Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh cách phân tích tìm tòi lời giải và cách khai thác bài toán tương tự

c đánh dấu khớp lại với nhau ở vị trí ban đầu.
Từ điều kiện bài toán suy ra: Số răng mỗi bánh xe phải quay là BCNN của 18 và 12 để số răng cưa mà mỗi bánh phải quay là ít nhất thì ta cần tìm BCNN (18;12)
Khi đó mỗi bánh xe sẽ quay bao nhiêu vòng ta lấy BCNN (18;12) chia cho số răng cưa mỗi bánh.
Bài toán 3: 
 Tại 1 bến xe cứ 10 phút lại có 1 chuyến tắc xi rời bến, cứ 12 phút lại có một chuyến xe búyt rời bến. Lúc 6 giờ, một xe tắc xi và một xe buýt cùng rời bến một lúc. Hỏi lúc mấy giờ lại có một chuyến taxi và một chuyến xe buýt cùng rời bến lần tiếp theo ?
- Phân tích tìm lời giải:
+ ẩn số: Là thời gian mà 1 xe taxi và 1 xe buýt cùng rời bến lần tiếp theo 
+ Dữ kiện: Cứ 10 phút lại có một xe taxi rời bến và 12 phút lại có 1 chuyến xe buýt rời bến
+ Điều kiện: Lúc 6 giờ có một xe taxi và 1 xe buýt cùng rời bến một lúc.
Từ cách phân tích trên ta suy ra: Thời gian để 1 xe taxi và 1 xe buýt cùng rời bến lần tiếp theo là BCNN của 10 và 12.
 Vì là lần tiếp theo nên khoảng thời gian đó phải là nhỏ nhất. Nên khoảng thời gian cần tìm chính là BCNN của ( 12;10). Từ đó suy ra thời điểm xe tắc xi và xe buýt rời bến cùng lúc tiếp theo
Bài toán 4:
 Tôi nghĩ một số có 3 chữ số. Nếu bớt số tôi nghĩ đi 7 thì được số chia hêt cho 7. Nếu bớt số tôi nghĩ cho 8 thì được số chia hết cho 8. Nếu bớt số tôi nghĩ cho 9 thì được số chia hết cho 9. Hỏi số tôi nghĩ là số nào ?
- Phân tích tìm lời giải:
+ ẩn số: Là số có 3 chữ số
+ Dữ kiện: nếu bớt số có 3 chữ số đó đi 7,8,9 đơn vị thì được lần lượt các số chia 
 hết cho 7,8,9.
 + Điều kiện: Số có 3 chữ số sau khi bớt chia hết cho 7,8,9.
 Từ cách phân tích trên ta suy ra: số có 3 chữ số cần tìm chính là BCNN của 7, 8,9 . Như vậy ta cần tìm BCNN cua (7;8;9 )
3. Một số bài toán khác:
Bài toán 1:
 Hai bạn giỏi toán An và Bảo nói chuyện với nhau, An nói: Trong 100 số tự nhiên đầu tiên đố bạn tìm ra 2 số mà ƯCLN của chúng là lớn nhất. Bảo nói: Thế thì tôi cũng đố bạn: trong 100 số tự nhiên đầu tiên tìm ra hai số mà BCNN của chúng là lớn nhất. Cả hai bạn đều tìm đúng. Đó là những số nào ?
- Phân tích tìm lời giải:
 Trước hết ta tìm ra hai số mà ƯCLN của chúng là lớn nhất. Để tìm hai số đó ta cần chú ý đến những số lớn nhất trong những số đã cho. Số lớn nhất trong 100 số tự nhiên đầu tiên là số 100. Mặt khác ƯCLN của hai số cũng là ước của mỗi số và 50 là ước lớn nhất của 100.
Suy ra số lớn nhất trong các ƯCLN của hai số trong 100 số tự nhiên đầu tiên là 50.
 Vậy hai số mà bạn An đố bạn Bảo là 100 và 50.
 Để tìm hai số mà BCNN của chúng lớn nhất ta cần chú ý đến những số lớn nhất trong các số đã cho. Ta thấy hai số 100 và 99 là hai số lớn nhất mà chúng lại nguyên tố cùng nhau. Do đó 100 và 99 là hai số có BCNN của chúng lớn nhất.
- Lời giải:
 Gọi hai số đó là a và b
Ta thấy số lớn nhất trong 100 số tự nhiên đầu tiên là 100
Mặt khác: ƯCLN ( a,b) cũng là ước của a và cũng là ước của b.
Trong 100 số tự nhiên đầu tiên thì 50 là ước lớn nhất của 100, mà 50 cũng là ước của 50 
 Vậy a = 50 và b = 100
 Vì trong hai số tự nhiên đầu tiên ta có hai số 100 và 99 
 Mà ( 99; 100) = 1
 Nên 99 và 100 là hai số trong 100 số tự nhiên đầu tiên có BCNN của chúng là lớn nhất.
Bằng phương pháp tương tự các bạn có thể giải được các bài toán sau:
 1- Trong 100 số tự nhiên đầu tiên tìm 3 số mà ƯCLN của chúng là lớn nhất ?
 2- Trong 100 số tự nhiên đầu tiên tìm 4 số mà ƯCLN của chúng là lớn nhất ?
 * Tổng quát: Trong n số tự nhiên liên tiếp tìm 2 số ( hoặc 3, 4,số) mà ƯCLN
 của chúng là lớn nhất ?
 3- Trong 100 số tự nhiên đầu tiên tìm 3 số mà BCNN của chúng là lớn nhất ? 
* Tổng quát: Trong n số tự nhiên liên tiếp tìm 3 số ( hoặc 3, 4,5  số) mà BCNN 
 của chúng là lớn nhất ?
4- Trong 100 số tự nhien đầu tiên tìm 3 số mà ƯCLN của chúng là nhỏ nhất ?
 * Tổng quát:
 Trong n số tự nhiên liên tiếp tìm 2 ( hoặc 3, 4 số) mà ƯCLN của chúng là nhỏ nhất ?
5- Trong 100 số tự nhiên đầu tiên tìm 3 số ( hoặc 4, 5 số) mà BCNN của chúng nhỏ nhất ?
* Tổng quát:
Trong n số tự nhiên liên tiếp tìm 2 số ( hoặc 3,4  số) mà BCNN của chúng là nhỏ nhất 
Bài toán 2:
Cho số a không chia hết cho 6. Biết BCNN ( a, b) = 630, ƯCLN ( a, b) = 18
Tìm hai số a và b ?
- Phân tích tìm lời giải:
Biết BCNN ( a,b) = 630, ƯCLN ( a, b) = 18, ta biết được:
a.b = ƯCLN ( a,b) x BCNN ( a,b) = 18.630 = 11 340
Mặt khác: ƯCLN (a,b) = 18 => a = 18 a1; b = 18 b1 và a1, b1 nguyên tố cùng nhau. 
Ta thay a = 18 a1; b = 18 b1 vào tích a.b = 18.630
Từ đó ta tìm được a1.b1 = 35 => tìm được a1 và b1 => tìm được a và b.
- Lời giải:
 Vì ƯCLN ( a,b) = 18; BCNN ( a,b) = 630 => a.b = 18. 630
 Mặt khác: ƯCLN ( a,b) = 18 => a = 18 a1; b = 18 b1 và a1, b1 nguyên tố cùng nhau nên thay a = 18 a1; b = 18 b1 vào tích a.b = 18.630 ta được: 
 18a1. 18b1 = 18.630 => a1.b1 = 35 => a1 = 5; b1 =7 hoặc a1 = 7; b1 = 5
 Với a1 = 5; b1 = 7 => a = 90; b = 136
 A1 = 7; b1 = 5 => a= 136; b = 90
 Vậy hai số đó là 99 và 136.
Bằng phương pháp tương tự các bạn có thể giải được các bài toán sau:
 Thay điều kiện biết BCNN bằng một điều kiện khác ta sẽ có 1 bài toán mới có cách giải tương tự.
 Chẳng hạn tìm hai số a và b biết: ƯCLN ( a,b) = 18 và a + b = 180.
 2. Tìm hai số khi biết BCNN và ƯCLN của chúng.
4- Một số bài toán tham khảo:
- Các bạn áp dụng phương pháp tìm lời giải trên để giải xem sao ?
 Bài toán 1: 
Cô giáo chủ nhiệm muốn chia 128 quyển vở, 48 bút chì và 120 tập giấy thành một số phần thưởng như nhau để thưởng cho học sinh nhân dịp tổng kết năm học. Hỏi có thể chia được nhiều nhất là bao nhiêu phần thưởng ?. Mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, bao nhiêu bút chì, bao nhiêu tập giấy ?
Bài toán 2:
Một số tự nhiên a khi chia cho 4 dư 3, chia cho 5 dư 4, chia cho 6 dư 5.
Tìm số a biết rằng: 200 a 400
Bài toán 3:
Ba con tàu cập bến theo cách sau: Tàu một cứ 15 ngày cập bến một lần, tàu hai cứ 20 ngày cập bến một lần, tàu 3 cứ 12 ngày cập bến một lần. Lần đầu cả 3 tàu cùng cập bến vào một ngày. Hỏi ít nhất bao nhiêu ngày sau thì cả 3 tàu sau lại cùng cập bến ?
Bài toán 4:
Khối lớp 6 có 300 học sinh, khối lớp 7 có 276 học sinh, khối lớp 8 có 252 học sinh. Trong một buổi chào cờ học sinh cả 3 khối xếp thành hàng dọc như nhau. Hỏi: 
Có thể xếp được bao nhiêu hàng dọc để mỗi khối không có ai lẻ hàng ?
Khi đó mỗi khối có bao nhiêu hàng ngang ?
Bài toán 5: 
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 105m, chiều rộng 60m. Người ta muốn trồng cây xung quanh vườn sao cho mỗi góc vườn có một cây và khoảng cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau. Tính khoảng cách lớn nhất giữa hai cây liên tiếp, khi đó tổng số cây trồng được là bao nhiêu ?
 III. Kết luận:
 Trên đây là một số vấn đề về cách giải bài toán thực tế quy về tìm ƯCLN và BCNN của hai hay nhiều số. Tuy nhiên trong việc giải toán nói chung và phương pháp giải các bài toán thực tế dạng này ở chương trình toán 6 nói riêng thì ta có thể có nhiều cách giải khác thích hợp cho từng đối tượng học sinh. Song với phương pháp tôi trình bày ở trên, thời gian qua đã thu được kết quả tốt.
 Từ chỗ học sinh lúng túng tìm ra lời giải nay đã giải nhanh bài tập loại này.
 Kết quả khảo sát cho thấy hơn 70% các em đạt yêu cầu trở lên .
 Mong rằng bạn đọc trao đổi, góp ý để phương pháp giải toán thêm phong phú.
	Tôi xin chân thành cảm ơn!
 I. Đặt vấn đề
 Giải toán là việc sử dụng các kiến thức cơ bản đã học để biến đổi bài toán đến kết quả cần tìm. Để làm được điều đó đòi hỏi người học toán phải biết vận dụng và thể hiện các kiến thức đã học đồng thời di chuyển kiến thức cơ bản một cách linh họat, sáng tạo để vận dụng vào các bài toán cụ thể. Muốn vậy vai trò quan trọng không thể thiếu được đó là sự định hướng, hướng dẫn của thầy giáo, biến nhu cầu sư phạm thành nhu cầu nội tại mới của bản thân người học trong quá trình giải toán. Nghĩa là giáo viên cần phải biết hình thành thói quen, cho học sinh khả năng thu thập và xử lý thông tin, tức là: Kỷ năng quan sát nhận xét, từ đó dự đoán con đường và tìm phương tiện sử dụng để đi đến kết quả bài toán. Đồng thời cần phải biết hệ thống hóa cho học sinh chuỗi các bài toán, dạng toán có cùng công dụng giải và phương pháp giải. Chính vì vậy trong bài viết này tôi xin đưa ra kinh nghiệm của mình trong quá trình dạy toán đó là: 
 Hướng dẫn học sinh vận dụng hằng bất đẳng thức cơ bản ( A – B )2 0 vào giải các bài toán thường gặp trong chương trình toán 8,9. Đặc biệt trong chuyên đề ôn thi tốt nghiệp, chuyển cấp và bồi dưỡng học sinh giỏi.
 Việc vận dụng bất đẳng thức ( A – B )2 0 vào giải các bài toán của các em còn lúng túng chưa vận dụng được nó trong các bài toán cụ thể điều đó làm tôi suy nghĩ và tìm cách giúp các em vượt qua các chướng ngại. Đó cũng là lý do tôi chọn đề tại này.
II. Giải quyết vấn đề:
1. Thực trạng:
 Sau khi học xong: Bài 2 – liên hệ giữa thứ tự và phép nhân, ở chương IV. Bất phương trình bậc nhất1 ẩn – Toán 8 – tập 2, hầu hết các em biết: Chứng minh hằng bất đẳng thức ( A – B )2 0 với mọi A,B dấu “ =” đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi A – B = 0 ú A = B
Tuy nhiên, việc vận dụng bất đẳng thức này vào giải quyết các bài toán của các em còn yếu. Đặc biệt là các bài toán cực trong đại số cũng như hình học, học sinh chưa biết cách biến đổi lamg xuất hiện A2 + B2 – 2AB = (A – B)2.
Hoặc chưa có kỷ năng dịch chuyển kiến thức. Chẳng hạn: A2 + B2 – 2AB 0 
Sang các kiến thức: A2 + B2
 	 AB
	2
Với mọi giá trị AB. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = B.
Đặc biệt khi A 0; B 0 ta có:
 A+B
	 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = ú A = B
 2
 Để giải quyết vấn đề này người thầy giáo phải có khả năng hình thành cho học sinh kỷ năng quan sát, đánh giá, tự nhận xét mỗi quan hệ gữa các tình huồng có vấn đề với các kiến thức quen thuộc. Từ đó giả định các hướng giải quyết. Để thực hiện được điều đó, mỗi giáo viên chúng ta cần xây dựng hệ thống cho học sinh các chuỗi bài toán. Các dạng toán và công cụ giải đó là sử dụng bất đẳng thức (A – B )2 0 và các hệ quả của nó.
Vịêc hướng dẫn học sinh sử dụng bất đẳng thức trên vào giải các bài tập trong chương trình SGK cũng như trong các chuyên đề ôn thi vào các lớp 10 và bồi dưỡng học sinh giỏi khói 8,9 như thế nào ? Chúng ta cùng theo dõi mục 2 ( giải quyết vấn đề)
2- Hướng dẫn học sinh vận dụng hằng đẳng thức ( A – B )2 0 trong quá trình giải toán:
2.1 Trước hết ta sử dụng trực tiếp bất đẳng thức ( A – B )2 0. Điều quan trọng nhất là giáo viên cần phải hướng dẫn học sinh nhận dạng hằng bất đẳng thức : A2 + B2 – 2AB = (A – B)2 0 trong bài toán cụ thể nghĩa là phải thường xuyên đặt câu hỏi, biểu thức đã cho có dạng (A – B )2 chưa ? A, B ? Để trả lời câu hỏi này giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm A,B từ 2AB họăc từ A2 , B2 sau đây là chuỗi các bài toán sử dụng các kỹ năng trên.
Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:
 Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức (A – B)2 0 vào giải dạng toán này, ta cần hướng dẫn cho học sinh chứng minh các bài toán đơn giản. Xuất phát từ bài toán cơ bản ở sách bài tập – Toán 8 – tập 2 như sau:
Bài toán 1: Chứng tỏ rằng:
( m + 1)2 4m
m2 + n2 +2 2(n + m) ( Bài 79 – trang 49 – SBT – toán 8 – tập 2)
Giải: 
Xuất phát từ bất đẳng thức quen thuộc ( m – 1)2 0 (1)
 Cộng hai vế của BĐT (1) với 4m ta được m2 – 2m + 1 +4m 4m
 ú m2 + 2m + 1 4m ú ( m + 1)2 4m ( đpcm).
Xét hiệu sau:
 m2 + n2 +2 – 2(n + m) = m2 – 2m + 1 + n2 – 2n + 1 = ( m – 1)2 + ( n – 1)2 0 
 với mọi n,m hay là m2 + n2 +2 – 2(n + m) 0 ú m2 + n2 +2 2(n + m) ( đpcm)
 Tương tự bài toán 1 ta đưa ra bài toán 2 như sau:
Bài toán 2: 
 Chứng minh rằng: m2 – 2m + 2 1 với mọi m
Giải:
Nhận thấy rằng m2 – 2m + 1 = (m – 1)2 0
Nên ta có: m2 – 2m + 2 = m2 – 2m + 1 + 1 = (m – 1)2 + 11
Hay : m2 – 2m + 2 1 ( đpcm)
Từ đó giáo viên có thể đặt câu hỏi: Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 m2 – 2m + 2 = 1 đạt được khi nào ?
Câu trả lời như sau: Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi (m – 1)2 = 0 
 ú m – 1 = 0 
 ú m = 1.
Tiếp tục hình thành cho học sinh kỹ năng làm xuất hiện ( A – B )2 0, 
 ta có thể đưa ra bài toán 3 như sau:
Bài toán 3: Tìm giá trị nhỏ nhất A = x2 – 2x
Hướng dẫn:
 Với cách làm xuất hiện biểu thức: A2 – 2AB + B2 . 
 Để vận dụng bất đẳng thức: ( A – B )2 0 ta cần đặt câu hỏi đối với biểu thức x2 – 2x thì A2 = ? => A = ?; AB = ?; B = ?
 ( Trả lời: A2 = x2 ; 2AB = 2x1 => B = 1)
 Bài toán đã cho xuất hiện B2 chưa ? Muốn xuất hiện B2 thì làm thế nào ? Trả lời được các câu hỏi trên ta đã có dược cách biến đổi như sau:
 A = x2 – 2x1 + 1 – 1 = ( x-1)2 - 1( vì ( x-1)2 0). Đẳng thức xảy ra ú x = 1
 Vậy giá trị của biểu thức A = -1 đật được khi x = 1
Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhất của tam thức bậc hai
 B = - 2x2 + 20x + 3
Hướng dẫn:
 Ta biến đổi như sau: 
 B = - 2( x2 – 10x) + 3 = - 2(x2 – 2x.5 + 25) + 3 + 25.2 = -2(x – 5)2 + 53 
 suy ra: B 53 với mọi x (vì ( x – 5)2 0 => -2(x – 5)2 0 với mọi x).
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x – 5 = 0 ú x = 5. Vậy giá trị lớn nhất của 
 biểu thức B = 53 đạt được khi x = 5
 Với chú ý x 0 ; x = . 
 Ta có thể giải quyết bài toán sau:
Bài toán 5:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức sau
 a, C = x - ( đề thi học sinh giỏi lớp 9)
 b, D = - x
Hướng dẫn:
 a, ta có : x - = - (1). Khi đó ta đặt câu hỏi hướng dẫn học sinh như sau: 
 Biểu thức (1) có dạng A2 – 2AB + B2 chưa ? Muốn vậy ta làm như thế nào ?
 Đối với (1) thì tích 2AB = ? A2 = ? suy ra A = ? 
 ( Trả lời: A2 = suy ra A = ); 
 2AB = ). Vậy B = ? từ đó ta có thể đưa biểu thức (1) về dạng ( A – B)2 như sau:
 C = - 2 + - = - - với mọi x 0 đẳng thức xẩy ra
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: - = 0 ú x = 
 Vậy biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất bằng - đạt được khi x = 
 Sau đây là một số bài tập vận dụng kỹ năng trên để giải:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức sau:
 a, E = - 2005 x2 + 2006x – 2007
 b, F = x – 2 ( Đề thi học sinh giỏi thành phố lớp 9 – năm 1997- 1998)
 Hướng dẫn: 
 Ta thấy x - 2 = x – 1 - 2 + 1 = ( - 1)2 0 vơi mọi x 1.
 c, G = 
 d, H = x2 + 2y2 – 2xy + 2( x – 2y +1)
 h, I = x4 – 4x3 + 8x
 g, K = 
 i, Cho a, b,c là các số dương chứng minh rằng:
 ( a+ b)(a+c)(b+c) 8abc 
 Hướng dẫn: 
 áp dụng BĐT Cô-si đối với các cặp số dương: a và b; b và c; c và a rồi cộng 3 BĐT vế theo vế ta sẽ được kết qủa bài toán.
Dạng toán 2: Giải phương trình và hệ phương trình:
 Bài 1: Giải phương trình:
 + = 1 (1)
 Hướng dẫn:
 Với kỹ năng làm xuất hiện A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 0 ta biến đổi bài toán như sau: 
Phương trình (1) ú + = 
 Ta nhận thấy (x – 2)2 +1 1; (3y – 1)2 0 Do đó phương trình 
 (x – 2)2 = 0 x = 2
 (1) ú ú
	 (3y – 1)2 = 0 y = 
 Bài 2: Với các số thực x,y,z thóa mãn đẳng thức:
 x (2)
 Chứng minh : 
 x2 + y2 + z2 = ( Đề thi học sinh giỏi lớp 9)
 Hướng dẫn: Bằng cách thêm bớt “ một lượng” x2 , y2 , z2 vào phương trình:
 3 - ,
 ta được: 
 ú = 0
 x = x2 = 1 – y2
y = ú y2 = 1- z2
z = z2 = 1 – x2
 Cộng đẳng thức trên về với vế, ta suy ra: x2+ y2 + z2 = ( đpcm)
2.2. Vận dụng gián tiếp BĐT: (A – B)2 0 để chứng minh BĐT Cô-si không khó đối với các em sau khi làm bài tập 28 a,b trang 43 bài tập – toán 8 – tập 2.
 Từ đó các em có thể chứng minh BĐT Cô - si như sau:
 Ta luôn có: ( a- b)2 0 ú a2 + b2 2ab ú (1)
 Đẳng thức xảy ra khi a = b
 Với x 0; y 0 thì Vì ()2 = (3)
 Từ (2) và (3) suy ra: (*)Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi: = ú x= y (*) là BĐT Cô - si đối với hai số không âm x,y
Bất đảng thức Cô - si, được sử dụng khá phổ biến để chứng minh BĐT, và các dạng toán khác nhau như phương trình, hệ phương trìnhĐặc biệt là các bài toán cực trị. 
Sau đây là một số bài toán vận dụng kiến thức trên.
Bài 1: Chứng minh BĐT:
 x + 2 Với x > 0
Giải: Với x > 0 => > 0 do đó BĐT Cô- si ta có 
 x + 2 = 2 Với mọi x > 0. Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x = 
 ú x= 1 ( đpcm)
 Tiếp tục vận dụng BĐT Cô - si đối với hai số không âm a,b với chú ý ab là một số không đổi h ta có bài toán 2
Bài 2: Chứng minh rằng nếu 2 số không âm có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Giải: Với 2 số a,b không âm có ab = h không đổi theo BĐT Cô -si ta có:
 a + b 2 
 ú a +b 2đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a – b = . Với chú ý: a + b = k ( không đổi) ta có nội dung bài toán 3 như sau:
Bài 3: Chứng minh nếu hai số không âm có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Giải: Vận dụng tương tự bài toán 2 ta có a = b ú ab 
 (Với a + b = h) đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 
 Vậy giá trị lơn nhất của ab là khi và chỉ khi a = b = 
 Tiếp tục vận dụng Cô - si ta có thể giải bài toán sau đây:
Bài toán 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số	x4 + 2x2 + 2
 y = 
 x2 + 1
 Giải: Thực hiện phép chia tử thức cho mẫu thức, ta viết y = x2 + 1 + 
 áp dụng BĐT Cô - si ta có: y = x2 + 1 + 2 = 2 với mọi x. 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x2 + 1 = ú (x2 + 1)2 = 1ú x2 + 1= 1
 ú x = 0 . Vậy giá trị nhỏ nhất là 2 khi và chỉ khi x = 0
Sau đây là một số bài tập vận dụng 1 số kỹ năng trên để giải.
Bài 1: Chứng minh: với mọi x > 0 ( Đề thi TN THCS )
 Hướng dẫn: Theo BĐT Cô - si, ta có: x = 1 2 với mọi x > 0
Bài 2: Cho xy > 0 chứng minh rằng + 
 Hướng dẫn: áp dụng BĐT Cô - si đối với hai số dương:
 + 2 = 
Từ đó ta có bài toán tổng quát sau:
Bài 3: Chứng minh : + Với n 
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = + 
Bài 5: Cho phương trình m2x2 – 2( m- 2)x + 1 = 0 (1)
 Với giá trị nào của m thì biểu thức: P = đạt giá trị nhỏ nhất. 
 ( x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ( 1)).
Hướng dẫn: Phương trình (1) có hai nghiệm
 m 0 m 0
ú ‘ = -4m + 4 0 ú m 1
 Khi đó do x1x2 = > 0 nên x1x2 > 0 sử dụng BĐT Cô - si ta tìm được P 2.
 Đạt được khi x1 = x2 suy ra: m = 1.
Bài 7: Giải hệ phương trình: (1)
	 x2008 + y2008 = 8(2)
 Hướng dẫn: Từ (1) ta có: x,y > 0 áp dụng BĐT Cô - si cho hai cặp số dương:
 và ; x2008 và y2008 ta dễ dàng tìm được nghiệm của hệ:
 x = y = 
Bài 8: Với các số dương x,y thỏa mãn x xy + 1.
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ( Đề thi học sinh giỏi – toán 9) Chú ý: áp dụng kết quả bài toán 2 và bài toán 3 ta sẽ giải được một số bài toán hình học như sau:
Bài toán 1 chứng minh:
1.1. Trong các hình chữ nhật có chu vi như nhau thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
1.2 Trong các hình chữ nhật có diện tích như nhau thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
 Hướng dẫn giải: 
 Gọi các kích thước của hình chữ nhật là x, y. Theo bài ra ta có x + y = m và xy = n (không đổi). Chứng minh tương tự bài toán 2,3.
Sau đây là một số bài tập:
Bài 1:Trong các tam giác có chu vi như nhau, tam giác nào có diện tích lớn nhất ?
 Hướng dẫn: Vận dụng công thức Hê- rông ta có: S= 
Bài 2: Trong các tam giác vuông có độ dài đường cao thuộc cạnh huyền như nhau thì tam giác nào có diện tích nhỏ nhất ?
Hướng dẫn:
 Giả sử tam giác ABC vuông tại A hạ đường cao AH thì AH = h 
 (không đổi) theo tính chất của tam giác vuông: BH.CH = AH2 = h2. 
 Khi đó áp dụng BĐT Cô - si đối với hai số: BH và CH ta dễ dàng tìm được 
 kết quả bài toán .
Bài 3: Trong các tam giác vuông có độ dài cạnh huyền như nhau thì tam giác nào có diện tích lớn nhất ?
 III . Kết luận
 Qua kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, tôi thấy sau khi phân loại các dạng bài tập theo hệ thống từ đơn giản đến phức tạp có cùng công cụ giải. Tôi thấy các em đã có kỹ năng vận dụng linh họat BĐT (A – B)2 0 vào giải các bài toán. Vì vậy các em có niềm tin, niềm say mê giải toán cũng như học toán. Do đó trong các buổi ôn tập, bồi dưỡng Tôi có thể mở rộng được các kiến thức cho học sinh khá, giỏi nhằm giúp các em khắc sâu được kiến thức cơ bản cũng như sự hình thành được các kỹ năng, phương pháp giải toán.
 Trên đây là chút kinh nghiệm tôi tích lũy qua quá trình giảng dạy, cùng sự ôn tập bồi dưỡng  cho các em học sinh khối 8,9 .. Đồng thời để hoàn thành được đề tài này, bản thân tôi đã nỗ lực tìm tòi, nghiêm cứu tài liệu cũng như học hỏi đồng nghiệp trong các buổi sinh họat chuyên môn. 
 Tuy nhiên, không thể tránh khỏi những thiếu sót trong quá trình hình thành ý tưởng và trong việc bắt tay vào viết đề tài này. Rất mong được sự góp ý bổ sung hoặc sữa chữa những chỗ chưa hợp lý của quý thầy cô giáo và bạn bè đồng nghiệp để xây dựng để đề tài được hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.