Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải một số dạng phương trình nghiệm nguyên

Phòng giáo dục và đào tạo huyện thanh oai
Đề tài sáng kiến nghiệm
Tên đề tài: 
hướng dẫn học sinh giải
một số dạng phương trình nghiệm nguyên
 Tác giả : Vũ Bá Nam
 Chức vụ: Phó hiệu trưởng
 Đơn vị công tác : Trường THCS Thanh Thuỳ
Năm học 2008 - 2009
Sơ yếu lý lịch
Họ và tên: Vũ Bá Nam 
Sinh ngày : 22/ 10/1971
Nơi sinh : Thanh Thuỳ- Thanh Oai - Hà Tây
Thường trú: Thanh Thuỳ -ThanhOai - Hà Nội.
Đơn vị công tác : Trường THCS Thanh Thuỳ
Năm vào ngành: 8/2/1993. 
Ngày vào đảng : 31 /12/1997 . ngày chính thức 31/12/1998
chức vụ : Phó hiệu trưởng
Thành tích đã đạt được: Nhiều năm là chiến sĩ thi đua cấp cơ sở
Phần I
Lý do chọn đề tài
1. Lý do:
 Thưa các thầy cô giáo phương trình nghiệm là một đề tài lí thú của số học và đại số đã nôi cuốn rất nhiều thầy cô và học sinh từ các bài đơn giản cho đến các bài phức tạp “ bậc nhất hai ẩn, bậc hai 2 ẩn, ba ẩn ... ” và nố rất phong phú và đa dạng.
 Ngoài các bài phương trình bậc nhất 2 ẩn, các bài toán tìm nghiệm nguyên thường không có qui tắc giải tổng quát. Mà mỗi bài toán với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp . Do vậy nó có tác duy mêm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Chính vì vậy mà trong các kỳ thi học sinh giỏi môn toán phương trình nghiệm nguyê thường có mặt ổ tất cả các cấp học .
 Do vậy tôi muốn trình bày với các thày cô và các học sinh một số phương pháp giải giải phương trình nghiệm nguyên, huy vọng được trao đổi nhiều với các thầy cô và gúp các em học sinh rèn được tính tư duy sáng tạo vàv mềm dẻo để giải được các bai toàn về phương trinh nghiệm nguyên cũng như tư duy vào cuộc sống sau này.
2. Khảo sát thực tế:
 Thưa các thầy trong quá trình giảng dạy các em học sinh lớp 9, mỗi khi cho các em làm bài kiểm tra hoặc bài tập về nhà tôi thương thường cho các em một bài toán về phương trình nghiệm nguyên thì thu được kết quả như sau: 
0=>< 3 
3=> <5 
 5=>< 7 
7=> <9 
9,10
 Số các em làm được bài giải phương trình nghiệm nguyên
Bài 1
0
2
10
24
6
0
Bài 2
0
1
13
21
5
2
Bài 3
0
0
14
18
7
3
Bài 4
0
0
16
15
9
2
 Qua 4 bài sắc xuất thi cho thấy số các giải được các bài toán về phương trìnhnghiệm nguyên là rất ít và các em chưa định hướng được, thế mà năm này các em học sinh lớp 9 được tham gia thi học sinh giỏi toán cấp huyện và thành phố . Do vậy tôi quyêt đinh cho đè tài này.
3.Tên đề tài : 
 Hướng dẫn học sinh giải một số dạng phương trình nghiệm nguyên
 Thời gian thực hiện đề tài : Sáu buổi chiều sau khi các em học hết chương II đại số lớp 9.
Phần II
Nội dung đề tài
A. Khái niệm phương trình nghiệm nguyên 
 Xét ví dụ: 
Bạn Nam có một số tờ đồng tiền mệnh giá 20.000 VNĐ, bạn Bách có một số tờ đồng tiền mệnh giá 10000VNĐ . Tổng số tiền của hai bạn là 70000 VNĐ. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu tiền?
 Giải 
 Giả sử bạn Nam có x tờ 20.000đồng
 bạn Bách có y tờ 10.000đồng 
 Thế thì ta có : 20.000x + 10.000y = 70.000 ( I)
 Ta thấy ngay x= 2 và y = 3 là một nghiệm của phương trình (I)
 Như vậy phương trình (I) được gọi là phương trình nghiệm nguyên.
 Một phương trình với các hệ số nguyên và có từ 2 nghiệm trở lên và yêu cầu của đầu bài là tìm các giá tri nguyên của ẩn để thoả mãn phương trình đã cho thì ta hiểu đó là phương trình nghiệm nguyên.
Ví dụ phương trỡnh nghiệm nguyên bậc nhất 2 ẩn có dạng tổng : 
- Điều kiện cần và đủ để phương trỡnh cú nghiệm : ƯCLN(a; b) là ước của c
 Chứng minh :
Điều kiện cần : Nếu d = ƯCLN(a; b) và (x; y) là nghiệm của phương trỡnh thỡ 
Điều kiện đủ : Nếu c là bội d = ƯCLN(a; b) khi đú tồn tại cỏc số (x; y) sao cho (theo định lý về ƯCLN) và tồn tại c’ sao cho . Nhõn hai vế của đẳng thức với c’ ta cú . Điều này chứng tỏ cặp là nghiệm của phương trỡnh 
B. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
 1.Phương pháp dùng tính chất chia hết.
a.Phương pháp phát hiện tính chia hết của một ẩn
VD1. Giải phương trình với nghiệm nguyên:
 3x + 17y = 159 (1)
 Giải
Giả sử x, y là các số nguyên thoả mãn phương trình ( 1)
ta thấy 159 và 3x đều chi hêt cho 3 nê 17y 3, do đó y3 
 ( vì 3 và 17 nguyên tố cùng nhau)
Đặt y = 3t ( t z ) Thay vào phương trình (1) 
ta được: 3x + 17.3t = 159
 x +17t = 53
Do đó : với t z
Đảo lại thay các biểu thức của x và y vào (1) phương trình nghiệm đúng.
Vậy phưtrình (1) có vô số nghiệm nguyê được cho bởi công thức 
	 với t là các số nguyên tuỳ ý.
 b. Đưa về phương trình tích ( Đưa về phương trình ước số )
 VD2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình sau:
 xy - y = 2 (2)
 Giải
 Cách1: Biến đổi phương trình (2) thành 
 x(y-1) - y = 2
 x(y-1) - (y-1) = 3
 (y-1)(x-1) = 3
 Vì 3 = 1.3 = -1.(-3) = 3.1 (-3.)(-1)
 Nên x-1 và y-1 phải là ước của 3 ( do x,y yêu cầu nguyên)
 Vậy nghiệm nguyên của (2) là : (4;2), (2;4), (0;-2), ( -2 ; 0)
 Lưu ý: đối với loại bài này các em học sinh hay mắc nỗi thiếu nghiệm.
 Cách2: ( tách giá trị nguyên)
 ta biểu thị x theo y
 x(y-1) = y + 2
 ta thấy y 1 (vì nếu y = 1 thì 0.x = 3 vô nmghiệm)
 Do đó x= = 1 + 
 Do x là số nguyên nên phải là số nguyên. 
 Từ đó suy ra y-1 phải là ước của 3 .
 y -1 = 3, y -1 =1; y -1 = -1 ; y -1 = -3 sau đó thay lần lượt vào 
 x = ta tìm được x
 vậy nghiệm của phương trình là: : (4;2), (2;4), (0;-2), ( -2 ; 0)
 Bài tập tự luyện:
 Tìm các nghiệm nguyên của các phương trình sau
2x + 13y = 156
3xy +x - y = 1
2x2 + 3xy - 2y2 = 7 
x2 -xy = 6x - 5y - 8.
 2. Phương pháp xét số dư của từng vế
 VD3: Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên
 x2 - y2 = 1998 (3)
 Giải 
 Ta thấy x2 , y2 khi chia cho 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 nên x2 - y2 chia cho 4 chỉ có các số dư là 0,1,3 . thế mà 1998 chi cho 4 chỉ có dư 2.
 Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.
 ( Điều kiện để phương nghiệm nguyên có nghiệm là 2vế phải có cùng 1 số dư)
 VD4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
 9x + 2 = y2 + y (4)
 Giải
 Biên đổi phương trình trên thành : 9x + 2 = y(y+1) 
Ta thấy vế trái của phương trình là số chia cho 3 dư 2. 
 Nên y(y+1) chia cho 3 dư 2 .
 Chỉ có thể y = 3k +1 ; y+1 = 3k +2 ( k nguyên)
Khi đó: 9x +2 = (3k +1)( 3k +2) 
 9x = 9k(k +1)
 x = k(k+1)
Thử lại: x = k(k+1) , y = 3k +1 thoả mãn phương trình đã cho .
 Vậy nghiệm của phương trình : với k nguyên tuỳ ý.
Bài tập tự luyện: 
Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:
19x2+28y2 = 2001
x2 = 2y2 - 8y +3.
3. Phương pháp dùng bất đẳng thức
 a. Phương pháp sắp thứ tự các ẩn
 VD5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 
 x+ y +z = xyz
 Giải
 Ta có x + y + z = xyz (*) ( do xyz )
 Do x ,y, z có vai trò bình đẳng nh nhau nên ta giả sử
 1 x y z nên (*) 1 = 
 x2 3 do x N* x = 1
 khi đó ta có 1 + y + z = yz (z-1) (y-1) = 2
 do 
 vậy nghiệm của phương trình là ( x,y,z) = ( 1, 2 , 3)
b. Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn.
 VD6: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
 Giải 
 Do vai trò bình đẳng của x và y , giả sử x y. Dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ hơn ( là y)
 Hiển nhiên ta có nên y > 3 (1)
 Mặt khác do x y 1 nên .Do đó 
 hay y 6
 Như vậy khoảng giá trị của y là 4 y6
 với y = 4 ta được : suy ra x = 12(TM)
 với y = 5 ta được : suy ra x = 7,5 loại vì không nguyên
 với y = 6 ta được : suy ra x = 6 (TM)
 Vậy các nghiệm của phương trình : (4 ; 12), (12; 4), (6 ; 6)
 Lưu ý: 
Để giới hạn y 6 ta có thể lập luận như sau:
 y x 
 Vậy y 6
Hoặc ta cũng có thể giải bằng cách đưa về phương trình ước số 
	 (x- 3)( y-3) = 9
 Từ đó ta suy nghiệm của phương trình: (4 ; 12), (12; 4), (6 ; 6)
 c. Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên
 VD7: Tìm các số tự nhiên x sao cho 
 2x + 3x = 5x
 Giải 
 Viết phương trình dưới dạng 
 (*)
 Với x = 0 thì vế trái của * bằng 2 loại
 Với x = 1 thi vế trái của * bằng 1 đúng 
 Với x 2 thì nên
 loại
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1.
 d. Sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm 
 Ta viết phương f(x,y) = 0 dưới dạng phươg trình bậc hai đối với một ẩn, chẳng hạn đối với ẩn x, khi đó y là tham số . Điều kiện để phương trình có nghiệm là . Để phương trình có nghiệm nguyên thì phải là số chính phương.
 VD8: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
 x + y + xy = x2 + y2
 Giải
 Ta biến đổi phương trình tương đương với phương trình bậc hai ẩn x
 x2- ( y + 1) x + (y2 - y ) = 0 (8)
 = (y+1)2- 4(y2 - y) = - 3y2 +6y +1 
 Để phương trình trên có nghiệm thì 
 3y2 - 6y -1 
 3( y- 1)2 Do đó ( y-1)2 1 suy ra 
y-1
-1
0
1
y
0
1
2
 Với y = 0 thay vào (8) ta được x2 - x = 0 suy ra x1 = 0 ; x2	= 1
 Với y = 1 thay vào (8) ta được x2 - 2x = 0 suy ra x3 = 0 ; x4	= 2
 Với y = 2 thay vào (8) ta được x2 - 3x + 2 = 0 suy ra x5 = 1 ; x6	= 2
 Thử lại với các giá tri trên phương trình đúng
 Vậy nghiệm của phương trình là: 
 (0 ; 0), (1; 0) , ( 0 ; 1 ), (2 ; 1 ),(1; 2) (2; 2)
Lưu ý :
 - Có thể giải bất phương trình bậc hai 3y2 - 6y -1 0 bằng cách tìm nghiệm của tam thức bậc hai và định lý về dấu của tam thức bậc hai: ay2 +by +c trái dấu với a với các giá trị của y năm trong khoảng nghiệm.
Nghiệm của 3y2 - 6y -1 là y = do đó:
 y 
 y (0; 1 ; 2) 
 từ đó suy ra nghiệm của phương trìnhlà:
 (0 ; 0), (1; 0) , ( 0 ; 1 ), (2 ; 1 ),(1; 2) (2; 2)
 - Hoặc ta cũng có thể giải PT (8) bằng cách khác như sau
 Biến đổi phương trình (8) thành phươngn trình:
 (x-1)2 + (y- 1)2 + ( x- y) 2 = 0 
 Vì tổng của ba số chính phương bằng 2 thì tồn tai 1 số bằng 0
Ta xét từng trường hợp x- 1= 0, y-1 =0 , x-y =0 
 Cuối cùng ta có nghiệm (0 ; 0), (1; 0) , ( 0 ; 1 ), (2 ; 1 ),(1; 2) (2; 2)
Bài tập tự luyện
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 
Tìm các nghiệm nguyên của các phương trình sau:
x2 + xy +y2 = 2x + y 
x2 + xy +y2 = x + y 
x2 -3xy +3y2 = 3y
Tìm các số tự nhiên x sao cho 
2x +3x = 35
4. Phương pháp dùng tính chất của số chính phương
 a. Sử dụng tính chất chi hết của số chính phương
Các tinh chất thường dùng 
Số chính phương không tận cùng bằng 2,3,7,8.
Số chính phương chi hết cho số nguyên tốt p thì chi hết cho p2.
Số chính phương chia cho 3 có số dư 0, 1.
Số chính phương chia cho 4 có số dư 0 , 1 .
Số chính phương chia cho 8 có số dư 0 , 1 , 4
VD9: 
 Có hay không các số nguyên x để 9x + 5 là tích của hai số nguyên liên tiếp.
 Giải
 giả sử 9x +5 = n(n+1) với n là nguyên 
 36x +20 = 4n2 + 4n
 36x +21 = 4n2 + 4n +1
 3( 12x + 7) = (2n +1)2
 Số chính phương (2n +1)2 chia hết cho 3 , nên cũng chia hết cho 9 . 
 Thế mà 12x +7 không chia hết cho 3 nên 3( 12x + 7) không chia hết cho 9
 Mâu thuẫn trên chứng tỏ rằng không tồn tại số nguyên x nào 
 để 9x + 5 = n(n+1).
 b. Tạo ra bình phương đúng
 VD10: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 
 2x2 + 4x = 19 - 3y2
 Giải 
 2x2 + 4x = 19 - 3y2
 2x2 + 4x + 2 = 21 - 3y2
 2(x + 1) 2 = 3 ( 7 - y2)
 Ta thấy 3 ( 7 - y2) chia hết cho 2 suy ra ( 7 - y2) chia hết cho 2 suy ra y2 là số lẻ . Ta lại có ( 7 - y2) 0 nên chỉ có thể y2 = 1 khi đó 2(x + 1) 2 = 18
 hay x+ 1 = 3 suy ra x1 = 2 ; x2 = -4
Vậy nghiêm của phương trình là: (2;1 ) , (2 ;-1) , (-4; 1) , (-4; -1)
c.sử dụng tính chất: nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là số chính phương thì một trong 2 số nguyênliên tiếp đó bằng 0.
 Giả sử a(a+1) = k2 với a nguyên ,k là 1 số tự nhiên.
 CM:
 Giả sử a0 , a +1 0 thi k2 0 . Do k thuộc N nên k > 0
Từ : a(a+1) = k2 
 4a2 + 4a = 4 k2
 4a2 + 4a +1 = 4 k2+1
 (2a +1)2 = 4 k2+1
 Do k > 0 nên 4k2 < 4k2+1 < 4k2 + 4k +1 
 Hay (2k)2 < (2a + 1)2 < (2k +1) 2 vô lý .
 Vậy a(a+1) = k2 thi tồn tại 1 trong 2 số a, a+1 bằng 0 Điều cần chứng minh
 VD11: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
 x2 +xy + y2 = x2y2 
 Giải 
 x2 +xy + y2 = x2y2 
 x2 +2xy + y2 = x2y2 +xy
 (x+y)2 = xy ( xy +1)
 Vì xy, ( xy +1) là hai số nguyên liên tiếp có tích bằng 1 số chính phương
 nên xy = 0 hoặc xy+1 = 0
 Nếu xy = 0 ta có x2 + y2 = 0 suy ra x= y = 0
 Nếu xy+1 = 0 ta có xy = -1 suy ra (x;y) băng ( 1;-1) hoặc (-1;1)
 Vậy nghiệm của phương trình : (0;0) , ( 1;-1), (-1;1).
 Bài tập tự luyện
Tìm các nghiệm nguyên của các phương trình:
3x2 + 4y2 = 6x + 13
x(x2 +x +1) = 4y( y+1)
x4 - 2y2 = 1.
C. Một số bài tập điển hình
Bài 1: Giải các phương trình nghiệm nguyên sau
 Hướng dẫn
Bài2: Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món phương trỡnh 
Hướng dẫn
 Bai3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
	 6x2 + 5y2 = 74
 Hướng dẫn
 Theo giả thiết suy ra 5y2 2 mà (5,2) =1 suy ra y2 2
 2 là số nguyên tố nên ta suy ra y 2 (*)
Ta cũng có 5y2 4
Từ (*) ta suy ra y2 = 0 hoặc y2 = 4
 - Với y2 = 0 ta có 6x2 = 74 do x2 nguyên nên ta loại.
 - Với y2 = 4 ta có 6x2 = 54 hay 
Vậy nghiệm nguyên của phơng trình là: (3,2), (3,-2), (-3,2), (-3,-2)
Bài4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 
 x2 - 2x - 11 = y2 (14)
 Hướng dẫn
 x2 - 2x - 11 = y2
 x2 - 2x +1 -12 = y2
 (x-1)2 = y2 + 12
 (x-1)2 - y2 = 12
 (x-1 -y ) ( x-1 + y) = 12
Nhận xét: 
- Vì (14) chứa y với số mũ chẵn nên có thể giả thiết rằng y 0 . Thế thì 
 (x-1 -y ) ( x-1 + y).
- (x-1 -y ) - ( x-1 + y) = 2y nên x-1 + y và x-1-y cùng tính chẵn lẻ. Tích của chúng bằng 12 nên chúng cùng chẵn.
Với hai nhận xét trên ta có hai trường hợp:
x- 1 +y
6
-2
x-1 - y
2
-6
Do đó :
x- 1
4
-4
y
2
2
x
5
-3
Vậy nghiệm của phương trình là: (5; 2) , (5; -2), ( -3 ; 2) , (-3; -2).
Bài 5:Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
 x2 + 2y2 +3xy - x- y + 3 = 0 (a)
 Hướng dẫn
 x2 + 2y2 +3xy - x- y + 3 = 0
 x2 + (3y-1)x + (2y2 - y +3) = 0
 = (3y - 1)2 - 4(2y2 - y +3) = y2 - 2y - 11 
điều kiện để (a) có nghiệm nguyên :
 = y2 - 2y - 11 là số chính phương hay y2 - 2y - 11 = k2 (b) với k là số tự nhiên
 y2 - 2y - 11 = k2 (áp kết quả của bài 4 ) ta được : y1 = 5 , y2 = -3 
Với y =5, thay vào (a) ta được x2 +14x + 48 = 0 suy ra x1= -8 , x2 = -6 .
Với y = -3 thay vào (a) ta được x2 -10x + 24 = 0 suy ra x3= 6, x4 = 4 
 Vậy nghiệm của phương trình:
 (-8 ; 5), (-6 ; 5), (6 ; -3), (4 ; -3).
Bài 6: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
 x( x + 1)(x + 2)(x + 3) = y2 
 Hướng dẫn
 x( x+1)( x+2)(x+3) = y2
 (x2 + 3x )( x2 + 3x+2) = y2
 Đặt x2 + 3x+1 = a ta được ( a-1) (a +1 ) = y2
 a2 - y2 = 1
 (a-y)(a+y) = 1 suy ra (a-y)=(a+y) 
 do đó y = 0
 Thay vào ta được : x1= 0, x2 = -1 , x3= -2 , x4 = -3
Đáp số: (0 ;0) , (-1; 0) (-2; 0) ,(-3 ; 0).
Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
 6x + 15y + 10z = 3
 Hướng dẫn
 Ta thấy 10z 3 suy ra z 3 . Đặt z = 3k với k là số nguyên
 6x + 15y + 10.3k = 3
2x + 5y + 10.k = 1
Đưa về giải phương trình hai ẩn x và y có các hệ số tương ứng 2 và 5 nguyên tôt cùng nhau:
 2x + 5y = 1 - 10k
x = 
Đặt ( t nguyên). Ta có 
y = 1-2t
x= -5k -2(1-2t)+ t = 5t -5k -2 
z = 3k
Vậy nghiêm của phương trình là 
 (5t -5k -2; 1-2t; 3k) với k, t là số nguyên tuỳ ý .
Bài9: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình
 Hướng dẫn
 Nhân cả hai vế của phương trình với 6xy:
 6x +6y +1 = xy
 x(y - 6) - 6(y-6) =37
 (y - 6)(x - 6) = 37
 Do vai trò bình đẳng của x và y, giả sử x y 1, thế thì x-6 y- 6 -5
Chỉ còn có trường hờp 
Đáp số: (43; 7), (7; 43)
Bài10:Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
 y = 
 Hướng dẫn
Điều kiện: x 1.
 y = 
 = 
 = 
Xét hai trường hợp:
Với x = 1 thì y = 2
Với x2 Thì y = = 2.
Do đó y2 = 4( x-1). Do x2 nên có thể đặt x-1 = t2 với t nguyên dương.
Ta có 
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là : (1; 2) ,(t2+1;2t) Với t là số nguyên dương.
Bai11:
Một trăm con trâu,
Một trăm bó cỏ.
Trâu đứng ăn năm,
Trâu nằm ăn ba,
Ba con trâu già 
Chỉ ăn một bó.
Tính xem trong đó 
Mỗi loại mấy con.
Hướng dẫn
Gọi số con trâu đứng là x, số con trâu năm là y, số trâu già là z.
Ta có hệ hai phương trình ba ẩn với nghiệm nguyên dương.
Suy ra 14x +8y = 2007x + 4y = 100
Ta thấy 7x 4 nên x4 . Đặt x= 4k ( k nguyên dương)
7k +y = 25 
y = 25 -7k 
z = 100 - 4k - (25 -7k) = 75 + 3k
Ta phải có:
Ta có:
k
x
y
z
1
4
18
78
2
8
11
81
3
12
4
84
Vậy đáp số:
4 trâu đứng, 18 trâu năm ,78 trâu già
8 trâu đứng, 11 trâu năm ,81 trâu già
12 trâu đứng, 4 trâu năm ,84 trâu già.
Phần III
Kết quả thực hiên đề tài
Sua khi thực hiện đề tài tôi thấy 
- Anh em đồng nghiệp đã có sự trao đổi và thống nhất một số phương pháp trong giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán mà đặc biệt là mảng phương trình nghiệm nguyên.
 - Chất lượng học sinh đại trà của lớp 9A đã được nâng lên rõ rệt , đặc biệt là đội tuyển, đồng thời khả năng tư duy toán học của các em cũng được mềm dẻo hơn, linh hoạt hơn, ham thích học tập hơn.
- .Một điều thú vị là trong đợt thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 cấp huyện vừa qua. Đội tuyển toán của tôi có 7 em được đi thi thì cả 7 em đều đỗ và em nào cũng làm được bài 3 giải phương trình nghiệm nguyên.
 Thanh Thuỳ, ngày 24 tháng 4 năm 2009
 Người viết 
 Vũ Bá Nam
Đánh giá của HĐKH cấp trường