Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh tự học một số bất đẳng thức quen thuộc

ất của các biểu thức sau:
? Nghĩ như thế nào? 
Xét biểu thức A. Ta cần chiều biến đổi từ 
đánh giá về a+b+c. Xét các đặc điểm điển hình ta nghĩ ngay tới việc sử dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm (vì bậc giảm 2 lần mà!). Vấn đề là chọn 2 số nào? Ta thấy chắc chắn có a2. Giả sử số thứ hai là k2, ta có mà kết quả ta hướng tới là biến a có số mũ là 1 (theo điều kiện của bài) nên k là hằng số. Mặt khác do a, b, c có vai trò như nhau nên ta dự đoán dấu “=“ xảy ra khi a=b=c=1 (theo điều kiện a+b+c=3) do vậy k=1. Từ đó ta có lời giải sau:
* Với những suy nghĩ tương tự bạn có thể tìm được hướng giải quyết khi tìm Min B
Cùng với hướng suy nghĩ trên, ta xét thêm ví dụ sau:
Ví dụ 5: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn 
Tìm Min .
? Nghĩ như thế nào? 
Thoạt nhìn ta thấy yêu cầu bài cần đánh giá từ “bậc 3 hướng tới bậc 2” theo chiều . So với đặc điểm điển hình thì vướng chính ở điểm này. Câu hỏi đặt ra là sử dụng Cô-si như thế nào để có thể “hạ được từ bậc 3 xuống bậc 2”? áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số trong đó chắc chắn có a3, hai số còn lại ta chọn là k3 và m3 . Ta có Để hướng tới a2 rõ ràng ta cần chọn k=a và m là hằng số. 
Vì a, b, c có vai trò như nhau nên ta dự đoán dấu “=“ xảy ra khi 
(theo điều kiện ). Trong BĐT Cô-si, dấu “=“ xảy ra khi các số bằng nhau nên . Ta có lời giải sau:
áp dụng BĐT Cô-si ta có 
Tương tự ta có . 
Từ ba BĐT trên ta được: 
Ví dụ 6: Cho a, b là hai số dương. Chứng minh 
? Nghĩ như thế nào? 
Nhìn vào BĐT ta thấy ấn tượng đầu tiên là vế trái là biểu thức chứa biến, vế phải là một số (chiều đánh giá “lớn hơn hoặc bằng”), a và b tuy có vai trò như nhau nhưng chúng không bị ràng buộc gì ngay cả trong vế trái! điều này giúp ta nghĩ đến chia vế phải thành hai nhóm tiến hành đánh giá độc lập . Mỗi nhóm nếu ta chỉ xác định gồm 2a và số thì tích của chúng là . Điều này gợi cho ta viết thành tổng nhiều số có tích là hằng số. Ta có lời giải sau:
Cộng hai BĐT trên ta được .
Lời bình: 1) Ta có thể thay bài toán bằng loại hình câu hỏi khác:
Cho a, b là hai số dương. Tìm Min P= 
2) Việc tách 2a=a+a mang tính quyết định của lời giải. Tuy nhiên với bài toán “ Cho a, b là hai số dương. Tìm Min P= “ thì lời giải như thế nào? Nếu ta viết có được không? Ta có :
Như vậy không phải tách như thế nào cũng được phải không bạn? Ta phải tách thành 3 số “bằng nhau” tại vì dấu “=“ xảy ra trong BĐT Cô-si là khi các số bằng nhau. Ta có lời giải: 
áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ta được:
Kỹ năng tách, thêm bớt khi sử dụng Cô-si là mấu chốt của vấn đề. Ta xét ví dụ tiếp
Ví dụ 7: Tìm Min . 
? Nghĩ như thế nào? 
Thoạt nhìn chẳng ai lại nghĩ tới sử dụng BĐT Cô-si cả. Sự cố gắng nhìn nhận P là một đa thức để viết dưới dạng tổng các biểu thức không âm với 1 hằng số gặp nhiều khó khăn. Ta “nghĩ” một cách cơ bản nhất:
Giả sử Min P =m ta có . Tới đây thì ta đã nhìn ra BĐT Cô-si rồi bởi các tính chất đặc trưng của nó. Theo chiều ““ bậc của x giảm 4 lần tức là ta cần áp dụng BĐT Cô-si cho 4 số. Chọn 4 số nào? trong khi ta chỉ bắt đầu bởi x4. Giả sử ba số còn lại đều là k4 với k>0 (ba số này chắc chắn bằng nhau để đảm bảo dấu “=“ khi đánh giá theo BĐT Cô-si xảy ra được). Ta có Ta cần chọn k sao cho 
Ta có lời giải sau: áp dụng BĐT Cô-si
Lời bình: Tôi cố tình chọn một ví dụ mà giá trị nhỏ nhất của nó trông rất “cồng kềnh”. Liệu bạn có đủ kiên nhẫn viết P dưới dạng tổng các biểu thức không âm với 1 hằng số là được không?! Trong ví dụ này tôi cho rằng việc suy nghĩ “giả sử Min P là m” và sau đó đưa về giải quyết bài toán theo hướng Cô-si là mấu chốt. Việc chọn được số k chỉ là một “kỹ thuật” nhỏ trong bài mặc dù được đánh giá là một “kỹ thuật điển hình” khi sử dụng BĐT Cô-si.
Với các bạn học sinh lớp 8, hãy tự giải bài tập sau: Tìm Min của 
Ví dụ 8: Tìm Max, Min của 
? Nghĩ như thế nào? 
Ta xét biểu thức A. Điều mà ta nghĩ tới là “làm thế nào để đánh giá A? A là một phân thức dạng . Chẳng hạn ta cần thì có thể 
1) Đánh giá 
 2) Đánh giá 
3) Đánh giá đồng thời . Xét lời giải sau
A=-2 chẳng hạn với x=-1; A=2 chẳng hạn với x=1. Vậy Min A là -2 và Max A là 2.
Với biểu thức B thì sao? Chẳng hạn ta đánh giá mẫu (M) theo tử (T).
Xin nhờ bạn tiếp tục nhé. Tất nhiên dạng này ta có thể sử dụng nhiều cách khác. Vấn đề là tùy theo cách nhìn nhận về biểu thức B của bạn. Ta xét ví dụ sau về phân thức: 
Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
? Nghĩ như thế nào? 
Nếu ta chỉ nhìn về “Bậc” đơn thuần thì bậc của và bậc của là như nhau. Và như thế thì không vận dụng BĐT Cô-si được?! 
Tuy nhiên nhận thấy mẫu của phân thức có thể viết được dưới dạng . Bài toán trở về tìm Min của 
. Dạng mới của biểu thức này đã thể hiện rõ những đặc điểm đặc trưng của BĐT Cô-si. Với chiều ta cần viết x+5 thành tổng hai biểu thức của 1-x và 1+x. Giả sử 
Ta có . “Cân bằng hệ số” ta được . Từ đó ta có lời giải sau:
	Ta có 
Lời bình: Mấu chốt của tư duy là ta viết được . Điều này làm “giảm” bậc của mẫu phân thức đồng thời gợi ý cho ta sử dung BĐT Cô-si. Kỹ thuật tách x+5 thành tổng hai biểu thức như trên chỉ là một mẹo nhỏ mà người sử dụng BĐT Cô-si cần nắm vững kỹ năng này.
Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của với x>3 và y>3
? Nghĩ như thế nào? 
Quan sát ta thấy: A là tổng của hai phân thức trong đó x, y có vai trò như nhau. Điều này cho ta dự đoán giá trị nhỏ nhất xảy ra có thể do x=y.
Điều này chưa gợi ý cho ta được điều gì nhiều. Với chiều nếu ta sử dụng BĐT Cô-si ta chuyển được biểu thức về dạng “Tích”, dạng này cho phép ta dễ dàng chuyển mẫu của hai phân thức cho nhau. Lúc đó ta được 2 biểu thức độc lập. Cụ thể ta có lời giải sau:
áp dụng BĐT Cô-si ta có: 
. 
Mặt khác 
Suy ra 
Tương tự 
Do vậy .
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là . 
Ví dụ 11: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn . 
Chứng minh 
? Nghĩ như thế nào? 
Quan sát vế trái ta thấy:
Nx1) Thấy vai trò các biến như nhau nên dấu “=“ xảy ra ở BĐT khả năng là khi a=b=c. Kết hợp ĐK ban đầu ta được a=b=c=1. 
Nx2) Có thể biến đổi vế trái trở về dạng tổng của 3 biểu thức độc lập: . 
Nx3) Căn cứ ĐK ta sẽ cố gắng đánh giá vế trái về với k là một hằng số nào đó. Do ba phân thức vế trái độc lập nên cần xác định k để Kết hợp Nx1) ta được . Vậy cần chứng minh 
. BĐT cuối cùng này có đầy đủ đặc trưng của BĐT Cô-si. Ta có lời giải sau:
	Ta có 
Mặt khác a>0 và nên 
Tương tự ta có 
Do vậy 
Ví dụ 12: Cho hai số dương x, y thỏa mãn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của .
? Nghĩ như thế nào? 
Quan sát A ta có nhận xét cơ bản sau:
Nx1) Ta thấy vai trò các biến như nhau nên dấu “=“ xảy ra ở BĐT khả năng là khi x=y. Kết hợp ĐK ban đầu ta được 
Nx2) Khai triển A ta có thể chia A thành các nhóm x, y có vai trò như nhau
Tới đây, có nhiều bạn sẽ cho là “dễ quá” vì có thể nhóm thành các nhóm có tích không đổi để áp dụng BĐT Cô-si!
Thật tiếc dấu “=“ xảy ra khi đánh giá .
 Tương tự cần y=1. Rõ ràng x=y=1 không thỏa mãn ĐK 
Chỉ có đánh giá dấu “=“ xảy ra khi x=y. Bạn đã bao giờ sai lầm thế này chưa?. Ta đi tìm nguyên nhân của sai lầm trong lời giải trên.
Việc nhóm về mặt “ý tưởng” là tốt. Bởi ta được “đặc trưng” cơ bản là “tổng
 các số có tích không đổi”. Để giữ được “đặc trưng” cơ bản trên ta nhóm (k là
 hằng số). Vấn đề là chọn k là bao nhiêu?
Theo BĐT Cô-si ta có .
Mặt khác theo Nx1) thì . Ta có lời giải sau:
Lại có . Do vậy 
Lời bình Qua những ví dụ nêu trên, ta thấy sự khó khăn khi sử dụng BĐT Cô-si chính là vấn đề “Bậc” trong đặc điểm điển hình của BĐT Cô-si. Trong một số tình huống cần “tăng” hay “giảm” bậc thật không đơn giản, biện pháp thường sử dụng là kết hợp với 1 hằng số. Ta xét thêm một số ví dụ sau:
Ví dụ 13: Cho ba số a, b, c dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
? Nghĩ như thế nào? 
 Quan sát bậc hai vế ta thấy nếu xét theo chiều thì bậc từng biến giảm 4 lần. Chính sự nhận xét này cho ta suy nghĩ “ cần nâng bậc vế trái”. Các tính chất đặc trưng của BĐT Cô-si được bộc lộ rõ, nên về mặt tư duy, ta nghĩ về BĐT Cô-si là “rất tự nhiên”!.
Ta thấy vai trò các biến như nhau nên dấu “=“ xảy ra ở BĐT khả năng là khi a=b=c. Kết hợp ĐK ban đầu ta được a=b=c=1 khi đó a+3=b+3=c+3=4.
Trước hết ta “nâng bậc” lên bậc 1 từ căn bậc 2 (ta hiểu là bậc 1/2 ). Ta có:
Như vậy ta sẽ thử chứng minh tức là cần chứng minh với điều kiện . Điều này đơn giản vì 
luôn có .
Lời bình Thực ra lúc đầu tôi nhận thấy điều kiện có bậc trung gian giữa VT và VP nên đã cố gắng đánh giá từ về xuất hiện và từ VT xuất hiện . Nhưng tôi đã gặp khó khi đánh giá từ VT về xuất hiện và cho rằng không sử dụng được BĐT Cô-si. Bạn thấy đấy, sự “máy móc” trong tư duy đã làm khổ chính mình! 
2- Tiểu kết 1: 
Chúng ta cùng nhìn lại các ví dụ vừa đưa ra. Để sử dụng BĐT Cô-si, kinh nghiệm của tôi là cần thành thạo hai kỹ năng cơ bản sau:
Một: Làm thay đổi bậc của biểu thức đánh giá cần hướng tới.
Hai: Chọn hằng số để “ghép” thêm khi sử dụng Cô-si thông qua dự đoán dấu “=“ xảy ra khi nào?
Dưới đây là một số bài tập vận dụng. 
3- Bài tập vận dụng.
Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất các biểu thức sau:
Chủ đề 2: Bất đẳng thức Svac-xơ
I- Đặc điểm nhận dạng.
1- Bất đẳng thức Svac-xơ:
a) Cho các số không âm x, y và các số dương a, b. 
Khi đó 
Chứng minh: Do 
b) áp dụng liên tiếp BĐT trên ta được: với x, y, z không âm và a, b, c dương thì
.
Lưu ý: Sử dụng BĐT Svac-xơ ta có một số trường hợp đặc biệt:
2- Đặc điểm điển hình:
Có thể nhận thấy có đặc điểm điển hình sau:
	*1) Các biểu thức ở dạng phân thức.
	*2) Tử thức của các phân thức là một bình phương đúng.
	*3) Theo chiều ““ thì biểu thức hướng tới có mẫu là 1 tổng.
II- Ví dụ và bài tập vận dụng.
1- Ví dụ điển hình.
Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số dương. 
Chứng minh 
? Nghĩ như thế nào? 
Quan sát vế trái bạn thấy ngay các đặc điểm điển hình của BĐT Svac-xơ. Sau đây là lời trình bày để các bạn tham khảo (trong chương trình THCS khi sử dụng BĐT này bạn phải chứng minh)
 Ta có với các số dương x, y, a, b thì 
áp dụng BĐT trên ta được:
 đpcm.
Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh
? Nghĩ như thế nào? 
Quan sát BĐT cần chứng minh ta thấy đặc điểm đặc trưng ở vế trái là tổng các phân thức. Tuy nhiên đặc điểm “Tử là một bình phương” không có. Ta viết lại vế trái như sau:
. Tới đây việc nghĩ tới BĐT Svac-xơ là rất tự nhiên.
* Ta cũng có thể đánh giá hướng tới phân thức có dạng “ tử là một bình phương” như sau: nên ta có 
Lời bình: Nếu bạn đã từng sử dụng BĐT Cô-si để giải 2 ví dụ trên, bạn sẽ thấy hết “sức mạnh” của BĐT Svac-xơ về các biểu thức dạng phân thức trong dạng này. Ta xét thêm một số ví dụ.
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất các biểu thức sau:
? Nghĩ như thế nào? 
Xét biểu thức A: Ta thấy mẫu của hai phân thức là hai biểu thức dương có tổng không đổi. Chiều biến đổi phù hợp đặc điểm đặc trưng của BĐT Svac-xơ. Ta có lời giải sau:
Xét biểu thức B, so với A thì đặc điểm “mẫu của hai phân thức là hai biểu thức dương có tổng không đổi” không còn nữa. Do vậy ta cần là cho B có được đặc điểm này: Ta viết lại . Đặc điểm quan trọng trên đã được xuất hiện. Ta có lời giải sau;
Lời bình: Với mục đích tìm GTNN của tổng các phân thức có các tử thức là hằng số. Ta cần viết lại biểu thức sao cho mẫu các phân thức này có tổng không đổi. Tuy nhiên trong nhiều tình huống mà tử thức không là một bình phương đúng ta làm như thế nào? Xét ví dụ sau đây, một ví dụ rất quen thuộc với các bạn:
Ví dụ 4: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh
 (1) 
? Nghĩ như thế nào?
Xét BĐT (1). Ta thấy a, b, c không có điều kiện ràng buộc. Vế trái là tổng của 3 phân thức mỗi phân thức có bậc tử thức và bậc mẫu thức bằng nhau. Thông thường ta “đặt ẩn phụ” nhằm là thay đổi “dạng” của biểu thức (đặt b+c=x, c+a=y, a+b=z. Sau đó giải tìm a, b, c theo x, y, z. Thay lại biểu thức ta được “dạng” mới là các phân thức có mẫu là 1 số, thực hiện chia tử cho mẫu bạn dễ dàng sử dụng Cô-si để giải quyêt!). 
Ta nghĩ có thể giải quyết bằng BĐT Svac-xơ được không? Muốn vậy ta cần viết để tử phân thức là “một bình phương đúng”. 
Ta có 
Bài toán trở về chứng minh 
. 
BĐT cuối được chứng minh dễ dàng! ta xét thêm ví dụ có tính tương tự sau.
Ví dụ 5: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh 
? Nghĩ như thế nào?
Ta thử dùng kỹ thuật “làm cho tử các phân thức thành bình phương”. Ta có 
Sử dụng BĐT quen thuộc 
BĐT này được chứng minh dễ dàng bằng việc sử dụng BĐT Cô-si cho 3 số.
(đpcm)
Lời bình: Trong rất nhiều bài toán có thể sử dụng BĐT Cô-si hoặc BĐT Svac-xơ đều giải được. Sự kết hợp linh hoạt BĐT Cô-si và BĐT Svac-xơ trong nhiều trường hợp cho ta hiệu quả cao. (Giữa hai BĐT Cô-si và BĐT Svac-xơ có “mối liên hệ” mật thiết! Bạn thử tìm hiểu xem nhé!). Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 6: 
? Nghĩ như thế nào?
 	Quan sát vế trái của (*6) ta thấy có thể sử dụng BĐT Cô-si cho 3 số. Tại sao tôi lại nghĩ như vậy? Tôi “quan niệm” là biểu thức có bậc 3 vì tôi nghĩ “tử có bậc 4, mẫu có bậc 1”. Như vậy ta đánh giá về biểu thức bậc 3. Mặt khác do a, b, c có vai trò như nhau nên dấu “=“ xảy ra khả năng khi a=b=c. Điều này khiến ta “càng tự tin” khi sử dụng các BĐT quen thuộc. 
Ta có 
Như vậy, BĐT cần chứng minh là 
Cần làm xuất hiện Ta có:
BĐT (*8) được chứng minh dễ dàng khi sử dụng BĐT Cô-si cho 3 số.
Ví dụ 7: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn .
Tìm giá trị nhỏ nhất của 
? Nghĩ như thế nào?
 	Quan biểu thức M ta thấy có thể làm cho 3 phân thức trong M độc lập (thay a+b=1-c, b+c=1-a, c+a=1-b) sau đó sử dụng BĐT Cô-si đánh giá từng biểu thức. Tuy nhiên khi tiến hành sẽ gặp khó khăn. Bạn thử xem nhé!
Với các đặc điểm đặc trưng của BĐT Svac-xơ, ta sẽ sử dụng cho biểu thức M
Ví dụ 8: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
? Nghĩ như thế nào?
Xét biểu thức P. Ta cần đánh giá theo chiều hướng tới xuất hiện . Chính ý nghĩ này khiến ta tìm đến sử dụng BĐT Svac-xơ (trường hợp đặc biệt)
Ta có 
* Xét biểu thức Q. Vẫn lối tư duy như ta tìm Max của P. Vấn đề đặt ra cần viết biểu thức Q như thế nào để khi đánh giá dấu “=“ phải xảy ra. Ta xác định được dấu “=“ xảy ra khi a=b=c. Do vậy ta viết 
Tới đây, dễ dàng tìm ra lời giải!
Lời bình: Qua một số ví dụ trên, việc sử dụng BĐT Svac-xơ cần nhất là làm cho phân thức có tử là một bình phương đúng. Trong một số tình huống việc là xuất hiện đặc điểm trên nhờ đặt ẩn phụ. Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 9: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc=1.
Chứng minh 
? Nghĩ như thế nào?
Xét BĐT cần chứng minh ta thấy: Đặc điểm điển hình của Svac-xơ chưa bộc lộ rõ ngoài đặc điểm “ vế trái là tổng các phân thức”. Điều kiện abc=1 cho ta kết quả gì?
Ta có: . Nếu viết vế phải ở dạng này thì ta cần hướng tới việc đánh giá từ vế trái BĐT làm xuất hiện . Tới đây tôi gặp khó khăn. Để ý thấy vế trái có xuất hiện ... nên để đơ giản ta đặt ẩn phụ nhằm “thay đổi dạng” của biểu thức. 
Khi đó 
Đây là BĐT đã được chứng minh ở trên.
Ví dụ 10: Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh .
? Nghĩ như thế nào?
 Ta thấy chỉ có a và c có vai trò như nhau. Tử các phân thức không là bình phương đúng. Đặc điểm của Svac-xơ thật mờ nhạt khiến ta không nghĩ tới Svac-xơ. 
Ta thử cố tìm vai trò của b đối với a và c như thế nào? Thật khó khăn!
Do bậc tử và mẫu mỗi phân thức bằng nhau nên ta thử đặt ẩn phụ a+b=x, b+c=y và c+a=z , giải tìm a, b, c theo x, y, z thay vào BĐT nhằm thay đổi dạng? Tôi đã thử và thất bại (cũng chỉ vì tính đối xứng b với a, c không có?). Vì bậc tử và mẫu mỗi phân thức bằng nhau nên thử viết 
 (cần lưu ý a và c có vai trò như nhau).
(việc viết này giúp ta đánh giá được theo Svac-xơ và hy vọng kết quả đánh giá có mẫu là T).
Muốn vậy ta cần tìm m, n, để 
Suy ra cần chọn m, p thỏa mãn : 
Tới đây ta cần tìm k sao cho 
Ta có lời giải sau:
2- Tiểu kết 2: 
Chúng ta cùng nhìn lại các ví dụ vừa đưa ra. Để sử dụng BĐT Svac-xơ, kinh nghiệm của tôi là cần thành thạo hai kỹ năng cơ bản sau:
Một: Viết hoặc đánh giá tử các phân thức thành các bình phương đúng.
Hai: Kết hợp linh hoạt với BĐT Cô-si.
Dưới đây là một số bài tập vận dụng. 
3- Bài tập vận dụng.
Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
PHầN BA: KếT LUậN
I- KếT QUả và BàI HọC KINH NGHIệM.
	 Đầu năm học 2010-2011, tôi đã đăng ký với trường THCS Phù Cừ tiến hành nghiên cứu về nội dung “Đổi mới PPDH qua các kỹ thuật dạy học tích cực”. Trong những năm học qua, các chuyên đề về “Dạy học tích cực” đã có những đóng góp cho sự thành công của công tác đổi mới PPDH của trường THCS Phù Cừ. 
	Trong quá trình triển khai đề tài hướng dẫn học sinh tự học các chủ đề toán, để có được một tài liệu được học sinh đón nhận tôi đã rút ra những điều sau:
1. Phương châm: Đặt mình vào địa vị của học sinh, coi mình như “một cậu học trò” suy nghĩ tìm lời giải.
	2. Hiệu quả: Chọn nội dung phù hợp với đối tượng. Chọn cách suy nghĩ đơn giải nhất tiếp cận bài toán. 
	3. Khẩu hiệu “ Hãy làm cho bài toán nhảy múa như một cơ thể sống!
	4. Hình thức: Thân thiện, gần gũi.
* Một số kết quả việc triển khai đề tài
	Sau khi chuyên đề được nghiệm thu bước đầu, Hội đồng khoa học trường THCS Phù Cừ căn cứ hiệu quả chuyên đề đã đồng ý cho triển khai chuyên đề trong nhà trường. Hội đồng khoa học trường đã đánh giá về chuyên đề như sau: (trích biên bản nghiệm thu chuyên đề)
Ưu điểm
1. Báo cáo lí thuyết 
- Đảm bảo đầy đủ mục tiêu, cơ sở lí luận, cơ sở thực tiễn và nội dung chính của chuyên đề.
- Trình bày ngắn gọn, khoa học, có tính thuyết phục cao.
- Là hướng mới cho nghiên cứu về lý thuyết dạy học tích cực.
 2. Thực nghiệm	Kết quả kiểm tra đánh giá việc học sinh tự học chuyên đề “Bất đẳng thức quen thuộc” (thông qua các bài kiểm tra theo đề do nhóm toán ra) cho thấy: 67% học sinh nẵm vững nội dung chuyên đề trong đó có 12% hoàn thiện 90% số bài tập có trong tài liệu. Quá trình thực nghiệm cho thấy nội dung chuyên đề đã góp phần thúc đẩy ý thức tự học của học sinh. Chuyên đề được học sinh hào hứng đón nhận.
3. Kết quả triển khai chuyên đề:
4. ý nghĩa thực tiễn và tính khả thi
- Mang lại tính đột phá trong hoạt động chuyên đề, nêu cao tính nghiêm túc, 
chất lượng; chống tư tưởng hình thức, đối phó trong việc thực hiện các chuyên đề. 
Tạo ra hiệu ứng tâm lý tích cực trong mọi giáo viên.
- Tính khả thi của chuyên đề cao, có thể thực hiện tốt trong các điều kiện cơ sở vật chất khác nhau, không phụ thuộc vào phương tiện hiện đại.
- Lý thuyết chung của chuyên đề áp dụng được cho nhiều bộ môn khác.
Tồn tại
- Chưa chỉ rõ một giải pháp tương đối cho các đối tượng học sinh đại trà (một khi chuyên đề được nhân rộng).
- Trong một số nội dung chưa thực sự “thanh thoát” trong tư duy.
II- Khuyến NGHị và Đề XUấT
 1. Đối với nhà trường
Tiếp tục được triển khai đề tài này trong năm tới, tiến tới hoàn thiện đề tài áp dụng cho các bộ môn khác.
 2. Đối với Phòng giáo dục và Đào tạo
 Thường xuyên tổ chức các chuyên đề về PPDH cho các nhà trường
 Triển khai rộng các đề tài đạt giải hàng năm bằng nhiều hình thức để các nhà trường tham khảo, góp ý xây dựng hoàn thiện.
III- KếT LUậN
Tuy phương pháp tự học đã có từ lâu đời những đó là một phương pháp rất có hiệu quả cho việc học tập.Không quá lời khi ta khẳng định rằng tự học là chìa khóa, là con đường đưa ta đến thành công...Vị lãnh tụ vĩ đại của dân tộc Việt Nam ta Hồ Chí Minh cũng đã từng nỗ lực tự học, Bác đã tự say mê tìm tòi học hỏi và đã thành công. Bác là một tấm gương vĩ đại về tự học. Tự học là cách tốt nhất giúp ta tiến bộ hơn trong học tập, mang lại một kết quả học tập cao nhất có thể. Nếu biết nỗ lực tự học, chúng ta sẽ thành công, sẽ mở được một tương lai rộng mở cho chính mình. 
Phù cừ, ngày 20 tháng 4 năm 2012
Người thực hiện
Bùi Đăng Thương
Tài liệu tham khảo
1) Tài liệu tập huấn giáo viên dạy học, KTĐG theo chuẩn KTKN trong chương trình giáo dục phổ thông- (Vụ giáo dục trung học- Tháng 7/2010)
2) Một số vấn đề đổi mới PP dạy học môn toán THCS - (Tôn Thân - Phan Thị Luyến - Đặng Thị Thu Thủy)
3) Dạy và học tích cự. Một số phương pháp và kỹ thuật dạy học (Bộ giáo dục và Đào tạo, dự án Việt-Bỉ, NXB Đại học Sư phạm)
4) Các bài giảng về Bất đẳng thức Cô-si- (NXB Đại học Quốc gia Hà nội)
5) Tạp chí hàng tháng Báo Toán học & tuổi trẻ.
6) Dạy học ngày nay - Geoffrey petty (bản dịch của dự án Việt - Bỉ BGD&ĐT 2003)