Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách lập phương trình

15% = 115%
	Tháng sau số chi tiết máy mà cả hai tổ làm được là: 
	Giải phương trình trên : 
	110x + 115 (400 – x) = 44.800
	- 5x = - 1.200
	 x = 240
	Thử lại: 	; ; 264 +184 =448.
	Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất được 240 chi tiết máy, tổ II sản xuất được 400 – 240 = 160 chi tiết máy.
	Cách 2 Phần đặt ẩn số như cách 1.
	Trong tháng sau, cả hai tổ đã tăng năng suất là :
	Tổ II làm được so với tháng đầu là : 
	448 - 400 = 48 (chi tiết máy)
	Như vậy ta có phương trình :
	Giải phương trình trên :
	10x + 15 (400 – x) = 4.800
	- 5x 	 = - 1200
	 x = 	240
	Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất được 240 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất được 400 – 240 = 160 chi tiết máy.
Bài tập đề nghị :
	1- Theo kế hoạch, trong quý I, phân xưởng A phải sản xuất nhiều hơn phân xưởng B 200 bình bơm thuốc trừ sâu. Khi thực hiện, do phân xưởng A tăng năng suất 20%, còn phân xưởng B tăng năng suất 15% nên phân xưởng A sản xuất được nhiều hơn phân xưởng B là 350 bình bơm. Hỏi theo kế hoạch mỗi phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu bình bơm?
	2- Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công thợ. Hãy tính số công nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày công.
Loại 3 : Bài toán có liên quan đến số học và hình học 
	Chú ý về cấu tạo thập phân của một số : mỗi đơn vị của hàng này lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) mỗi đơn vị của hàng liền sau nó (hoặc liền trước nó) 10lần. Chẳng hạn, số có ba chữ số bằng :
 trong đó a, b, c là các số tự nhiên từ 0 đến 9, riêng a từ 1 đến 9.
	Ví dụ 1 : Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số đó bằng 7 và nếu ta viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số lớn hơn số đã cho là 27 đơn vị.
	Giải :
	Gọi số đã cho là , trong đó x, y là số tự nhiên và 1 < x < 9, 0 < y < 9 và 
 .
	Theo giả thiết thì x + y = 7. Số được viết theo thứ tự ngược lại là 
. 	 
	Theo đầu bài ta có hệ phương trình :
	Rút gọn hệ này ta được : 	
	Cộng theo từng vế ta có 2y = 10 hay y = 5. Suy ra x = 7 - 5 = 2.
	Giá trị này thõa mãn điều kiện đã nêu.
	Thử lại : 52 - 25 = 27
	Vậy số phải tìm là 25.
	Ví dụ 2: Một tam giác có cạnh huyền bằng 25cm và tổng hai cạnh góc vuông bằng 35cm. Tính độ dài mỗi cạnh góc vuông.
Giải :
	Gọi x (cm) là độ dài một cạnh góc vuông, x > 0. Cạnh góc vuông kia dài 35 - x (cm). Theo định lý Pitago ta có phương trình :
	x2 + (35 - x)2 = 252
	hay 	x2 + 1225 - 70x + x2 = 625
	x2 - 35x - 300 = 0
	D = 1225 - 1200 = 25 ; . 
	Phương trình có hai nghiệm: x1 = 20 và x2 = 15. Hai giá trị này thỏa mãn điều kiện đã nêu. Thử lại : 20 + 15 = 35 và 202 + 152 = 400 + 225 = 625 = 252.
	Vậy độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 20cm và 15cm.
Bài tập đề nghị :
	1- Nhà trường dự định làm một sân tập thể dục hình chữ nhật diện tích 350m2. Tính kích thước của sân biết rằng nếu giảm chiều dài 10m và tăng chiều rộng lên 4m thì diện tích vẫn không đổi.
	2- Trong một tam giác vuông, đường cao thuộc cạnh huyền dài 12cm và chia cạnh huyền thành hai đoạn hơn kém nhau 7cm. Tính độ dài cạnh huyền.
	Loại 4 : Bài toán có nội dung vật lý, hóa học 
	Để lập được phương trình, ta phải dựa vào các công thức, định luật của vật lý, hóa học liên quan đến những đại lượng có trong đề toán.
	Ví dụ 1 : Dùng hai lượng nhiệt, mỗi lượng bằng 168kJ để đun nóng hai khối nước hơn kém nhau 1kg thì khối nước nhỏ nóng hơn khối nước lớn 20C. Tính xem khối nước nhỏ được đun nóng thêm mấy độ?.
	Phân tích : Công thức tính nhiệt lượng là : Q = cm (t2 - t1)
trong đó nhiệt độ được tăng thêm là t2 - t1, suy ra khối lượng của nước là , biết rằng nhiệt dung riêng của nước là: c =4,2 kJ/kg.độ.
 Giải: Giả sử khối nước nhỏ được đun nóng x độ(x>0). Như vậy khối lượng nước 
nhỏ là:
 = (kg) , vì khối nước lớn được đun nóng kém hơn khối nước nhỏû 20C nên khối lượng của khối nước lớn là: (kg)
ø Theo đầu bài ta có phương trình : +1 = 
 Giải phương trình trên ta được : 
	 40 (x - 2) + x (x - 2) = 40x
	 x2 - 2x - 80 = 0
	 D‘ = 1 + 80 = 81 
	Phương trình có hai nghiệm là x1 = 10; x2 = - 8
	Vì x > 0 nên ta loại nghiệm âm.
	Vậy khối nước nhỏ được đun nóng thêm 100C.
	(Để giải bài toán này, có thể đặt ẩn là khối lượng khối nước nhỏ).
	Ví dụ 2 : Lấy 40g chất lỏng thứ nhất trộn lẫn với 30g chất lỏng thứ hai có khối lượng riêng nhỏ hơn 100kg/m3 ta được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 350kg/m3. Tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.
	Phân tích : Công thức khối lượng riêng: (kg/m3) 
	Chú ý khi trộn hai chất lỏng có khối lượng riêng khác nhau thì khối lượng riêng của hỗn hợp cũng sẽ khác nhưng thể tích của mỗi hỗn hợp thì bao giờ cũng bằng tổng thể tích của hai chất lỏng đem trộn mà công thức tính thể tích: . 
	Giải : 
	Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x (kg/m3) thì khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là (x - 100) kg/m3. Điều kiện x > 100.
	So sánh thể tích của hai chất lỏng và với thể tích củahỗn hợp: 
 Ta đi đến phương trình : + = 
Nhân hai vế với 100 và thay 	ta được phương trình:
 	 50 (4x - 400 + 3x) = x (x -100)
	 x2 - 450x + 20000 = 0
	D = 202500 - 80000 = 122500 = 3502 ; 
Phương trình có hai nghiệm : x1 = 400; x2 = 50.
Theo điều kiện đã đặt ra, ta chỉ lấy nghiệm x = 400.
Vậy khối lượng riêng của hai chất lỏng là 400kg/m3 và 300kg/m3.
Bài tập đề nghị : 
1- Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axit. Loại I chứa 30% axit, loại II chứa 50% axit. Muốn có 50 lít dung dịch chứa 15% axit thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu lít dung dịch mỗi loại?
2- Một hợp kim đồng và nhôm nặng 11,250kg, có thể tích là 3,500dm3.
Tính khối lượng của đồng và nhôm có trong hợp kim, biết rằng khối lượng riêng của đồng là 8,9g/cm3; của nhôm là 2,6g/cm3.
Loại 5 : Bài toán về công việc làm chung, làm riêng 
Chú ý : Nếu mất n đơn vị thời gian (giờ, ngày...) để làm xong một công việc thì trong 1 đơn vị thời gian ấy sẽ làm được công việc.
Ví dụ 1 : Hai đội công nhân xây dựng nếu làm chung thì mất 6 ngày sẽ làm xong công trình. Nếu làm riêng thì đội I phải làm lâu hơn đội II là 5 ngày. Hỏi mỗi đội làm riêng thì mất bao nhiêu ngày sẽ xong công trình.
Giải : 
Gọi x là số ngày mà đội I phải làm một mình để hoàn thành công trình. Như vậy đội II làm riêng phải mất x - 5 ngày. Điều kiện x > 5. Mỗi ngày đội I làm được 	 công trình, đội II làm được công trình và cả hai đội 
làm chung được công trình. Ta có phương trình : + = 
 	Giải phương trình trên :
	6(x - 5) + 6x = x(x - 5)
	 x2 - 17x + 30 = 0
	D = 289 - 120 = 169 = 132; 
Phương trình có nghiệm là x1 = 15, x2 = 2
Vì x > 5 nên ta chỉ lấy nghiệm x = 15
	Ví dụ 2 : Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước trong 12 giờ thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ và vòi thứ hai chảy trong 6 giờ thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi nếu chảy một mình thì phải mất bao lâu mới đầy bể.
Giải : Gọi x và y là số giờ mà mỗi vòi nước chảy một mình để đầy bể, x và y dương và tính bằng giờ. Như vậy, sau 1 giờ mỗi vòi chảy được và bể, cả hai vòi chảy được 	bể. Theo đề bài ta có hệ phương trình : 
Giải hệ phương trình : x =20 và y = 30
Mà x = 20, từ đó y = 30 thỏa mãn điều kiện đã nêu. Thử lại đúng.Vậy mỗi vòi nếu chảy riêng thì lần lượt phải mất 20 giờ và 30 giờ míi đầy bể.
Bài tập đề nghị :
1- Hai cần cẩu làm chung thì hoàn thành công việc sau 7giờ 30 phút. Nếu cần cẩu thứ nhất làm riêng trong 5 giờ và cần cẩu thứ hai làm riêng tiếp tục trong 1 giờ 40 phút thì míi được một nửa công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi cần cẩu phải làm trong bao lâu để xong công việc?.
2- Hai đội sản xuất cùng đào một con mương. Nếu để mỗi đội làm riêng cả con mương thì tính ra cả hai đội sẽ mất tất cả 25 ngày mới xong. Nếu góp sức làm chung thì cả hai đội chỉ mất 6 ngày. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội phải mất bao lâu để đào xong mương ?
3- Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước, sau giờ thì đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất sẽ đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?.
Loại 6 : Bài toán về tỉ lệ, về chia phần
Ví dụ 1 : Hai cửa hàng có tất cả 600 lít n­íc chấm. Nếu cửa hàng thứ nhất chuyển sang cửa hàng thứ hai 80 lít thì số nước chấm ở cửa hàng thứ hai sẽ tăng gấp đôi ở cửa hàng thứ nhất. Hỏi mỗi cửa hàng chứa bao nhiêu lít n­íc chấm?
Giải :Gọi số n­íc chấm có ở cửa hàng thứ nhất là x lít, ở cửa hàng thứ hai là y lít. Điều kiện x, y dương và nhỏ hơn 600. Theo gia thiết thứ nhất ta có
 x + y = 600. 
Sau khi chuyển 80 lít sang cửa hàng thứ hai có (y + 80) lít. 
Theo đề bài thì y + 80 = 2(x - 80). Như vậy ta có hệ phương trình:
	x + y = 600
	y + 80 = 2(x - 80)
Giải hệ phương trình trên :
hay
	x + y = 600 	x + y = 600
	y - 2x = - 240	2x - y = 240
Suy ra 3x = 840 hay x = 280, từ đó y = 600 - 280 hay y = 320. Nghiệm này thỏa mãn điều kiện đã nêu.
Thử lại : 280 + 320 = 600 ; 320 + 80 = 2 . 200 = 2 (280 - 80)
Vậy cửa hàng thứ nhất có 280 lít và cửa hàng thứ hai có 320 lit n­íc chấm.
Ví dụ 2 : Một đội xe cần phải chuyên chở 120 tấn hàng. Hôm làm việc, có 2 xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội xe có bao nhiêu xe?(SGK- Lớp 9 - trang 95).
Giải : Gọi x là số xe của đội xe, x nguyên dương. Hôm làm việc có (x - 2) xe. Theo dự định thì mỗi xe phải chở tấn, nhưng vì có 2 xe đi làm việc khác nên mỗi xe thực tế phải chở tấn và như thế phải chở thêm 16 tấn. Ta có phương trình : - = 16
Giải phương trình :120x - 120(x - 2) = 16x (x - 2)
	16x2 - 32x - 240 = 0
	x2 - 2x - 15 = 0
	D‘ = 1 + 15 = 16 
 Phương trình có nghiệm là x1 = 5 và x = -3 . Chỉ có giá trị x =5 là thích hợp với điều kiện đẫ nêu.
	Thử lại: 120 : 5 =24 (tấn) ; 5-2=3 (xe)
	 120 : 3 =40 (tấn) ; 40 – 24 =16 (tấn).
	Vậy đội xe cã 5 xe ô tô. 
Bài tập đề nghị :
1-Hai líp 9A và 9B được mua tất cả thảy 380 tập giấy và được phân phối đều cho hai líp theo tỷ lệ . Hỏi mỗi líp mua được bao nhiêu tập giấy.
2-Một đội thanh niên xung phong theo kế hoạch phải đào 40 m3 đất. Nhưng khi bất đầu làm đôïi được bổ sung thêm 5 người nên mỗi người giảm được định mức 0,4m3 đất. Hỏi đội có bao nhiêu người?
	3- Hội trường có 320 chỗ ngồi. Số người đến dự là 420 người, do đó phải xếp để mỗi dãy thêm 4 ghế và phải đặt thêm một dãy ghế nữa mới đủ. Hỏi hội trường lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế.
C – BIỆN PHÁP THỰC HIỆN:
Để thực hiện tốt yêu cầu đề ra trong việc phân tích bài toán “Giải toán bằng cách lập hệ phương trình” với thời lượng lên lớp chính khóa (2tiết) là rất khó.Do ®ã bản thân tôi mạnh dạn đưa ra các biện pháp sau đây:
1/ Việc quan trọng nhất trong thành công dạy học theo tôi đó là giáo viên phải soạn bài thật tốt, chuẩn bị một hệ thống câu hỏi phù hợp, các bài tập trắc nghiệm, tự luận phù hợp.
2/ Phân tích các bài tập “mẫu” cho học sinh qua các giờ phụ đạo do nhà trường tổ chức hoặc trong các giờ học môn tự chọn môn toán.Tuy nhiên để truyền tải thông tin đến học sinh nhanh nhất bản thân tôi soạn một số bài tập trắc nghiệm nhỏ để các em thực hiện.
Ví dụ: Để ôn tập cho phần “Đường lối chung để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” tôi soạn một bài tập như sau: Sắp xếp các b­íc sau theo cách hợp lý để chỉ ra “Đường lối chung để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình”
	c- Nhờ sự liên quan giữa các số liệu, căn cứ vào đề bài, mà lập phương trình,hệ phương trình
	e- Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn số.
	a-Nhận định kết quả, thử lại và trả lời. Chú ý so sánh với điều kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp không, sau đó trả lời bằng danh số (có kèm theo đơn vị).
	d- Dùng ẩn số và các số đã biết cho ở đề bài để biểu thị các số liệu khác, diễn giải các bộ phận hình thành phương trình, hệ phương trình.
	h-Lập phương trình gồm các công việc :
	b-Giải phương trình (hệ phương trình). Tùy theo từng dạng phương trình mà chọn cách giải thích thích hợp và ngắn gọn.”
*Hoặc víi bài toán :”Nếu hai vòi cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì đầy bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì phải bao lâu đầy bể ?”( Bài 5 trang 69 – Đại số 9). Bản thân tôi soạn một phiếu học tập như sau: Em hãy điền vào chỗ trống (........) nội dung thích hợp:
Nếu gọi thời gian vòi 2 chảy là x (h) .Điều kiện của x ............
+ Năng suất của vòi 1 chảy là.........
+ Năng suất vòi 2 chảy là ..................
+ Cả hai vòi cùng chảy trong 1 giờ : 
Ta có phương trình : + = 	
3/ Chia học sinh thành các nhóm nhỏ,mỗi nhóm có nhóm trưởng (Học sinh có học lực khá ,có uy tín với các bạn ).Tổ chức nhóm thảo luận các bài tập “mẫu”mà giáo viên đã giải ra giấy photo từ đó áp dụng giải một số bài tập mà giáo viên đưa ra. Sau đó cho các nhóm lên bảng trình bày bài giaiû của mình (có thuyết trình). Các thành viên còn lại của lớp có thể đặt câu hỏi pháp vấn nhóm giải bài. (nếu câu hỏi hay giáo viên phải kịp thời khen ngợi các em)
4/ Giáo viên phải chuẩn bị một số bài tập tương tự cho các em ( bản thân tôi photo các đề bài đã biên soạn ở trên phát cho các nhóm) về nhà thực hiện. Buổi sau ,bản thân tôi thu vở của các em, chấm và chữa từng bài giải của một số em, sửa từng câu văn, phép tính. Đây là một việc làm không khó, tuy nhiên nó đòi hỏi ở giáo viên sự tận tâm, tận tụy chịu khó trong công việc.
 D - KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
	Trên đây chỉ là một vài kinh nghiệm nhỏ được rút ra từ thực tế những năm giảng dạy của bản thân tôi. Phần giải toán bằng cách lập phương trình cũng rất đa dạng, tuy nhiên với khả năng của mình, tôi chỉ đề cập đến một số dạng đơn giản mà các em thường gặp ở chương trình lớp 8, lớp 9. Tôi cũng chỉ đi sâu vào vấn đề nhỏ đó là h­íngdẫn, giúp các em có kỹ năng lập phương trình bài toán, bởi vì muốn giải được bài toán bằng cách lập phương trình thì phải lập được phương trình, có phương trình đúng thì giải phương trình có kết quả đúng, dẫn đến mới trả lời được điều mà bài toán đòi hỏi.
	Víi những việc làm như đã nêu ở trên, bản thân tôi tự nghiên cứu áp dụng .Bước đầu tôi thấy có một số kết quả sau:
	-Trước khi thực hiện phương pháp này, đầu năm học tôi cho cacù học sinh lớp 9B (năm học: 2008-2009) do tôi phụ trách ( gồm 35 em) làm một bài toán giải của lớp 8,Tôi ghi lại kết quả theo dõi: 
-Điểm 9 ; 10: 04 học sinh. 
 -Điểm 5;6;7;8: 20 học sinh . 
-Điểm dưới trung bình: 11học sinh. 
Sau khi thực hiện tôi thấy kết quả của các em nâng lên rõ rệt: 
-Điểm 9 ; 10 : 10 học sinh. 
-Điểm 5;6;7;8 : 20 học sinh. 
-Điểm d­íi trung bình: 5 học sinh.
 Kết quả kiểm tra học kỳ I và trong bài kiểm tra chương III Đại số 9,kÕt qu¶ thi häc kú 2,tôi thấy hầu hết các em đã biết trình bày bài toán dạng này (33/35 học sinh đạt điểm trên trung bình). Tuy nhiên, một kết quả khác mà học sinh của tôi đạt được . Tôi thiết nghĩ không thể nói lên bằng các con số đó là:
-Phần lín học sinh đã say mê giải những bài toán bằng cách lập phương trình.
- Các em không còn lúng túng khi lập phương trình nữa.
- Các em có niềm tin, niềm say mê, hứng thú trong học toán , Từ đó, nó tạo cho các em tính tự tin độc lập suy nghĩ.
-Phát triển tư duy logic, óc quan sát, suy luận toán học, các em đã biết “Phiên dịch” các vấn đề từ ngôn ngữ văn học sang ngôn ngữ toán học thông qua các phép toán, biểu thức, phương trình.... giaiû quyết vấn đề đó .Từ đó, nó giúp phát triển ngôn ngữ và tạo cho cá em một tư thế míi , vững vàng trong học tập , lao động và trong cuộc sống. 
	- Trong quá trình giải các bài tập đã giúp các em có khả năng phân tích, suy ngẫm, khái quát vấn đề một cách chặt chẽ, các em không còn ngại khó, mà rất tự tin vào khả năng học tập của mình.
	- Nhiều em khá giỏi đã tìm ra được cách giải hay và ngắn gọn phù hợp.
	Tuy vậy bên cạnh những kết quả đạt được thì vẫn còn một số ít học sinh học yếu , lười học, chưa có khả năng tự mình giải được những bài toán bằng cách lập phương trình. Đối với các em yếu, đây là một việc thực sự khó khăn. Một phần cũng là do khả năng học toán của các em còn hạn chế, mặt khác dạng toán này lại rất khó, đòi hỏi sự tư duy nhiều ở các em. 
	Một yếu tố cũng ảnh hưởng đến chất lượng học của các em có lẽ là phương pháp giảng dạy của bản thân tôi đôi lúc chưa thực sự hợp lý.
	Trong quá trình giảng dạy, chắc hẳn ai cũng mong muốn cho học sinh hiểu bài, chất lượng học tập của các em tốt hơn, tạo cho các em có đầy đủ điều kiện bước vào cuộc sống hoặc học lên nữa. Vì vậy nó đòi hỏi chúng ta là người tạo ra những sản phẩm ấy cần phải :
	- Có một kiến thức vững chắc, có phương pháp truyền thụ phù hợp với từng đối tượng học sinh.
	- Học sinh phải nắm vững lý thuyết, biết vận dụng thực hành từng loại toán, giải nhanh, thành thạo bằng nhiều cách. Trên cơ sở giải bài tập, biết đặt ra bài tập mới để kích thích sự say mê học toán của mình.
Những biện pháp và việc làm của tôi như đã trình bày ở trên,bước đầu chưa đạt được kết quả chưa thật mỹ mãn đối với tâm ý của bản thân. Tuy nhiên, nếu thực hiện tốt tôi nghĩ nó cũng góp phần đổi mới phương pháp dạy học mà ngành đang quan tâm và chỉ đạo. 
Tôi tin chắc rằng những kinh nghiệm của tôi cũng chỉ là một trong những biện pháp nhỏ bé trong vô vàn kinh nghiệm được đúc kết qua sách vơ,û cũng như của quý thầy giáo, cô giáo đi tr­íc và các bạn đồng nghiệp. Vì vậy, bản thân tôi rất mong được sự góp ý, xây dựng của quý thầy giáo, cô giáo, cùng các bạn đồng nghiệp, nhằm giúp tôi từng bước hoàn thiện phương pháp giảng dạy của mình.Từ đó, bản thân tôi có điều kiện cống hiến nhiều hơn nữa trí lực của mình cho sự nghiệp giáo dục mà Bác Hồ kính yêu của chúng ta hằng mong ­íc và toàn Đảng, toàn dân ta hằng quan tâm. Tôi xin chân thành cảm ơn.
	 Tam DÞ, Ngµy 27 th¸ng 05 n¨m 2009.
 Ng­êi viÕt
 Th©n ThÞ Ng©n
Héi ®ång KHGD tr­êng
Héi ®ång KHGD ngµnh