Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

bị đầy đủ các dụng cụ học tập cần thiết cho việc học tập môn toán của học sinh như : máy tính bỏ túi, máy tính kết nối mạng.
Học sinh chưa hiểu sâu rộng các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt là các bài toán khó, do các em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo. Học sinh chưa biết vận dụng linh hoạt các cách phân tích đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, tách hạng tử  Chưa biết vận dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các bài toán có liên quan. Chính vì vậy mà khi gặp dạng toán này học sinh thường ngại, lúng túng không tìm được hướng giải và khi giải hay mắc sai sót. 
 3. Khả năng áp dụng nhân rộng sáng kiến.
 3.1 . Một số kiến thức cần nhớ : 	
 - Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
	A( B + C) = AB + AC 
 - Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
	1. ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2
	2. ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2
	3. A2 - B2 = ( A + B)( A - B)
	4. ( A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 
	5. ( A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
	6. A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2)
	7. A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2)
 - Các phép toán cộng, trừ đơn thức, cộng, trừ đa thức.
 - Phép nhân đa thức với đa thức:
	(A + B)( C + D) = AC + AD + BC + BD
 - Phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã sắp xếp.
 - Quy tắc đổi dấu đa thức.
 - Định lí Bơ - du: Nếu đa thức f(x) có một nghiệm nguyên m thì f(x) chia hết cho x - m
3.2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thông thường 
 3.2.1. Phương pháp đặt nhân tử chung:
 Khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp này thường 
 làm như sau:
- Tìm nhân tử chung 
- Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung, các nhân tử 
 khác.
 - Đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của 
 mỗi hạng tử ở trong dấu ngoặc với dấu của chúng.
 Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
 M1 = 7x3y - 21xy2 + 14x2y2 = 7xy(x2 - 3y + 2xy) 
 3.2.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức: 
 Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. 
 Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
 M2 = x2 + 4xy + 4y2 = x2 + 2x.2y + (2y)2 	(Áp dụng quy tắc nhân đơn thức)
 = (x + 2y)2 	 (Hằng đẳng thức thứ nhất)
 Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:
 M3 = 25x4 - 10x2y + y2 
 = (5x2)2 - 2.5x2 .y + y2 	 (Áp dụng quy tắc nhân đơn thức)
 = ( 5x2 - y)2 	 (Hằng đẳng thức thứ hai)
3.2.3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
 Khi sử dụng phương pháp này ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử rồi kết hợp các hạng tử thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung của các nhóm rồi dùng các phương pháp đã biết để phân tích đa thức thành nhân tử.
 Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 
 M4 = 4x2+8xy - 3x - 6y 
 = (4x2 + 8xy ) - (3x + 6y) 	 ( Nhóm các hạng tử)
 = 4x.(x+2y) - 3(x+2y) 	 (Đặt nhân tử chung)
 = (x+2y)(4x-3)	 (Đặt nhân tử chung) 
 3.2.4. Phối hợp nhiều phương pháp:
Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp cả ba phương pháp kể trên để có thể phân tích đa thức thành nhân tử. Phương pháp này thường được tiến hành theo các trình tự sau :
+ Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức còn lại đơn giản hơn dễ nhận xét hơn
+ Nhóm hạng tử 
+ Dùng hằng đẳng thức
 Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
 M5 = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2
= (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm các hạng tử)
= 3(a - b) + (a - b)2 ( Đặt nhân tử chung và dùng hăng đẳng thức)
= (a - b) (3 + a - b) ( Đặt nhân tử chung)
 Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử:
 M6 = a2 - b2 - 2a + 2b
 = (a2 - b2) - (3a - 2b) 	 ( Nhóm các hạng tử)
 = (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung)
 = (a - b) (a + b - 2)	 (Đặt nhân tử chung)
Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học để các bước phân tích được rõ ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức không thể phân tích được nữa).
 3.3. Một số phương pháp khác.
 Giáo viên trước hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phương pháp phân tích thành nhân tử thông thường và kết hợp các phương pháp sau để làm các bài toán khó.
 3.3.1. Phương pháp tách hạng tử:
 Phân tích thành nhân tử các đa thức sau:
Ví dụ 8: 
x2 – 8x + 12 = x2 – 2x – 6x +12 = ( x2 – 2x) – ( 6x -12) 
 = x(x-2) - 6(x -2) = (x – 2)(x – 6)
Ví dụ 9: 
 N = a2 - 6a + 8.
Cách 1: 
 N = a2 - 4a - 2a + 8 	 (Tách - 6a = (- 4a) + (-2a)
 = (a2 - 4a) - (2a - 8) 	(Nhóm hạng tử)
 = a (a - 4) - 2 (a - 4) 	(Đặt nhân tử chung)
 = (a - 4) (a - 2) 	(Đặt nhân tử chung)
Có thể tách hạng tử tự do tạo thành một đa thức mới có nhiều hạng tử trong đó có thể kết hợp làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung với các hạng tử còn lại.
Cách 2: 
 N = a2 - 6a + 9 - 1 (Tách 8 = 9 - 1)
 = (a2 - 6a + 9) - 1 	 (nhóm hạng tử - xuất hiện hằng đẳng thức)
 = (a - 3)2 - 1 	 (Sử dụng hằng đẳng thức)
 = (a - 2) (a + 2) 	 (Dùng hằng đẳng thức và Đặt nhân tử chung)
 = (a - 2) ( a - 4) 	 (Đặt nhân tử chung)
Cách 3: 
 N = a2 - 4a + 4 - 2a + 4 	 (Tách 8 = 4 + 4, - 6x = - 4x + ( - 2x)
 = ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) 	 (Nhóm hạng tử)
 = (a - 2)2 - 2(a -2) 	(Dùng hằng đẳng thức và Đặt nhân tử chung) 
 = (a - 2) ( a - 4) 	 (Đặt nhân tử chung)
Cách 4: 
 N = 3a2 - 6a + 8 - 2a2 	 (Tách a2 = 3a2 - 2a2)
 = 3a (a - 2) - 2(a2 - 4)	 (Đặt nhân tử chung)
 = 3a (a - 2) - 2(a - 2)(a + 2)	 (Dùng Hằng đẳng thức)
 = (a - 2)(3a - 2a - 4)	 (Đặt nhân tử chung)
 = (a - 2)(a - 4)	
 Trong tam thức bậc hai: ax2 + bx + c 
Tách hệ số b = b1 + b2 sao cho b1. b2 = a.c
Trong thực hành ta làm như sau;
+ Tìm tích a.c
+ Phân tích a.c ra thừa số nguyên với mọi cách
+ Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b
Ngoài ra có thể tách hạng tử bậc hai, hoặc có thể tách đồng thời nhiều hạng tử tuỳ theo dạng của bài toán.
3.3.2. Phương pháp thêm bớt hạng tử:
Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử
P1= x4 + 4 
 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 	 (Thêm 4x2, bớt 4x2)
 = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 	 (Nhóm hạng tử)
 = (x2 + 2)2 - (2x)2 	 (Dùng hằng đẳng thức)
 = (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2)
Ví dụ 11: Phân tích đa thức : P2 = a4 + 64
 P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 	 (Thêm 16a2, bớt 16a2)
	= (a2 + 8)2 - (4a)2	 (Dùng hằng đẳng thức)
	= (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8) (Dùng hằng đẳng thức)
 Ví dụ 12: Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử.
 Cách 1: Thêm x3 và bớt x3 (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân 
 tử chung)
 Giải: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + 1
 = (x5 + x4 + x3 )+ (1 – x3 )
 = x3(x2+ x + 1)+ (1 – x )(x2+ x + 1)
 = (x2+ x + 1)(x3 – x + 1 )
 Cách 2:Thêm x3, x2, x và bớt x3, x2, x (làm xuất hiện đặt nhân tử chung)
 Giải: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1
 = (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1)
 = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
 = (x2 + x + 1)(x3 – x + 1 )
„ Chú ý: Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,.; tổng quát những đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + 1 hoặc x3 – 1, x6 – 1 đều có chứa nhân tử x2 + x + 1. 
Như vây việc thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rất tiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào để xuất hiện bình phương của 1 tổng và làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu hai bình phương thì mới phân tích triệt để được.
Ở ví dụ P1 đã có bình phương hạng tử thứ nhất và bình phương hạng tử thứ hai. Vậy muốn là hằng đẳng thức thì còn thiếu 2 lần tích của 2 hạng tử. Do đó ta thêm 2.x2.2 = 4x2 thì đồng thời phải bớt 4x2.
 3.3.3. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ 13: Phân tích thành nhân tử đa thức sau :
D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
 = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 	 (Nhóm, đặt nhân tử chung)
Ta thấy 2 hạng tử đầu có nhân tử chung là (x2+ x) đặt y (đổi biến):
D1 = y2 + 4y - 12
Khi đó ta có thể dùng phương pháp tách hoặc thêm bớt
D = (y2 - 2y) + (6y - 12) 	 (Tách 4y = 6y - 2y )
 = y (y - 2) (y + 6) 	 (Đặt nhân tử chung)
Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay lại biến x
Đa thức D đã phân tích thành 2 nhân tử (x2 + x- 2) và (x2 + x+ 6)
Việc phân tích tiếp các nhân tử cho triệt để có thể dựa vào các phương pháp đã nêu ở trên. Chú ý có những tam thức không thể phân tích tiếp được như :
x2 + x + 6 = (x + )2 + 5. Do vậy không phân tích tiếp được nữa
Còn x2 + x - 2 = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)
Khi đó D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2)
Ví dụ 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
 H = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15
	Đặt x2 + 8x + 7 = y = > x2 + 8x + 15 = y + 8
	Ta có: H = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15
	 = y2 + 5y + 3y + 15
	 = y(y + 5) + 3(y + 5)
	 = (y + 5)(y + 3)
	Thay y = x2 + 8x + 7 ta được:
 H = (y + 5)(y + 3)	 = (x2 + 8x + 7 + 5)( x2 + 8x + 7 + 3)
	 = (x2 + 8x + 12)( x2 + 8x + 10)
	 = (x2 + 2x + 6x + 12)( x2 + 8x + 10)
	 = [x(x + 2) + 6(x + 2)] (x2 + 8x + 10)
	 = (x + 2)(x + 6)( x2 + 8x + 10)
3.3.4. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức:
Cho đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) 
Nguyên tắc: Nếu đa thức f(x) có một nghiệm nguyên m thì f(x) chia hết cho
 x - m (Định lý Bơ - du). Khi đó dùng phép chia đa thức ta có:
ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếp được dựa vào các phương pháp nêu ở trên.
Các phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
+ Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = 0 đa thức có nghiệm x = 1.
Þ chứa nhân tử chung (x- 1)
+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c = b +d đa thức có x = -1 Þ chứa nhân tử chung (x + 1)
+ Nếu không xét được hệ số ta xét các ước của hệ số tự do
(hệ số không đổi) (Ư(d)) ước nào làm cho đa thức có giá trị bằng 0 thì ước đó là nghiệm của đa thức.
Ví dụ 15: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E1 = x3 + 3x2 - 4 xét tổng các hệ số ta thấy.
a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 Þ x1 = 1
E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) (chia E1 Cho (x - 1) )
Sau đó dùng phương pháp hằng đẳng thức để phân tích tiếp
E1 = (x - 1) (x + 2)2
Ví dụ 16: Phân tích đa thức thành nhân tử.
 E2 = x3 - 3x + 2 . Xét các Ư(2) = ± 2 có x = -2 là nghiệm của E2
Þ E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1) 	(Chia E2 cho(x + 2))
 E2 = (x + 2) (x -1)2
 + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất :
3.3.5. Phương pháp hệ số bất định:
 Ví dụ 17: Phân tích đa thức 2x3 - 5x2 + 8x - 3 thành nhân tử 	
Giải : 	Nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng 
	(ax + b)( cx2 + dx + m) = acx3 + (ad + bc)x2 + (am + bd)x + bm
	Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho 2x3 - 5x2 + 8x - 3 , ta được:
 	2x3 - 5x2 + 8x - 3 = acx3 + (ad + bc)x2 + (am + bd)x + bm
	Suy ra : a.c = 2 ; ad + bc = -5 ; am + bd = 8 ; b.m = -3
	Có thể giả thiết a > 0 (vì nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử). Do đó a = 2 hoặc a = 1
Xét a = 2 thì c = 1 suy ra : 2d + b = -5 ; 2m + bd = 8 ; bm = -3
 b có thể là 1 hoặc 3
 Xét b = -1 thì m = 3 d= -2 thoả mãn các điều kiện trên.
	 a = 2 ; b = -1 ; c = 1 ; d = -2 ; m = 3
	Vậy : 2x3 - 5x2 + 8x - 3 = (2x - 1)(x2 - 2x + 3).
 Ví dụ 18 : Phân tích đa thức :
 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 thành nhân tử: 
 Giải : 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 
 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) 
 = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3 
 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)
 Ví dụ 19: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có:
 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) 
 = 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c. Suy ra :
Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) 
Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nhau nên có 1 nhân tử là x + 1 nên : 
 2x3 + x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4)
Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)
 3.4 .Các dạng bài tập vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử .
 3.4.1. Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức:
 Ví dụ: 
 Tính giá trị của biểu thức x(x - 1) - y(1 - x) tại x = 2000, y = 1999.
	Giải:
 Nếu theo cách làm thông thường ta sẽ thay ngay giá trị của biến vào biểu thức để tính giá trị. Cách làm đó phải tính rất phức tạp mới cho kết quả. Vì vậy giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích biểu thức thành nhân tử rồi mới thay số tính giá trị biểu thức.
	Ta có: x(x - 1) - y(1 - x) = x(x - 1) + y(x - 1) = (x - 1)(x + y)
	Thay x = 2001, y = 1999 vào biểu thức ta được: 
(2001 - 1) (2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000.
 3.4.2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức
Để giải bài toán rút gọn một biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức ,mẫu thức thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của chúng.
Ví dụ1: Rút gọn biểu thức:
Giải : Ta có :
Ta thấy tử thức của phân thức có các nghiệm là 2; 3 ; 4 ; -5
Mẫu thức của phân thức có các nghiệm là -1 ; 3 ; -4;-5
Do đó 	
Ví dụ 2 : Rút gọn biểu thức
	Giải: Ta thấy tử thức có nghiệm là 1; mẫu thức cũng có nghiệm là 1 .Nên ta có :
=
 =.Ta thấy cả tử và mẫu đều không phân tích được nữa.
 3.4.3. Dạng 3 : Chứng minh chia hết
Để giải bài toán chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B có nhiều cách giải nhưng ở đây tôi chỉ trình bày phương pháp vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ,ta có:
 [(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15] (x+6)
Giải: Ta có (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15
 = (x+1)(x+7) (x+3)(x+5)+15
 = (x2 + 8x +7) (x2 + 8x +15) + 15
Đặt t = x2 + 8x +11
=> (t - 4)(t + 4) +15 = t2 – 1 = (t + 1)(t - 1)
Thay t = x2 + 8x +11 , ta có
 (x2 + 8x + 12) (x2 + 8x +10)
 (x2 + 8x +10)(x +2)(x + 6) (x+6).
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ta có
 	 (4x + 3)2 - 25 chia hết cho 8.
Cách 1: Ta phân tích biểu thức (4x + 3)2 - 25 ra thừa số
	(4x + 3)2 -25 = (4x + 3)2 - 52 = (4x + 3 + 5) (4x + 3 - 5)
	= (4x + 8) (4x - 2) = 4 (x + 2) 2 (2x - 1) = 8 (x + 2) (2x - 1)
Do x là số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) là số nguyên.
Do đó 8 (x + 2) (2x - 1) chia hết cho 8. Suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2: (4x + 3)2 - 25 = 16x2 + 24x + 9 – 25 = 16x2 + 24x - 16 
 = 8 (2x2 + 3x - 2).	
Vì x là số nguyên nên 2x2 + 3x - 2 là số nguyên
Do đó 8 (2x2 + 3x - 3) chia hết cho 8. Suy ra điều phải chứng minh. 
 3.4.4. Dạng 4: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số
 dạng phương trình.
 	3.4.3.1. Giải phương trình nghiệm nguyên.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình.
3x2 + 10xy + 8y2 = 96
Ta có: 3x2 + 10xy + 8y2= 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2
= x (3x + 4y) + 2y (3a + 4y) = (3n + 4y) (x + 2y) = 96
Ta có: 96 - 1.96 = 2.48 = 3.32 = 4.24 = 8.12 = 6.16 
Mà x, y > 0 => 3x + 4y > 7; x + 2y > 3
Ta có các hệ phương trình sau:
(II)
(I)
	x + 2y = 4	 x + 2y = 6	
 3x + 4y = 24	 3x + 4y = 16	
(III)
(IV)
 x + 2y = 8	 x + 2y = 12
 3x + 4y = 12	 3x + 4y = 8
Giải hệ (I) ta được x = 16; y = - 6 (Loại).
Giải hệ (II) ta được x = 4; y = 1 (Loại)
Giải hệ (III) ta được x = 4;	y = 6 (Loại)
Giải hệ (IV) ta được x = - 16;y = 14 (Loại)
Vậy nghiệm của hệ x = 4; y = 1.
Vậy nghiệm của phương trình: x= 4; y = 1
Ví dụ 2: Tìm số nguyên x > y > 0 thỏa mãn
	x3 + 7 y = y3 + 7x
	=> x3 - y3 - 7x + 7y = 0 
	=> (x - y)3 (x2 + xy + y2) - 7 (x - y) = 0
	=> (x - y) (x2 + xy + y2 - 7) = 0 	Vì x > y > 0
	=> x2 + xy + y2 - 7 = 0
	=> x2 - 2xy + y2 = 7 - 3xy
	=> (x - y)2 = 7 - 3xy
	=> 7 - 3xy > 0 => 3xy xy < 
	x.y £ 2 => x = 2; y = 1
 3.4.3.2. Giải phương trình bậc cao
Ví dụ 1: Giải phương trình : ( 3x - 5 )2 -( x - 1 )2 = 0
Giải: Ta có:
 	 ( 3x - 5 )2 -( x - 1 )2 = 0
ó ( 3x - 5 + x - 1 )(3x - 5 - x + 1) = 0
ó ( 4x - 6)(2x - 4) = 0
4x - 6 = 0 ó x = 3/2
hoặc 2x - 4 = 0 ó x = 2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =3/2 hoặc x = 2
Ví dụ 2: Giải phương trình : x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0
Giải : Ta có 
x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0
ó x3 + x2 +2x2 +2x +2x + 2 = 0
óx2(x +1) + 2x(x + 1) +2 (x + 1) = 0
ó(x + 1)(x2 + 2x + 2) = 0
hoặc (x + 1) = 0 => x = -1
hoặc (x2 + 2x + 2) = 0 không có giá trị nào của x Q 
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = -1
 3.5. Bài tập vận dụng :
	 	Bài 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử.
 	1) x3 - 4x2 + 8x - 8
	2) x2y + xy2 + x2z + xz2 + yz2 + 2xyz
	3) x2 + 7x + 10
	4) y2 + y - 2
	5) n4 - 5n2 + 4
	6) 15x3 + x2 - 2n
 Bài 2: Rút gọn biểu thức: 
 	 Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x3 + xy - 7 = 0.
Trong năm học 2016 - 2017 Tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy môn Đại số lớp 8 ở trường TH&THCS Lập Chiệng thu được kết quả khả quan . 
Kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi kỳ thi, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết quả tốt. Bên cạnh đó các phương pháp này giúp các em dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó và các kiến thức mới cũng như việc hình thành một số kỹ năng trong quá trình học tập và giải toán khi học bộ môn toán. 
Bảng đối chiếu kết quả kiểm tra đầu năm và cuối năm học 2016 – 2017 :
Số HS
Yếu
TB
Khá
Giỏi
Đầu năm
22
30%
55%
10%
5%
Cuối năm
22
5%
50%
30%
15%
 Chương III. 
Kết luận – đề xuất kiến nghị
1. Kết luận.
 Qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây kết quả học tập học tập của học sinh tăng lên rõ rệt. Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi và định hướng phương pháp làm bài khi chưa có sự gợi ý của giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo và từ việc giải toán rút ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Vì vậy với mỗi giáo viên cần hiểu rõ khả năng tiếp thu bài của các đối tượng học sinh để từ đó đưa ra những bài tập và phương pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm được các bài tập, gây hứng thú học tập, say sưa giải toán, yêu thích học toán. Từ đó dần dần nâng cao từ dễ đến khó, có được như vậy thì người thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phương pháp giải toán, có nhiều bài toán hay để hướng dẫn học sinh làm, đưa ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra các cách giải khác nhau cũng như cách giải hay,rèn luyện tính tự giác trong học toán, phương pháp giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải. 
 Trên đây là một số phương pháp Phân tích đa thức thành nhân tử. Tuỳ theo dạng đa thức mà áp dụng cách giải cho phù hợp.
	Sau những năm giảng dạy về dạng toán Phân tích đa thức thành nhân tử, tôi rút được một số kinh nghiệm sau:
Cần phải đọc kĩ đề bài, phân tích đề bài để từ đó xác định được phương pháp phân tích sao cho phù hợp.
Cần luyện kĩ năng cộng, trừ đơn thức và biến đổi đa thức cho học sinh. Cần luyện kĩ năng tính toán, cần nhắc nhở Học sinh chú ý về dấu.
Học sinh cần phải ghi nhớ và có kĩ năng vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ một cách linh hoạt.
Lưu ý bước thử lại cũng rất quan trọng, vì có một số học sinh trong quá trình biến đổi, tính toán có thể bị sai dấu, sai số hoặc sai luỹ thừa của biến sẽ dẫn đến kết quả sai.
 2. Kiến nghị 
- Mỗi giáo viên cần phải thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng, rèn luyện để không ngừng trau dồi về kiến thức kỹ năng dạy học. Thường xuyên đổi mới về cách soạn, cách giảng, đưa các ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học, đa dạng hoá các phương pháp và hình thức tổ chức dạy học để lôi cuốn được học sinh vào quá trình học tập.
- Tổ chuyên môn nhà trường có thể lấy sáng kiến kinh nghiệm này làm tài liệu cho giáo viên toán trong trường tham khảo.
Sáng kiến kinh nghiệm : “Hướng dẫn học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ” được tôi áp dụng đối với học sinh khối lớp 8. Do kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế nên sáng kiến kinh nghiệm này không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của các cấp quản lí giáo dục và các đồng nghiệp để cho sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn thiện hơn. 
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ
Lập Chiệng, ngày 20 tháng 04 năm 2017
NGƯỜI THỰC HIỆN
Quách Thanh Long
ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HĐKH
HUYỆN KIM BÔI
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa toán 8 tập 1; 2 – Nhà suất bản giáo dục.
Vở bài tập Toán 8 – Nhà suất bản giáo dục.
Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8 – Bùi Văn Tuyên.
Tổng hợp kiến thức toán 8 THCS – Nhà xuất bản đại học sư phạm.