Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh vẽ yếu phụ khi giải bài tập hình học

g thường mà còn phải hình thành lên một số phương pháp khó hơn, phải có những thủ thuật riêng đặc trưng. Đây là một thuận lợi cho cả giáo viên và học sinh trong đổi mới cách dạy và học.
Khi giải bài tập hình có kẻ thêm yếu tố phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiều các thao tác tư duy, trong các định lý ở sách giáo khoa, để chứng minh định lý mà phải sử dụng việc vẽ đường phụ thì sách giáo khoa (SGK) rất ít đề cập đến, việc làm các ví dụ về bài tập trên lớp cũng rất hiếm khi có loại toán dạng này. Tuy nhiên trong các bài tập ở SGK lại có khá nhiều bài có yêu cầu vẽ thêm đường phụ đặc biệt là các bài tập nâng cao, các bài toán khó. Vì vậy các giáo viên thường hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán đó bằng kinh nghiệm lâu năm của mình. 
Yếu tố phụ kẻ thêm phải giúp được cho việc chứng minh bài toán đó, muốn vậy nó phải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tương tự hoá, mày mò dự đoán theo một mục đích xác định là gắn kết được mối quan hệ của kiến thức đã có với điều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm. Do đó không được vẽ yếu tố phụ một cách tuỳ tiện (cho dù là mày mò, dự đoán) vì nếu yếu tố phụ không giúp ích gì cho việc chứng minh thì nó sẽ làm cho hình vẽ rối ren thêm, càng làm khó thêm cho việc tìm ra lời giải đúng. Vì vậy khi vẽ yếu tố phụ phải luôn tự trả lời câu hỏi "Vẽ thêm yếu tố phụ này có đạt được mục đích mình muốn không?". Nếu "không" nên loại bỏ ngay, tuy cùng là một yếu tố vẽ thêm nhưng do các cách vẽ khác nhau nên dẫn đến cách chứng minh cũng khác nhau.
2.1.2 MỘT SỐ YÊU CẦU KHI VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ
* Yếu tố phụ là điểm: 
- Vẽ điểm chia trong hay chia ngoài một đoạn thẳng cho trước theo một tỷ số thích hợp
- Xác định giao điểm của các đường thẳng hoặc đường thẳng với đường tròn 
* Yếu tố phụ là đường thẳng, đoạn thẳng.
 - Kéo dài một đường thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý.
- Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm đã xác định.
 - Từ một điểm cho trước dựng đường thẳng song song với một đường thẳng đã xác định.
- Từ một điểm cho trước dựng đường vuông góc với một đường thẳng xác định.
 - Dựng đường phân giác của một góc cho trước.
- Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khác một góc bằng góc cho trước.
- Từ một điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho trước.
- Hai đường tròn giao nhau thì dựng được dây cung chung.
- Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì ta có thể kẻ được tiếp tuyến chung trong , tiếp tuyến chung ngoài hoặc đường nối tâm.
- Vẽ tia đối của một tia cho trước.
- Dựng các đường đặc biệt trong tam giác ( Trung tuyến, trung bình, phân giác, đường cao, trung trực )
* Đường phụ là đường tròn:
- Vẽ thêm các đường tròn hoặc cung chứa góc dựa trên các điểm đã có
- Vẽ đường tròn tiếp xúc với một đường tròn hoặc đường thẳng đã có
 - Vẽ đường tròn nội hoặc ngoại tiếp đa giác.
Trên cơ sở đó, các yêu cầu về vẽ các đường phụ, giáo viên cần phân dạng được các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ.
2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU
 2.2.1. Thuận lợi:
 - Được sự chỉ đạo của Ban giám hiệu nhà trường trong các hoạt động dạy và học đặc biệt là trong hoạt động chuyên môn luôn tạo mọi điều kiện cho giáo viên phấn đấu, học tập và nghiên cứu, phát huy các phương pháp dạy học đổi mới sáng tạo nhất nhằm bồi dưỡng cho đối tượng học sinh khá giỏi của nhà trường.
 - Bên cạnh đó các đồng chí giáo viên giảng dạy môn toán cũng thấy sự cần thiết phải trang bị cho học sinh những kiến thức về việc vẽ thêm các yếu tố phụ để có phương án đề xuất tìm lời giải cho những bài tập hình.
 2.2.2. Khó khăn.
- Hình học là bộ môn khó, đòi hỏi sự tư duy cao đặc biệt là những bài tập có yếu tố kẻ thêm đường phụ.
- Phần lớn các em học sinh thường ngại học môn hình, nhiều em học còn yếu những kĩ năng cơ bản như kĩ năng phân tích đề bài, kĩ năng sử dụng sơ đồ suy luận ngược để tìm lời giải, kĩ năng đề xuất kẻ thêm đường phụ để tìm lời giải ....
- Đa số các em chưa có nhiều thói quen đọc thêm các tài liệu để nâng cao kĩ năng giải bài tập hình.
2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 	 
	Với phạm vi nghiên cứu của đề tài tôi xin trình bày một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân trong việc phân tích tìm thêm yếu tố phụ thông qua một số bài tập quen thuộc.
Trước hết giáo viên cần cung cấp nhằm giúp học sinh thấy được vai trò của việc vẽ thêm đường phụ sẽ giúp cho việc tìm lời giải trở nên dễ ràng hơn rất nhiều.
2.3.1 Một số cơ sở để xác định yếu tố phụ :
Ta có thể dựa trên các cơ sở là: Để xác định yếu tố phụ thì yếu tố cần vẽ là đường gì ? và vẽ từ đâu ?
- Kẻ thêm yếu tố phụ để tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc tính chất các hình để giải quyết bài toán.
- Kẻ thêm yếu tố phụ để tạo nên các tình huống phù hợp với một định lý để giải quyết bài toán.
- Kẻ thêm yếu tố phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan hệ để giải quyết bài toán.
- Kẻ thêm các yếu tố phụ để biến đổi kết luận tạo thành các mệnh đề tương đương để giải quyết bài toán.
- Kẻ thêm yếu tố phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng.
 2.3.2 Một số bài tập sử dụng yếu tố phụ.
a. Kẻ thêm yếu tố phụ để tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc tính chất các hình để giải quyết bài toán.
Phương pháp: Từ các định lý và tính chất đã học, học sinh nghiên cứu giả thiết và kết luận của bài toán, tìm ra các điểm tương đồng rồi từ đó vẽ yếu tố phụ thích hợp để đưa bài toán cần giải quyết về dạng quen thuộc 
Ví dụ 1. Cho tam giác cân ABC đáy BC. Lấy trên AB kéo dài một đoạn BD = AB. Gọi CE là trung tuyến của tam giác ABC. 
CMR: CE = CD.
(Ta chỉ phân tích phần nội dung: Kẻ đường phụ.)
Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm của CD. 
Muốn chứng tỏ một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng khác thì một trong các cách làm cơ bản là chia đôi đoạn thẳng kia và chuyển về bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau . 
 Gọi M là trung điểm của CD ta có CM = MD, vậy ta phải chứng minh 
CE = CM hoặc CE=DM. Từ sự phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy ra nếu chứng minh được D EBC = D MBC thì ta có được CE = CM là điều phải chứng minh. 
Đến đây điều cần chứng minh đã rõ ràng phải chứng minh 
D EBC = D MBC(c.g.c)
 Việc hướng dẫn học sinh kẻ thêm đường phụ ta dựa vào sự phân tích trên, ta có thể đưa ra cho học sinh những câu hỏi gợi mở.
+ Với M là trung điểm của CD, thì CE và CM là các cạnh của tam giác nào?
+ Để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đường phụ nào và chứng minh điều gì? Hoặc ta có thể hỏi: Để chứng minh CE = CM ta phải chứng minh điều gì?
b. Kẻ thêm các yếu tố phụ để biến đổi kết luận tạo thành các mệnh đề tương đương để giải quyết bài toán.
Phương pháp: Từ yêu cầu của bài toán ta biến đổi chúng đưa bài toán về dạng quen từ đó gợi nên các đường phụ cần vẽ.
Ví dụ 2: Cho ΔABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O ( < 600). M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC, AM giao với BC tại N.
 Chứng minh rằng 
Phân tích.
Để chứng minh ta có thể biến đổi. 
(1). Mặt khác ΔABC cân tại A nên 
AB = AC mặt khác: 
 thay và (1) ta được
 Vậy để chứng minh ta chỉ cần chứng minh 
 AM > MB + MC là xong.
Đến đây ta lại trở lại bài toán quen thuộc: Cho ΔAB’C’ đều nội tiếp (O); M là một điểm bất kì trên cung nhỏ B’C’. Chứng minh rằng: AM = MB’ + MC’
Ta có trên AM lấy E sao cho ME = B’M. Khi đó suy ra ΔB’EM đều. 
Từ đó dẫn đến nếu: B’M>BM; C’M>CM
 mà AM = B’M +C’M > BM + CM
 c. Kẻ thêm yếu tố phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan hệ để giải quyết bài toán:
Phương pháp: Đối với dạng toán này thường là các bài toán chứng minh các đường thẳng đồng quy, hai đường thẳng vuông góc, đường trung tuyến của một tam giác, tam giác cân vì có đường cao đồng thời là đường trung bình ...
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD có cạnh AD = BC. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB; CD. CB và DA cắt NM lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng .
Phân tích: Nhìn trên hình vẽ ta thấy hai góc và giường như không có quan hệ gì với nhau vì vậy phải gợi đến việc chứng minh hai góc này cùng bằng một góc thứ ba.
 Do M và N là trung điểm của AB và CD, lại có AD = BC nên ta lấy thêm I là trung điểm của AC.
 Khi đó MI và IN là các đường trung bình của ΔABC và ΔACD. 
 Đến đây ta cần chứng minh ΔMIN cân tại I thì ta tìm được lời giải cho bài toán
Ta có thể đưa ra câu hỏi gợi mở như sau:
+ Với AM = MB, DN = NC và AD = BC thì trung điểm của AC có mối quan hệ gì với hai tam giác ΔABC và ΔACD?
+ Để chứng minh ta cần chứng minh ΔMIN là tam giác gì?
d.Kẻ thêm yếu phụ để tạo nên các tình huống phù hợp với một định lý để giải quyết bài toán.
Phương pháp: Nhưng bài toán cho ta các giả thiết liên quan đến góc vuông, đồng quy, song song và trung điểm của đoạn thẳng ... , ta có thể liên kết các giả thiết đó lại với nhau để đề xuất phương pháp chứng minh phù hợp. 
Ví dụ 4. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh CD và N là một điểm trên đường chéo AC sao cho . Gọi F là điểm đối xứng của A qua N. Chứng minh FB ^ AC
 (Ta phân tích nội dung kẻ đường phụ và gợi ý chứng minh)
Phân tích: Ta thấy là một góc của DBFC, đối chiếu với định lý: Tổng 3 góc của một tam giác bằng 180O thì có , nhưng ta chưa thể tính được bằng bao nhiêu nên không thể suy ra được số đo góc . Vậy không thể vận dụng định lý trên để chứng minh. 
 Liệu BF có là đường cao của D BNC được không?
 Để chứng minh BF là đường cao của tam giác BNC ta phải chứng minh BF đi qua điểm nào đặc biệt trong tam giác? 
 Dựa vào đó ta hiểu rằng phải chứng minh BF đi qua trực tâm của DBNC.
 Do sự phân tích - tổng hợp ta đi đến việc dựng NE ^ BC tại E. Gọi giao điểm của NE với BF là I. Ta suy ra rằng nếu chứng minh được CI // MN thì suy ra CI cũng sẽ vuông góc với BN (Vì MN^BN) tức CI là một đường cao của 
D BNC. Vậy I là trực tâm của D BNC (Vì I º NE Ç CK). Do đó suy ra điều phải chứng minh là: BF ^ AC
 Tóm lại việc kể thêm NE^ BC tại E là nhằm tạo ra điểm I º NE Ç BF để chứng minh I là trực tâm của D BNC.
 Từ sự phân tích trên ta có thể dựa vào đó đề ra một hệ thống câu hỏi gợi mở cho học sinh tực giác, tích cực tìm lấy lời giải. Chẳng hạn có thể sử dụng những câu hỏi như:
 - Để chứng minh BF AC ta có thể chứng minh BF là đường gì của DBNC?
 - Để chứng minh BF đi qua trực tâm của DBCN thì ta phải có điểm nào?
 - Ta phải kẻ thêm đường phụ nào để có một điểm là giao của BF với một đường cao của D BNC?
 - Với NE là đường cao của DBNC và NE Ç BF tại I, ta phải chứng minh điều gì? 
Ví dụ 5: Cho ABC. M là 1 điểm bất kỳ trong tam giác. Nối M với các đỉnh A, B, C cắt các cạnh đối diện lần lượt tại A’, B’, C’ qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt A’B’; A’C’ tại K và H. Chứng minh rằng: MK = MH
Đây là một bài toán tương đối khó với học sinh . Sau khi đã tìm nhiều cách chứng minh không có kết quả . Ta chú ý đến giả thiết của bài toán chỉ cho ta các yếu tố đồng quy và song song. Giả thiết của định lý nào gần với nó nhất?
(Câu trả lời mong đợi ở đây là định lý Talet)
Phân tích:
Ở đây KH // BC. Đoạn thẳng BC được chia thành mấy đoạn nhỏ ?
Thiết lập quan hệ giữa MH, MK với các đoạn BA’ và CA’, BC
Cần phải xác định thêm các điểm nào?
Điểm P và Q là giao của KH với AB và AC
 - Giả sử HK cắt AB, AC tại P, Q. Ta có KH //BC nên theo định lý Talét
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), các đường cao BH ; CK. Chứng minh rằng AO KH 
 Phân tích: 
Để chứng minh AO KH ta có thể tạo ra đường thẳng song song với KH. Khi đó dễ ràng nhận ra đường thẳng đó là tiếp tuyến Ax tại A của (O)
Do vậy đường phụ cần vẽ thêm là tiếp tuyến Ax
Dựng tiếp tuyến Ax của (O) . Tứ giác KBCH nội tiếp nên . Mặt khác là góc tạo bởi tia tuyến và dây cung AB nên suy ra Ax // KH mà Ax AO nên AO KH
 	Như vậy là việc dạy cho học sinh biết cách giải bài toán mà lời giải có kẻ thêm đường phụ không chỉ đơn thuần là đưa ra một số bài giải mẫu cho học sinh mà phải giúp học sinh nắm vững các yêu cầu khi vẽ đường phụ, sau đó phân dạng bài toán rồi mới đưa vào gợi mở để cho học sinh tìm được lời giải cho từng bài toán cụ thể. Trong quá trình đó dần dần hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ đường phụ trong giải các bài toán hình học. 
2.3.3 Một số bài tập tham khảo.
Bài 1: Tính cạnh của hình thoi ABCD biết bán kính đường tròn ngoại tiếp cac tam giác ABC và ABD lần lượt là 3 và 4
Bài 2 : Cho tam giác nhọn ABC cân tại A . Đường cao BH 
 Chứng minh rằng : 
Bài 3: Cho tam giác ABCcân tại A có 
Chứng minh rằng : 
Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A 
 Chứng minh rằng : với p là nửa chu vi của tam giác ABC
Bài 5 : Cho góc nhọn xOy . Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho OM +ON = 2a không đổi . 
a ) Chứng minh rằng : Khi M ,N chạy trên Ox , Oy thì trung điểm của MN luôn nằm trên một đoạn thẳng cố định A
b ) Xác định vị trí của M và N để tam giác OMN có diện tích lớn nhất 
Bài 6: Cho DABC nội tiếp đường tròn (O). gọi D;E;F thứ tự là trọng điểm của BC;AC và AB. Kẻ các đường thẳng DP' // OA; EE'//OB; EF//OC.
Chứng minh các đường thẳng DD'; EE'; FE' đồng quy.
 Bài 7: Cho đường tròn (O) và một điểm A bên trong đường tròn đó kẻ cát tuyến BAC bất kỳ.Gọi (P) là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại B (Q) là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại C
a) Tứ giác APOQ là hình gì ?
b) Gọi giao điểm thứ hai của (P) và (Q) là E; (E A)
 Tìm tập hợp điểm E khi cát tuyến BAC quay quanh A.
 Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm P, Q thứ tự di chuyển trên tia Ox và Oy sao cho OP + OQ = 2007 . Vẽ đường tròn (P; OQ) và (Q; OP)
a) Chứng minh hai đường tròn (P) và (Q) ở trên luôn cắt nhau
b) Gọi M, N là giao điểm của hai đường tròn (P) và (Q) chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P và Q thay đổi .
2.4 KẾT QUẢ THU ĐƯỢC SAU KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI 
 2.4.1. Kết quả điều tra trước khi thực hiện đề tài.
Trước khi thực hiện sáng kiến này tôi đã tiến hành điều tra tại một trường THCS trên địa bàn về việc hiểu các yếu tố phụ và kỹ năng giải bài toán hình có vẽ thêm các yếu tố phụ đối với học sinh khá, giỏi như sau: 
- Tổng số học sinh được điều tra (khối 8 và khối 9) là: 65 em
- Số học sinh nắm được sơ lược các loại đường phụ thường sử dụng trong giải Toán THCS có: 5 em chiếm 7,7%
- Số học sinh nắm được các phép dựng hình cơ bản thường sử dụng trong giải toán THCS có: Khoảng 15 em chiếm 23,1%.
- Số học sinh dựng được các đường kẻ phụ hợp lý và giải được một số bài toán trong chương trình toán lớp 8, 9 gồm có: Khoảng 3 em chiếm 4,6%.
- Số học sinh lúng túng, chưa giải quyết được các bài toán hình học có vẽ thêm đường phụ trong giải Toán THCS có: 62 em chiếm 95,4 %
- Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải được các bài toán tương đối khó : 0 em chiếm 0%
2.4.2 Kết quả khảo sát đối chứng.
Sau khi nghiên cứu đề tài và tôi đã áp dụng hướng dẫn học sinh phân dạng được các loại đường phụ cần sử dụng trong mỗi dạng toán thì đa số các em đã hiểu được vai trò của việc sử dụng đường phụ là rất cần thiết.
	Nhiều em đã có những kĩ năng cơ bản trong việc tìm được lời giải hình học và tỏ ra yêu thích môn học, đặc biệt đề tài có tác dụng rất lớn trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi, có đã phần lớn giải quyết được các bài tập mang tính tư duy cao đòi hỏi phải có sự mày mò.
	Qua thời gian áp dụng với các kiến thức và phương pháp tôi vừa trình bày trên trong các buổi bồi dưỡng học sinh khá giỏi đến nay khảo sát lại tôi thu được kết quả như sau :
	Tổng số em được tiếp cận đề tài là 65 em
- Số học sinh nắm được các loại đường phụ thường sử dụng trong giải toán THCS có: 59 em chiếm 90,8%.
- Số học sinh nắm được các phép dựng hình cơ bản thường được sử dụng trong giải toán THCS có: 60 em chiếm 92,3%.
- Số học sinh vẽ được các đường phụ hợp lý và giải được một số bài toán hình trong chương trình Toán lớp 8 và 9 có: 45 em chiếm 69,2%.
- Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải được các bài toán tương đối khó : 20 em chiếm 30,8% 
2.5 BÀI HỌC KINH NGHIỆM
	Khi chưa cho các em học sinh tiếp cận với đề tài bản thân tôi nhận thấy khi các em giải các bài tập hình mà có thêm các yếu tố phụ, mặc dù dẫn dắt các em phát hiện vấn đề từ dễ đến khó nhưng tôi vẫn nhận thấy các em vẫn cảm thấy ngại và sợ khi gặp các bài toán như thế.
	Sau khi triển khai và áp dụng những kinh nghiệm của bản thân tôi nhận thấy việc các em có kĩ năng phát hiện và tìm được các yếu tố phụ trong lời giải bài tập hình là cần thiết. Đề tài cũng đã góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy nói chung và công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
	Tôi thiết nghĩ những phương pháp vừa trình bày ở trên không quá khó tiếp cận với các các em học sinh và các Thầy, Cô mà điều quan trong là rèn cho các em có một thói quen tìm tòi phán đoán, say mê phát triển và khai thác triệt để một bài toán.
PHẦN 3: KẾT LUẬN 
3.1 KẾT LUẬN
Các bài toán hình học có lời giải cần phải kẻ thêm đường phụ tuy là những bài toán khó nhưng lại là những bài toán rất hay và độc đáo, nó giúp cho học sinh có tư duy logic của học sinh phát triển, giúp rèn luyện cùng một lúc nhiều thao tác tư duy.
Đây là một đề tài nghiên cứu có thể nghiên cứu ở phạm vi rộng, hẹp tuỳ ý và đề tài này mang tính ứng dụng rộng rãi trong các trường THCS.
Khi áp dụng đề tài này giáo viên cần phải lưu ý là trước hết phải giúp học sinh nắm vững được các yêu cầu về vẽ các đường phụ sau đó mới phân dạng bài toán và đưa ra hướng dẫn một số bài toán cụ thể theo từng dạng đã chia. Việc củng cố kỹ cho học sinh về phép dựng hình cơ bản là rất cần thiết trong nội dung thực hiện.
Do điều kiện chưa cho phép nên đề tài chưa nghiên cứu được ở phạm vi rộng và cũng chưa thể trình bày được hết các phương pháp dạy đối với các dạng bài toán đã nêu do gới hạn của đề tài .
3.2 KHUYẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT
	- Với tổ chuyên môn cần đề cập nhiều đến những vấn đề mà học sinh còn mắc phải để từ đó có kế hoạch cho hoạt động của tổ chuyên môn. Đồng thời mỗi đồng chí trong nhóm toán cũng cần tích cực tìm tòi những vấn đề mình còn yếu và thiếu để đưa ra trước tổ để cùng thảo luận và tìm cách tháo gỡ.
	- Khuyến nghị ban giám hiệu nhà trường cần rà soát và đề xuất chuyên đề tập trung cho môn toán để giúp mỗi cá nhân có cơ hội được thảo luận chuyên môn nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ.
- Tạo điều kiện cho giáo viên được tham gia các chuyên đề cấp huyện, cấp tỉnh, đi học thêm để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ.
- Tích cực đầu tư mua sắm các loại sách tham khảo, sách nâng cao để phụ vụ nhu cầu học tập của học sinh và nghiên cứu của giáo viên trong trường.
 Đề tài nghiên cứu phương pháp tìm đường phụ cho lời giải bài toán này không thể tránh khỏi những vấn đề còn thiếu sót, rất mong các đồng chí, đồng nghiệp đóng góp ý kiến để đề tài được hoàn thiện hơn!
 Xin chân thành cảm ơn./.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 - Một số vấn đề đổi mới PPDH ở trường THCS môn toán – Bộ GD&ĐT 2008
 2 - Sách GV, SGK Toán THCS - Phan Đức Chính – Tôn Thân – Nhà xuất bản GD
 3 - Nâng cao và phát triển Toán 7 , 8, 9 - Vũ Hữu Bình – Nhà xuất bản GD
 4 - Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục THCS môn Toán – Nhà xuất bản GD
5 – Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên THCS chu kì 1997 – 2000 và chu kỳ 2004 – 2007 môn Toán.
6 – Phương pháp dạy học đại cương môn Toán – Bùi Huy Ngọc- Nhà xuất bản ĐHSP
7 – Giáo trình phương pháp dạy học các nội dung Toán - Phạm Gia Đức – Bùi Huy Ngọc - Phạm Đức Quang - Nhà xuất bản ĐHSP
8 – Vẽ thêm một số yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 7, 8, 9 – Nguyễn Đức Tấn – NXB GD
8 – Tạp chí toán học tuổi thơ 2, tạp chí toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản giáo dục.
MỤC LỤC
PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1.2 CƠ SỞ THỰC TIẾN 
1.2 PHẠM VI NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
1.3 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
1.5 ĐÓNG GÓP MỚI CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
PHẦN 2: NỘI DUNG
2.1 CƠ SỞ KHOA HỌC
2.1.1 LÍ LUẬN CHUNG
2.1.2 MỘT SỐ YÊU CẦU KHI VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ
2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU
2.2.1 Thuận lợi
2.2.2 Khó khăn
2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
2.3.1 Một số cơ sở đề xác định yếu tố phụ
2.3.2 Một số bài tập sử dụng yếu tố phụ
2.2.3 Một số bài tập tham khảo
2.4 KẾT QUẢ THU ĐƯỢC SAU KHI ÁP DUNG ĐỀ TÀI
2.4.1 Kết quả điều tra trước khi thực hiện đề tài
2.4.2 Kết quả khảo sát đối chứng
2.5 BÀI HỌC KINH NGHIỆM
PHẦN 3: KẾT LUẬN 
3.1 KẾT LUẬN
3.2 KHUYẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT