Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ và Logarit trong thi trắc nghiệm

n thời gian nhiều. Dùng kĩ thuật “chuyển về phương trình”, việc giải toán nhẹ nhàng và thích hợp với thi TNKQ.
Lời giải 
Bước1: Tập xác định bpt: 
, với trên 
Bước 2: Giải phương trình: .
Đặt : . 
Ta có hệ pt: 
Khi đó: hoặc 
Giải và kiểm tra, ta được nghiệm phương trình là: và
Bước 3: Lập bảng xét dấu của trên 
x
 2 3 
f(x)
 0 + 0 
Căn cứ bảng xét dấu, Tập nghiệm của bpt là: 
Do đó chọn đáp án B
Nhận xét
Đây là một kĩ thuật giải toán nhanh bpt, rất phù hợp với thi TNKQ. Qua kĩ thuật này, thực sự học sinh thấy được mối quan hệ biện chứng giữa pt và bpt. 
Từ bài giải, học sinh có thể đọc được tập nghệm của bpt còn lại một cách nhanh chóng và nhận thấy việc giải bpt thực chất là xét dấu của biểu thức tương ứng trên tập xác định.
5 GP5: Hướng dẫn học sinh xử lí các bài toán chứa tham số .
Hướng xử lí 1: Các bài toán xử lí bằng MTCT.
Bài toán xuất hiện với các phương án chọn có dạng đáp số, thay vì giải trực tiếp chúng ta có thể dùng MTCT để xử lí (Xem 3). Hướng xử lí này sẽ không thực hiện được nếu bài toán có đáp án dạng gián tiếp.
 Hướng xử lí 2: Cô lập tham số
Đây là hướng xử lí cho lớp bài toán có thể độc lập tham số và việc giải toán có thể quy về khảo sát hàm số. Dạng này xuất hiện rất nhiều trong các đề thi.
Ví dụ 23. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để tập nghiệm của
bất phương trình chứa khoảng?. 
A. B. C. D. 
 Tư duy: Bài toán có thể cô lập được tham số , và để bài toán đơn giản nên sử dụng phép ẩn phụ .
Lời giải 
Đặt: . Khi đó: 
Bpt trở thành: (*)
Hàm số nghịch biến trên 
Suy ra: 
Do đó nên chọn đáp án C 
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi đặt ẩn phụ mà không hạn chế lại cho và không cô lập tham số để giải toán.
Ví dụ 24. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc khoảng . 
A. 	B. 	C. 	D. 
Tư duy: Bài toán cô lập được tham số , và để bài toán đơn giản nên sử dụng phép ẩn phụ .
Lời giải 
Đặt: . Khi đó: . Pt trở thành: . 
Hàm sô trên có bảng biến thiên:
2 4 8
 0
 3
-9
 -13
Căn cứ bbt, yêu cầu bài toán 
Do đó có 4 giá trị nguyên thỏa mãn nên chọn đáp án C 
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi đặt ẩn phụ mà không hạn chế lại cho và chỉ đặt điều kiện cho phương trình có hai nghiệm phân biệt bằng biệt thức .
Ví dụ 25. Tập hợp các giá trị m để phương trình có nghiệm là:
A. B.
 C. 	D. 
Tư duy: Bài toán tương tự ví dụ 22 sử dụng cô lập được tham số , và để bài toán đơn giản nên sử dụng phép ẩn phụ .
Lời giải . Đặt: . Pt trở thành: . 
Vì không phải là nghiệm 
Xét ta có bảng biến thiên 
t
0 1,5 5 + 
f’(t)
f(t)
 + + 
 8
 - 
Căn cứ bbt, yêu cầu bài toán m . Chọn đáp án B
Hướng xử lí 3: Xây dựng các điều kiện cho tham số.
Ví dụ 26. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có hai nghiệm thực trái dấu.
A. 	B. 	C. 	D. 
Tư duy: Bài toán này cần xây dựng mối liên hệ giữa với qua phép ẩn phụ dạng mũ: .
Lời giải 
Đặt: . Pt trở thành: . (15)
Giả sử : 
Yêu cầu bài toán pt(15) có nghiệm thỏa mãn 
Do đó có 2 giá trị nguyên thỏa mãn nên chọn đáp án C 
Nhận xét
Đây là bài toán mà việc xây dựng điều kiện cho bài toán làm nổi bật mối liên hệ trong phép ẩn phụ dạng mũ. Qua bài toán giúp học sinh hiểu rõ bản chất khi xây dựng điều kiện cho tham số với phương trình, bất phương trình mũ.
Ví dụ 27. Giá trị thực của tham số để phương trình có hai nghiệm thực thỏa mãn thuộc khoảng nào sau đây?
A. 	B. 	C. 	D. 
Tư duy: Bài toán này cần xây dựng mối liên hệ giữa với qua phép ẩn phụ dạng logarit: .
Lời giải 
Đặt: . Pt trở thành: . (16)
Ta có: 
 và 
Khi đó: 
Yêu cầu bài toán pt(16) có nghiệm thỏa mãn . Mà: hoặc . 
Khi đó ta thu được . Do đó chọn đáp án C 
Nhận xét
Đây là bài toán mà việc xây dựng điều kiện cho bài toán làm nổi bật mối liên hệ trong phép ẩn phụ dạng mũ. Qua bài toán giúp học sinh hiểu rõ bản chất khi xây dựng điều kiện cho tham số với phương trình, bất phương trình mũ.
Ví dụ 28. Số các gía trị thực m nguyên để phương trình sau có 2 nghiệm dương phân biệt (1) là :
 A.4. B. vô số C. 2 . D. 0.
Tư duy: Bài toán này cần xây dựng mối liên hệ giữa với qua phép ẩn phụ dạng logarit:.
Lời giải.
Đặt ,điều kiện 
Phương trình có dạng . f(t)= (2)
Vì 
Để pt(1) có 2 nghiệm dương phân biệt thì pt (2) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 2
 không có giá trị m thỏa mãn . Chọn D.
Nhận xét
Đây là bài toán mà việc xây dựng điều kiện cho bài toán làm nổi bật mối liên hệ trong phép ẩn phụ dạng mũ. Học sinh rất dễ mắc sai lầm khi chuyển qua điều kiện cho ẩn phụ t . Qua bài toán giúp học sinh hiểu rõ bản chất khi xây dựng điều kiện cho tham số với phương trình, bất phương trình mũ.
Ví dụ 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm thực? 
A. 6.	B. 4.	
C. Vô số.	D. Không tồn tại m.
Tư duy: Bài toán này cần xây dựng mối liên hệ giữa nghiệm x và nghiệm 
Hướng dẫn giải	
Ta có 
Đặt điều kiện: và 
(1) trở thành 
Từ (3) và (2) suy ra 
Do nên
 với 
Xét hàm số với 
Ta có do 
Suy ra Do đó có vô số giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm thực.
Chọn C.
Nhận xét
Đây là bài toán ở cấp độ vận dụng cao ,học sinh vận dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trình ,cô lập tham số m để tìm miền giá trị của hàm số .
Ví dụ 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình có nghiệm?
A. 3.	B. 0.	C. 1.	D. 4.
Tư duy: Bài toán này cần xây dựng mối liên hệ giữa với qua phép ẩn phụ dạng 
Hướng dẫn giải
Đặt điều kiện vì 
Khi đó 
Xét hàm số trên Hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để tìm miền giá trị của hàm số y 
Do đó phương trình có nghiệm khi 
Chọn A.
Ví dụ 31. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
A. 8.	B. Vô số.	C. 5.	D. 6.
Tư duy : Đây là 1 ví dụ tương tự cho bất phương trình mũ mà khi tìm tập nghiệm bằng phép đặt ẩn phụ phải tìm điều kiện cho ẩn phụ ,1 điều mà học sinh hay mắc sai lầm khi giải các bài toán tham số .
Hướng dẫn giải
Ta có 
Đặt vì nên 
Khi đó bất phương trình trở thành 
Đặt với 
Hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để tìm miền giá trị của hàm số f(t)
Dựa vào bảng biến thiên ta có thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
Chọn D.
Ví dụ 32. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để có nghiệm trong đoạn ?
A. 6	B. 4	C. 1 	D. 0 
Tư duy : Đây là bài toán ta nhìn rõ phương pháp là đặt ẩn phụ dưa về phương trình bậc 2 .Nên việc hướng dẫn học sinh tìm điều kiện cho ẩn phụ thỏa mãn yêu cầu bài toán đưa về xét miền giá trị đơn giản .
Hướng dẫn giải
Điều kiện: 
Đặt 
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
 (*)
Yêu cầu bài toán tương đương với (*) phải có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 
Xét hàm số trên đoạn . Ta có nên 
Để (*) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn thì 
Chọn C.
Ví dụ 33. Số giá trị nguyên để phương trình 
 , (1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn .(*)
2018. B. 2019. C. 2020. D.4040.
Tư duy : Đây là bài toán ở cấp độ vận dụng cao trong đề thi thử THPTQG của các trường , đòi hỏi học sinh phải thành thạo về phương pháp giải phương trình mũ bằng logarit hóa cả 2 vế đưa về phương trình bậc 2 .Từ điều kiện nghiệm của phương trình đưa về điều kiện nghiệm cho phương trình bậc 2 sau khi đặt ẩn phụ .
 Lời giải. ĐK .
(2)
+ Nếu phương trình vô nghiệm .
+ Nếu lấy logarit cơ số 2 cả 2 vế.
(2 ) . Đặt 
(2)	 (3)
Từ ycbt (*)
Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt ,tổng 2 nghiệm dương.
. 
 có 2020 giá trị m thỏa mãn.
Nhận xét . Học sinh rất dễ mắc sai lầm khi chuyển qua điều kiện cho ẩn phụ t . Qua bài toán giúp học sinh hiểu rõ bản chất khi xây dựng điều kiện cho tham số với phương trình, bất phương trình logarit.
Ví dụ 34. Cho phương trình Tập tất cả giá trị của tham số m để phương trình 1 có các nghiệm, trong đó có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn là khoảng Khi đó, a thuộc khoảng
A. (3,8;3,9)	B. (3,7;3,8)	C. (3,6;3,7)	D. (3,5;3,6)
Tư duy : 
Đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình tìm nghiệm và tìm điều kiện để bài toán thỏa. Đây là bài toán thuộc cấp độ vận dụng cao đưa về cô lập tham số m , xét miền giá trị để tìm tham số mà không vận dụng được MTCT.
Lời giải:
Điều kiện: x > -1.
Ta có:
Với m = 0 thì phương trình (*) có nghiệm nên không thỏa bài toán.
Với thì (*) 
Xét có và nên ta có bảng biến thiên trên như sau:
 -1 0 2 3 4 
0
 6 
Để phương trình có nghiệm thỏa thì 
Suy ra 
Nhận xét . Với bài toán này ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm và dùng MTCT để loại trừ đáp án .
Ví dụ 35. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình chứa nửa khoảng .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Tư duy : : Đây là 1 ví dụ tương tự cho bất phương trình logarit mà khi tìm tập nghiệm bằng phép đặt ẩn phụ phải tìm điều kiện cho ẩn phụ ,1 điều mà học sinh hay mắc sai lầm khi giải các bài toán tham số .
Lời giải.
Đặt 
Bất phương trình đã cho trở thành .
– Để bất phương trình đã cho có tập nghiệm chứa nửa khoảng thì bpt có tập nghiệm chứa nữa khoảng .
– Ta có: .
Do đó để bpt có tập nghiệm chứa nửa khoảng thì .
Nhận xét. Đây là bài toán mà việc xây dựng điều kiện cho bài toán làm nổi bật mối liên hệ trong phép ẩn phụ dạng logarit. Học sinh rất dễ mắc sai lầm khi chuyển qua điều kiện cho ẩn phụ t . Qua bài toán giúp học sinh hiểu rõ bản chất khi xây dựng điều kiện cho tham số với phương trình, bất phương trình logarit.
III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Bài 1. Tập nghiệm T của bất phương trình : là :
 . 	.
Bài 2. Số nghiệm của phương trình là :
A.0. B.1 . C. 2 . D. 3.
Bài 3. Số nghiệm của phương trình là:
 A.0. B.1 . C. 2 . D. 3.
Bài 4. Số nghiệm nguyên không lớn hơn 5 của bất phương trình :
 là:
 A.4. B.5 . C. 6 . D. 3.
Bài 5. Gọi T là tích tất cả các nghiệm của phương trình Tìm T.
A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 6. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình là
A. 0.	B. 1.	C. 2.	D. 3.
Bài 7. Tổng các nghiệm của phương trình gần bằng số nào dưới đây?
A. 0,35.	B. 0,40.	C. 0,50.	D. 0,45.
Bài 8. Nghiệm của bất phương trình là
A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 9. Số nghiệm nguyên của bất phương trình là
	A. 1.	B. 3.	C. 0.	D. 2.
Bài 10. Bất phương trình có nghiệm là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 11. Cho phương trình . Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là
A. 	B. 2	C. 4	D. 
Bài 12. Tập nghiệm của phương trình .
A.	B.	C.	D.
Bài 13. Phương trình có bao nhiêu nghiệm?
A. 1	B. 0	C. 2	D. 3
Bài 14. Biết tập nghiệm của bất phương trình là khoảng . Tính 
A. 2	B. 4	C. 3	D. 5
Bài 15. Bất phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên? 
A. 999	B. 1000	C. Vô số	D. 1001
Bài 16. Với điều kiện nào của tham số m thì bất phương trình có nghiệm?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 17. Đề thi THPTQG năm 2018 . Gọi S là tập các giá trị nguyên m sao cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt .Số phần tử của S là .
 A. 1	B. 4	C. 3	D. 6
Bài 18. Đề thi THPTQG năm 2018 . Cho phương trình ,m tham số . Có bao nhiêu giá trị nguyên để phương trình có nghiệm ,
A. 20	B. 19	C. 9	D. 21
Bài 19. Đề thi THPTQG năm 2019. Cho phương trình ( m là tham số ) .Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm ?
 A. 2	B. 4	C. 3	D. Vô số.
Bài 20. Đề thi THPTQG năm 2019. Cho phương trình (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt ?
A. 49	B. 47	C. Vô số	D. 48.
Bài 21. Biết rằng phương trình: có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn . Khi đó tổng bằng:
A. 6.	B. .	C. 12.	D. .
Bài 22. Cho bất phương trình . Tìm m để bất phương trinh nghiệm đúng
A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 23.Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình có ba nghiệm phân biệt?
	A. 6.	B. 8.	C. 9.	D. 15.
Bài 24 .Biết là tập tất cả các giá trị của tham số để bất phương trình thỏa mãn với mọi thuộc . Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 25. Gọi là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m với để phương trình có nghiệm. Tính tổng tất cả các phần tử của .
A. 	B. 	C. 2015.	D. 	
Bài 26. Số có giá trị nguyên cảu tham số m thuộc đoạn để phương trình có đúng hai nghiệm thực là
A. 2021	B. 1 	C. 2 	D. 2022 
Bài 27. . Cho phương trình Số nghiệm nguyên của bất phương trình là
A. 3.	B. 4.	C. 5.	D. 6.
Bài 28. . Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm là với a, b là các số nguyên dương và tối giản. Tổng là
A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 29. Với là tham số thực dương khác 1. Hãy tìm tập nghiệm của bất phương trình , biết rằng là một nghiệm của bất phương trình.
A. 	B. 	
C. 	D. 
Bài 30. Có bao nhiêu số nguyên dương thỏa mãn điều kiện ?
A. 20	B. 18	C. 21	D. 19
IV. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM
- Việc rèn luyện và thực hành giải Toán đã giúp học sinh tự tin và có cơ sở phương pháp để giải nhanh câu hỏi TNKQ. Từ đó nâng cao dần năng lực giải Toán nói chung và giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit nói riêng. Thể hiện ở việc học sinh các lớp tôi dạy có nhiều học sinh đã vượt qua được những câu hỏi khó về phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong các kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh cũng như các kì thi THPT Quốc gia . 
- Nội dung SKKN cũng đã được trình bày ở Tổ chuyên môn đến các đồng nghiệp và được các đồng nghiệp áp dụng vào thực tiễn dạy học ở trường THPT Nghi Lộc - - Qua thực tiễn nhiều năm đã nhận thấy tính hiệu quả cao của SKKN này cũng như đã tạo ra một cách dạy, một cách tiếp cận độc đáo đến một nội dung Toán học. Nó như là bài mẫu để giáo viên có thể áp dụng cho các nội dung khác cũng như tạo nên một phong cách học Toán sáng tạo cho học sinh.
- SKKN này cũng giúp ích bản thân rất nhiều, đặc biệt là khi trực tiếp giảng dạy học sinh. Việc dạy cho học sinh lớp chất lượng cao, trong thực tế đã giúp bản thân rút ra nhiều kinh nghiệm quý báu, để từ đó sáng tạo ra các kĩ thuật mới, giúp cho việc dạy học trở nên thực sự tư duy và sáng tạo.
 - Để đánh giá tính khả thi của đề tài tôi đã giới thiệu nội dung của đề tài trên cho một số lượng lớn học sinh khá giỏi, học sinh có lực học gần mức khá của 2 lớp: Trường THPT Nghi Lộc 2 tham khảo, nghiên cứu để nắm được ý tưởng của đề tài và cách sáng tạo bài toán. Đồng thời chúng tôi giới thiệu cho học sinh một số dạng toán có thể khai thác được, từ đó yêu cầu các em phải tìm tòi, suy nghĩ, khai thác để tìm ra những vấn đề mới. Tôi và đồng nghiệp tiến hành tổ chức thực nghiệm sư phạm ở 2 lớp 12A2, 12A3 với trình độ học sinh tương đương nhau.
1. ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT.
1.1. Mục đích yêu cầu
- Nhằm kiểm tra khả năng tiếp thu kiến thức về các dạng toán phương trình ,bất phương trình mũ và logarit.
- Qua kiểm tra giúp giáo viên đánh giá được quá trình giảng dạy, đồng thời học sinh cũng tự đánh giá được mình trong học tập.
- Tổ chức thi và chấm thi nghiêm túc, khách quan, trung thực. 
1.2. Về kĩ năng: Đánh giá học sinh ở bốn cấp độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao kiến thức kĩ năng.
1.3. Hình thức kiểm tra: Kiểm tra theo hình thức trắc nghiệm
 1. 4. Ma trận đề kiểm tra.
 Cấp độ NB TH VD VDC Tổng
Chủ đề
Phương trình mũ Câu 1 Câu 3 Câu 9 3.0 đ
Phương trình logarit Câu 2 Câu 7 Câu 8 3.0 đ 
Bất phương trình mũ Câu 5 Câu 6 2.0 
Bất phương trình logarit Câu 4 Câu 10 2.0.đ
Tổng 2.0 đ 3.0 đ 3.0 đ 2.0 đ 10.0 đ
Đề kiểm tra.
Câu 1. Tổng các nghiệm của phương trình là
A. -8.	B. 	C. 1.	D. 0.
Câu 2. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là
A. 0	B. 2	C. 6	D. 3
Câu 3. . Cho phương trình Biết rằng khi thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. là số nguyên âm. B. là số nguyên tố.
C. là số lẻ. D. là số chính phương
Câu 4: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 
A. 7	B. 4	C. 6	D. 5
Câu 5. Cho phương trình Số nghiệm nguyên của bất phương trình là
A. 3.	B. 4.	C. 5.	D. 6.
Câu 6 . . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng  ?
A. 3.	B. 0.	C. 1.	D. 2.
Câu 7. Biết rằng phương trình có nghiệm duy nhất . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. 	B. C. D. 
Câu 8. : Tìm các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm thuộc khoảng .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình có nghiệm duy nhất?
A. 3.	B. Vô số.	C. 1.	D. 2.
Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
A. 6	B. 4	C. 1	D. 0
Đáp án	 
Đáp án B D D B D C C B C B
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tại trường THPT Nghi Lộc 2
Lớp thực nghiệm 12A2: 33 học sinh và lớp đối chứng 12A3: 33 học sinh
Lớp
Tổng số
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
12A2
33
9
27%
15
46%
9
27%
0
0%
0
0%
12A3
33
6
18%
10
30%
15
46%
2
6%
0
0%
Sau khi chấm bài kiểm tra và phân tích số liệu cho thấy kết quả của lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng ở trường, ở lớp thực nghiệm các em học sinh làm bài tốt hơn, giờ học sôi nổi, học sinh rất có hứng thú học tập. 
PHẦN III. KẾT LUẬN 
1. KẾT LUẬN
Muốn thành công trong công tác giảng dạy trước hết đòi hỏi người giáo viên phải tâm huyết với nghề, phải đam mê tìm tòi học hỏi, phải nắm vững các kiến thức cơ bản, phải tổng hợp các kinh nghiệm áp dụng vào bài giảng. SKKN này đã chỉ ra được các dạng toán, các dấu hiệu đặc trưng cũng như các kĩ thuật giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ và logarit.
 Giáo viên cần phải biết phát huy tính tích cực chủ động chiếm lĩnh tri thức của học sinh. Trong quá trình giảng dạy phải coi trọng việc hướng dẫn học sinh con đường tìm ra kiến thức mới, khơi dậy óc tò mò, tư duy sáng tạo của học sinh, tạo hứng thú trong học tập, dẫn dắt học sinh từ chỗ chưa biết đến biết, từ dễ đến khó. Trong thực tế vận dụng SKKN không những giúp học sinh trong việc định hướng giải toán với một nội dung cụ thể mà thông qua đó để học sinh thấy được rằng việc “ tư duy phương pháp ” và kĩ năng giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ và logarit là rất tốt và có kết quả. Từ đó thôi thúc học sinh tìm tòi sáng tạo để trang bị cho mình những quy trình và lượng kiến thức mới.
Nội dung kiến thức của SKKN là nội dung được học sinh tiếp cận nửa sau của lớp 12, do đó đối với một số học sinh trung bình và trung bình khá thì khả năng vận dụng vào giải toán còn đang lúng túng, nhất là trong các bài toán cần sự linh hoạt lựa chọn phương pháp hay khi gặp bế tắc trong giải toán học sinh thường không chuyển hướng được cách suy nghĩ để giải bài toán ( thể hiện sức “ỳ” tư duy vẫn còn lớn). Vì vậy khi dạy cho học sinh nội dung này, giáo viên cần tạo ra cho học sinh cách suy nghĩ linh hoạt và sáng tạo trong khi vận dụng giải toán .Điều đó đòi hỏi người giáo viên cần phải khéo léo truyền thụ quy trình và cách giải toán linh hoạt đối với các bài toán.
 Khả năng ứng dụng thực tiễn giảng dạy ở nhà trường của SKNN là rất cao, hầu như giáo viên nào, lớp học nào đều có thể áp dụng vào giảng dạy hiệu quả. SKKN này cũng có thể mở rộng ra lớp bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cũng như tư duy phương pháp cho các nội dung khác của Toán học.
2. KIẾN NGHỊ	
Qua sự thành công bước đầu của việc áp dụng nội dung này thiết nghĩ rằng chúng ta cần thiết phải có sự đổi mới trong cách dạy và học. Không nên dạy học sinh theo những quy tắc máy móc nhưng cũng cần chỉ ra cho học sinh những quy trình mô phỏng đang còn mang tính chọn lựa để học sinh tự mình tư duy tìm ra con đường giải toán.
SKKN đã tiếp cận đến một vấn đề khó và phổ dụng trong việc dạy học sinh chất lượng cao, thực tế giảng dạy ở trường THPT Nghi Lộc 2 nhiều năm đã cho thấy hiệu quả rõ rệt. Vì vậy, các giáo viên khác có thể áp dụng và sáng tạo thêm để nâng cao chất lượng học sinh mà mình giảng dạy.
 Mong rằng qua báo cáo kinh nghiệm này các đồng nghiệp cho tôi thêm những ý kiến và phản hồi những ưu nhược điểm của cách dạy nội dung này. Cuối cùng tôi mong rằng nội dung này sẽ được các đồng nghiệp nghiên cứu và áp dụng vào thực tiễn dạy học để rút ra những điều bổ ích.
Bài viết chắc chắn còn nhiều thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến, phê bình, phản hồi của các đồng nghiệp
Xin chân thành cảm ơn!
Nghệ An, ngày 12 tháng 03 năm 2021
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
 [1] Sách giáo khoa Giải tích 12 - Đoàn Quỳnh, NXBGD Việt Nam
[2] Nguyễn Bá Kim (2009), Phương pháp dạy học môn Toán, NXBĐHSP
[3] VVOB Việt Nam (2013), TLTH nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
[4] Các đề thi THPTQG của Bộ GD & ĐT.
[5] Đề thi thử một số trường THPT.
[6] Nghiên cứu thông qua các tài liệu có liên quan đến đề tài như mạng internet