Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn giải dạng "Toán chia hết" trong chương trình toán THCS

Z) ( **) 
V× a vµ b lµ c¸c ch÷ sè nªn a + b £ 18 
Tõ (**) suy ra 9q £ 28 (q>1) VËy q = 2 hoÆc q = 3
Trõ (*) víi (**) ta cã 390 + 9a = 8p – 9q , hay p = 49 + a + q + 
V× p nguyªn nªn nguyªn hay a + q – 2 8
+NÕu q = 2 th× a = 0 hoÆc a = 8 
Tõ (**) ta cã b = 9q – a – 10 do ®ã b = 8 hoÆc b = 0
+ NÕu q = 3 th× a = 7 suy ra b = 10 ( v« lÝ v× b £ 9)
 KL: VËy cã sè tho¶ m·n ®Ò bµi lµ: 123480, 123408.
*C¸ch 2
 = 123400 + = 72.1713 + 64 + 
V× chia hÕt cho 8 vµ cho 9 nªn chia hÕt cho 72
VËy 64 + chia hÕt cho 72 . V× 64 < 64 + £ 163 nªn 64 + b»ng 72 hoÆc 144.
+ NÕu 64 + = 72 th× = 08
+ NÕu 64 + = 144 th× = 80
KL: VËy c¸c sè tho¶ m·n ®Ò bµi lµ: 123480, 123408.
Bµi to¸n 5: T×m c¸c sè a,b sao cho:
	1) a – b = 4 vµ chia hÕt cho 3
	2) a – b = 6 vµ + chia hÕt cho 9
	Giaûi:
	1) a – b = 4 vµ chia hÕt cho 3
Ta cã: chia hÕt cho 3 khi vµ chØ khi ( 7 + a + 5 + b + 1) chia hÕt cho 3
hay ( a +b + 13) chia hÕt cho 3 suy ra ( a +b ) chia 3 d­ 2 (1)
	Ta cã a – b = 4 nªn 4 £ a £ 9 ; 0 £ b £ 5
	Suy ra 4£ a+b £ 14	(2)
	MÆt kh¸c a – b lµ sè ch½n nªn a + b lµ sè ch½n	(3)
	Tõ (1) (2) vµ (3) suy ra a + b Î {8;14}
	Víi a + b = 8; a – b = 4 ta ®­îc a = 6; b = 2.
	Víi a + b = 14; a - b = 4 ta ®­îc a = 9; b = 5.
	KL: VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ a = 6; b = 2 vµ a = 9; b = 5
2) + chia hÕt cho 9 khi vµ chØ khi ( 4 + a + 7 + 1 + b + 5 ) chia hÕt cho 9 hay ( a + b + 8 ) chia hÕt cho 9
	(a + b) chia cho 9 d­ 1
	Do a + b ³ a – b = 6 nªn a + b = 10 tõ ®ã t×m ®­îc a = 8; b = 2.
Bµi tËp t­¬ng tù :
Bµi 1: T×m c¸c sè x, y sao cho 72
HD: 72 = 72. 2769 + 32 + 72 
 « 32 + 72	
 V× 32 £ 32 + £ 32 + 99 = 131 nªn 32 + = 72 « = 40
 VËy x = 4 , y = 0. 
Bµi 2: T×m ch÷ sè x ®Ó chia hÕt cho 3 nh­ng kh«ng chia hÕt cho 9.
HD: V× chia hÕt cho 3 « (x + 1 + 9 + 9 + 4) chia hÕt cho 3 
Hay (x + 25) chia hÕt cho 3 
V× 1£ x £ 9 nªn 24 £ 23 + x £ 32
Trong c¸c sè tù nhiªn tõ 23 ®Õn 32 cã 24, 30, chia hÕt cho 3mµ kh«ng chia hÕt cho 9. 
Bµi 3 : Ph¶i viÕt Ýt nhÊt mÊy sè 1994 liªn tiÕp nhau ®Ó ®­îc mét sè chia hÕt cho 3.
HD: Tæng c¸c ch÷ sè cña 1994 lµ 23 khi chia cho 3 th× d­ 2 
NÕu viÕt k lÇn sè 1994 liªn tiÕp nhau th× tæng c¸c ch÷ sè cña sè nhËn ®­îc cã cïng sè d­ víi 2k khi chia cho3.§Ó sè nhËn ®­îc chia hÕt cho 3 th× 2k ph¶i chia hÕt cho 3, nªn sè nhá nhÊt lµ 3, tøc lµ Ýt nhÊt ph¶i viÕt 3 lÇn sè 1994 liªn tiÕp nhau.
Bµi 4 : T×m 3 ch÷ sè tËn cïng cña tÝch 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp kh¸c kh«ng, bÕt r»ng tÝch nµy chia hÕt cho 125. TÝch nµy nhá nhÊt b»ng bao nhiªu?
HD: TÝch 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 8 th× tÝch 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp còng chia hÕt cho 125 nªn 3 ch÷ sè tËn cïng lµ 000.
Trong tÝch cña 4 sè tù nhiªn tiÕp kh«ng thÓ cã 2 sè chia hÕt cho 5 nªn ph¶i cã mét sè chia hÕt cho 125 
TÝch nhá nhÊt lµ: 125.126.127.128 
D¹ng 2: Chøng minh chia hÕt ®èi víi biÓu thøc sè.
Bµi to¸n 1:Chøng minh r»ng: 2139 + 3921 chia hÕt cho 45.
*C¸ch 1: Ta cã 2139 + 3921 = (2139- 1 ) + (3921 + 1)
V× 2139- 1 = 20 (2138+ 2137+ + 1) chia hÕt cho 5
Vµ 3921 + 1 = 40 (3920 - 3919+ +1) chia hÕt cho 5 
Suy ra: (2139- 1 ) + (3921 + 1) chia hÕt cho 5
MÆt kh¸c 2139- 3921 = (2139- 339) + (3921 - 321) + (339 + 321) 
Mµ 2139- 339= 18 (2138+ +338) chia hÕt cho 9
2139- 339 = 36 (3920++320) chia hÕt cho 9
Vµ 339+ 321= 321 (318 + 1) = (33)7 (318+ 1) chia hÕt cho 9
Mµ ( 5,9) = 1 nªn 2139 + 3921 45
*C¸ch 2: v× 45 = 5.32 nªn ®Ó chøng minh 2139 + 3921 chia hÕt cho 45 th× ta chøng minh 2139 + 3921 chia hÕt cho 5.32 
Ta cã: 2139 = (20 + 1)39 = 2039 + 39. 2038 + + 39.20 + 1= 10M + 1.3921 = (30 + 9)21 = 3021+ 21.3020.9 + 9 ++ + 21.30.920+ 921 = 10N + 9
Nh­ vËy: 2139 + 3921 = 10K + 1 + 9 = 10K + 10 chia hÕt cho 5
MÆt kh¸c 2139 + 3921 = (7.3)39 + (13.3)21 = 739.339+ 1321+ 321
	= 321. 739. 318+ 1321. 321
= 321 (739. 318+ 1321) = (33)7 (739. 318+ 1321) chia hÕt cho 9
*C¸ch 3 Ta cã: 21 1 (mod 20)
	 39 -1 (mod 20)
VËy 2139 + 3921 139+ (-1)21 0 (mod 20)
Nh­ vËy 2139 + 3921 chia hÕt cho 20; do ®ã 2139 + 3921 chia hÕt cho 5 (*)
T­¬ng tù ta chøng minh 2139 + 3921 chia hÕt cho 9
KL: VËy 2139 + 3921 chia hÕt cho 45
Bµi to¸n 2: Chøng minh r»ng: 4343 - 1717 chia hÕt cho 5
+Ta cã: 4343= 4340. 433= (434)10.4343
V× 433 cã tËn cïng bëi ch÷ sè 1 (34 cã tËn cïng bëi 1) nªn (434) cã tËn cïng bëi ch÷ sè 1 hay 4340 cã tËn cïng bëi ch÷ sè 1.
4343cã tËn cïng bëi ch÷ sè 7.
VËy 4340. 433 cã tËn cïng lµ ch÷ sè 7.
Hay 433 cã tËn cïng lµ ch÷ sè 7
Ta cã 1717 = 1716 .17 = (174)4. 17
V× 174 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1 nªn (174)4 còng cã ch÷ sè tËn cïng lµ ch÷ sè 1 hay 1716 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1
	Suy ra: 1716.17 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 7
	Hai sè 4343 vµ 1717cã ch÷ sè tËn cïng gièng nhau nªn 4343 - 1717 cã ch÷ sè tËn cïng lµ ch÷ sè 0
 KL: VËy 4343 - 1717 chia hÕt cho 5.
Bµi to¸n 3: Cho A = 2 + 22 + 23+  + 260
Chøng minh r»ng: A chia hÕt cho 3,7 vµ 15.
 	Ta cã: 	A =2 + 22 + 23++ 260
	A = 2(1+2)+ 23 (1+2)++ 259 (1+2) = 3 (2 + 22 + 23++ 259)
 A = 3 (2 + 22 + 23++ 259) chia hÕt cho 3
Ta cã A = 2 + 22 + 23++ 260 
A = 2 (1 + 2 + 22) + 24 (1 + 2 + 22) +  + 258 (1 + 2 + 22)
A = 2 . 7 + 24.7 +  + 258.7
A = 7 (2 + 24 + + 258) chia hÕt cho 7
Ta cã A = 2 (1 + 2 + 22 + 23) + 25(1 + 2 + 22 + 23) +  +257(1 + 2 + 22 + 23)
A = 2. 15 + 25.15 + + 257.15
A = 15( 2 + 25 +  + 257) chia hÕt cho 15
 KL: VËy A chia hÕt cho 3,7 vµ 15.
Bµi tËp t­¬ng tù:
Bµi1 Cho B = 3 + 33 + 35 + + 31991
 Chøng minh r»ng B chia hÕt cho 13 vµ 41.
Bµi 2 Cho C = 119 + 118 + 11 7 + + 11 + 1
 Chøng minh r»ng C chia hÕt cho 5.
Bµi 3 Chøng minh r»ng A chia hÕt cho B víi
 A = 13 + 23 + 33 + + 993 + 1003
 B = 1 + 2 + 3 + + 99 + 100
D¹ng 3: Chøng minh chia hÕt ®èi víi biÓu thøc chøa ch÷ 
Bµi to¸n 1 Chøng minh r»ng: n3 – n chia hÕt cho 6 víi n nguyªn.
*C¸ch 1: V× (2,3) = 1 nªn chØ cÇn chøng minh n3 – n chia hÕt cho 2 vµ chia hÕt cho 3.
 	Ta cã n3 – n = n(n2 – 1) = n(n + 1)(n - 1)
Mµ n, n + 1, n – 1 lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn n(n + 1)(n - 1)2.
MÆt kh¸c: n cã thÓ biÓu diÔn thµnh mét trong c¸c d¹ng sau 3k, 3k + 1, 3k +2 (k Î Z)
 + NÕu n = 3k th× n3 – n = (3k)2- 3k = 3k (9k2 – 1) 3
 + NÕu n = 3k + 1 th× n3 – n = n(n + 1)(n - 1) =3k(3k + 1)( 3k + 2) 3.
 + NÕu n = 3k + 2 th× n3 – n = n(n + 1)(n - 1) = (3k + 1)( 3k + 2)( 3k + 3)
 = 3(k + 1)( 3k + 1)( 3k + 2) 3.
 KL: VËy n3 – n 6 víi n nguyªn.
*C¸ch 2: NÕu n lµ sè nguyªn th× chØ cã thÓ biÓu diÔn thµnh mét trong c¸c d¹ng sau 6p, 6p + 1, 6p + 2, 6p + 3, 6p + 4, 6p + 5 ( do phÐp chia mét sè cho 6)
+ NÕu n = 6p th× n3 – n = 6p (6p + 1)(6p - 1) 6
+NÕu n = 6p + 1 th× n3 – n = 6p(6p + 1)(6p + 2) 6.
+ NÕu n = 6p + 2 th× n3 – n = 6(3p + 1)(2p + 1)(6p + 1) 6.
+ NÕu n = 6p + 3 th× n3 – n = 6(36p3+ 54p2 + 26p – 4) 6.
+ NÕu n = 6p + 4 th× n3 – n = 6(36p3+ 54p2 + 26p – 4) 6.
+ nÕu n = 6p + 5 th× n3 – n = 6(36p3+ 54p2 + 26p – 4) 6.
C¸ch 3: Ta chøng minh n3 – n chia hÕt cho 2 vµ chia hÕt cho 3
NÕu n 0 (mod 2) th× n3 – n 03 – 0 0 (mod 2)
NÕu n 1 (mod 2) th× n3 – n 13 – 1 0 (mod 2)
Nh­ vËy víi n nguyªn, n3 – n 0 (mod 2) nghÜa lµ n3 – n chia hÕt cho 2
MÆt kh¸c: 
+ NÕu n 0 (mod 3) th× n3 – n 03 – 0 0 (mod 3) 
+ NÕu n 1 (mod 3) th× n3 – n 13 – 1 0 (mod 3)
+ NÕu n 2 (mod 3) th× n3 – n 23 – 2 0 (mod 3)
Víi n nguyªn n3 – n 0 (mod 3) nghÜa lµ n3 – n chia hÕt cho 3.
 KL: VËy n3 – n chia hÕt cho 6 víi n nguyªn.
Bµi to¸n 2: Chøng minh r»ng 2n + chia hÕt cho 3. 
*chó ý: Sè n vµ sè cã tæng c¸c ch÷ sè b»ng n cã cïng sè d­ trong phÐp chia cho 9, do ®ã - n chia hÕt cho 9.
Ta cã: 2n + = 3n + ( - n) chia hÕt cho 3.
Bµi to¸n 3: Chøng minh r»ng A = 10n + 18n – 1 chia hÕt cho 27.
*C¸ch 1: A = 10n + 18n – 1 = 10n - 9n + 27n – 1 
	= - 9n + 27n 	= 9( - n) + 27n
Mµ 27n chia hÕt cho 27 nªn ( - n) chia hÕt cho 9 suy ra 9( - n)
VËy 10n + 18n – 1 chia hÕt cho 27.
C¸ch 2: (Ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc) 
	+ NÕu n = 1 th× A = 10 + 18 – 1 = 27 chia hÕt cho 27.
	VËy mÖnh ®Ò ®óng víi n = 1.
	+ gi¶ sö mÖnh ®Ò ®óng víi n = k tøc lµ Ak = 10k + 18k -1 chia hÕt cho 27
Ta cÇn chøng minh mÖnh ®Ò ®óng víi n = k + 1.
ThËt vËy Ak+1 = 10k+1 + 18(k + 1) – 1 = 10k.10 + 18k + 18 – 1 
Ak+1 = 10 (10k + 18k -1) – 9.18k +27
Ak+1 = 10 (10k +18k-1) – 27.6k + 27
Mµ 10 ( 10k + 18k-1) 27 => Ak+1 27
27 . 6k 27 ; 27 27 
VËy 10n + 18 n-1 chia hÕt cho 27
Bµi to¸n 4: Víi mäi n nguyªn d­¬ng chøng minh:
 B = 7n +3n -1chia hÕt cho 9.
C¸ch 1: (Dïng ph­¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p)
+NÕu n = 1 th× B = 7 + 3 - 1 = 9 9.
Gi¶ sö mÖnh ®Ò ®óng víi n = k tøc lµ Bk = 7k +3k -1 chia hÕt cho 9.
Ta cÇn chøng minh mÖnh ®Ò ®óng víi n = k +1.
ThËt vËy: Bk+1 = 7k+1 = 3 ( k+1) -1.
	Bk+1 = 7. 7k + 3k + 3 -1
	Bk+1 = 7 ( 7k + 3k -1) – 6. 3k – 9
	Bk+1 = 7( 7k + 3k -1) – 9.2k -9
	Bk+1 9
VËy 7n + 3n -1 9 	mäi n nguyªn d­¬ng.
C¸ch 2: Ta cã : 7n + 3n -1 = (6 + 1) n + 3n -1
= 6n + c1n 6n-1 + c2n . 6n-2 + . + cnn-1 . 6 + cnn + 3n-1
=(6n+ cn1.6n-1 + cn2 . 6n-2 +..+ cnn-2. 62) + cnn-1 . 6+ cnn+3n-1
=(3.2)n +cn1. . (2.3)n-1 + cn2 .(3.2)n-2+.+cnn-2+(3.2) n+2+d cnn-1 . 6 + cnn + 3n-1
=2n . 3n + cn1 .2n-1.3n-1+.+ cnn-2.3n-2.2n-2 + 6n + 1 + 3n -1
=32 (2n . 3n-2+ cn1.2n-1.3n-2 + . +cnn-2 .22 )+9n.
=9(2n . 3n-2 + cn1 . 2n-1. 3n-2++ cnn-2 .22) + 9n 9
VËy 7n + 3n-1 9 mäi n nguyªn d­¬ng.
Bµi tËp t­¬ng tù:
	Bµi 1: Chøng minh raèng : 
	a)-10n + 72n -1 chia hÕt cho 91.
	b)- 22n +15n-1 chia hÕt cho 9 víi mäi n nguyªn d­¬ng.
	Bµi 2: Chøng minh r»ng víi mäi n tù nhiªn th×:
	(n+ 19931994 ) (n+ 19941993 ) chia hÕt cho 2.
	Bµi 4: Chøng mØnh»ng víi mäi sè tù nhiªn n th×
	122n+1 + 11n+2 chia hÕt cho 133.
+ §©ylµ d¹ng to¸n chia hÕt mµ sè mò chøa ch÷ nªn khi lµm cÇn ®Þnh h­íng cho häc sinh c¸ch lµm sau:
	C¸ch 1: V× n ë nªn ta cã thÓ ph©n tÝch vµ ®­a vÒ d¹ng béi cña 133.
	Ta cã: 122n+1+11n+2 = (122)n .12 + 11n . 112.
	=144n .12 + 11n . 121 =12( 144n – nn) + 12.11n + 121. nn
	= 12 . 133 . M + 133 . 11n.
	Mçi sè h¹ng ®Òu chia hÕt cho 133 nªn.
	122n+1 + 11n+2 chia hÕt cho 133.
	C¸ch 2: (Dïng ph­¬ng ph¸p quy n¹p).
	Víi n =1 th× tæng 123 + 113 = (12 + 11) (122 -12 .11 + 112)
	=22.133 chia hÕt cho 133.
	VËy mÖnh ®Ò ®óng víi n=1.
	Gi¶ sö mÖnh ®Ò ®óng víi n=k 	Tøc lµ 122k+1+11k+2 chia hÕt 133.
	Ta cÇn chøng minh mÖnh ®Ò ®óng víi n=k+1.
	ThËt vËy: 122k+3 +11k+3=144 .122k+1+11k+3.
	= 133. 122k+1 +11. 122k+1 + 11k+3.
	=133. 122k+1 +11 (122k+1 + 11k+2 ).
	V× 133 . 122k+1 133; 11(122k+1 +11k+2) 133
	133. 122k+1+11(132k+1 +11k+2) chia hÕt cho 133
	C¸ch 3: 
	Ta cã : 122n+1+11n+2 =122n+1 +11n+2+112(2n+1) -112(2n+1)
	=(122n+1+112(2n+1)) - (112(2n+1) -11n+2)
	=122n+4 +(112)2n+1 –(114n+2 -11n+2).
	=(122n+1 +(112)2n+1) -11n+2 (113n-1)
	V× 122n+1 + (112)2n+1 = (12 +112) . P 133.
	Vµ 113n -1 = (113 -1) . Q =(n-1) (n2 +11 +1) .Q
	= 10 . 133 . Q 133
	VËy 122n+1 +11n+2 chia hÕt cho 133
	C¸ch 4: Ta cã 122n+1 + 12 + 122n + 12 .144n
	V× 144 = 11 (mod 133) nªn 144n 11n(mod 133)
12. 1442n 12. 11n(mod 133).
Hay 122n+1 = 12 .11n (mod 133)
MÆt kh¸c : 121 =-12 (mod 133) nªn 121 .11n = -12.11n (mod 133).
Tõ ®¼ng thøc: 	122n+1 =12 .11n (mod 133)
	11n+2 = -12. 11n (mod 133)
122n+1 + 11n+2 0 (mod 133)
Tøc lµ : 122n+1 + 11n+2 chia hÕt cho 133
C¸ch 5 : Víi n =1 th× mÖnh ®Ò ®óng.
Gi¶ sö mÖnh ®Ò ®óng víi n =k tøc 122n+1 + 11n+2 =133m (m Î N) 
Ta cÇn chøng minh mÖnh ®Ò ®óng víi n = k+1 tøc lµ:
122k+1) +1 + 11k +1+2 =133p ( p ÎN). (**)
ThËt vËy : Tõ (*) suy ra : 122k+1 =133m – 11k+2
Ta cã 122k+3 – 11k+3 	=144 . 122k+1 + 11 . 11k+2
	=144 (133 m – 11k+2) + 11. 11k+2
	=122 .133m + 11k+2 (11 -144)
	=133 (144m – 11k+2)
 Nh­ vËy 122k+3 + 11k+3 =133p víi p=144m- 11k+2
 Bµi to¸n ®­îc chøng minh.
Bµi to¸n 5: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n th×.
4 . 32n+2 + 32n – 36 64
C¸ch 1: V× 4. 32n+2 +32n -36 = 4 (32n+2 -8n -9) nªn bµi to¸n ®­a vÒ viÖc chøng minh : 32n+2 + 8n – 9 16
+NÕu n ch½n, ta ®Æt n = 2k (k ÎZ) khi ®ã.
32n+2 + 8n – 9 = 34k+2 +16k -9 = 34k . 32 – 9 + 16k
= 9(34k-1) +16k = 9 (81k -1) +16k ; V× hiÖu (81k-1) 80 nªn (81k-1) 16
VËy khi n ch½n th× 4 . 32n+2 +32n -36 64
+NÕu n lÎ , ta ®Æt n =2k+1 (k ÎZ). Khi ®ã 32n+2 +8n -9 = 34k+4 +16k -8 -9 
= (34)k+1 -1+ 16k = 81k+1 -1 +16k V× hiÖu (81k+1 -1) 80 nªn (81k+1 -1) 16
VËy víi n lÎ th× 4. 32n+2 + 32b – 36 64
KÕt luËn: VËy víi mäi sè tù nhiªn n; 4(32n+2+8n -9) 64
C¸ch 2: 
+Víi n =0 th× tæng 32 . 4 + 6 -36 =0 64
VËy mÖnh ®Ò ®óng víi n =0
+Gi¶ sö mÖnh ®Ò ®óng víi n=k tøc lµ 32k+2 . 4 -32k – 36 =64p
Ta cÇn chøng minh mÖnh ®Ò ®óng víi n = k+1 tøc lµ
4. 32k+4 + 32k + 32 – 36 64
ThËt vËy: 32k+4 . 4 + 32k + 32 – 36 = 32k+2 . 36 +32k +32 -36
=( 32k+2 . 4 +32k -36) + 32 ( 32k+1 +1) (*)
V× (32k+2 .4 +32k -36) lµ béi cña 64. theo gi¶ thiÕt quy n¹p, nªn chØ cÇn chøng minh 32 (32k+1 +1) còng lµ béi cña 64.
V× 32k+2 lµ sè lÎ nªn 32k+2 +1 lµ sè ch½n do ®ã 32 (32k+1 +1) 64
VËy 4. 32k+2 + 32k – 36 64
+Bµi tËp t­ong tù:
Bµi 1: Chøng minh víi mäi sè tù nhiªn n:
3n+2 + 42n-1 13
Bµi 2: Víi mäi n nguyªn d­¬ng, chøng minh r»ng:
 62n + 3n+2 + 3n 11
Bµi to¸n 6: Chøng minh tæng k sè nguyªn liªn tiÕp (k lÎ) th× chia hÕt cho k.
Gäi k sè nguyªn liªn tiÕp lµ n, n+1, n+2, . N+k-1.
Khi ®ã tæng cña chóng b»ng : n + n+1+ n+2+. + n+k-1 
=kn +1+2++k-1
	=kn + = kn +
	V× k lÎ nªn : =p (Nguyªn)
	Nh­ vËy kn + = kn + kp =k(n+p)
	§iÒu naøy chøng tá r»ng khi k lÎ, tæng k sè nguyªn liªn tiÕp k
+Chó ý: §©y lµ bµi to¸n tæng qu¸t, tõ bµi to¸n nµy ta cã thÓ yªu cÇu häc sinh chøng minh c¸c tr­êng hîp riªng cña bµi to¸n tæng cña ba, n¨m, b¶y,. Sè nguyªn liªn tiÕp th× cho 3,5,7,..
Bµi to¸n 7: Chøng minh r»ng tÝch cña k sè nguyªn liªn tiÕp th× k
	C¸ch 1: Gäi k sè nguyªn lÎ liªn tiÕp lµ : a, a+1, a+2, .., a+ k -1.
	TÝch cña chóng lµ : a (a+1) (a+2).. ( a+k -1).
	Ta cÇn chøng minh : a (a+1) (a+2) .(a+1 -1) k
	+NÕu a k th× bµi to¸n ®· gi¶i xong.
	+NÕu a kh«ng chia hÕt cho k th× a=qk +r ( 0<r<k)
	Thõa sè (a+k+r) cã mÆt trong tÝch ®ang xÐt vµ a+k-r=qk+r+k-r
	=k(q+1) k. §iÒu ®ã chøng tá r»ng trong tÝch ®ang xÐt lu«n lu«n tån t¹i mét sè k. 	Tõ ®ã => a(a+1) (a+2)(a+k-1) k
C¸ch 2: (Chøng minh b»ng ph¶n chøng).
	Gi¶ sö trong tÝch ®ang xÐt kh«ng cã thõa sè nµo chia hÕt cho k. Nh­ vËy th× chia k cña tÝch cho k ta nhËn ®­îc c¸c sè d­ tõ 1 ®Õn k-1.
	Theo nguyªn lý §irichleâ tån t¹i Ýt nhÊt 2 sè cã cïng sè d­. Ta gäi 2 sè ®ã lµ (a+h) vµ (a+l) víi 0 h < l k-1
	Khi ®ã (a+h) – (a+l) k hay k-l k. V« lý v× 0 < < k
	+Chó ý: Tõ bµi to¸n nµy cã thÓ ®­a ra c¸c tr­êng hîp riªng cña bµi to¸n ®· quen thuéc ®èi víi häc sinh ®ã lµ: Chøng minh tÝch hai, ba, bèn, n¨m. sè nguyªn liªn tiÕp 2,3,4,5
Bµi to¸n 8: Cho a vµ b lµ c¸c sè nguyªn, h·y chøng minh r»ng:
	NÕu 2a +3b 17 th× 9a + 5b 17 vµ ®¶o l¹i.
	Gi¶i:
Chøng minh: NÕu (2a +3b) 17 th× 9a +5b 17
	NÕu (2a+3b) 17 th× 8(2a+3b) 17
	Râ rµng (34a +34b) 17
	VËy (34a + 34b) – (16a +24b) =34a+34b-16a – 24b
	=18a + 10b =2 (9a +5b) 17 v× (2,17) =1
	Nªn 9a + 5b 17
Chøng minh: NÕu ( 9a + 5b) 17 th× (2a + 3b ) 17
	Ta cã : (34 a + 34 b) 17
	Theo gi¶ thiÕt ( 9a + 5b) 17 => 2 ( 9a + 5b) 17.
	Hay (34 a + 34b) – 2( 9a+5b) = 34a + 34b -18a -10b.
	=16a + 24b = 8(2a + 3b) 17 v× (8,17) =1
	Nªn (2a + 3b) 17.
Bµi to¸n 9: Chøng minh r»ng
 	 NÕu a,b lµ c¸c sè tù nhiªn so cho 5a +3b vµ 13a +8b 1995 th× a vµ b chia hÕt cho 1995.
	+Theo gi¶ thiÕt 5a + 3b 1999 => 8( 5a + 3b) 1995
	13a + 8b 1995 =>3(13a +8b) 1995
	Hay 8(5a +3b) - 3(13a +8b) = 40a + 24b - 39a + 24b = a 1995
	+Theo gi¶ thiÕt 5a + 3b 1995 => 13(5a +3b) 1995
	 13a + 8b 1995 => 5(13a +8b) 1995
	Hay 5(13a +8b) -13(5a+3b)=65a + 40b - 65a - 39b = b 1995
	VËy a vµ b 1995.
+Bµi tËp t­¬ng tù:
	Bµi 1: BiÕt c¸c sè tù nhiªn a vµ b tho¶ m·n a+b vµ a2 +b2 11.Chøng minh a.b 11.
	Bµi 2: Chøng minh víi x vµ y lµ sè tù nhiªn th×:
	A + 2y 5 ó 3x – 4y 5
	Bµi 3: Cho 2 sè tù nhiªn a vµ b.chøng minh r»ng.
	NÕu a2 + b2 3 th× a vµ b 3
D¹ng 4: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó 1 bµi to¸n chia hÕt cho 1 sè hoÆc chia hÕt cho 1 biÓu thøc.
Bµi to¸n 1: T×m sè tù nhiªn n sao cho n2 +4 n +1
	Ta cã : n = = = n-1 + 
	®Ó (n2 + 4) (n+1) th× 5 n+1 hay n+1 Î ¦(5).
	Mµ ¦(5) ={1; 5}
	 *n+1 = 5 -> n = 0 (tho¶ m·n)
	 *hoÆc n+1 = 5 -> n = 4 (tho¶ m·n).
	VËy víi n = 0 ; n = 4 th× n2 + 4 n+1
Bµi to¸n 1: T×m sè nguyªn n ®Ó :
	n2 + 2n – 4 11
 n = BS11 + 3 hoÆc n =BS 11-5.
Bµi to¸n 2 : T×m sè tù nhiªn n ®Ó : 32n+3 + 24n +1) 25
§Æt A = 32n+3 + 24n +1) =27.32n + 2. 24n =25 .32n + 2(32n+24n) 
=BS25 + 2(9n + 16n)
+NÕu n lÎ th× 9n +16n 25 do ®ã A25
+NÕu n ch½n th× 9n tËn cïng b»ng 1, cßn 16n tËn cïng b»ng 6
2( 9n +16n) tËn cïng b»ng 4. VËy A kh«ng chia hÕt cho 25
VËy víi n lÎ th× 32n+3 + 24n +1) 25
Bµi to¸n 3: Cho ®a thøc f(x) = a2x 3 +3ax2 -6x -2a (a ÎQ).
 X¸c ®Þnh a sao cho f(x) (x +1)
+C¸ch 1: §Æt phÐp chia ®a thøc.
a2 x3 +3ax2 -6x -2a = (x +1) a2x2 +(3a –a2 ) x +(a2-3a -6) +(-a2 +a +6)
§Ó f(x) (x+1), ta ph¶i cã: -a2+a +6 = 0 ó (a+2) (3-a) = 0
=> a+2 = 0 hoÆc(3-a) = 0 nªn a = -2; a = 3
KÕt luËn: VËy víi a=-2; a=3 th× f(x) (x+1)
+C¸ch 2: Dïng ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh
§a thøc bÞ chia cã bËc ba, ®a thøc chia cã bËc nhÊt nªn th­¬ng lµ mét ®a thøc bËc 2 cã h¹ng cao nhÊt : a2x3 : x =a2x2, sè h¹ng thÊp nhÊt lµ -2a : 1 = -2a. Gäi th­¬ng cña phÐp chia lµ: a2x2 + bx - 2a, ta cã 
f(x) = (x+1) (a2x2 +bx -2a)
ó a2 x3 +3ax2 -6x -2a =a2x3 +(a2 +b) x2 +(b-2a) x -2a
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ta ®­îc a=-2 th× b=-10 vµ a=3 th× b=0.
+C¸ch 3: Gäi th­¬ng cña phÐp chia f(x) cho (x+1) lµ q(x).
ó a2x3 +3ax2 -6x -2a =(x+1) q(x).
V× ®¼ng thøc ®óng víi mäi x nªn cho x =-1 ta ®­îc.
 -a2 +3a +6 -2a =0
 -a2 +a + 6 =0
Tõ ®ã a = -2; a = 3
Víi a = -2 th× 	f(x) = 4x3 - 6x2 - 6x + 4
	q(x) = 4x2 -10x +4
Víi x =3 th× 	f(x) = 9x3 + 9x2 - 6x - 6
	q(x) = 9x2 - 6
+Bµi tËp t­îng tù:
Bµi 1: T×m k ®Ó k(k2 -1) (k2 -4) 480
HD: §Ó ý r»ng tÝch cña n¨m sè nguyªn liªn tiÕp th× chia hÕt cho 120.
§¸p sè : k = 8t, k = 4t +2, k =16t +1, k =16t - 1
Bµi 2: T×m n ®Ó 5n -2n 9
HD: LÇn l­ît xÐt n=3k ,n =3k +1, n=3k +2
ChØ cã n =3k th× 5n -2n 9
Bµi 3: X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè a,b ®Ó.
x4 + ax2 +b x2 –x +1.
ax3 + bx2 + 5x – 50 x2 + 3x - 10 
HD: Thùc hiÖn phÐp chia.
x4 + ax2 + b = (x2 –x +1) (x2 +x +a) + (a-1) x + b –a.
Muèn chia hÕt th× ®a thøc d­ ph¶i ®ång nhÊt b»ng 0, do ®ã a=1, b=a.
b) §Æt phÐp chia : TÝnh ®­îc a=1, b=8 .
PHAÀN THÖÙ III : KEÁT LUAÄN, KEÁT QUAÛ, KIEÁN NGHÒ 
§Ó lµm tèt ®­îc bµi tËp d¹ng “To¸n chia hÕt”nµy häc sinh cÇn ph¶i n¾m ch¾c c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n nh­: TÝnh chÊt chia hÕt cña 1 tæng, hiÖu, 1 tÝch, dÊu hiÖu chia hÕt cña 1 sè c¸c sè th­êng gÆp nh­: 2,3,4,5,6,8,10,11,.. bªn c¹nh ®ã cßn hiÓu, n¾m ®­îc ph­¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p to¸n häc, ®Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt vÒ ®ång d­ thøc, nguyªn t¾c ®irichlª, ph­¬ng ph¸p ph¶n chøng. Vµ mét sè ph­¬ng ph¸p kh¸c n÷a. Tuy nhiªn trong qu¸ tr×nh lµm häc sinh cÇn vËn dông linh ho¹t néi dung kiÕn thøc trªn vµo tõng bµi cho phï hîp cã nh­ vËy míi ®¹t ®­îc hiÖu qu¶ tèt . Trong qu¸ tr×nh lµm d¹ng to¸n nµy t«i ®Æc biÖt chó ý ®Õn néi dung c¸c bµi to¸n cã sù s¾p xÕp theo tr×nh tù tõ dÔ ®Õn khã, vµ c¸c d¹ng rÊt phong phó, ®a d¹ng. Nh»m cung cÊp cho häc sinh l­îng kiÕn thøc phï hîp víi kh¶ n¨ng nhËn thøcvµ cã sù ph¸t triÓn kh¶ n¨ng t­ duy l«gÝc.
Trªn ®©y lµ 1 sè d¹ng to¸n th­êng gÆp trong ch­¬ng tr×nh to¸n THCS. Mçi d¹ng to¸n cã nh÷ng ®Æc ®iÓm kh¸c nhau vµ cßn cã thÓ chia nhá tõng d¹ng trong mçi d¹ng trªn. ViÖc ph©n d¹ng nh­ trªn gióp häc sinh deã tiÕp thu h¬n vµ thÊy ®­îc trong tõng bµi to¸n ta nªn ¸p dông kiÕn thøc nµo cho phï hîp. Mçi d¹ng to¸n t«i chän 1 sè bµi to¸n c¬ b¶n ®iÓn h×nh ®Ó häc sinh hiÓu c¸ch lµm vµ tõ ®ã ®Ó lµm c¸c bµi tËp mang tÝnh t­¬ng tù vµ dÇn n©ng cao lªn.
Sau mét sè n¨m lµm nh­ vËy ë c¸c líp 6, 7, 8, 9 trong tieát luyeän taäp, trong quaù trình boài döôõng hoïc sinh gioûi, trong moät soá tieát töï choïn lôùp 9 t«i thÊy häc sinh cã sù tiÕn bé h¬n rÊt nhiÒu. C¸c em dÇn thÝch thó say mª khi gÆp d¹ng to¸n nµy. Sè ®«ng c¸c em kh«ng cßn lóng tóng thiÕu tù tin nh­ tr­íc n÷a, trong c¸c em ®· cã sù chuyÓn biÕn râ rÖt. Maëc duø ñeà taøi ñaït ñöôïc moät soá keát quaû nhaát ñònh song khoâng traùnh khoûi nhöõng thieáu soùt, haïn cheá. RÊt mong nhËn ®­îc ý kiÕn gãp ý cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó ®Ò tµi phong phó, cã hiÖu qu¶ h¬n. Giaûi phaùp naøy coù theå söû duïng laøm chuû ñeà töï choïn “phaàn naâng cao”.
	 Ngµy 02 th¸ng 02 n¨m 2008
	Ng­êi viÕt
	 Nguyeãn Vaên Tieán