Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải các bài toán về phân số tối giản

iải khác nhau để các em thấy được sự phong phú trong giải toán 
Giải: 
a, Cách 1 
Theo thuật toán Euclide: ƯCLN( n ; n + 1) = UCLN (1; n + 1) = 1 
 do đó là phân số tối giản ( áp dụng thuật toán Euclide)
Cách 2: Giả sử ƯCLN( n; n +1) = d khi đó (n + 1) d và n d suy ra 1 d (tính chất chia hết của một tổng) vậy thì d = 1 nên là phân số tối giản
Cách 3: Ta có: = mà là PSTG vì ƯCLN(1; n) = 1 nên tối giản do “Tổng, (hiệu) của một số nguyên với một PSTG là một PSTG”(Về thực chất đây cũng là thuật toán Euclide).
b, Giải tương tự.
 	Với bài toán này có nhiều hướng khai thác, tuy nhiên nhằm vừa khai thác vừa củng cố kiến thức thì đến đây GV có thể hướng dẫn HS tiếp tục khai thác theo hướng sau:
? Nếu đổi tử cho mẫu ta có phân số nào? Hãy nêu bài toán mới?
Với sự hướng dẫn đó HS hoàn toàn tự tin nêu bài toán mới:
Bài 1.3’: Chứng minh rằng các phân sau là phân số tối giản 
a, (Với n là số tự nhiên khác 0)	b, (Với n là số tự nhiên khác 0 và 1)
 Bài toán này HS hoàn toàn tự giải quyết được với việc áp dụng nhận xét: 
“ tối giản thì cũng tối giản”	
Với bài toán này GV tiếp tục yêu cầu HS nêu các cách hỏi khác nhau để có bài toán cùng bản chất nhằm tiếp tục rèn luyện kỹ năng ngôn ngữ cho HS. Chẳng hạn: 
Tìm ƯCLN(n; n+1) với n N*
Chứng minh rằng ƯCLN(n; n+1) = 1 với n N*
Chứng tỏ rằng n và n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau. Với n N*
Tử và mẫu của phân số (n N*) có thể cùng chia hết cho số tự nhiên nào?
.
Trên cơ sở của bài toán 1.1, nếu thay đổi số nguyên đem cộng vào hoặc kết hợp các kiến thức đã được ôn tập từ sơ đồ 1 các em sẽ thu được nhiều bài toán khó hơn và rất thú vị. Lúc này HS thật sự vào cuộc hăng hái và thích thú. Kết quả là có nhiều bài toán mới khác nhau được nêu lên. Chẳng hạn: 
Bài 1. 4 Chứng minh rằng với n Z các phân số sau tối giản.
a, ( n khác 0) (HS lấy nghịch đảo của tổng )
b, (HS đã suy luận từ là PSTG nên cũng là PSTG)
c, (HS lấy nghịch đảo của tổng )
Việc trình bày lời giải lúc này trở nên nhẹ nhàng hơn nhiều đối với các em.Do đó các em thấy rất tự tin. (Xin miễn trình bày lời giải cho bài toán này)
	Với đối tượng HS có khả năng tư duy tốt, GV có thể mạnh dạn khai thác sâu hơn bằng cách sau:
+Dành cho HS khá giỏi khai thác:
? Từ phân số là PSTG nếu cộng thêm một số tự nhiên bất kỳ nào đó dưới dạng tổng quát thì có bài toán sẽ khó hơn, hay hơn. 
Kết quả là một số em khá giỏi đã cộng thêm số nguyên dạng n; 2n; n2 ... vào và thu được bài toán:
Bài 1.5: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản: 
a, (với mọi n Z, n khác 0) - (kết quả của )
b, (Lấy nghịch đảo của )
c, (với mọi n Z) - (Lấy nghịch đảo của n + ) 
d, (với mọi n Z, n khác 0) - (kết quả của nghịch đảo của )
e, (Kết quả của )
 	Trên đây là các bài toán của cùng một dạng được đưa ra và hướng dẫn HS lần lượt khai thác từ mức độ thấp đến cao dần phù hợp với trình tự nhận thức học sinh, vừa làm cho học sinh thích ứng dần với dạng toán vừa gây được sự thích thú, lôi cuốn kích thích sự tìm tòi đồng thời cũng là một cách khai thác sâu hơn bài toán chứng minh phân số tối giản và rèn luyện được khả năng diễn đạt cho các em.
	Ngoài ra, cũng cần để ý đến một số sai lầm mà các em hay mắc phải để giúp các em tháo gỡ. Chẳng hạn khi gặp bài toán sau:
Bài 1.6: Cho a là số tự nhiên chia 4 dư 3. Phân số có là PSTG không?	
Phân tích: Nếu ƯCLN (a; a+2) = d thì a d và a +2 d do đó 2 d nên d = 1 hoặc d = 2. Đến đây, sai lầm mà HS mắc phải là quên yếu tố a là số tự nhiên chia 4 dư 3. Vì thế khi tìm được d = 1 hoặc d = 2 HS đã vội vàng kết luận không phải là phân số tối giản. 
Giải: Gọi ƯCLN (a; a+2) = d thì a d và a +2 d do đó 2 d nên d = 1 hoặc d = 2. Vì a là số tự nhiên chia 4 dư 3 nên a là số lẻ nên d chỉ có thể bằng 1. 
Vậy phân số là PSTG. 
Sau khi giải các bài toán dạng 1, GV cần chốt lại các hướng khai thác từ bài toán ban đầu thành các bài toán mới cùng dạng và cho HS rèn luyện giải và khai thác thông qua hệ thống bài tập đề xuất . Tôi đã sử dụng thành công việc chốt vấn đề bằng sơ đồ sau: (Sơ đồ 3)
Sơ đồ 3
KHAI THÁC TỪ BÀI TOÁN CHỨNG MINH PHÂN SỐ TỐI GIẢN
Tổng , hiệu của một số nguyên với phân số tối giản
Nghịch đảo của PSTG là PSTG
Phát biểu dạng khác
Số nguyên cụ thể +PSTG
Số nguyên cụ thể -PSTG
 PSTG - Số nguyên cụ thể 
 Số nguyên tham số + PSTG 
 Số nguyên tham số - PSTG 
Đơn thuần đổi tử cho mẫu 
Đổi tử cho mẫu và đổi dấu phân số
Tử và mấu có ước chung nào? 
Tìm ƯCLN 
Chứng minh ƯCLN bằng 1 
Chứng minh nguyên tố cùng nhau 
* Đề xuất bài toán tương tự yêu cầu HS tự luyện giải và khai thác:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau:
 a. Hai số lẻ liên tiếp 
 b. 2n + 1 và 3n + 1 
 c. 21n + 4 và 14n + 3
Bài 2: Chứng minh các phân số sau tối giản
a. ( Với n khác 0 và - 1) b. (Với n là số tự nhiên)
Khi HS đã nắm bắt một cách chắc chắn các dạng toán điển hình, tôi mạnh dạn hướng dẫn HS khai thác các dạng toán liên quan.
Dạng 2: Tìm tham số n để phân số tối giản.
* Chọn một số bài tập điển hình, hướng dẫn học sinh giải và khai thác
Trước hết GV nêu một bài toán đơn giản mà HS có thể tự giải được
Bài 2.1: Tìm tất cả các số nguyên n để (n khác 1) là phân số tối giản.
Giải: Để (n khác 1) là PSTG ta phải có ƯCLN( n – 1; 7 ) = 1 
Vì 7 là số nguyên tố do đó nếu ƯCLN( n - 1, 7 ) 1 thì 
hay n – 1 = 7k (k Z, k khác 0 ) do đó n = 7k + 1 ( k Z, k khác 0) 
nên ƯCLN( n – 1; 7 ) = 1 khi n 7k + 1 ( k Z)
Phân tích: Vì nếu là PSTG thì cũng tối giản tức là cũng tối giản do đó GV có thể hướng dẫn HS khai thác theo hướng đã nêu ở dạng 1 để có bài toán mới sau:
Bài 2.2: Tìm tất cả các số nguyên n để (n khác 1) là phân số tối giản.
Lược giải: Vì = nên (n khác 1) là PSTG khi là PSTG là phân số tối giản (Tiếp tục như bài toán 2.1)
 Hoàn toàn có thể khai thác bài toán theo các bước đã làm đối với dạng 1 HS đã nêu được một số bài toán mới. Chẳng hạn:
Bài 2.3: Tìm tất cả các số nguyên n để các phân số sau là phân số tối giản.
a, (Kết quả của )
b, (Kết quả của )
c, (Kết quả của )
d, (Kết quả của nghịch đảo của )
Để đánh giá được mức độ tiếp thu của HS có thể cho HS thực hành giải và khai thác trên bài toán cụ thể. Chẳng hạn:
Bài 2.4: Tìm tất cả các số nguyên n để phân số là phân số tối giản.
Hãy giải và đề xuất cách khai thác bài toán mới?
Giải: Vì 3 là số nguyên tố nên là PSTG khi 2n + 3 không chia hết cho 3. Do 3 3 nên 2n 3 khi n 3 hay n 3k (k là số nguyên).
 Sau khi giải HS đã đề xuất tốt các bài toán mà các em khai thác được. Chẳng hạn: 
Bài 2.5: Tìm tất cả các số nguyên n để các phân số sau là phân số tối giản.
a, (Kết quả của )
b, (Kết quả của )
 .....
Lưu ý: Với các bài toán dạng 2, GV vẫn tiếp tục yêu cầu HS nêu các cách diễn đạt câu hỏi khác nhau. Chẳng hạn:
+ Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau
+ Tìm số tự nhiên n để các phân số đã cho là PSTG
+ Với những giá trị nào của số tự nhiên n thì phân số đã cho không rút gọn được nữa
* Đề xuất bài toán tương tự yêu cầu HS tự luyện giải và khai thác
Bài 1. Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau:
 a. 4n + 3 và 2n +3
 b. 7n + 13 và 2n + 4
Bài 2. Tìm số tự nhiên n để:
a, Phân số là PSTG.
b, Phân số là PSTG.
	Nếu bài toán dạng 2 yêu cầu tìm tham số n để phân số tối giản thì ngược lại với bài toán dạng 2 là bài toán rất thường xuyên gặp trong chương trình toán lớp 6 cũng như sau này trong các đề thi thường được khai thác:
Dạng 3: Tìm tham số n để phân số không tối giản hoặc có giá trị là một số nguyên, một số tự nhiên
* Chọn một số bài tập điển hình, hướng dẫn HS giải và khai thác
Cũng làm tương tự như trên, GV nêu một bài toán đơn giản mà HS có thể tự giải được. Có thể vận dụng ngay bài toán 2.1 và thay đổi yêu cầu để có bài toán khác: 
Bài 3.1: Tìm tất cả các số nguyên n để (n khác 1) là phân số chưa tối giản.
Giải: Để (n khác 1) không là PSTG ta phải có ƯCLN( n – 1; 7 ) 1 
Vì 7 là số nguyên tố do đó nếu ƯCLN( n - 1, 7 ) 1 thì 
hay n – 1 = 7k (k Z, k khác 0 ) do đó n = 7k + 1 ( k Z, k khác 0) 
Hoàn toàn có thể dùng cách khai thác bài tập như đã khai thác ở dạng 2 và nêu câu hỏi để có bài toán dạng 3. Khi giải chỉ cần HS nắm vững yêu cầu của bài toán để điều chỉnh lời giải.Chẳng hạn:
Bài 3.2: Tìm tất cả các số nguyên n để các phân số sau là phân số chưa tối giản.
a, b, c, d, 
 Nếu chỉ xét trường hợp tử chia hết cho mẫu thì có thể nêu bài toán dưới dạng sau:	
Bài 3.2: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho mỗi phân số sau trở thành một số nguyên : 
Giải:
 	 a, là một số nguyên khi x khác 0 và là ước số của 9. 
Do đó x {}
	b, là một số nguyên khi x+2 khác 0 và là ước số của 15. 
Do đó x + 2 {} 
Lập bảng:
x+2
-15
-5
-3
-1
1
3
5
15
x
-17
-7
-5
-3
-1
1
3
13
 Vậy là một số nguyên khi x {-17;-7;-5;-3;-1;1;3;13}
Lưu ý: HS lớp 6 mới làm quen với số nguyên âm nên nếu các em đọc không kỹ đề bài sẽ dẫn đến chỉ xét các ước tự nhiên của tử do đó GV cần nhấn mạnh giúp HS tránh thiếu sót khi làm bài.
Đến đây, GV hoàn toàn có thể yêu cầu HS khai thác đề bài trên để có bài toán tương tự. Chẳng hạn:
Bài 3.3: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho mỗi phân số sau trở thành một số nguyên : 
a. (Kết quả của 2+ )
b. (Kết quả của 3 + )
c. (Kết quả của 5x + ) ..
* Đề xuất bài toán tương tự yêu cầu HS luyện giải
Bài 1: Có thể rút gọn phân số cho những số nguyên nào?
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số rút gọn được.
Bài 3: Tìm số tự nhiên n để 2n + 3 và 4n + 1 là hai số có ƯCLN khác 1.
Nhấn mạnh các cách nêu yêu cầu khác nhau đối với bài toán dạng này như:
+ Tìm số tự nhiên n để các phân số đã cho có thể rút gọn được
+Tìm số tự nhiên n để hai số cho trước có ƯCLN khác 1
+ Tìm số tự nhiên n để các phân số đã cho nhận giá trị nguyên
	.....
 Trong thực tế giải toán ta còn gặp những phân số chỉ tối giản khi đi kèm với một điều kiện khác. Do đó với đối tượng HS khá giỏi, GV mạnh dạn cho các em tiếp xúc với dạng toán này:
Dạng 4: Chứng minh phân số tối giản với điều kiện cho trước
	Đây là dạng bài khó, trừu tượng nên GV cần chú ý dẫn dắt sao cho phù hợp với đối tượng HS của mình.
*Chọn một số bài tập điển hình, hướng dẫn HS giải và khai thác
Phân tích: Áp dụng nhận xét tổng, hiệu của một số nguyên với một phân số tối giản là phân số tối giản. Xuất phát từ một phân số tối giản ban đầu dưới dạng tổng quát chẳng hạn . Tiếp tục khai thác theo hướng trên, GV cho HS cộng thêm một số nguyên bất kỳ để tạo ra bài toán mới. Để bài toán mở đầu đơn giản GV hướng dẫn HS cộng thêm 1 đơn vị để có phân số tối giản . Khi đó HS tự khám phá được bài toán mới một cách thú vị. 
Bài 4.1: Cho phân số tối giản chứng minh rằng phân số tối giản 
 (Như vậy HS hiểu rõ điều kiện kèm theo của bài toán là phân số tối giản)
HS có thể chứng minh theo cách đã khai thác
Cách 1: 
 = Do tối giản nên phân số tối giản vậy tối giản 
Ngoài ra cũng nên cho HS tiếp cận với phương pháp chứng minh phản chứng như đã giới thiệu ở trên.
Cách 2: Phản chứng
 Giả sử không tối giản suy ra 
ƯCLN ( p + q ; q ) = d khác 1 nên p + q d và q d 
hay ƯCLN ( p,q) = d khác 1. Như vậy trái với đề bài đã có tối giản vậy là phân số tối giản.
Dựa trên cách khai thác đó HS đã đề xuất được một loạt bài tương tự và hoàn toàn tự giải được, chẳng hạn như:
Bài 4.2 Cho phân số tối giản chứng tỏ rằng các phân số sau tối giản:
a. hay ( Kết quả của )
b. ( Kết quả của ) 
c. ( Kết quả của ) (m là số nguyên) ....
Mặt khác, nếu phân số không tối giản thì ƯCLN (p;q) = d (d khác 1). Có thể yêu cầu học sinh tìm ƯCLN (p+q; q) từ đó đề xuất bài toán mới như sau:
Bài 4.3 Chứng tỏ rằng: ƯCLN (p;q) = ƯCLN (p+q; q).
Giải: Gọi ƯCLN (p;q) = d. Khi đó d \ p và d \ q suy ra d\ p + q. Nên ƯCLN (p+q; q) = d hay ƯCLN (p;q) = ƯCLN (p+q; q).
Đối với HS có khả năng tư duy tốt hơn GV có thể nêu bài toán khó hơn dưới dạng câu hỏi khác. Chẳng hạn:
Bài 4.4: Cho phân số tối giản xét xem phân số có là phân số tối giản không?
	GV có thể hướng dẫn HS như sau:
? Để xét phân số có là phân số tối giản hay không ta cần làm thế 
nào? (Tìm ƯCLN ( 11a + 2b; 18a + 5b) = d và kết hợp với cơ sở tối giản để để xem xét sau khi đã tìm được d)
Giải: : 
 Gọi d = ƯCLN ( 11a + 2b; 18a + 5b) thì 11( 18a + 5b) d Và 18.(11a + 2b) d 
suy ra 11.18a + 55b d và 18.11a + 36b d do đó 19b d nên b d hoặc 19d
+ Nếu b d ta có 5.( 11a + 2b) d và 3.(18a + 5b) d Nên a- 5b d 
Vì b d nên 5bd suy ra ad và do tối giản nên d = 1 (*)
+ Nếu 19 d thì d = 19 hoặc d = 1 (**)
Từ (*) và (**) suy ra hoặc tối giản hoặc rút gọn được cho 19 
* Đề xuất bài toán tương tự yêu cầu HS luyện giải và khai thác
Bài 1: Chứng minh rằng
a, ƯCLN(5a+3b; 13a + 8b)= ƯCLN(a; b)
b, ƯCLN(a; a + b) = ƯCLN(a; b)
c, ƯCLN(a; a - b) = ƯCLN(a; b)
Bài 2: Nếu a,b,c lẻ thì ƯCLN(a; b; c)= ƯCLN()
Bài 3: Cho là phân số tối giản, xét xem phân số có tối giản không?
Bài 4: Chứng minh rằng 5n2 + 1 6 thì và tối giản
Một dạng bài toán nữa về phân số tối giản mà học sinh được gặp trong chương trình với các cách giải khác nhau tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể. Loại toán này góp phần rèn luyện cho HS khả năng tư duy linh hoạt, óc sáng tạo trong khi làm toán.
Dạng 5: Tìm phân số tối giản thỏa mãn điều kiện cho trước
*Chọn một số bài tập điển hình, hướng dẫn HS giải và khai thác
Bài 5.1 Tìm phân số tối giản mà gía trị của nó không đổi khi cộng thêm tử với 4, mẫu với 10.
Với bài toán cụ thể này GV định hướng cho HS bám sát đề bài để giải quyết bài toán.
? Khi cộng thêm tử với 4, mẫu với 10 vào phân số ta được phân số nào? ()
? Lúc này quan hệ giữa hai phân số như thế nào? ( = )
? Từ tính chất hai phân số bằng nhau đã học ta có điều gì? ( a(b+10) = b(a+4) )
? Hãy tìm 
Giải: 
Khi cộng thêm tử với 4, mẫu với 10 vào phân số ta được phân số 
Lúc này ta có: = 
Từ tính chất hai phân số bằng nhau đã học ta có a(b+10) = b(a+4) 
Suy ra 10a = 4b nên = = 
Bài 5.2 Tìm phân số tối giản biết rằng khi cộng mẫu vào tử và cộng mẫu vào mẫu thì phân số đó tăng lên gấp 2 lần.
 Giải: Gọi phân số cần tìm là ta có: giảm 2 lần so với 
Mà tăng gấp 2 lần suy ra a + b = 4a nên b = 3a. Do đó = 
Với loại bài toán này GV có thể cho HS chọn một phân số tối giản ban đầu, sau đó tiến hành thêm, bớt ở tử, ở mẫu để có phân số mới. Sau khi nhận xét về quan hệ giữa tử và mẫu của phân số mới hoặc quan hệ giữa phân số mới với phân số ban đầu sẽ giúp HS xây dựng được bài toán mới.
Chẳng hạn: Từ phân số tối giản ban đầu là giả sử đem cộng tử với mẫu để có tử mới và lấy mẫu trừ tử để có mẫu mới ta thu được kết quả là 4. Chú ý một chút về số 4 lại thấy 4 là số chính phương chẵn bé nhất.Như thế ta có bài toán hay và thú vị sau:
Bài 5.3 Tìm một phân số tối giản biết rằng khi cộng mẫu vào tử và lấy mẫu trừ tử thì được một số chính phương chẵn bé nhất.
 Với cách khai thác như thế học sinh hoàn toàn chủ động với lời giải và say sưa khai thác để có những bài toán mới khó và hay tùy thuộc vào cách khai thác của mỗi em.
* Đặt yêu cầu HS luyện giải và khai thác bài toán
Bài tập: Hãy chọn một phân số tối giản bất kỳ, bằng sáng tạo của mình hãy xây dựng bài toán mới thuộc dạng trên
Đây là một bài tập với yêu cầu cao và là bài toán mở nên HS rất phấn chấn khi thực hiện. Tôi đã thành công khi áp dụng thủ thuật sư phạm sau: Mỗi nhóm HS xây dựng một đề bài và yêu cầu nhóm bạn mình giải.Thao tác này không những phát huy tính tích cực sáng tạo trong các em mà còn nâng cao được tinh thần đoàn kết tập thể, hợp tác nhóm.
Bài toán về phân số tối giản rất đa dạng và nhiều hướng khai thác. Song nhằm đảm bảo tính vừa sức và phù hợp với đối tượng thử nghiệm là học sinh lớp 6, trong phạm vi đề tài này tôi chỉ dừng lại ở đây. Đồng nghiệp có thể tiếp tục khai thác thêm để làm rõ hơn sự phong phú và đa dạng của loại toán cũng như các cách khai thác, làm đẹp thêm những bài toán liên quan đến phân số tối giản và tạo được sự hứng thú cho HS cũng như chính bản thân mình.
	KẾT LUẬN
 KẾT QUẢ SỬ DỤNG KINH NGHIỆM 
* Qua một số năm áp dụng kinh nghiệm này để giảng dạy cũng như bồi dưỡng học sinh khá giỏi, tôi nhận thấy khả năng giải dạng toán về PSTG của HS tiến bộ rất nhanh.
Trong khi ôn tập và rèn luyện dạng toán này HS rất hứng thú tích cực và tự giác cố gắng làm tốt các bài toán mà GV nêu theo mức độ phù hợp với khả năng nhận thức của bản thân. 
Ngoài ra các em còn tỏ ra có sự lựa chọn trong cách giải và biết cách huy động lượng kiến thức cần thiết phục vụ cho bài toán cụ thể. Đối với các em HS khá giỏi, khả năng khai thác dạng toán của các em nâng lên rõ rệt. Không những thế khả năng tự ôn tập hệ thống các kiến thức cơ bản của các em được hình thành và trở thành thói quen đối với nhiều dạng toán khác nhau kích thích được khả năng sáng tạo, học tập tích cực trong HS, đáp ứng với đòi hỏi của chương trình và yêu cầu của đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. 
 	Hiệu quả của đề tài được thể hiện rõ nét thông qua thống kê theo dõi HS như sau:
Năm học
2005 -2006
(Chưa sử dụng đề tài)
2006 -2007
(Sử dụng đề tài)
2007 -2008
(Sử dụng đề tài)
2008 -2009
(Sử dụng đề tài)
2009 -2010
(Sử dụng đề tài)
2010 -2011
(Sử dụng đề tài)
2011 -2012
(Sử dụng đề tài)
% HS giải được
20%
40%
45%
50%
56%
62%
65%
% HS biết khai thác
0%
10%
15%
17%
20%
23%
25%
Khi đưa đề tài ra thảo luận, thể nghiệm ở nhóm, tổ cách làm này được đồng nghiệp đánh giá cao và đưa vào áp dụng giảng dạy cho các đối tượng HS lớp 6 của trường tùy theo mức độ tiếp thu của các em. Đề tài cũng đưa vào áp dụng rất tôt sử dụng như một chuyên đề giảng dạy bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi
 ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ.
	Để thực hiện đề tài trên mang lại hiệu quả tối ưu cần chú ý các điểm sau:
	1. GV cần tìm hiểu và nắm vững khung chương trình Toán THCS để từ đó đưa ra cho học sinh các bài tập, các ví dụ phù hợp đảm bảo tính vừa sức với đối tượng HS lớp 6.
	2. GV cần nắm vững khả năng thực tế của học sinh từ đó có sự điều chỉnh hợp lý hệ thống câu hỏi dẫn dắt cũng như khai thác phù hợp với đối tượng HS của mình nhằm mang lại hiệu quả cao nhất.
3. GV không "rót" kiến thức và phương pháp cho các em khiến các em thụ động, thiếu tìm tòi sáng tạo.Cần kiên trì tìm chọn cách xây dựng kiến thức cũng như phương pháp để các em có cơ hội được tự khám phá.
4. Nếu điều kiện cho phép GV có thể thực hiện như một chuyên đề bồi dưỡng Toán cho học sinh khá giỏi.
5. Đối với HS, để đạt được kết quả tốt cần nghiêm túc thực hiện các yêu cầu mà GV nêu. Tự mình hoàn thành sơ đồ hệ thống kiến thức theo ý bản thân nhằm phát huy cũng như thể hiện hết khả năng sáng tạo của bản thân.
6. Nhà trường tạo điều kiện về mặt thời gian cũng như quan tâm đến công tác tổ chức triển khai thực hiện thể nghiệm để hoàn thiện hơn nữa nhằm hình thành được phương pháp tốt nhất để đem lại kết quả cao nhất có thể.
	Bài toán về PSTG và các phương pháp giải rất đa dạng, phong phú và có nhiều khai thác thú vị, mỗi người thầy có môt cách làm khác nhau nhưng với cách làm nêu trên và sự bền bỉ đúc rút kinh nghiệm của người thầy cùng với những thành công bước đầu khích lệ tôi khái quát thành phương pháp “Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải các bài toán về phân số tối giản”.
Không dễ dàng gặt hái được mùa vàng trong ngày một ngày hai. Thành quả có được phải là sự cố gắng bền bỉ để tích tiểu thành đại, chuyển lượng thành chất. Song tôi tin tưởng rằng không có sự cố gắng nào là vô nghĩa.
 	Với kinh nghiệm ít ỏi trong công tác chuyên môn nhưng với sự nhiệt tình vì chất lượng học tập của học sinh thân yêu, tôi đã viết ra những cách làm, hướng suy nghĩ của bản thân và không thể tránh khỏi thiếu sót. Vì thế tôi rất mong cũng có nhiều đồng nghiệp và các cấp chuyên môn quan tâm đến vấn đề này đồng thời góp ý bổ sung để tôi có hướng đi tốt hơn trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng toán cho học sinh.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa toán THCS các lớp 6. Nhà xuất bản Giáo dục.
2. Ngô Tấn Lực - Chuyên đề bồi dưỡng chuyên toán cấp 2,3. 
3. Nguyễn Bá Kim - Phương pháp giảng dạy môn toán, NXB Đại học sư phạm, 2004.
4. Nhóm tác giả: Lê Văn Hồng - Phạm Đức Quang - Nguyễn Thế Thạch - Nguyễn Duy Thuận - Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên THCS chu kì III ( 2004 - 2007), NXB Giáo dục, 2007.
5. Hoàng Chúng - Giúp em giỏi toán 6, NXBGD 1997.
6. Nguyễn Vũ Thanh - Chuyên đề bồi dưỡng HS giỏi toán THCS Số học, NXBGD 2005.