Sáng kiến kinh nghiệm Hình học hóa bài toán số phức

 Đức A, Hà Nội - 2017) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức sao cho là số thuần ảo.
A. Đường thẳng , bỏ đi điểm .	B. Đường thẳng 
C. Đường thẳng bỏ đi điểm .	D. Đường thẳng . 
Hướng dẫn giải: 
Đặt: có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là 
là số thuần ảo khi 
Dạng 2.3. Tập hợp điểm biểu diễn của số phức là đường elip.
Bài 1. Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thoả mãn điều kiện sau: 
Lời giải:
Đặt: có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là 
Đặt 
Suy ra tập hợp là elíp (E) có 2 tiêu điểm là .
Gọi (E) có phương trình 
Ta có 
Vậy (E) có phương trình 
Bài 2. Trên mặt phẳng toạ độ. Chứng minh rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức thoả mãn điều kiện sau: nằm trên một đường elip.
Lời giải: 
Đặt: có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là 
Đặt . Khi đó: ,
Do đó tập hợp các điểm nằm trên nhận làm hai tiêu điểm .
Để có thể nhận dạng được dễ dàng quỹ tích các điểm biểu diễn số phức tôi cho học sinh về nhà chứng minh các bài toán tổng quát sau:
Tổng quát 3:
Cho số phức thỏa mãn: Với 
Nếu thì quỹ tích là đoạn thẳng 
Nếu thì quỹ tích là một elip nhận là hai tiêu điểm với độ dài trục lớn là .
Đặc biệt:
 thì quỹ tích là một elip có phương trình chính tắc 
thì quỹ tích là một elip có phương trình 
Tôi đưa ra một số bài tập trắc nghiệm để củng cố:
Câu 1:	(Sở GD – ĐT Bình Phước)Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là:
A. .	B. 
C. .	D. .
Hướng dẫn giải: 
Đặt: có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là 
Suy ra nằm trên elip có 
Vậy phương trình elip là: 
Làm trắc nghiệm: 
Nhận dạng được phương trình đường biểu diến quỹ tích điểm biểu diến số phức thỏa mãn loại C, D, B.
Câu 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn: là:
	A. Elip .	B. Elip 
	C. Hình tròn tâm I(0;-1), bán kính R=4.	D. Elip .
Hướng dẫn giải: 
Đặt: có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là 
Suy ra nằm trên elip (nhận làm trục lớn) có 
Vậy phương trình elip là: 
Câu 3: Biết số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ là đường elip như hình vẽ. Số phức thỏa mãn điều kiện nào sau đây:
	A. .	B. 
C. .
D. .
Hướng dẫn giải: 
Đặt: có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là 
Từ hình vẽ ta có 
Vậy 
V. CHUYÊN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC.
Bài toán mở đầu. Cho số phức thỏa mãn điều kiện . 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức ?
Lời giải:
Giả sử điểm là điểm biểu diễn số phức . Khi đó tập hợp điểm là đường tròn tâm , bán kính ; 
Cách 1. Sử dụng bất đẳng thức
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 
Từ (1) và (2) ta có: 
Vậy ; 
Cách 2. Sử dụng hình học.
Ta có nằm ngoài đường tròn 
 .
Giáo viên hướng dẫn khai thác: Nếu bài toán yêu cầu tìm số phức sao cho lớn nhất (nhỏ nhất). Ta làm như sau:
Như vậy để giải quyết bài toán trên chúng tôi hướng dẫn học sinh thực hiện theo 2 phương pháp: sử dụng bất đẳng thức và bài toán cực trị hình học. Và chúng tôi thấy rằng Hầu hết các bài toán cực trị của số phức đều được xây dựng trên các bài toán cực trị hình học. Trong phần V của sáng kiến này tôi muốn gợi ý cho học sinh một lối tư duy linh hoạt các phương pháp chuyển đổi từ đại số sang hình học và ta có thể dựa trên các bài toán cực trị hình học để ra một loạt các đề toán.
	Trước khi đưa ra các bài tập cho học sinh luyện tập chúng tôi nhắc lại một số bài toán cực trị trong hình học như sau:	
Bài toán xuất phát 1. Trong mặt phẳng cho đường thẳng và điểm .
a) Tìm điểm thuộc sao cho là ngắn nhất. 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của (với là điểm bất kì thuộc ): 
Lời giải: 
a) Ta có: (Với là hình chiếu vuông góc của trên )
Nên hay là hình chiếu vuông góc của trên 
b) 
Bài toán 1.1:	Biết các số phức có tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ là đường thẳng như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất của ?
A. .	
B. 
	C. .	
	D. 
Bài toán 1.2: Biết số phức thỏa mãn , mô đun nhỏ nhất của số phức bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải: 
Đặt: có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là 
Ta có: 
. Nên nhỏ nhất nhỏ nhấtlà hình chiếu vuông góc của trên (*).
Bài toán 1.3: Biết số phức thỏa mãn và đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải: 
Ta giải như bài toán 1.2 đến bước (*) rồi tìm tọa độ điểm 
Ta được nên .
Trong khi làm bài toán 1.2 và 1.3 chúng tôi nhấn mạnh cho học sinh thấy rằng: 
Khi bài toán yêu cầu tìm nhỏ nhất ta chỉ cần tính 
Khi bài toán yêu cầu tìm hoặc biểu thức liên quan đến phần thực, phần ảo của thì ta phải tìm rõ tọa độ điểm biểu diễn . Sau đó suy ra 
Bài toán 1.4: Tìm modul nhỏ nhất của số phức . Biết số phức thỏa mãn: 
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải: 
Đặt: có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là 
Gọi . Ta có: 
Khi đó nhỏ nhất
	Giáo viên chú ý cho học sinh: Nếu bài toán yêu cầu tìm số phức thỏa mãn bài toán 1.4 ta làm như sau:
 là hình chiếu vuông góc của trên .
( với là véctơ chỉ phương của , )
Như vậy sau khi làm xong các bài tập trắc nghiệm chúng tôi tổng quát lại kiến thức cho học sinh như sau:
Tổng quát 1: Qũy tích các điểm biểu diễn số phức thuộc đường thẳng
Cho số phức thỏa mãn điều kiện:. 
Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn số phức 
Tổng quát 1.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của ?
Khi đó thuộc đường trung trực của 
là hình chiếu vuông góc của trên 
Nhận xét: Nếu đầu bài yêu cầu tìm số phức ta đi tìm tọa độ điểm là hình chiếu vuông góc của trên . Từ đó suy ra 
Tổng quát 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Gọi là điểm biểu diễn số phức . Khi đó 
là hình chiếu vuông góc của trên 
Nhận xét: 
Nếu đầu bài yêu cầu tìm số phức ta đi tìm tọa độ điểm là hình chiếu vuông góc của trên . Từ đó suy ra 
Đề bài có thể suy biến thành 1 số dạng sau, khi đó ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản.
 (với )
 (chia cả hai vế cho )
Bài toán xuất phát 2. Trong mặt phẳng cho 3 điểm cố định. là điểm di động thuộc đoạn 
a) Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của .
 b) Tìm để nhỏ nhất (lớn nhất).
Lời giải: 
Trường hợp 1. Nếu hình chiếu vuông góc của là điểm thuộc đoạn 
Trường hợp 2. Nếu hình chiếu vuông góc của là điểm không thuộc đoạn 
Bài toán 2.1: Cho số phức thỏa mãn: 
1.Tìm giá trị nhỏ nhất của 
A. .	B. .	C. .	D. .
2.Tìm giá trị lớn nhất của 
A. .	B. .	C. .	D. .
3.Khi đạt giá trị lớn nhất, tính 
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải: 
Đặt: có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là 
Gọi lần lượt là điểm biểu diễn các số phức 
Ta có: mà nên thuộc đoạn thẳng lại có: 
Nên bài toán chuyển về tìm thuộc đoạn sao cho đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Vẽ phác họa hình trên mặt phẳng tọa độ ta dễ dàng thấy:
3. 
Nên 
Bài toán 2.2: Cho số phức thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải: 
Đặt: có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là 
Gọi lần lượt là điểm biểu diễn các số phức 
Ta có: mà nên thuộc đoạn thẳng 
 lại có: 
Nên bài toán chuyển về tìm thuộc đoạn sao cho đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Dễ thấy đường thẳng có phương trình: 
Vẽ phác họa hình trên mặt phẳng tọa độ ta dễ dàng thấy:
Hoặc .
Như vậy sau khi làm xong các bài tập trắc nghiệm chúng tôi tổng quát lại kiến thức cho học sinh như sau:
Tổng quát 2: Qũy tích các điểm biểu diễn số phức thuộc đoạn thẳng.
 Cho số phức thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTLN, GTNN của với 
Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn số phức .
thuộc đoạn thẳng 
Trường hợp 1: Nếu điểm là hình chiếu vuông góc của trên thuộc đoạn . Khi đó: 
Trường hợp 2: Nếu điểm là hình chiếu vuông góc của trên không thuộc đoạn . Khi đó: 
Đối với dạng bài toán này, nên vẽ phác họa hình trên hệ trục tọa độ .
Bài toán xuất phát 3. Trong mặt phẳng cho đường tròn tâm bán kính và điểm . Điểm di động trên 
a) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của . 
b) Tìm để đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Lời giải: 
TH1: A thuộc đường tròn (C) 
Ta có: đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi trùng với 
 đạt giá trị lớn nhất bằng khi là điểm đối xứng với qua 
TH2: A không thuộc đường tròn (C)
Gọi là giao điểm của đường thẳng và đường tròn 
+) Nếu nằm ngoài đường tròn thì với điểm bất kì trên , ta có:
. Đẳng thức xảy ra khi 
. Đẳng thức xảy ra khi 
+) Nếu nằm trong đường tròn thì với điểm bất kì trên , ta có:
. Đẳng thức xảy ra khi 
. Đẳng thức xảy ra khi 
Bài toán 3.1: Biết các số phức có tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ là hình tròn tô đậm như hình vẽ bên. (kể cả đường viền)
1. Mô đun lớn nhất của số phức là:
A. .	B. 
	C. . D. .
2. Mô đun nhỏ nhất của số phức là:
A. . B. 
C. . D. .
Bài toán 3.2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . 
1.Giá trị lớn nhất của bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
2. Giá trị nhỏ nhất của bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
3. Biết số phức sao cho nhỏ nhất. Tính 
A. .	B. .	C. .	D. .
4. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài toán 3.3: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . 
1. Giá trị lớn nhất của 
A. .	B. .	C. .	D. .
2. Giá trị nhỏ nhất của 
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải: 
Giả sử điểm là điểm biểu diễn số phức . Khi đó tập hợp điểm là đường tròn tâm , bán kính ; 
Gọi khi đó . 
Do đó 
Ta có 
Nên nằm ngoài đường tròn (như hình vẽ bên)
3. Biết mô đun của số phức đạt giá trị lớn nhất. Khi đó phần thực của số phức bằng: 
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải: 
Từ hình vẽ ta có:
với ,
Bài toán 3.4: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . 
1. Giá trị nhỏ nhất của bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
2. Biết số phức sao cho nhỏ nhất. Tính 
A. .	B. .	C. .	D. .
3. Giá trị lớn nhất của 
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải: 
Tôi hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất như sau:
Khi đó chuyển bài toán 2.3 về bài toán 2.1, bài toán 2.2.
Như vậy sau khi làm xong các bài tập trắc nghiệm tôi tổng quát lại kiến thức cho học sinh như sau:
Tổng quát 3: Qũy tích các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn.	
Tổng quát 3.1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện: .Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của 
Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn số phức 
Khi đó thuộc đường tròn tâm , bán kính 
Để tìm tọa độ điểm A, B ta có thể làm theo 2 cách sau
Cách 1: Tọa độ là nghiệm của hệ 
Với là phương trình đường thẳng
Cách 2: ; 
Tổng quát 3.2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện: . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của 
Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn số phức 
Để tìm tọa độ điểm A, B ta có thể làm theo 2 cách sau:
Cách 1: Tọa độ là nghiệm của hệ 
Với là phương trình đường thẳng
Cách 2: ; 
Tổng quát 3.3: Cho số phức thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 
Bài toán xuất phát 4. Trong mặt phẳng cho đường tròn và hai điểm thỏa mãn: đường thẳng và không có điểm chung và (với là tâm đường tròn ). Điểm di động trên . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 
Lời giải: 
Gọi là trung điểm của 
 mà: 
;
Bài toán 4.1: (Câu 46 – đề tham khảo THPT QG - 2018)
Cho hai số phức thỏa mãn: . Tính khi đạt giá trị lớn nhất.
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải: 
Quỹ tích các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm , bán kính .
Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn số phức ; là trung điểm của . Luôn có: 
Đặt 
mà: 
Nên là hình chiếu vuông góc của trên thẳng hàng và ( vì )
(như hình vẽ).
Ta có 
Giáo viên hướng dẫn khai thác: 
 	 Nếu bài toán yêu cầu tìm GTLN của ta dường lại ở bước tính 
 	 Nếu bài toán yêu cầu tìm GTNN của yêu cầu tìm GTNN của MN và 
 	Nếu yêu cầu tìm z sao cho đạt GTNN tức là ta đi tìm tọa độ điểm H ta làm như sau:
Bài toán 4.2: Cho hai số phức thỏa mãn: . Tìm trị nhỏ nhất của 
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải: 
Quỹ tích các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm , bán kính .
Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn số phức ; là trung điểm của . Luôn có: 
Đặt 
mà: 
Nên (như hình vẽ).
Giáo viên hướng dẫn khai thác: Nếu thay đổi yêu cầu của bài toán ta được các bài toán mới như sau:
Tìm GTLN của ?
Tìm số phức sao cho đạt giá trị nhỏ nhất?
(như hình vẽ) 
Tìm GTLN, GTNN của ?
Vậy đạt GTLN (GTNN) đạt GTLN (GTNN) , đưa về bài toán trên.
	Như vậy sau khi làm xong các bài tập trắc nghiệm tôi tổng quát lại kiến thức cho học sinh như sau:
Tổng quát 4: Cho số phức thỏa mãn. 
Tổng quát 4.1: Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của với 
Gọi M, I, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức .
Điểm thuộc đường trung trực của AB.
(Với N là trung điểm của AB)
Trường hợp 1: 
Trường hợp 2: 
Ta tìm tọa độ điểm như sau:
Trường hợp 1: Ta có: ; 
Trường hợp 2: Ta có: ; 
Trường hợp 3: Ta có: ;
Tổng quát 4.2: Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của với 
Gọi M, I, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức .
Điểm thuộc đường trung trực của AB.
Bài toán xuất phát 5. Trong mặt phẳng cho đường tròn và đường thẳng ; không có điểm chung. Điểm di động trên , là điểm di động trên . Tìm điểm ,sao cho nhỏ nhất.
Lời giải: 
Giả sử có tâm là điểm bán kính 
Gọi là đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với 
cắt lần lượt tại (như hình vẽ)
Khi đó ta có: Nên 
Bài toán 5.1: Cho hai số phức thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải: 
Quỹ tích các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm , bán kính .
Quỹ tích các điểm biểu diễn số phức thuộc đường thẳng .
Ta thấy và không cắt nhau do: 
Nên từ hình vẽ ta có ,
Giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác: Nếu bài toán yêu cầu “Tìm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất”
là hình chiếu của trên .
Bài toán quy về việc tìm tọa độ điểm H và tọa độ hình chiếu của trên 
Chúng tôi đưa ra bài toán tổng quát như sau: 
Tổng quát 5: Cho số phức thỏa mãn. Trong đó là các số phức cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức 
Qũy tích các điểm M là đường tròn ; Qũy tích các điểm là đường thẳng ( là đường trung trực của AB với A, B là các điểm biểu diễn số phức ).
 nếu 
 nếu 
Bài toán xuất phát 6. Trong mặt phẳng cho đường tròn và đường thẳng ; không có điểm chung, điểm di động trên . Tìm vị trí điểm trên sao cho khoảng cách từ M đến là lớn nhất (nhỏ nhất).
Lời giải: 
Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc với cắt đường tròn và lần lượt tại , như hình vẽ.
Ta có 
Do đó: 
Bài toán 6.1: Cho số phức thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
	Khi đó quỹ tích điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm , bán kính .
Xét đường thẳng . Gọi lần lượt là giao điểm của đường thẳng qua vuông góc với , với đường tròn và đường thẳng 
Khi đó: ; 
Nên 
Vậy 
	Tương tự như các bài toán trên tôi hướng dẫn học sinh khai thác bài toán khi thay đổi giả thiết hoặc yêu cầu bài toán: 
Tìm giá trị lớn nhất của 
Tìm biết đạt giá trị nhỏ nhất (lớn nhất).
Thay giả thiết bởi giả thiết , ta sẽ được các bài toán tương tự.
Tổng quát 6. Cho số phức thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Gọi lần lượt là điểm biểu diễn số phức . 
 Đường thẳng , 
Qũy tích điểm là đường tròn tâm bán kính 
Gọi đường thẳng đi qua và vuông góc với ; lần lượt là giao điểm của với 
Bài toán xuất phát 7. Cho hai đường tròn có tâm , bán kính ; đường tròn có tâm , bán kính (). Tìm vị trí của điểm trên , điểm trên sao cho đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Lời giải:
Gọi là đường thẳng đi qua ; cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt (giả sử ) ; cắt tại hai điểm phân biệt ( giả sử ).
Với điểm bất khì trên và điểm bất kì trên , ta có:
 . 
 Dấu “=” xảy ra khi trùng với và trùng với 
 . 
 Dấu “=” xảy ra khi trùng với và trùng với 
Bài toán 7.1.(THPT Hưng Nhân- Thái Bình 2017-l3) .
 Cho hai số phức thảo mãn :
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải: 
Gọi lần lượt là điểm biểu diễn số phức ; 
Qũy tích điểm là đường tròn tâm , bán kính 
Qũy tích điểm là đường tròn tâm , bán kính 
Gọi lần lượt là các giao điểm của với , 
Ta có 
Nên 
Sau khi làm xong bài toán trên tôi cho học sinh tự tổng quát công thức tìm GTLN, GTNN liên quan mô đun số phức.
Tổng quát 7: Cho số phức thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của ,với 
Bài toán xuất phát 8. Cho cố định và , xét elip .
Gọi là trung điểm của khi đó ta có: với 
Bài toán 8.1:Tìm số phức sao cho mô đun của đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất. Biết số phức thỏa mãn: 
Hướng dẫn giải: 
Ta thấy tập hợp các điểm là elip có phương trình
 được vẽ trên hệ trục như hình vẽ.
Từ hình vẽ ta có:
Từ đó ta có: 
Giáo viên hướng dẫn khai thác: Sau khi học sinh hoàn thiện bài toán này, chúng tôi thay đổi giả thiết và hướng dẫn các em cách làm tương ứng dưới dạng các câu hỏi trắc nghiệm như sau:
Bài toán 8.2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . 
1. Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . Khi đó biểu thức bằng: 
A. .	B. .	C. .	D. .
2. Biết số phức có mô đun lớn nhất. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. là số thuần ảo.	B. là số vô tỷ .	
C. là có phần ảo không nguyên .	D. là số nguyên.
Bài toán 8.3: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của bằng:
A. .	B. .	
C. .	D. .
Hướng dẫn giải: 
Gọi lần lượt là điểm biểu diễn số phức 
Theo phần IV thì thuộc elip , nhận là hai tiêu điểm như hình vẽ.
Từ đó ta có: 
Bài toán 8.4: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của 
Lời giải:
Bài toán chuyển về tìm GTLN, GTNN của P’.
 Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức:
 . Ta có là trung điểm của .
thuộc elip nhận làm 2 tiêu điểm và có tiêu cự bằng 
Vậy 
	Như vậy sau khi làm xong các bài tập trắc nghiệm tôi tổng quát lại kiến thức cho học sinh như sau:
Tổng quát 8: Qũy tích các điểm biểu diễn số phức thuộc đường Elíp.
Tổng quát 8.1. Cho số phức thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTLN, GTNN của .
Khi đó thuộc đường elip có phương trình chính tắc: 
. Với là các đỉnh của elip.
Tổng quát 8.2.Cho số phức thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTLN, GTNN của .
Khi đó thuộc đường elip có phương trình 
(elip đứng nhân trục làm trục đối xứng) Với là các đỉnh của elip.
Tổng quát 8.3.Cho số phức thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTLN, GTNN của với .
Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn số phức 
Khi đó thuộc đường elip nhận làm 2 tiêu điểm ( là trung điểm của ). 
 (với )
	Sau khi trang bị xong cho học sinh một loạt công thức tổng quát về cực trị của số phức, tôi cho học sinh làm các bài toán sau để củng cố:
Bài tập củng cố:
Câu 1:	Biết các số phức có tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên. (kể cả đường viền)
1. Mô đun lớn nhất của số phức là:
A. .	
B. 
C. .	
D. .
2. Mô đun nhỏ nhất của số phức là:
A. .	B. 
C. .	D. .
Câu 2:	Biết các số phức có tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ là đường elip như hình vẽ bên. Mô đun nhỏ nhất của số phức z là:
A. .	
B. 
	C. .	
	D. 
Câu 3:	Biết các số phức có tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ là hình elip như hình vẽ bên. Mô đun lớn nhất của số phức z là:
A. .	
B. 
	C. .	
	D. 
Câu 4:	Cho số phức thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất của , biết 
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 6: Biết số phức thỏa mãn điều kiện có mô đun nhỏ nhất. Tính 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 7: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 8: Cho số phức thỏa mãn . Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 9: Cho số phức thỏa mãn và giá trị lớn nhất của bằng . Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 10: Cho số phức thỏa mãn không phải số thực và là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức là
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Câu 1: Chọn C;
Câu 2: Chọn A
Câu 3: Chọn B
Câu 4: Chọn A
Câu 5: Chọn B
Câu 6: Chọn A
Dễ thấy thuộc đường thẳng: 
Câu 7: Chọn B
Điểm thuộc đường tròn tâm 
, gọi là trung điểm của 
Câu 8: Chọn C. 
.
Đặt . Suy ra quỹ tích điểm biểu diễn số phức là elíp có tiêu điểm và độ dài trục lớn là và tiêu cự . 
Khi đó:.
Câu 9: .Chọn A. 
Gọi .
Khi đó 
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn chính là đường tròn tâm 
Ta có . Dựa vào hình vẽ nhận thấy lớn nhất khi đi qua tâm. Khi đó . Suy ra 
Do đó 
Câu 10: A. Xét suy ra . Gọi 
Suy ra 
Vì nên suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng là đường tròn .
Xét điểm là điểm biểu diễn số phức suy ra .
Với là bán kính đường tròn .
Tài liệu tham khảo
	1. Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản, nâng cao 
	2. Sách Bài tập giải tích lớp 12 Cơ bản, nâng cao
	3. Tài liệu chuẩn kiến thức, kỹ năng môn Toán của Bộ giáo dục và đào tạo.
	4. Tài liệu tham khảo,Intenet