Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh khai thác bài toán hình học lớp 9 để tìm ra bài toán mới

PHẦN MỞ ĐẦU
I. Bối cảnh của đề tài:
	Trong quá trình dạy toán ở trường THCS, tôi thấy đa số học sinh khi giải bài tập hình học thường bằng lòng với cách giải mà mình đã tìm được, rất ít khi các em suy nghĩ tìm tòi cách giải khác hoặc đặt ra các tình huốmg cho bài toán đã giải để từ đó có thể tìm ra các bài toán có liên quan. Vì thế trong khi giải toán hay trong các giờ dạy tôi thường hướng dẫn để hoc sinh phân tích đề bài , cách giải đặt ra các tình huồng cho bài toán thì thấy các em tìm thêm được cách giải khác và phát hiện ra những bài toán mới rất hay, làm như thế các em khắc sâu được bài giải, nhớ lâu các kiến thức đã vận dụng , rèn luyện kỹ năng giải toán cũng như tính tư duy, sáng tạo cho các em.
II. Lý do chọn đề tài:
	Đối với học sinh THCS, môn hình học là phân môn mang tính trừu tượng và mới lạ. Hầu hết với học sinh đại trà, các em nắm kiến thức hình học trên cơ sở hết sức rời rạc, chưa đủ khả năng khái quát hoá kiến thức đã học do đó các em chưa định hình được kiến thức bộ môn. Hơn nữa học môn hình học đòi hỏi không những nắm chắc kiến thức cơ bản ngay sau mỗi bài học cụ thể, vận dụng lý thuyết vào bài tập mà còn đòi hỏi hệ thống kiến thức trước đó một cách hệ thống, liên tục và đặc biệt là tư duy lôgíc. Vì vậy việc vận dụng lý thuyết vào bài tập gặp rất nhiều khó khăn. Hơn nữa trong ba phân môn toán ở bậc THCS, môn hình học có tính trừu tượng cao. 
	Có một lí do thường gặp là học sinh chỉ giải xong bài toán - tức là đóng tròn vai (như thế đã là tốt với học sinh học môn hình học) coi như đã hoàn thành mà rất ít em tư duy khai thác bài toán, nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau để phát triển nó thành bài toán khác.
	Trong đề tài này, với khả năng và kinh nghiệm của bản thân tôi muốn rằng: Từ một bài toán quen thuộc trong sách giáo khoa Hình học lớp 9 qua một số thao tác thay đổi một vài yếu tố hoặc đưa nó thành bài toán tổng quát hoá; hoặc đặc biệt hoá nhằm phát triển tư duy hình học của học sinh. Ta sẽ cung cấp được nhiều điều lí thú cho học sinh trong quá trình giảng dạy. 
III.Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
	-Phạm vi của đề tài tôi chỉ mong muốn trong mỗi giờ lên lớp tiết hình học, thông qua các bài tập trong SGK, sách bài tập, sách nâng cao.
	-Thời gian thực hiện của đề tài: Sau khi kết thúc năm học 2019-2020 tôi rút kinh nghiệm và nêu ý tưởng thực hiện đề tài.
	-Đối tượng khảo sát là học sinh lớp 9 với mức độ tư duy ở mức trung bình ở lớp trực tiếp đang dạy và lớp khác trong trường.
 IV. Mục đích của đề tài:
Trong đề tài này trước hết nhằm củng cố kiến thức cơ bản cho học sinh, giúp cho học sinh có kĩ năng cơ bản để giải bài toán hình học, từ đó phát huy tính tư duy sáng tạo của học sinh.
	Thứ hai thông qua khai thác bài toán giúp các em biết nghiên cứu sâu bài toán bằng cách cho các em tập dượt dùng một số thao tác tư duy: Khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự, để tự mình đặt , thay đổi bài toán từ bài toán ban đầu.
 V. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu:
	Đề tài đưa ra được sự đổi mới về phương pháp giảng dạy loại bài luyện tập trong tiết luyện tập một cách nhẹ nhàng, giúp học sinh cảm thấy một giờ luyện tập không nặng nề, nhàm chán, khô khan, khuôn mẫu mà đã làm cho học sinh phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo trong giờ học trên lớp. 
PHẦN NỘI DUNG 
 I.Cơ sở khoa học:
	Như chúng ta đều biết, khi mới xuất hiện, hình học là một khoa học về đo đạc, qua một số các đối tượng, vật cụ thể trong thực tiễn đã dần dần được khái quát thành những khái niệm trừu tượng: Với 3 khái niệm cơ bản không được định nghĩa: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng. Từ đó môn hình học dần dần trở thành một môn khoa học suy diễn, tức là môn khoa học mà những kết luận đúng đắn đều được chứng minh bằng lập luận chặt chẽ chứ không bằng cách qua thực nghiệm như những môn khoa học thực nghiệm khác. 
	Môn hình học bản thân mang tính lập luận, tính trừu tượng cao. Nhưng để học sinh tiếp thu được, hiểu được nhiều khi chúng ta phải dùng trực quan thông qua mô hình, hình vẽ, vật cụ thể, để học sinh nắm bắt và hiểu bản chất của vấn đề. Điều đó rất đúng bởi quá trình tư duy của con người bao giờ cũng tuân theo quy luật đó
	Trong quá trình dạy học môn Toán người giáo viên cần thấm nhuần nguyên lí giáo dục: "Học đi đôi vời hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội".
	Thông qua môn toán, học sinh tiếp cận và tiếp thu các môn học tự nhiên khác. Bởi dạy môn Toán cho học sinh không những truyền thụ kiến thức cho các em mà quan trọng hơn là dạy tư duy.
 II.Thực trạng của vấn đề 
	Trong quá trình giảng dạy môn toán bậc THCS, với nhiều năm trong nghề tôi thấy tình trạng chung là học sinh không thích thậm chí là sợ môn hình. Vì lí do khó hiểu, mắc trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán, mất phương hướng và không biết để chứng minh bài toán thì bắt đầu từ đâu, làm như thế nào.
	Trong quá trình giảng dạy môn hình ngay trong mỗi tiết học người thày không thường xuyên tạo thói quen, rèn thói quen cho học sinh dùng phương pháp phân tích đi lên để tìm lời giải bài toán 
	Nghiên cứu nguyên nhân, tôi thấy có mấy điểm dưới đây:
	1. Học sinh chưa nắm chắc những khái niệm cơ bản.
	2. Học sinh lười tư duy, trăn trở bài toán.
	3. Trong SGK các bài toán mẫu thường là ít, hướng dẫn gợi ý chưa thật đầy đủ nên khó tiếp thu và nghiên cứu.
	4. Học sinh thường chỉ học "Vẹt" các định lí và quy tắc.
	Trong các trường THCS hiện nay, tình hình phổ biến là đại đa số học sinh không thích học môn hình học. Điều này theo tôi nghĩ có thể là do nhiều nguyên nhân. Nhưng theo tôi là giáo viên chưa chuẩn bị một cách chu đáo một giờ luyện tập, thông qua đó củng cố kiến thức cơ bản cho học sinh, rèn kĩ năng vận dụng kiến thức vào bài tập, kĩ năng trình bày, hơn thế nữa rèn tính sáng tạo, phát triển tư duy toán học cho học sinh.
	Tôi xin được đề cập đến vấn đề: "Hướng dẫn học sinh khai thác bài toán hình học lớp 9 để tìm ra bài toán mới"
	Nội dung chính của bài viết tôi bắt đầu từ một số bài toán đơn giản trong chương trình lớp 9 bậc THCS rồi phát triển nó rộng ra ở mức độ tương đương, phức tạp hơn rồi cao hơn nhưng vẫn phù hợp với tư duy lôgíc của các em để tạo cho các em niềm say mê học tập môn toán đặc biệt là môn hình học.
 III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:
1. Xét bài toán là bài tập 56 trang 89 SGK toán 9 tập 2.
 	Cho hình vẽ. Tìm số đo các góc của tứ giác?
GV hướng dẫn giải bài toán:
	 +) Nếu tính được hoặc thì sẽ tính được ; ; tính được .
 Cách 1: Gọi 
 Ta có: ( Định lí góc ngoài của tam giác)
 ( Định lí góc ngoài của tam giác)
 Mà ( Định lí của tứ giác nội tiếp)
 hay 
Vậy 
 ( hai góc kề bù) 
 (hai góc đối của tứ giác nội tiếp) 
	 +) Áp dụng định lí tổng các góc của tam giác và định lí tứ giác nội tiếp ta có cách 2: 
Cộng (1) và (2) ta có: . Thay (3) vào ta được
Thay vào(1) 
Thay vào (2) 
Thay vào (4) 
	+) Ta thấy là các góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên ta có cách giải sau:
Cách 3: ( định lí về góc có đỉnh ở ngoài đường tròn)
 ( định lí về góc có đỉnh ở ngoài đường tròn)
 => 
Cộng (1) và (2) ta có: 
(định lí về góc nội tiếp)
Mặt khác: 
* Phân tích bài toán:
 ? Từ cách giải 1 em có nhận xét gì hai góc B và D
 ? Từ đó suy ra AC là gì cua đường tròn
 ? Khi đó ba điểm A, O, C có đặc điểm gì
	 +) Từ cách giải 1 ta thấy 
A, O, C thẳng hàng Ta có bài toán sau: 
 	Bài 1: Cho hình vẽ sau: 
	Chứng ming rằng ba điểm A,O,C thẳng hàng?
 Giải
 ( định lí về góc ngoài của tam giác)
 ( định lí về góc ngoài của tam giác)
Mà ( định lí về góc nội tiếp) (2)
Từ (1) và (2) AC là đường kính của đường tròn (O) 
 A,C,O thẳng hàng.
 ? Phát biểu mệnh đề đảo của bài toán 1
? Mệnh đề đó có đúng không
 ? Phát biểu thành bài toán
	+) Xét bài toán ngược của bài toán 1 ta có bài toán sau:
	Bài 2: Cho đường tròn(O) đường kính AB, trên hai nởa đường trònđường kính AB lấy hai điểm C và D sao cho AC và BD cắt nhau tại E, AD và CB cắt nhau tại F. Chứng minh ?
 Giải
( định lí về góc ngoài của tam giác)
 ( định lí về góc ngoài của tam giác)
( góc nt chắn nửa đường tròn)
? Khi góc E bằng góc F em có nhận xét gì tứ giác ECDF
? Đặt đề toán cho trường hợp này
	+) Từ bài 2 ta thấy 
=> tứ giác CDFE nội tiếp=>Ta có bài toán sau:
Bài 3:
 	Cho góc xAy khác góc bẹt, trên tia Ax lấy hai điểm C và E ( C nằm giữa A và E); trên tia AY lấy hai điểm D và F( D nằm giữa A và F). Chứng minh rằng khi và chỉ khi tứ giác CDFE nội tiếp ( B là giao điểm của CF và DE)
Giải
- Chứng minh => CDEF nội tiếp
 Gọi B là giao điểm của CF và DE
 Xét CBE và DBE có (gt)
 (đđ) CBE DBE
hay => CDFE nội tiếp.
 CDFE nội tiếp
CDFE nội tiếp(góc nt chắn cung EF)
Xét CBE và DBE có 
 (đđ)
 CBE DBE .
 ? Nếu gọi EG và FH lần lượt là phân giác của góc E và góc F thì tứ giác ABCD có đặc điểm gì
 ? Hãy chứng minh 
 ? Phát biểu thành bài toán rồi chứng minh
	+) Từ hình vẽ của bài toán đã cho ban đầu nếu gọi EG và FH lần lượt là phân giác của góc E và góc F ta có bài toán sau:
	Bài 4: Cho tứ giác ABCD noi tiep, kéo dài từng cặp cạnh đối chúng sẽ cắt nhau ở ngoài đường tròn và tạo thành hai góc. Chứng minh rằng hai tia phân giác của hai góc đó vuông góc với nhau.
 Giải:
 Ta có hình vẽ bên.
( Định lí góc ngoài của tam giác)(1)
( Định lí góc ngoài của tam giác)(2)
( FH là phân giác của góc F)(3)
( Hai góc kề bù)(4)
( Định lí tứ giác nt)(5)
Từ (4) và (5) (6)
Từ (1)(2)(3) và(6) 
EHL cân tại E có EI là phân giác EI cũng là đường cao 
Hay 
	+) Bài 4 ta đã chứng minh EHL cân tại E
Tương tự ta cũng chứng minh được FKG cân tại F. Khi đó EI là đường trung trực KH = KL; GH = GL
? Từ đó hãy đặt đề toán rồi chứng minh.
	Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp, kéo dài các cạnh đối AB và DC cắt nhau tại E; AD và BC cắt nhau tại F, tia phân giác của góc E cắt AD và BC lần lượt tại G và K, tia phân giác của góc F cắt AB; CD lần lượt tại H ; L. Chứng minh GHKL là hình thoi.
Giải.
	Ta chứng minh EHL cân tại E có EG là phân giác EG là trung trực của HL KH = KL; GH=GL(1)
Chứng minh tương tự FKG cân tại F có FH là phân giác FH là đường trung trực của GK KH = HG; GL = LK(2)
Từ (1) và (2) KH=KL=LG=GH GHKL là hình thoi.
 2. Xét bài tập 20 trang 76 sách bài tập toán 9 tập 2.
	Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (o) và M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Trên MA lấy điểm D sao cho MD=MB
Hỏi tam giác MBD là tam giác gì?
Sa sánh hai tam giác BDA và tam giác BMC
Chứng minh MA = MB+MC.
 Giải
 Hướng dẫn giải
	+)BMD cân rồi ta chỉ xét xem có thể là tam giác
 vuông hay là tam giác đều không . 
Mà BMD không có góc nào vuông
ta c/m BMD đều c/m 
MB=MD(GT) BMD cân tại M(1)
( hai góc nt cùng chắn cung BA)
Mà Hay (2)
Từ (1) và (2) BMD đều
	+) Để so sánh hai tam giác ta nghĩ ngay đến hai tam giác bằng nhau.
b) Xét BAD và BCM có AB = BC( ABC đều); ( cùng cộng với bằng ) ; BD = BM ( BMD đều) 
 BAD = BCM(cgc)
	+) Để c/m M = MB + MC ta c/m MD +DA = MB + MC
 <= MD = MB; AD = MC
c) BM = MD(gt); MC = AD (BAD = BCM c/m trên)
 MB + MC = MD + AD MB + MC = MA (đpcm).
	* Khai thác bài toán:
	+) Bài toán 2 nếu bỏ câu a,b ta có bài toán gọn hơn hãy phát biểu thành đề toán và chứng minh:
	Bài 1: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm (O), M là một điểm trên cung nhỏ BC. Chứng minh rằng MA = MB + MC.
 Việc giải bài 1 chính là giải bài toán 2. 
? Bài 1 còn có cách giải nào khác nữa không
	Ngoài ra bài 1 còn có cách giải sau:
Giải:
	Gọi I là giao điểm của AM với BC
	Ta có: MBI và MAC có ( hai góc nt 
chắn hai cung bằng nhau); ( hai góc nt
 cùng chắn cung MC)
=> MBI MAC (gg) tương tự 
 MB + MC = MA.
 +) Ta thấy MA là một dây cung của đường tròn (O) nến nó không lớn hơn đường kính của đường tròn đó .Khi đó MB + MC như thế nào.
 ? Hày tìm đề bài toán rồi chứng minh 
 Ta có bài toán sau:
	Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn(O;R) , M là một điểm trên cung nhỏ BC. Chứng minh rằng MB + MC 2R.
Giải
Theo bài toán 1 ta có MA = MB + MC mà MA là dây cung MA 2R
Vậy MB + MC 2R.
	+) Một câu hỏi đặt ra liệu bài toán đảo của bài toán 1 có giải được không?
 ? Xét mệnh đề đảo của bài toán 1 ta có mệnh đề nào
 ? Mệnh đề đó đúng không
 ? Hãy đặt đề toán rồi chứng minh.
	Bài 3: Cho tam giác đều ABC , M là một điểm nằm ngoài tam giác sao cho MA = MB + MC. Chứng minh rằng M thuộc đường trong ngoại tiếp tam giác đều ABC.
 Giải
	Vì M nằm ngoài tam giác ABC 
Mà ( ABC đều)
Vẽ tia Bx sao cho 
Trên tia Bx lấy điểm M’ sao cho BM’ = BM
 BMM’ cân tại B có 
 BMM’ đều MM’ = MB (1)
Xét ABM và CBM’ có AB = BC ( ABC đều)
( theo cách xác định)
BM = BM’ABM = CBM’ (cgc)
AM = CM’ ( hai cạnh tương ứng) (2)
Mà CM + MB = AM (gt) (3)
	Từ (1)(2)(3) ta có CM’ = MM’ + CM M’,M,C thẳng hàng
 ( hai góc kề bù) mà ( BMM” đều)
 Tứ giác ABMC nội tiếp M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC.
 ? Từ bài 3 và bài 1 hãy phát biểu thành một bài toán
 ? Chứng minh bài toán	
	+) Từ bài 3 và bài 1 ta có bài toán tổng quát: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R). Chứng minh M là một điểm thuộc cung nhỏ BC khi và chỉ khi MA=MB+MC.
 Việc giải bài toán tổng quát là giải bài 1 và bài 3.
 ? Từ bài 1 nếu thay giả thiết ABC đều bằng giả thiết ABC vuông cân tại A thì ta có đẳng thức nào
 ? Lập đề bài toán 
	+) Từ bài 1 nếu thay giả thiết ABC đều bằng giả thiết ABC vuông cân tại A thì ta có đẳng thức MB + MC = MA. Do đó ta có bài 4 sau:
	Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A nội tiếp đường tròn (O;R) . M là một điểm trên cung BC ( Cung BC không chứa điểm A). Chứng minh rằng MB+MC =MA
Giải
 	Gọi K là giao điểm của AM và BC
 Xét BKM và ACM có ( hai góc nt 
chắn hai cung bằng nhau); (hai góc nt 
chắn hai cung bằng nhau)
 BKM ACM (gg) 
Tương tự CKM BMA 
Mà AC = AB (3)
Từ (1)(2)(3) 
ABC vuông tại A BC = AB (4)
Từ (3’)và(4) (ĐPCM)
 ? So sánh MA với 2R
 ? MA + MB + MC liên hệ như thế nào với R 
 ? Ta có bài toán như thế nào
 ? Hãy chứng minh bài toán
	+) Từ bài 4 ta thấy MA 2R ta có bài 5 sau:
Bài 5:
	Cho tam giác ABC vuông cân tại A nội tiếp đường tròn (O;R) . M là một điểm trên cung BC ( Cung BC không chứa điểm A). Xác định vị trí của M để tổng MA+MB+MC đạt giá trị lớn nhất.
Giải
Từ bài 4 ta có MB+MC =MA
MA+MB+MC =MA+MA=MA(1+)
Mà MA 2RMA+MB+MC 2R(1+) không đổi
Dấu “=: xảy ra khi và chỉ khi MA = 2R MA là đường kính của đường tròn (O;R)
IV. Hiệu quả mang lại của sáng kiến.
	Kinh nghiệm trên đây tôi đã áp dụng trong công tác giảng dạy học sinh lớp 9 . Kết quả cho thấy các em nắm được kiến thức vững vàng hơn, sâu hơn, và có hệ thống hơn. Đặc biệt phát huy được tính sáng tạo và năng lực tư duy gây được hứng thú học tập môn hình học.
Cụ thể: Ban đầu với bài toán 1 cả lớp chỉ có 6 em giải được 1 cách, sau khi gợi ý từng cách không nhữnh 11 em đó giải được cách khác mà có thêm 4 em nữa cũng giải được . Việc khai thác bài toán 1 thì các em đang rất lúng túng phải đến khi giáo viên gợi ý thì những em giải được bài ở trên đẫ tìm ra được một số bài toán mới.
	 Đến bài toán 2 thì khoảng một nửa học sinh tìm ra lời giải và có đền 13 học sinh tìm ra được đề bài 1 và bài 2 sau đó giáo viên gợi ý thì có khoảng 22 em tìm ra được các bài toán còn lại và cách giải.
	PHẦN KẾT LUẬN
I. Những bài học kinh nghiệm:
	- Giúp học sinh giải chắc chắn bài tập trong sách giáo khoa.
	- Giúp học sinh có thói quen nhìn bài toán gốc dưới nhiều góc độ khác nhau để biến bài toán thành các bài toán mới.
	- Rèn luyện thói quen nghiên cớu một bài toán khi đứng trước nó chứ không đơn thuần là giải quyết yêu cầu của đề bài.
	- Gieo lòng đam mê học hình cho học sinh.
II. Ý nghĩa của sáng kiến.
	Thấy được ưu điểm của cách dạy trên trong quá trình dạy học tôi luôn yêu cầu học sinh tìm nhiều cách giải , khai thác và phân tích bài toán thì học sinh ngày càng yêu thích môn hình học hơn.
III. Khả năng ứng dụng và triển khai:
	- Sáng kiến có thể ứng dụng cho tất cả các lớp học và cho tất cả các tiết dạy đặc biệt là các tiết luyện tập.
IV. Kiến nghị, đề xuất.