK hình học 9 nội dung bài tập đó như sau: Cho D ABC ngoại tiếp đường tròn (O) (hình vẽ) chứng minh rằng:
A
	AB + AC - BC = 2 AM (1)
1. Phân tích tìm cách giải: 
M
S
Có nhiều cách để chứng minh bài toán 
Sau đây xin nêu ra một cách coi đây là 
một đẳng thức, để chứng minh một đẳng 
C
N
B
thức thông thường người ta tìm cách chứng
minh cho vế trái bằng vế phải hoặc ngược lại,
cũng có khi cùng rút gọn đồng thời cả 2 vế để được một đẳng thức mới bằng nhau, chẳng hạn ở đây hãy tìm cách rút gọn vế trái:
AB + AC - BC = (AM + MB) + (AS + SC) - (BN + NC)
Nhưng theo giả thiết thì AM = AS ; BM = BN; CN = CS
Từ đó dễ dàng dẫn đến điều phải chứng minh.
2. Lời giải (tóm tắt)
AB + AC - BC = (AM + MB) + (AS + SC) - (BN + NC)
= AM + MB + AS + SC - BN - NC
Nhưng theo gt thì AM = AS; 	BM = BN;	CN = CS.
Vậy AB + AC - BC = AM + AS = 2 AM.
3. Khai thác bài toán:
Nhận xét 1: 
Xét bài toán 1 trong phạm vi hẹp hơn, khi ABC là tam giác vuông, chẳng hạn có góc A bằng 900. Khi đó AM = MO = OS = SA = r (bán kính đường tròn nội tiếp đã cho). Đẳng thức (1) trở thành.
AB + AB - BC = 2r	b + c - a = 2r.
Ta có bài toán khác.
Bài toán 1.1. Chứng minh rằng trong một tam giác vuông hiệu giữa tổng hai cạnh góc vuông với cạnh huyền bằng hai lần bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó.
Dựa vào nhận xét 1 dễ dàng chứng minh được bài toán 1.1 và được kết quả b + c - a = 2r.
Nhận xét 2: 
Theo bài toán 1.1. Nếu ABC là tam giác vuông ở A thì ta có:
 b + c - a = 2r, hãy đặt vấn đề ngược lại nếu một tam giác có b + c - a = 2r thì ABC có phải là tam giác vuông ở A không? Ta có bài toán khác.
A
Bài toán 1.2. Chứng minh rằng DABC có b + c - a = 2r thì tam giác đó vuông ở A.	
S
M
+ Theo bài toán 1 ta có:
O
b + c - a = 2 AM 
Theo gt bài 1.2 ta có b + c = 2r
C
B
	2AM = 2r
	r = AM tứ giác AMOS
 là hình vuông, góc A = 900. Vậy ABC là tam giác vuông cân tại A.
Nhận xét 3: 
Bài toán 1.1 trong trường hợp đặc biệt hơn, khi tam giác vuông ABC là tam giác vuông cân AB = AC.
Khi đó từ b + c - a = 2r	a = 2 (b - r) r = b - R (Với r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông cân ABC). Ta có bài toán khác.
Bài toán 1.3. Chứng minh rằng trong tam giác vuông cân hiệu giữa cạnh góc vuông với bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó bằng bán kính đường tròn nội tiếp.
Dựa vào nhận xét 3 học sinh dễ dàng chứng minh được bài toán 1.3. Ta có:	r = b - R = c - R.
Nhận xét 4: 
Trong bài toán 1.3. nếu ABC là tam giác vuông cân thì r = b - R = c - R. Hãy xem xét chiều ngược lại, ta có bài toán đảo của bài toán 1.3.
Bài toán 1.4. Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có hiệu giữa cạnh góc vuông với bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bán kính đường tròn nội tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông cân.
Theo bài toán 1.1. Vì ABC là tam giác vuông nên b + c - a = 2r.
Theo giả thiết bài toán 1.4 thì b - R = r.
=> 
Nhưng 2R = a nên b + c = 2b => b = c.
Vậy hai cạnh góc vuông bằng nhau => ABC là tam giác vuông cân.
Nhận xét 5: 
Trở lại tam giác vuông ABC ở bài toán 1.1.
Ký hiệu NB = m;	NC = n. Theo định lý Pitago ta có:
AB2 + AC2 = BC2 (m + r)2 + (n + r)2 = (m + n)2.
 m.n = r2 + r m + r n
Mà r2 = diện tích hình vuông AMOS.
r m = diện tích tứ giác BMON
r n = diện tích tứ giác CNOS.
Ta có bài tập khác
Bài toán 1.5. Tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác vuông chia cạnh huyền thành 2 đoạn có độ dài m, n.
Tính diện tích tam giác vuông đó theo m, n.
Dựa vào nhận xét 5 học sinh dễ dàng chứng minh được bài toán 1.5. Gọi S là diện tích ABC.
SDABC = m . n.
Nhận xét 6: 
Đặc biệt hoá bài toán 1.5, D vuông ABC có cạnh AB = AC, khi đó m = n, diện tích của tam giác đó là bao nhiêu?
Ta có bài toán khác.
Bài toán 1.6. Tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác vuông cân chia cạnh huyền thành hai đoạn cùng có độ dài m. Tính diện tích tam giác vuông cân đó.
ABC là tam giác vuông cân NB = NC = m
Vì AB = AC => NB = NC = m.
Theo bài toán 1.5. khi SABC = m .n = m2.
Vậy với gt đã cho thì SDABC = m .n = m2.
Vậy với giả thiết đã cho thì SD vuông cân ABC = m2.
Ví dụ 2: 
Bài tập số 97 trang 105 SGK hình học 9
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy 1 điểm M và dựng đường tròn đường kính MC. Nối BM và kéo dài gặp đường tròn tại D. Đường thẳng DA gặp đường tròn tại S. Chứng minh rằng:
a) ABCD là tứ giác nội tiếp.
b) CA là phân giác của góc SCB.
Nhận xét: 
a) Vì A và D nằm cùng phía đối với đoạn thẳng BC,
mà A = 900 theo gt nên ta chứng minh được
tứ giác ABCD nội tiếp ta phải chứng minh ADC = 900.
Ta có MDC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), từ đó 
suy ra điều phải chứng minh.
b) Để chứng minh cho CA là phân giác SCB, lợi dụng kết quả đã chứng minh ở câu a, ta có: ACB = ADB (cùng chắn cung AB). Mặt khác SCA = ADB (cùng chắn cùng SM của đường tròn đường kính MC). Từ đó suy ra điều phải chứng minh câu b.
* Lời giải (tóm tắt)
a) MDC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC). Mà BAC = 900 (gt). Từ A và D nằm cùng phía BC nhìn đoạn BC dưới góc 900 nên A và D nằm trên đường tròn đường kính BC ABCD là tứ giác nội tiếp.
b) ADB = ACB (góc nội tiếp cùng chắn cung AB).
ADB = SCM (góc nội tiếp cùng chắn cung SM).
SCM = ABC => CA là phân giác SCB.
* Khai thác bài toán:
Nhận xét 1: Gọi K là giao điểm của BA và CD kéo dài. T là giao điểm của đường tròn đường kính MC với cạnh BC. Vì M là trực tâm tam giác KBC nên KM kéo dài phải trải qua T. Ta có câu hỏi tiếp theo cho bài toán 3.
c) Gọi T là giao điểm đường tròn đường kính MC với BC và K là giao điểm của BA và CD kéo dài. Chứng minh rằng:
* K, M, T thẳng hàng.
* ATK = ATK.
Nhận xét 2: Theo kết quả đã chứng minh ở câu b thì SCM = TCM => cung MS = cung TM => TS ^MC => ST // AB. Ta có câu hỏi tiếp theo cho bài toán 3.
d) Chứng minh rằng tứ giác KBTS là hình thang.
Nhận xét 3: Dễ dàng nhận ra tam giác ASC đồng dạng với tam giác AMD. Ta có câu hỏi tiếp cho bài toán 3.
d) Chứng minh rằng 
Nhận xét 4: Nhờ kết quả câu c, ta nhận ra KT, BD và CA là 3 đường phân giác trong của tam giác ATD.
Mặt khác A1 + DAT + A2 = 1800.
Mà A1 = M1 = M2 = A2 và M1 = M2 = DCT (cùng bù với góc DMT) ta lại có 2DCT = DO1T = A1 + A2 => Tứ giác DATO1 nội tiếp. 
=> O1 là trung điểm của đoạn thẳng MC nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ADT. Ta có câu hỏi tiếp theo cho bài toán trên.
c) Gọi O1; O2; O3 lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MC, MB và MK. Chứng minh rằng O1; O2; O3 nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác DAT.
III - Bài học kinh nghiệm:
Phải biết khia thác các bài tập trong SGK, nhìn nhận bài toán dưới các góc độ khác nhau, đặc biệt hoá, tương tự hoá, khái quát hoá để có thêm các câu hỏi, các bài tập thích hợp. 
Phải thường xuyên tham khảo tài liệu, tìm mối liên quan giữa các bài tập trong SGK với các bài tập bổ sung thêm những vấn đề mà học sinh có thể vướng mắc. 
Trong các buổi ôn tập bồi dưỡng học sinh giỏi phải giúp các em tiếp cận với phương pháp nghiên cứu bài toán, dựa vào những kiến thức nào, những đặc điểm nào để có bài toán. Giúp các em trên cơ sở những câu của đề ra mà tìm tòi đề xuất những vấn đề mới, những vấn đề tương tự. 
IV - Kết luận
Để nâng cao chất lượng dạy và học ở các nhà trường, nhất là một trường như trường tôi, trình độ nhận thức của học sinh không đồng đều. Vì vậy, việc nghiên cứu áp dụng và đưa các phương pháp giải này là một vấn đề cần thiết. Qua thực tế áp dụng ở một số lớp tôi nhận thấy: Phần lớn các học sinh ngoài việc giải được các bài tập nâng cao, buổi học sôi nổi hẳn lên, người dạy truyền thụ hết được các nội dung, người học nắm được các nội dung cơ bản có tính hệ thống logic khoa học, kích thích được khả năng sáng tạo.
Từ việc khai thác các bài tập trong SGK, gần đây số lượng học sinh say mê học hình học ngày càng nhiều hơn, trong các tiết luyện tập các em đã biết phát huy hết khả năng của mình, không lơ là, buồn chán, tham gia xây dựng bài sôi nổi, tích cực đề xuất những câu hỏi, những bài tập trên cơ sở những bài tập trong SGK. 
Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi đã tích luỹ được trong quá trình giảng dạy nhằm đáp ứng yêu cầu phát triển trí thông minh sáng tạo của học sinh cũng như khả năng tư duy suy luận trong quá trình học toán và giải toán.
Tôi thiết nghĩ rằng đây cũng là điều đáng quan tâm trăn trở, tìm tòi, tích luỹ của mỗi thầy cô giáo đang tham gia giảng dạy những mong chất lượng đại trà cũng như chất lượng học sinh giỏi ngày càng cao hơn./.
Ngày tháng năm 200