Sáng kiến kinh nghiệm Hình tọa độ phẳng Oxy

các ví dụ mẫu. Qua đó, bằng cách phân tích trên hình phẳng tương ứng với bài toán, giáo viên phân tích lợi ích của việc “suy nghĩ có định hướng theo bản chất hình học phẳng của bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng” cũng như phân tích cho học sinh thấy rằng việc lựa chọn phương pháp giải không phải là ngẫu nhiên mà luôn chất chứa những nguyên nhân sâu xa rất bản chất. Đó chính là cấu trúc của bài toán, hình thức của bài toán và các mối quan hệ “tất yếu” giữa các yếu tố tạo nên bài toán. Cũng chính vì điều đó mà việc phân tích bài toán toạ độ trên hình phẳng tương ứng một mặt giúp học sinh hiểu được bản chất của bài toán, mặt khác giúp học sinh biết cách định hướng trong việc tìm lời giải bài toán. Để các buổi học đạt hiệu quả, tôi đã thực hiện ngay sau khi học xong phần hình học toạ độ trong mặt phẳng ở lớp 10. Để tăng cường tính chủ động cho học sinh trong buổi học thứ nhất tôi đã cung cấp cho học sinh một hệ thống các bài tập đề thi về bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng cho bài học. Yêu cầu học sinh về nhà chuẩn bị lời giải , phân loại các bài toán thành các nhóm tương tự nhau cũng như trả lời câu hỏi :"bản chất bài toán ấy là gì? có tổng quát, mở rộng, phân loại dạng toán được không?". Bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng xuất hiện thường xuyên trong các đề thi ĐH, đề thi học sinh giỏi với mức độ tương đối khó. Vì vậy để giải được dạng toán này chúng ta cần tìm hiểu bản chất cũng như xây dựng phương pháp tư duy giải toán đặc trưng cho loại toán. Trong các buổi học này chúng ta sẽ cùng nghiên cứu về một phương pháp tư duy giải toán: "phân tích bản chất hình học phẳng trong bài toán hình học toạ độ tương ứng" Trước hết ta cần chú ý chuyển bài toán toạ độ về bài toán hình phẳng trên cơ sở các dữ kiện bài toán đã cho. Sau đó ta sẽ phân tích tính chất hình học trên hình phẳng để định hướng tìm lời giải bài toán. 
III. MỘT SỐ VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH
Các ví dụ Một bài toán hình học toạ độ có thể được giải theo một trong ba hướng chính sau: 
H1: Giải hoàn toàn theo quan điểm hình học giải tích 
H2: Giải hoàn toàn theo quan điểm hình học phẳng sau đó áp dụng vào toạ độ 
H3: Khai thác các yếu tố hình học phẳng để giải toán hình giải tích 
Mỗi hướng giải toán đều có những ưu thế riêng cho từng bài toán nhưng nói chung H3 thường hiệu quả hơn cả. 
Thực hành giải toán: 
Bước 1: Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán. Trên cơ sở dữ kiện và yêu cầu bài toán phân tích các yếu tố hình phẳng cần thiết để giải toán. 
Bước 2: Lập sơ đồ các bước giải bài toán 
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ ở bước 2 
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có góc C nhọn, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là I(-2; 1) và thoả mãn . Chân đường cao kẻ từ A đến BC là D(-1; -1), đường thẳng AC đi qua điểm M(-1; 4). Tìm toạ độ A, B biết đỉnh A có hoành độ dương
I
D
A
B
C
M
Bước 1. Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán, khai thác yếu tố hình phẳng sau: 
Ta có , mà suy ra tam giác ADC vuông cân tai D nên DA = DC
mặt khác IA = IC do đó ID là trung trực của AC 
Bước 2. Lập sơ đồ các bước giải bài toán 
+) Chứng minh 
+) Viết phương trình đường thẳng AC: AC đi qua M và có véc tơ pháp tuyến 
+) Tính d(D,AC) suy ra 
+) Do nên biểu thị toạ độ điểm A theo tham số a. Từ độ dài DA suy ra toạ độ điểm A
+) Viết phương trình BD: BD đi qua D và có véc tơ pháp tuyến 
+) nên biểu thị toạ độ điểm B theo tham số b. Tam giác AIB vuông tại I, suy ra từ đó tìm được toạ độ điểm B
Bước 3. Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2
Ta có , mà suy ra tam giác ADC vuông cân tai D nên DA = DC
mặt khác IA = IC do đó ID là trung trực của AC 
Đường thẳng AC đi qua M và có véc tơ pháp tuyến nên có phương trình x – 2y + 9 = 0
Gọi , do DA = 
 . Do 
Đường thẳng DB đi qua D và vuông góc với AD nên có phương trình 
. Tam giác IAB vuông tại I nên suy ra B(2;-2).
	Vậy A(1;5), B(2; -2) 
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC nhọn. Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình , . Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D(4; -2). Viết phương trình các đường thẳng AB, AC biết 
E
D
A
B
C
H
M
Bước 1. Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán, khai thác yếu tố hình phẳng sau: 
	Tứ giác CEHK nội tiếp đường tròn 
Mà (góc nội tiếp chắn cung ) suy ra , do đó tam giác BHD cân tại B, mà BK là đường cao nên K là trung điểm của HD
Bước 2. Lập sơ đồ các bước giải bài toán 
+) suy ra toạ độ điểm M
+) Viết phương trình AD: đi qua D và vuông góc với BC
+) suy ra toạ độ điểm A, suy ra toạ độ K
+) K là trung điểm của DH suy ra toạ độ điểm H
+) nên biểu thị toạ độ điểm B theo tham số t, M là trung điểm của BC suy ra toạ độ điểm C theo tham số t
+) H là trực tâm tam giác ABC nên suy ra toạ độ B, C
Bước 3. Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2
Ta có 
Đường thẳng AD đi qua D và vuông góc với BC nên có pt 
	Tứ giác CEHK nội tiếp đường tròn 
Mà (góc nội tiếp chắn cung ) suy ra , do đó tam giác BHD cân tại B, mà BK là đường cao nên K là trung điểm của HD
, M là trung điểm của BC suy ra 
H là trực tâm tam giác ABC nên suy ra t = 2 hoặc t = 7 (loại)
Khi đó B(2; -2), C(5; 1) 
Pt (AB): 3x + y – 4=0; pt(AC): y – 1 = 0
Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD có hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC, biết CM cắt DN tại . Gọi H là trung điểm DI, biết đường thẳng AH cắt CD tại . Biết , tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông 
A
E
M
N
C
D
B
I
P
H
Bước 1. Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán, khai thác yếu tố hình phẳng sau: 
Ta có 
Tứ giác AMID nội tiếp đường tròn tâm E( với E là trung điểm của AH) suy ra ED = EI, mà H là trung điểm của DI , 
mà suy ra CM // AH, mặt khác AM // CP nên tứ giác AMCP là hình bình hành, do đó P là trung điểm DC tứ giác AMPD là hình chữ nhật vuông tại I 
	Ta có cân tại A( do tam giác DIC vuông tại I) 
Bước 2. Lập sơ đồ các bước giải bài toán 
+) Chứng minh tam giác AIP vuông tại I
+) Viết phương trình đường thẳng AI: đi qua I và vuông góc với PI
+) Chứng minh AI = 2 IP, biểu thị toạ độ điểm A theo tham số t. AI = 2IP suy ra toạ độ điểm A, rồi viết phương trình AP
+) Viết phương trình DN: qua I và vuông góc với AP, suy ra toạ độ điểm , H là trung điểm ID suy ra toạ độ điểm D
+) Viết phương trình DC: qua D và vuông góc với AD, suy ra toạ độ điểm , P là trung điểm DC suy ra toạ độ điểm C
+) suy ra toạ độ điểm B
Bước 3. Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2
Tứ giác AMID nội tiếp đường tròn tâm E( với E là trung điểm của AH) suy ra ED = EI, mà H là trung điểm của DI , 
mà suy ra CM // AH, mặt khác AM // CP nên tứ giác AMCP là hình bình hành, do đó P là trung điểm DC tứ giác AMPD là hình chữ nhật vuông tại I 
	Ta có cân tại A( do tam giác DIC vuông tại I) 
	Đường thẳng AI qua I và vuông góc với PI nên có phương trình . 
Do nên A(2; 4) suy ra pt(AP): 
 suy ra pt(DN): x – 2y = 0
Vậy 
Ví dụ 4. Cho hình vuông ABCD và điểm E thuộc cạnh BC . Một đường thẳng qua A vuông góc với AE cắt CD tại F, đường thẳng chứa trung tuyến AM của tam giác AEF cắt CD tại K. Tìm toạ độ điểm D biết A(-6; 6), M(-4; 2), K(-3; 0).
A
E
C
D
B
F
K
Bước 1. Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán, khai thác yếu tố hình phẳng sau: 
 nên tam giác AEF cân tại A, mà AM là đường trung tuyến . Do đó 3 điểm A, E, F thuộc đường tròn tâm M bán kính MA
Bước 2. Lập sơ đồ các bước giải bài toán 
+) Chứng minh ; A, E, F thuộc đường tròn tâm M
+) Viết phương trình EF: qua M và vuông góc AM 
+) Viết phương trình đường tròn (C) tâm M bán kính MA
+) E, F là giao điểm của đường thẳng EF và đường tròn (C), suy ra toạ độ E, F
+) Viết phương trình CD đi qua F, K. Viết phương trình AD: đi qua A và vuông góc với CD, suy ra toạ đô 
Bước 3. Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2
 nên tam giác AEF cân tại A, mà AM là đường trung tuyến . Do đó 3 điểm A, E, F thuộc đường tròn tâm M bán kính MA
	Đường thẳng EF qua M và vuông góc EA nên có phương trình . Phương trình đường tròn tâm M, bán kính MA là 
	Toạ độ E, F thoả mãn hệ phương trình 
Giải hệ, suy ra hoặc 
Trường hợp 1: E(-8; 0), F(0; 4)
Viết phương trình CD đi qua F, K: 
Viết phương trình AD: đi qua A và vuông góc với CD, suy ra 
Trường hợp 1: E(0; 4), F(-8; 0) suy ra D(-6;0)
Ví dụ 5. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC; M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH. Trên cạnh CD lấy điểm K sao cho MNCK là hình bình hành. Biết , K(9; 2) và các đỉnh B,C lần lượt nằm trên các đường thẳng . Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết hoành độ điểm C lớn hơn 4.
A
N
C
D
B
M
K
H
Bước 1. Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán, khai thác yếu tố hình phẳng sau: 	MN là đường trung bình của tam giác HAB . Do MNCK là hình bình hành suy ra K là trung điểm của CD
	Ta có nên N là trực tâm tam giác BCM , mà MK // CN 
Bước 2. Lập sơ đồ các bước giải bài toán 
+) Chứng minh 
+) Viết phương trình BM qua M và và vuông góc với MK, suy ra toạ độ 
+) nên toạ độ điểm C biểu thị theo tham số a. suy ra toạ độ C . K là trung điểm CD suy ra toạ độ điểm D 
+) suy ra toạ độ điểm A
Bước 3. Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2
	MN là đường trung bình của tam giác HAB . Do MNCK là hình bình hành suy ra K là trung điểm của CD
	Ta có nên N là trực tâm tam giác BCM , mà MK // CN 
Viết phương trình BM qua M và và vuông góc với MK, suy ra toạ độ . . . Do nên C(9; 4). K là trung điểm CD suy ra D(9;0). 
Vậy A(1; 0), B(1; 4), C(9; 4), D(9; 0)
Ví dụ 6. Cho hình chữ nhật ABCD có D(4; 5), M là trung điểm đoạn AD, đường thẳng CM có phương trình . Điểm B nằm trên đường thẳng . Tìm toạ độ A, B, C
A
I
C
D
B
M
K
H
G
Bước 1. Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán, khai thác yếu tố hình phẳng sau: 
	Ta có G là trọng tâm tam giác ADC . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, D lên CM 
Bước 2. Lập sơ đồ các bước giải bài toán 
+) Chứng minh 
+) Tính d(D, CM) suy ra độ dài BH
+) Biểu thị toạ độ điểm B theo tham số b toạ độ điểm B
+) C thuộc CM nên biểu thị toạ độ điểm C theo tham số c. suy ra toạ độ điểm C
+) toạ độ điểm A
Bước 3. Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2
	Ta có . 
G ọi G là trọng tâm tam giác ADC . 
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, D lên CM 
 B(b; -1-2b) 
Vì B, D nằm khác phía đối với CM nên b = 2 
 (c < 2). 
Có . 
Do c < 2 nên C(-2; 1), A(8; -1)
Vậy 
Ví dụ 7. Cho hình bình hành ABCD có N là trung điểm của CD, đường thẳng BN có phương trình là , điểm M(-1; 2) thuộc đoạn thẳng AC sao cho AC = 4 AM. Gọi H là điểm đối xứng với N qua C, H thuộc đường thẳng . Biết 3AC = 2AB, tìm toạ độ A, B, C, D. 
A
I
H
D
B
N
M
H
G
C
Bước 1. Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán, khai thác yếu tố hình phẳng sau: 
 Gọi suy ra G là trọng tâm tâm tam giác BCD , mà 
Do đó 
	Ta có suy ra tam giác MNH vuông tại M
Bước 2. Lập sơ đồ các bước giải bài toán 
+) Tính d(M,BN). Chứng minh 
+) Biểu thị toạ độ điểm H theo tham số a toạ độ điểm H
+) Tam giác MNH vuông tại M suy ra phương trình đường thẳng MN
+) toạ độ điểm N; C là trung điểm NH suy ra toạ độ C 
+) N là trung điểm CD suy ra toạ độ điểm D
+) toạ độ điểm A, I, B
Bước 3. Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2
 Gọi suy ra G là trọng tâm tâm tam giác BCD , mà 
Do đó 
	Ta có suy ra tam giác MNH vuông tại M
Ta có 
Vì H, M nằm khác phía đối với BN nên H(3; 2) . Suy ra pt(MN): x + 1 = 0 
Do 
Vây ,
Ví dụ 8. Cho hình bình hành ABCD có . Gọi hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, BC lần lượt là M(-2; -1), N(2; -1). Biết AC nằm trên đường thẳng có phương trình . Tìm toạ độ A và C. 
Bước 1. Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán, khai thác yếu tố hình phẳng sau: 
Gọi I là trung điểm của BD thuộc trung trực của MN
Bước 2. Lập sơ đồ các bước giải bài toán 
+) Chứng minh I thuộc trung trực của MN
+) Viết phương trình đường trung trực của MN, suy ra toạ độ điểm I, suy ra độ dài IM, BD, AC
+) Viết phương trình đường tròn đường kính AC, suy ra toạ độ A, C là giao điểm của AC và đường tròn đường kính AC
Bước 3. Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2
Gọi I là trung điểm của BD thuộc trung trực của MN. Trung trực của MN có phương trình x = 0.
Do 
Phương trình đường tròn đường kính AC là .
Toạ độ A, C là nghiệm của hệ hoặc 
Do đó 
Ví dụ 9. Cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AD và BC, biết AB = BC, AD = 7. Đường chéo AC có phương trình , điểm M(-2; -5) thuộc đường thẳng AD. Viết phương trình CD biết B(1; 1).
F
D
A
B
C
M
Bước 1. Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán, khai thác yếu tố hình phẳng sau: 
 Tứ giác ABCD là hình thang cân nên ABCD nội tiếp đường tròn. 
Mà AB = BC = CD nên AC là đường phân giác trong góc . Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC suy ra E thuộc AD
Bước 2. Lập sơ đồ các bước giải bài toán 
+) Chứng minh AC là phân giác trong góc 
+) Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC suy ra E thuộc AD. Viết phương trình BE, suy ra toạ độ điểm , F là trung điểm của BE suy ra toạ độ điểm E.
+) Viết phương trình AD đi qua E và M, suy ra toạ độ 
+) toạ độ điểm D biểu thị theo tham số, AD = 7 suy ra toạ độ D.
+) Viết phương trình BC đi qua B và song song AD, suy ra toạ độ 
Bước 3. Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2
Tứ giác ABCD là hình thang cân nên ABCD nội tiếp đường tròn. 
Mà AB = BC = CD nên AC là đường phân giác trong góc . Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC suy ra E thuộc AD
	Ta có pt(BE): 
 Pt(AD): . 
Ta có D thuộc AD nên . AD = 7 suy ra hoặc . Do B, D nằm về hai phía của AD nên . Vì BC // AD nên BC có phương trình 3x - 4y + 1 = 0 suy ra ABCD không phải là hình thang cân, mâu thuẫn với giả thiết. Vậy bài toán vô nghiệm.
Ví dụ 10. Cho hình thang cân ABCD với CD = 2AB. Đường thẳng AC, BD lần lượt có phương trình . Biết toạ độ các đỉnh A, B đều dương và diện tích hình thang bằng 36, tìm toạ độ các đỉnh của hình thang
I
C
D
A
B
H
K
Bước 1. Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán, khai thác yếu tố hình phẳng sau: 
Ta có vuông cân tại I nên , suy ra tam giác AHC vuông cân tại H .
Bước 2. Lập sơ đồ các bước giải bài toán 
+) Tính 
+) suy ra toạ độ điểm I
+) Biểu thị toạ độ điểm A theo tham số a
 Biểu thị toạ độ điểm B theo tham số b
+) Ta có suy ra toạ độ hai điểm A, B
+) Biểu thị toạ độ điểm C theo tham số c. 
 nên toạ độ điểm D biểu thị theo tham số c.
Ta có IC = ID suy ra toạ độ C, D
Bước 3. Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2
Ta có vuông cân tại I nên , suy ra tam giác AHC vuông cân tại H .
Ta có suy ra toạ độ điểm I(3; 1)
Gọi A(a; 4-a), B(b; 2- b).
Ta có suy ra toạ độ hai điểm A(1; 3), B(5; 3)
Do C(c; 4-c ). Mà 
Ta có IC = ID suy ra toạ độ C(7; -3), D(-1; -3)
Vậy A(1; 3), B(5; 3), C(7; -3), D(-1; -3)
IV. Bµi häc kinh nghiÖm:
- Tr­íc mét bµi to¸n, ng­êi thµy ph¶i biÕt h­íng dÉn häc sinh tù gi¶i, biÕt t×m ra h­íng ®i ®óng ®¾n. Bëi mét sè bµi to¸n ®ßi hái ph¶i s¸ng t¹o, ®ßi hái ph¶i cã t­ duy nhÊt ®Þnh mãi cã thÓ gi¶i quyÕt ®­îc. 
- BiÕt tr©n träng thµnh qu¶ lao ®éng s¸ng t¹o cña c¸c nhµ to¸n häc, gióp häc sinh høng thó häc tËp bé m«n nh»m n©ng cao chÊt l­îng bé m«n toán vµ chÊt l­îng gi¸o dôc hiÖn nay.
- B¶n th©n t«i tù c¶m thÊy ®Ò tµi nµy cßn nhiÒu h¹n chÕ. Do vËy t«i mong r»ng ng­êi ®äc h·y ®ãng gãp ý kiÕn x©y ®ùng ®Ò tµi, ®Ó ®Ò tµi ngµy cµng hoµn thiÖn h¬n. 
- HiÖn nay ®a sè c¸c thÇy c« gi¸o còng ®· biÕt ph­¬ng ph¸p nµy. Tuy nhiªn øng dông cña nã th× hiÖn nay ch­a ®­îc nghiªn cøu mét c¸ch tæng thÓ. Do vËy t«i mong r»ng nh÷ng kinh nghiÖm nhá nhoi cña t«i cã thÓ gióp Ých ®­îc phÇn nµo cho c«ng t¸c gi¶ng d¹y t¹i c¸c tr­êng phæ th«ng hiÖn nay. 
Lạng giang , ngày 25 tháng 5 năm 2015
 Ng­êi viÕt s¸ng kiÕn 
NhËn xÐt cña tæ chuyªn m«n 
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
NhËn xÐt H§KH cña Nhµ tr­êng 
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
NhËn xÐt cña H§KH Së gi¸o dôc - ®µo t¹o 
tØnh 
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Danh Môc s¸ch tham kh¶o
STT
Tªn s¸ch
T¸c gi¶
1
TuyÓn tËp : 30 n¨m, 5 n¨m TH&TT, c¸c chuyªn ®Ò TH&TT, b¸o TH&TT hµng th¸ng. 
2
C¸c ®Ò thi HSG toµn quèc
C¸c ®Ò thi Olimpic 30/4
C¸c ®Ò tuyÓn sinh vµo líp 10 hÖ chuyªn toµn quèc
Së gi¸o dôc - ®µo t¹o tØnh B¾c Giang 
Tr­êng THPT L¹ng giang sè 2 
---------------@&?---------------
!
s¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Tªn ®Ò tµi: 
“KHAI THÁC YẾU TỐ HÌNH ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH PHẲNG OXY” 
{{{{{{
	Gi¸o viªn thùc hiÖn	: §Æng Kh¾c Quang 
	Tæ 	: To¸n 
	Tr­êng 	: THPT L¹ng Giang sè 2 	
N¨m häc 2014 – 2015
MỤC LỤC 
 Trang
A. Mở đầu 
I. Lý do chọn đề tài ..........................................................................1
II. Cơ sở lý luận của đề tài..................................................................1
B. Nội dung
I. Các giải pháp thực hiện ..................................................................3
II. Các biện pháp tổ chức thực hiện ...................................................3
III. Một số ví dụ điển hình..................................................................4
IV. Bài học kinh nghiệm..................................................................23