Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh 12 học tốt nội dung Ứng dụng của tích phân trong hình học

ỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH
1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b 
Chú ý : Giả sử hàm số liên tục trên đoạn .
Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng có diện tích là S và được tính theo công thức :
 (1)
 Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn vậy ta phải “ khử ” dấu giá trị tuyệt đối .
Nếu thì 
Nếu thì 
Muốn “ khử ” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x) 
Thường có hai cách làm như sau :
Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bậc nhất” , định lí “dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức ; đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤ 0 trên đoạn 
Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số trên đoạn để suy ra dấu của f(x)
 trên đoạn đó .
Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số nằm phía “trên” trục hoành thì 
Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số nằm phía “dưới” trục hoành thì 
 Cách 3 Nếu không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có : 
2/ Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ
Nội dung để bài
Cách giải
1
Tính 
Bảng xét dấu nhị thức.
Suy ra 
2
Tính 
Bảng xét dấu tam thức.
 ; 
=
Cách khác: (không xét dấu tam thức)
3/ Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành.
Nội dung để bài
Cách giải
Bài toán 1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
 , trục hoành , các đường thẳng 
Đồ thị: 
Nhận xét: 
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Bài toán 2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
 , trục hoành , trục tung và đường thẳng 
Đồ thị: 
Nhận xét: 
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Bài toán 3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
 , trục hoành , và hai đường thẳng 
Đồ thị: 
 Nhận xét: 
 Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
 Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
 Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Bài toán 4. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
 , trục hoành , và hai đường thẳng 
Đồ thị: 
 Nhận xét: 
 Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
 Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
 Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Bài toán 5. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , và hai đường thẳng 
Đồ thị: 
Nhận xét: 
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt) 
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm : 
Bài toán 6. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành , và hai đường thẳng 
Đồ thị: 
Nhận xét: 
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt) 
Bài toán 7. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , và hai đường thẳng 
Đồ thị: 
Nhận xét: 
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Bài toán 8. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , và hai đường thẳng 
Đồ thị: 
Nhận xét: 
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt) 
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm : 
Bài toán 9. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , và hai đường thẳng 
Đồ thị: 
Nhận xét: 
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt) 
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm : 
Bài toán 10. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , và hai đường thẳng 
Đồ thị: 
Nhận xét: 
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt) 
Bài toán 11. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , và hai đường thẳng 
Đồ thị: 
Nhận xét: ; 
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt) 
Chú ý: Nếu phương trình có nghiệm phân biệt trên thì trên mỗi khoảng biểu thức không đổi dấu.
Khi đó tích phân được tính như sau:
Bài toán 12. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , trục tung và đường thẳng 
Đồ thị: 
Nhận xét: 
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
 Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm : 
Bài toán 13. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , và hai đường thẳng 
Đồ thị: 
Nhận xét: 
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Bài toán 14. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) hàm số với trục hoành 
Đồ thị: 
Giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là nghiệm của phương trình:
Nhận xét: 
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Bài toán 15. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , và hai đường thẳng 
Đồ thị: 
Nhận xét: 
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Cách khác: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Bài toán 16. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và đường thẳng 
Đồ thị: 
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành:
Nhận xét: 
Gọi S là diện tích cần tìm : 
Đặt 
 (đvdt)
Bài toán 17. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành ,trục tung và đường thẳng 
Đồ thị. 
Nhận xét: 
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Bài 18 . Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , và hai đường thẳng 
Nhận xét: 
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Chú ý: 
Bài toán 19. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , và hai đường thẳng 
Nhận xét: 
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
4/ Diện tích hình tròn , hình elip :
Nội dung để bài
Cách giải
a. Diện tích hình tròn.
Tính diện tích hình tròn tâm O bán kính R.
Phương trình đường tròn tâm O bán kính R:
Ta có : 
Với , ta có: 
Gọi S là diện tích hình tròn: 
Với : 
+ Tính : 
Đặt : với : 
Đổi cận:
Công thức diện tích hình tròn :
Do đó: (đvdt)
a. Diện tích hình elip.
Tính diện tích hình elip (E) có phương trình chính tắc:
(E): với 
Công thức diện tích hình elip
Phương trình chính tắc của elip:
 (E): với 
Với , ta có: 
Gọi S là diện tích hình elip: 
Với : 
+ Tính : 
Đặt : với : 
Do đó: (đvdt)
Bài tập áp dụng:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
, trục hoành và hai đường thẳng 
, trục hoành và hai đường thẳng 
 và trục hoành
, trục hoành và hai đường thẳng 
B. HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
1/ Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Cho hai hàm số có đồ thị là (C1) , có đồ thị là (C2).
Nếu hai đồ thị (C1) và (C2) có điểm chung là điểm M thì cặp số là nghiệm của hệ phương trình (1)
 Hoành độ x0 của điểm chung M là một nghiệm của phương trình (*)
 Giải phương tình (*) ta sẽ được hoành độ của giao điểm của hai đồ thị.
 Phương trình (*) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
 Thay x = x0 vào một trong hai phương trình của hệ (1) ta tìm được tung độ của giao điểm .
2/ Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Ví dụ
Nội dung đề bài
Cách giải
1
Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: 
 và 
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số:
Với : ; 
Vậy hai đồ thị trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt ; 
2
Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số :
 và 
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số:
Vì 
Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị: 
3
Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số :
và 
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số:
Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị: 
3/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số :
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: và và hai đường thẳng : 
Nội dung để bài
Cách giải
Bài toán 20. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
 và 
Đồ thị:
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:
Gọi S là diện tích cần tìm:
Cách 1. ( Dựa vào đồ thị )
 Cách 2. ( Không dựa vào đồ thị )
 (đvdt)
Bài toán 21. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
 và 
Đồ thị:
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:
Gọi S là diện tích cần tìm:
Bài toán 22. Cho hàm số :
 (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ 
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), tiếp tuyến d và đường thẳng 
Đồ thị.
 TXĐ: 
a) Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ 
với: 
Phương trình tiếp tuyến d : 
b) Ta có : 
Gọi S là diện tích cần tìm:
 (đvdt)
Bài toán 23. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : và 
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:
Gọi S là diện tích cần tìm:
Bài tập áp dụng.
Bài tập
Nội dung đề bài
Đồ thị
1
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : và 
2
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : và 
3
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : và 
4
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : , trục hoành và đường thẳng đi qua 2 điểm 
PHẦN III 
THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY
I. Công thức tính vật thể tròn xoay 
1 / Vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh trục hoành.
Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
, trục hoành , hai đường thẳng và quay quanh trục , được tính 
theo công thức:
Bài tập
Nội dung đề bài
Cách giải
1
Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 và quay quanh trục 
Gọi V là thể tích cần tìm:
 (đvtt)
2
Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 và quay quanh trục 
Gọi V là thể tích cần tìm:
 (đvtt)
3
Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 và quay quanh trục 
Gọi V là thể tích cần tìm:
 (đvtt)
4
Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 và quay quanh trục 
Gọi V là thể tích cần tìm:
 (đvtt)
5
Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 và quay quanh trục 
Gọi V là thể tích cần tìm:
 (đvtt)
6
Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 và quay quanh trục 
Gọi V là thể tích cần tìm:
Đặt: 
Đặt: 
 (đvtt)
Nội dung đề bài
Cách giải
Bài toán 24. Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 và quay quanh trục 
Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: quay quanh trục
 (đvtt)
Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: quay quanh trục
 (đvtt)
Gọi V là thể tích cần tìm:
 (đvtt)
Bài toán 25. Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 và quay quanh trục 
Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: quay quanh trục
 (đvtt)
Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: quay quanh trục
 (đvtt)
Gọi V là thể tích cần tìm:
 (đvtt)
Bài toán 26. Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: và quay quanh trục 
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:
Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: quay quanh trục
 (đvtt)
Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: quay quanh trục
(đvtt)
 Gọi V là thể tích cần tìm:
 (đvtt)
Bài toán 27. Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: và quay quanh trục 
Gọi V là thể tích cần tìm:
 (đvtt)
Bài tập áp dụng.
Bài tập
Nội dung đề bài
Đồ thị
1
Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
; và quay quanh trục 
2
Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
;; và quay quanh trục 
3
 Cho hàm số : (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ 
b) Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị (C), tiếp tuyến d và đường thẳng 
c) Thể tích của một vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng (H) quanh trục hoành. 
2/ Vật thể tròn xoay được tạo thành khi quanh một hình phẳng quanh trục tung 
Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
, trục hoành , hai đường thẳng và quay quanh trục , được tính theo công thức:
Bài tập
Nội dung đề bài
Cách giải
1
Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 và quay quanh trục 
Gọi V là thể tích cần tìm:
2
Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 và quay quanh trục 
Gọi V1 là thể tích hình trụ có bán kính và chiều cao và quay quanh trục 
 (đvtt)
Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình thang conh OAB với B(0; 1) và quay quanh trục 
 (đvtt)
Gọi V là thể tích cần tìm:
 (đvtt)
3/ Thể tích của khối cầu ,khối nón .
Nội dung để bài
Cách giải
a. Thể tích khối cầu.
Phương trình đường tròn tâm O bán kính R:
Ta có : 
Với , ta có: 
Thể tích khối cầu:
 (đvtt)
b. Thể tích khối nón tròn xoay
Cho hình phẳng (H) (tam giác vuông) giới hạn bởi đường thẳng , trục hoành và hai đường thẳng .
Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta được một khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng và chiếu cao bằng 
Thể tích khối nón tròn xoay
 (đvtt)
IV. KẾT QỦA 
Thông qua các dạng bài tập và một số hình vẽ minh họa cho phần diện tích hình phẳng, giúp cho học sinh thuận lợi hơn trong cách giải quyết vấn đề.
Thật vậy, trong các tiết ôn tập cuối năm 12 chuẩn bị cho thi tốt nghiệp năm và dự tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng hàng năm của học sinh lớp 12, các em đã được hướng dẫn giải một số bài tập liên quan đến việc tính diện tích hình phẳng và tính thể tích của vật thể tròn xoay
Qua khảo sát, nhìn chung các em biết vận dụng khá linh hoạt, biết nhận biết vấn đề và xác định được cách tính cho từng dạng bài tập. Kết quả khảo sát qua 2 bài tập như sau :
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: và 
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: và 
Kết qủa :
 Bài
Số HS làm bài
Số HS đạt yêu cầu
Đạt tỷ lệ %
 1
91
77
84,6
 2
89
69
77,5
Tuy kết qủa chưa thật như mong đợi, nhưng với trách nhiệm của một người thầy, trong một chừng mực nào đó tôi có thể bớt băn khoăn khi học trò của mình đã bớt ngán ngại khi gặp một bài toán tính diện tích hình phẳng hoặc tính thể tích của vật thể tròn xoay và từng bước đã biết vận dụng tích phân một cách linh hoạt hơn .
V. BÀI HỌC KINH NGHIỆM 
Để giúp học sinh học tốt môn toán ,qua thực tế giảng dạy và thông qua việc hướng dẫn học sinh ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và tính thể tích của vật thể tròn xoay, tôi đã đúc kết được một số kinh nghiệm sau :
1. Học sinh cần có sự chuẩn bị bài trước khi đến lớp. Bởi vì khi chuẩn bị bài học sinh có dịp làm quen với kiến thức mới, quy luật nhận thức của con người không phải một lần là hoàn thành mà trải qua từ không biết đến biết, từ đơn giản đến phức tạp. Chuẩn bị bài giúp học sinh xác định được các ý cơ bản cần chú ý khi học tại lớp, làm cơ sở đề xuất ý kiến với giáo viên về những vướng mắc có liên quan đến bài học.
2. Hướng dẫn học sinh phát huy khả năng quan sát. Quan sát trong toán học nhằm hai mục đích: thứ nhất là thu nhận kiến thức mới, thứ hai là vận dụng kiến thức để giải bài tập. Mỗi khi dựng hình, tôi yêu cầu học sinh chú ý từng thao tác và mối quan hệ giữa các thao tác nhằm từng bước nâng cao năng lực nhận thức trước một vấn đề nào đó dù đơn giản hay phức tạp .
3. Nắm vững phương pháp nhớ khoa học. Trí nhớ là chỉ sự việc đã trải qua còn giữ lại được trong đầu và qúa trình tâm lí tái hiện. Sự việc đã trải qua nói ở đây là những sự việc người ta cảm biết được, đã suy nghĩ hoặc đã qua thể nghiệm.Việc làm lại các bài tập đã được hướng dẫn và giải các bài tương tự cũng là một quá trình tái hiện, là mục đích cuối cùng của trí nhớ. Điều này có ý nghĩa rất lớn với việc học và giải bài toán tích phân và ứng dụng.
4. Bồi dưỡng cho học sinh thói quen tính toán chính xác. Thể hiện qua những nội dung như : đọc kỹ đề, tính toán tỉ mỉ, xác định toạ độ các điểm hợp lý, kiên trì kiểm tra lại kết quả và trình bày bài toán một cách lôgích .
VI. KẾT LUẬN
Tôi luôn nghĩ rằng : sự tiến bộ và thành đạt của học sinh luôn là mong ước, là nguồn động viên tích cực của người thầy. Do vậy, tôi xin phép được chia sẻ với quý đồng nghiệp một số suy nghĩ như sau :
	Đối với học sinh, cần kiên nhẫn dìu dắt, động viên các em; đừng vội nóng nảy kẻo chúng sợ mà nảy sinh tư tưởng mặc cảm nghĩ rằng mình bị bỏ rơi; hãy tìm ra những điều tốt của chúng để kịp thời động viên chúng, tạo điều kiện cho chúng ngày càng tiến bộ, từng bước chủ động, tự tin hơn trong học tập. 
	Hướng dẫn học sinh giải toán cần có phương pháp phù hợp với từng đối tượng học sinh. Vì thực tế dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh. Do vậy, ngay từ khâu phân tích đề, dựng hình, định hướng cách giải cần gợi mở, hướng dẫn cho các em cách suy nghĩ, cách giải quyết vấn đề đang đặt ra, nhằm từng bước nâng cao ý thức suy nghĩ độc lập, sáng tạo của các em.
	Điều cuối cùng là làm thế nào để học sinh cảm thấy hứng thú và say mê khi học môn toán ? Thiết nghĩ đây không phải nỗi ưu tư của riêng tôi, ưu tư này cũng chính là mong ước của nhiều đồng nghiệp và học sinh. Giải quyết những ưu tư này đòi hỏi nơi giáo viên không chỉ lòng nhiệt tình với nghề, với bộ môn mà còn phải có nghệ thuật ứng xử, có phương pháp giảng dạy tốt và trên hết là sự cảm thông, thấu hiểu từng hoàn cảnh của học sinh. Đây cũng chính là động lực thôi thúc người thầy ngày càng vươn lên, vững vàng hơn trên bục giảng . 
Rất mong nhận được nhiều sự góp ý, sẻ chia của qúy đồng nghiệp.
VII. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Giải tích 12 ( sách giáo khoa ) - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên) - NXB Giáo dục, 2008.
Giải tích 12 ( sách giáo khoa ) - Ngô Thúc Lanh ( Chủ biên) - NXB Giáo dục, 2000.
Giải tích 12 ( sách giáo khoa ) - Trần Văn Hạo,Phan Trương Dần, Nguyển Văn Dự, Cam Duy LễVũ Tuấn - NXB Giáo dục, 1996.
Làm thế nào để học tốt môn Toán - Đào Văn Trung - NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2001.
NGƯỜI THỰC HIỆN
Nguyễn Thanh Lam
MỤC LỤC
------dØc------
 	 Trang
I. Lý do chọn đề tài	 1
II. Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài	 	 1
III. Nội dung đề tài 	2
1. Cơ sở lí luận 	 2
2. Nội dung thực hiện các giải pháp của đề tài 	 3	Phần I. Thực trạng và giải pháp giúp học sinh 12 học tốt nội dung	 3
 ứng dụng của tích phân trong hình học	
 	 Phần II. Diện tích hình phẳng	 	 5
A. Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số và trục hoành	 5
	1/. Công thức tính tính diện tích hình phẳng (hình thang cong)	 5 
	2/. Một vài ví dụ minh họa cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối 5
	3/. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành 	 6
	4/. Diện tích hình tròn và elip	14
	 Bài tập áp dụng	16
B. Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 	 	16
1/. Cách tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số	16
2/. Một vài ví dụ minh họa về tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị 	16
3/. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số	17
Bài tập áp dụng	19
Phần III. Thể tích của vật thể tròn xoay	20
1. Công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay	20
1/. Vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng quanh trục hoành 20
 Bài tập áp dụng	24
	2/. Vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng quanh trục tung 25
	3/. Thể tích khối cầu, khối nón	26
IV. Kết quả	26
V. Bài học kinh nghiệm	27
VI. Kết luận	27
Tài liệu tham khảo	28
Mục lục	 29
	Tháng 4 năm 2009