Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh kẻ đường phụ trong chứng minh hình học

 đường phụ trong chứng minh hình học một vấn đề không những khó đối với học sinh mà còn khó đối với cả giáo viên trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán.
Trước một bài tập hình học khi chưa nghĩ ra lời giải, là người giải toán cần đặt ra các câu hỏi:
Làm thế nào để có kết luận của bài toán ?
Cần phải làm gì để liên hệ với các giả thiết lại ?
Có phải kẻ thêm đường phụ không ?
Qua thực tế giảng dạy và qua thực tế giải các bài tập hình học tôi thấy vấn đề: " Vẽ thêm đường phụ trong chứng minh hình học" rất hay và bổ ích. Do đó tôi muốn đưa vấn đề này ra bàn bạc, thảo luận với các bạn đồng nghiệp trao đổi, học hỏi, trau dồi phương pháp giải toán để phục vụ tốt hơn công tác giảng dạy.
B. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Nghiên cứu tài liệu tham khảo	
Thông qua việc nghiên cứu tài liệu tham khảo, giải các bài tập, tôi đã lựa chọn một số bài tập điển hình áp dụng vào thực tiễn giảng dạy cho học sinh, qua đó rút ra bài học kinh nghiệm.
Thông qua nghiên cứu các tài liệu tham khảo tôi đã học hỏi được nhiều điều, nhất là việc hoàn thiện phần lí thuyết của đề tài.
2. Nghiên cứu phương pháp giảng dạy
Vận dụng phương pháp dạy học "lấy học sinh làm trung tâm" kết hợp với phương pháp phân tích đi lên trong quá trình hướng dẫn học sinh giải các bài tập hình học nhằm mục đích: 
Thông qua bài tập học sinh tự mình tìm ra kiến thức dưới sự hướng dẫn của thầy giáo.
Dưới sự dẫn dắt của thầy giáo học thấy được các kiến thức mà bản thân tự khám phá thực sự là khoa học.
Rèn luyện cho học sinh năng lực tư duy, tính sáng tạo trong học tập bộ môn toán và nghiên cứu Toán học.
3. Nghiên cứu nội dung đề tài
Xây dựng cơ sở lí thuyết
Xây dựng hệ thống bài tập chọn làm ví dụ
Lựa chọn hệ thống bài tập để học sinh luyện tập.
C. NỘI DUNG
I- LÝ THUYẾT
1. Mục đích của việc vẽ thêm đường phụ
Khi vẽ thêm đường phụ ta thường nhằm các mục đích sau đây:
Đem những điều kiện đã cho của bài toán và những hình có liên quan đến chứng minh tập hợp (ở một hình mới), làm cho chúng có liên quan với nhau.
Tạo nên đoạn thẳng thứ ba hoặc thứ ba, làm cho hai đoạn thẳng hoặc hai góc cần chứng minh trở nên có mối liên hệ với nhau.
Tạo nên đoạn thẳng hay góc bằng tổng, hiệu, gấp đôi hay đoạn thẳng hay cho góc cho trước để đạt được chứng minh của bài tập hình học.
Tạo nên những đại lượng mới (đoạn thẳng hay góc) bằng nhau, thêm vào những đại lượng bằng nhau mà đề bài đã cho để giúp cho việc chứng minh.
Tạo nên một hình mới, để có thể áp dụng một định lí đặc biệt nào đó.
Biến đổi kết luận, hình vẽ làm cho bài toán trở lên dễ chưng minh hơn trước.
2. Các loại đường phụ thường vẽ
Đường phụ thường có một trong các loại sau:
Kéo dài một đoạn thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý hoặc một độ dài tuỳ ý hoặc cắt một đường thẳng khác.
Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm cố định.
Từ một điểm cho trước dựng đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
Dựng đường phân giác của một góc cho trước.
Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khác một góc bằng một góc cho trước.
Nếu bài ra cho hai đường tròn tiếp xúc nhau ta có thể dựng tiếp tuyến chung hoặc đường nối tâm.
Nếu có 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn thì qua 4 điểm đó có thể dựng thêm đường tròn phụ.
3. Những điểm cần chú ý khi vẽ đường phụ
Muốn đường phụ giúp ích cho việc chứng minh thì việc vẽ đường phụ phải có mục đích, không nên vẽ tuỳ tiện. Nếu không sẽ không sẽ chẳng giúp ích gì cho việc chứng minh mà còn làm cho hình vẽ thêm rối ren, khó mà tìm được lời giải đúng.
Vẽ đường phụ phải tuân theo phép dựng hình cơ bản, những đường phụ không có trong phép dựng hình cơ bản tuyệt đối không được vẽ.
II- BÀI TẬP VÍ DỤ
1) Bài toán 1: Cho DABC (AB = AC). Gọi AH là đường cao của tam giác, BD là phân giác của . Biết . Chứng minh BD = 2 AH.
Hướng dẫn học sinh vẽ thêm đường phụ:
Để vẽ thêm đường phụ trước hết ta cần phân tích cặn kẽ đề bài để xem tại sao phải vẽ đường phụ và vẽ thêm đường phụ như thế nào ?
Xuất phát từ kết luận BD = 2AH, để chứng minh BD = 2AH trong đó BD và AH không cùng nằm trên một đường thẳng, không có quan hệ đường trung bình và cạnh thứ ba, chưa có đoạn thẳng nào bằng BD để chứng minh đoạn thẳng đó bằng AH, cũng chưa có đoạn thẳng nào bằng 2AH để chứng minh đoạn thẳng đó bằng BD, nên không thể suy ra được BD = 2AH mà không tạo ra đường phụ (đường mới vẽ thêm).
Vấn đề đặt ra là phải vẽ thêm đường phụ như thế nào để đạt được mục đích chứng minh BD = 2AH. Đến đây phần lớn học sinh suy luận theo hai hướng:
Tạo ra đoạn thẳng mới bằng 2AH và chứng minh đoạn thẳng đó bằng BD.
Tạo ra đoạn thẳng mới bằng BD và chứng minh đoạn thẳng đó bằng AH.
Giả sử ta đi theo hướng thứ nhất: Tạo ra đoạn thẳng mới bằng 2AH và chứng minh đoạn thẳng đó bằng BD.
Đến đây lại nảy sinh vấn đề tạo ra đoạn thẳng mới như thế nào cho có lợi, để có thể liên hệ các giả thiết với nhau. Nhận thấy DABC cân tại A nên đường cao AH còn là trung tuyến và phân giác.
Sử dụng kết quả AH là trung tuyến của DABC	
có học sinh đã tạo đoạn thẳng mới như sau:
Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho 
AE = AC. Nối EB khi đó dễ thấy BE = 2AH.
Ta cần chứng minh BD = BE, điều này không 
mấy khó khăn. Thật vậy ta có AH // BE (tính 
chất đường trung bình) 
Þ.
Mặt khác DABC cân tại A nên :. Xét DBDC có 
Từ (1) và (2) suy ra DBDE cân tại B Þ BD = BE. Do đó BD = 2AH (đpcm)
Giả sử ta đi theo hướng thứ hai: Tạo ra đoạn thẳng mới bằng BD và chứng minh đoạn thẳng đó bằng AH.
Vấn đề là tạo ra đoạn thẳng mới như thế nào cho có lợi ? Vì có nhiều cách tạo ra đoạn thẳng bằng BD như lấy trung điểm của BD; tạo ra đường trung bình của tam giác bằng BD. Căn cứ vào giả thiết AH là trung tuyến của DABC, do đó việc tạo ra đường trung bình của DBDC là rất có lợi vì đã sử dụng được trung điểm H của BC.
Do đó đường phụ sẽ được tạo ra như sau: Gọi E là trung điểm của DC. Khi đó HE là đường trung bình của DDBC Þ HE = BD. 
Việc chứng minh HE = HA không mấy khó khăn, ta chỉ cần chỉ ra là xong (việc này dành cho bạn đọc tự chứng minh).	
b) Nhận xét: 
Khi hướng dẫn học sinh vẽ thêm đường phụ, giáo nên kết hợp thêm phương pháp phân tích đi lên . 
Người giáo viên không nên áp đặt suy nghĩ và cách vẽ hình của mình cho học sinh mà nên gợi ý, tạo ra tình huống có vấn đề để học sinh tự giải quyết nhằm phát huy tính sáng tạo và năng lực suy diễn của học sinh. Đôi khi có những đường phụ và lời giải mà học sinh tự nghĩ ra dưới sự định hướng của giáo viên lại là những lời giải rất hay làm cho giáo viên bất ngờ và thán phục.
2) Bài toán 2:
Cho M là điểm nằm giữa hai điểm A và B. Trên cùng một mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, ta dựng các tam giác đều AMC và BMD. Gọi E và F là trung điểm của AD và BC. Chứng minh: EF = CD.
a/ Nhận xét:
Kết luận của bài toán 2 cùng dạng với kết luận của bài toán 1. Nhìn từ góc độ vẽ thêm đường phụ thì hai bài toán này cùng dạng với nhau do vậy giáo viên chỉ cần hướng dẫn như bài toán 1, tức là có 2 hướng vẽ thêm hình:
Tạo ra một đoạn thẳng mới bằng CD và chứng minh đoạn đó bằng EF.
Tạo ra một đoạn thẳng mới bằng 2EF và chứng minh đoạn đó bằng CD.
Bản thân tôi khi giải bài tập này lần đầu tôi đã vẽ thêm hình như sau:
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MC, MD. Gọi G là trung điểm của AB. Dễ thấy IK = CD do đó cần chứng minh: IK =EF.
 Điều này được suy ra từ D GEF = D MKI ( c.g.c). Do đó EF = CD (đpcm).
Tôi không hề biết rằng đây chỉ là một cách vẽ thêm đường phụ theo hướng suy nghĩ thứ nhất và còn rất nhiều cách vẽ thêm đường phụ khác nữa, chính vì vậy mà ảnh hưởng đến việc truyền đạt tới học sinh khó tránh khỏi áp đặt trong cách vẽ thêm hình.
b/ Một số cách vẽ thêm đường phụ của bài toán 2:	
Sau này khi giảng lại bài toán 2 cho học sinh, tôi đã gợi ý các em chứng minh theo 2 hướng:
+ Hướng thứ nhất: Tạo ra đoạn thẳng bằng CD và chứng minh đoạn thẳng đó bằng EF.
+ Hướng thứ hai: Tạo ra đoạn thẳng bằng 2EF và chứng minh đoạn đó bằng CD.
Kết quả thật bất ngờ:
Ngoài cách giải như trên, học sinh còn có rất nhiều cách vẽ thêm hình khác và lời giải tương đối ngắn gọn, có thể tóm tắt các cách giải đó như sau:
Cách 1: Gọi I, K, H lần lượt là trung 	
điểm của AC, AM, AB. Dễ thấy IE = CD
Ta cần chứng minh: DIEK = DFEH (c.g.c)
Þ EF = IE Þ EF = CD (đpcm).	
Cách 2: Tương tự như cách 1 nhưng 
lấy trung điểm của các đoạn thẳng BD, MB, BA.
Cách 3: Từ B kẻ đường thẳng song song 
với MD cắt AF kéo dài tại I. Dễ ràng chứng minh được DI = 2 EF và DMCD = DBID (c.g.c) Þ DI = CD, do đó EF = CD (đpcm).	
Cách 4: Tương tự như cách 3 nhưng kẻ đường thẳng từ A song song với BD cắt BE kéo dài tại N.
Cách 5: 
Kéo dài DF về phía F một đoạn FI = FD. Nối AI có ngay AI = 2EF. Ta cần chứng minh AI = CD. Thật vậy ta thấy CM // BD; CI // BD Þ C, M, I thẳng hàng và ta lại có DACI = DCMD (c.g.c) Þ AI = CD. Do đó EF = CD.
c) Tiểu luận: 
Qua bài toán 2 ta thấy sức sáng tạo của học sinh là rất lớn	, có thể nói rằng không phải bất kì giáo viên toán nào cũng có thể nghĩ ra 5 cách vẽ thêm đường phụ như vậy. Bản thân tôi trước khi giảng cho học sinh bài toán này cũng chưa nghĩ ra được các cách vẽ thêm hình (có chứng minh) như trên.
Không thể phủ nhận sức sáng tạo và khả năng suy luận của học sinh. Vì thế tôi muốn trao đổi với các bạn rằng khi hướng dẫn học sinh vẽ thêm đường phụ, giáo viên không nên áp đặt suy nghĩ của mình cho học sinh mà giáo viên nên hướng dẫn, định hướng để học sinh tự tìm rả cách vẽ đường phụ và chứng minh bài toán. 
3) Bài toán 3: 
	Trên hai cạnh AB, AC của DABC lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE, kéo dài DE cắt BC tại F. Chứng minh .
Nhận xét: 
Không thể chứng minh trực tiếp ngay vì đây không phải là các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng, cũng không thể dung tính chất đường phân giác để suy ra được. Do đo để chướng minh ta phải dùng tỉ số trung gian để biến đổi.
Vấn đề đặt ra là những tỉ số nào bằng Hãy liệt kê các tỉ số đó ?
Nhưng trên hình vẽ không có tỉ số nào bằng hoặc. Do đó phải vẽ thêm đường phụ.
Đường phụ vẽ thêm cần phải đạt được mục đích: 
Vận được các giả thiết của bài toán.
Biến đổi được các tỉ số và 
Do đó đường phụ vẽ thêm phải là đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với một đường thẳng cho trước.
Một số hướng vẽ đường phụ: Cách 1 : (Hình 1)
 Từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại M, ta có: 
	Cách 2 : (Hình 2)
 Từ D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N, ta có: 
Cách 3 : (Hình 3)
 Từ E kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại K, ta có: 
Cách 4 : (Hình 4)
 Từ E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại I, ta có: 
Tiểu luận: 
Chỉ thông qua một số định hướng nhỏ học sinh có thể tự mình tìm ra cách vẽ thêm đường phụ.
III- MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP 
Bài 1: Cho DABC (AB = AC), trên cạnh AB lấy điểm D, trên phần kéo dài của cạnh 
AC lấy điểm E sao cho BD = CE. Gọi F là giao điểm của DE và BC.
Chứng minh: DF = FE.
Bài 2: Cho DABC, hai đường cao AK và BD cắt nhau tại H. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và AC. Đường trung trực của BC và AC cắt nhau tại O. 
Chứng minh AH = 2OE.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD có AB = CD. Gọi E, F lần lượt là các trung điểm của BC và AD. Kéo dài BA, CD, EF lần lượt cắt nhau tại M, N và P. Chứng minh . 
Bài 4: Cho DABC cân tại A. Có AM là trung tuyến, kẻ AH ^ AC, gọi O là trung điểm của MH. Chứng minh: AO ^ BH.
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và CD. Chứng minh AM và AN chia hình bình hành thành ba phần bằng nhau.
Bài 6: Cho DABC có BM và CN là các trung tuyến, G là trọng tâm. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của GB và GC. Chứng minh tứ giác MNEF là hình bình hành.
Bài 7: Cho DABC có AC = 2AB. Kẻ phân giác AD. Chứng minh DC = 2DB.
Bài 8: Cho DABC, trung tuyến BM. Gọi I là trung điểm của BM. Điểm D thuộc cạnh AB sao cho BD = DA. Chứng minh rằng D, I, C là ba điểm thẳng hàng.
Bài 9: Cho DABC có I là giao điểm của các tia phân giác các góc B và C. Gọi M là trung điểm của BC. Biết và BI = 2IM.
Tính 
Vẽ IH ^ AC (H ÎAC). Chứng minh BA = 3IH
Bài 10: Đường cao AH, trung tuyến AM chia góc A của DABC thành ba góc bằng nhau. Tính các góc của DABC.
Bài 11: Cho DABC có Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính 
Bài 12: Cho DABC có AB > AC. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = AC. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của hai đoạn thăng AD và BC. Chứng minh MN song song với tia phân giác góc A của DABC.
Bài 13: Cho Oz là tia phân giác của góc nhọn xOy. Trên tia Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm A,B và C, D ( A năm giữa O và B; C nằm giữa O và D) sao cho AB = CD. Gọi H và M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD. Chứng minh MH// Oz.
Bài 14: Trên hai cạnh góc vuông AB và AC của tam giác vuông cân ABC lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho AD = AE. Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở N và M. Chứng minh CN = BM.
IV - HƯỚNG DẪN VẼ HÌNH
Bài 1
GT 
DABC, AB = AC, BD = CE,
 DE Ç BC º F
KL
FD = FE
Hướng dẫn: 
Cách 1: Từ D kẻ DH// AC ( H ÎBC). 
Chứng minh DDHE = DECF
Cách 2: Từ E kẻ EK// AC ( K ÎBC). 
Chứng minh DBDF = DEKF
Cách 3: Hạ DH ^BC; EK^BC ( H, K ÎBC). 
Chứng minh DDHF = DEKF
Tóm lại: Chứng minh DF = EF dựa vào cặp tam giác bằng nhau do đó cần tạo ra cặp tam giác bằng nhau.
Bài 2
GT 
DABC, AK ^BC, BD ^AC, EB = EC
FA = FC, OE ^BC, OF ^BC, 
AKÇBD º H
KL
AH = 2OE
Hướng dẫn: 
Cách 1: Tạo ra đoạn thẳng gấp 2 lần đoạn OE (đó là BI). 
Cách 2: Tạo ra đoạn thẳng bằng AH (đó là FN). 
Bài 3
GT 
 ABCD, AB = CD; EB = EC; 
 FA = FD, AB ÇEF º N, AB ÇCD º P 
 CD ÇEF º M
KL
Hướng dẫn: 
Cần tạo ra những đường thẳng song song để biến đổi góc. Vì có nhiều trung điểm nên nghĩ đến đường trung bình. 
+ Lấy I là trung điểm của BD. Chứng minh 
 Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
+ Có thể tạo đường kẻ phụ theo nhiều cách khác nhau
Bài 4
GT 
DABC, AB = AC, MB = MC, MH ^AC, OM = OH
KL
BH ^ AO
Hướng dẫn: 
Tạo ra đường thẳng song song với BH. Chứng minh AO vuông góc với đường thẳng mới tạo ra đó. Lợi dụng MB = MC, lấy I là trung điểm của HC. Khi đó dễ thấy MI // BH và AO ^ MI Þ BH ^ AO
Bài 5
GT 
ABCD là hình bình hành, MB = MC, 
ND = NC, BD Ç AM º F, BD ÇAN º E
KL
DE = EF = FB
Hướng dẫn: 
Cách 1: Có thể vận dụng định lí ta lét chứng minh
 DE = BE Þ DE = BD suy ra ( đpcm)
Cách 2: Có thể áp dụng tính chất đường trung tuyến: Nối AC cắt BD tại O 
Þ DE = DO = BD suy ra ( đpcm)
Bài 6 (Không cần vẽ thêm hình)
Bài 7
GT 
DABC, AC = AB, AD là phân giác 
KL
DC = DB
Hướng dẫn: 
Sử dụng giả thiết AC = 2AB = MC, gọi E, F lần là trung điểm của AC và BC; BE Ç AD º I. Chứng minh BD = BF suy ra đpcm. 
Bài 8
GT 
DABC, MA = MC, IB = IM, BD = AD
KL
I, D, C thẳng hàng.
Hướng dẫn: 
Cách 1: Chứng minh ID, CD cùng song song với đường thẳng thứ ba: Gọi Nlà trung điểm của AD 
Þ DI // MN// DC Þ ( đpcm)
Cách 2: Chứng minh IC đi qua D, hay DC đi qua I. Gọi N là trung điểm của AD Þ MN // DC; DBNM có D là trung điểm của BN, DC // MN Þ DC đi qua trung điểm của BM hay DC đi qua I (đpcm).
 Bài 9
GT 
DABC, , , MB = MC
IB = 2IM; IH ^ AC
KL
Tính.
C/m: BA = 3IH.
 ______________________________________________________________________________________________________________________ Hướng dẫn: 
Để sử dụng giả thiết BI = 2IM, ta gọi K là trung điểm của BI dễ thấy được D IKM vuông cân tại I Þ . Lại có Þ = 450
 Þ = 900.
BI cắt AC ở D , có Þ ID = IM = IK = KB, từ đó rễ dàng suy ra 
BA = 3IH (đpcm).
Bài 10
GT 
DABC, MB = MC
 AH ^ BC
KL
Tính
 ______________________________________________________________________________________________________________________ Hướng dẫn: Dễ thấy HB = HM, mà MB = MC 
 Þ MC = 2HM. Ta đưa hai cạnh MC, HM về cùng 1 tam giác, lợi dụng 
ta hạ MD ^ AC Þ MD = MH. 
Xét DMDC có MC = 2 MD và Þ Þ Þ 
Þ. Vậy DABC có ; ; .
Bài 11
GT 
DABC, CD = 2BC;;.
KL
Tính
 ______________________________________________________________________________________________________________________ Hướng dẫn: Dễ thấy, mà CD = 2BC nên ta nghĩ đến tam giác vuông có góc nhọn 600. Ta hạ 
DE ^AC Þ CD = CE Þ CE = CB
 Dễ thấy DBED và DBEA cân tại E Þ DEAD cân tại
Do 
Bài 12
GT 
DABC, AB > AC, BD = AC, MA = MD, NB = NC, 
KL
 MN //Ax
Hướng dẫn: Gọi I là trung điểm của DC Þ MI // AC; MI = AC; NI // AB; 
NI =BD; Þ DMNI cân tại I Þ MN //Ax
* Ghi chú: Bài 12 là trường hợp đặc biệt của bài 13 khi A º O nên bài tập này có nhiều cách kẻ đường phụ
Bài 13	 	 	 	
GT 
Oz là phân giác của ; AB = CD
MB = MD; HA = HC
KL
 MH //Oz
 ______________________________________________________________________________________________________________________ Hướng dẫn: Để chứng minh MH // Oz ta chứng minh cặp góc so le trong bằng nhau. Muốn vậy cần tạo thêm các đường thẳng song song khác để vận dụng các giả thiết. Do có nhiều trung điểm nên ta nghĩ tới đường trung bình. Lấy I là trung điểm của AD . 
Nối IH, IM ta chứng minh được DHIM cân tại I Þ hay 
( Do ) Þ 
* Chú ý: Bài toán này có nhiều cách vẽ thêm hình, chủ yếu là tạo ra được 1 trung điểm nữa để áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác.
Bài 14
GT 
DABC, ; AB = AC; AD = AE
 AN ^ BE; M, N Î BC
KL
 CN = MN
Hướng dẫn: 
Có AN // DM ( ^ BE). Do đó để chứng minh CN = MN ta nghĩ đến định lí
đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh của tam giác và song2 với cạnh thứ 2
Kéo dài MD cắt tia CA tại E'. 
Ta có DADE' = DEAB Þ AE' = AB = AC
Þ A là trung điểm của CE'. 
Xét DCME' có AN //ME', AC = AE' Þ CN = MN 
	D. KẾT QUẢ KHẢO SÁT
1/ Kết quả khảo sát
 Đề tài này đã được tôi áp dụng tại trường THCS nơi tôi đang công tác và giảng dạy.
Đối tượng không áp dụng: Lớp 8D năm học 1998 – 1999
Đối tượng áp dụng: Lớp 8B năm học 2001 – 2002.
Mức độ nhận thức của hai đối tượng trên là tương đương nhau. Qua giảng dạy và thực nghiệm tôi đã thu được kết quả khảo sát như sau:
 Xếp loại
Đối tượng
Trung bình
Khá
Giỏi
Không áp dụng
62%
32%
6%
Áp dụng
28%
52%
20%
2/ Nhận xét:
Khi chưa áp dụng đề tài trên vào giảng dạy, khi kiểm tra khảo sát, số học sinh biết kẻ thêm đường phụ rất ít, dẫn đến kết quả khảo sát không cao.	
Khi áp dụng đề tài vào giảng dạy: Giáo viên dẫn dắt, định hướng, phân tích tỉ mỉ, học sinh suy nghĩ tìm lời giải. Học sinh được rèn luyện tư duy, tính sáng tạo, kích thích tính tò mò dẫn tới kết quả học tập của học sinh tốt hơn, chủ động, sáng tạo trong học tập.
E. NHỮNG ĐIỂM CÒN HẠN CHẾ
I. NHỮNG VẤN ĐỀ HẠN CHẾ
1/ Đối tượng áp dụng:
Việc " Hướng dẫn học sinh kẻ đường phụ trong chứng minh hìnhhọc" có thể áp dụng đối với học sinh có trình độ từ trung bình khá trở lên, khó áp dụng đối với học sinh yếu kém.
2/ Dạng bài tập: 
Đề tài này có thể áp dụng giảng dạy phần lớn các bài tập chứng minh hình học. Tuy nhiên đề tài chỉ mới dẫn ra một số ví dụ thuộc chương trình hình học 7 và 8.
II. HƯỚNG TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU
Như đã trình bày đề tài này có thể áp dụng giảng dạy phần lớn các bài tập chứng minh hình học. Nhưng đối với từng bài tập chứng minh hình học cụ thể thì áp dụng như thế nào ? Điều đó rất cần giáo viên giảng dạy nghiên cứu, sáng tạo để hướng dẫn học sinh học tập bộ môn hình học đạt hiệu quả cao nhât.
Trong khi vận dụng đề tài vào giảng dạy cho học sinh, kết quả thu được phần lớn phụ thuộc vào sự vận dụng linh hoạt, sáng tạo của học sinh cũng như sự cần cù, chịu khó của cả thầy và trò.
Phần III: KẾT LUẬN
Qua tthực tế giảng dạy và kết quả thực nghiệm, bản thân tôi thấy nội dung đề tài có tác dụng tương đối tốt cho việc hình thành phương pháp suy luận, tư duy trong việc giải bài tập hình học nói riêng, việc học tập bộ môn nói chung.
Bện cạnh việc giúp học sinh suy luận để vẽ thêm đường phụ trong quá trình làm bài tập hình, đề tài con giúp học sinh có thêm điều kiện để giúp học sinh có điều kiện phát huy óc tìm tòi, sáng tạo. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc đổi mới phương pháp dạy học và nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường.
Cũng qua đề tài này, bản thân tôi thêm tự tin trong công tác giảng dạy, nó thúc đẩy việc tự nnghiên cứu, tìm tòi của giáo viên, làm phong phú hơn nội dung cũng như việc kết hợp linh hoạt các phương pháp giảng dạy.
Cuối cùng, rất mong các bạn đồng nghiệp và các em học sinh nhận xét, góp ý để bổ sung cho nội dung đề tài thêm phong phú, đầy đủ, chặt chẽ hơn.
 Xin chân thành cảm ơn.