Sáng kiến kinh nghiệm Hệ thống hóa và phân dạng bài tập về Chủ đề: Hệ thức Vi-ét

= 5 a + ( - b) = 5
 ab = 24 a.(- b) = - 24
 a , ( - b) là hai nghiệm của pt: x2 – 5x – 24 = 0
Bài 3: Tớnh kớch thước của một mảnh vườn hỡnh chữ nhật biết chu vi bằng 22 m và diện tớch bằng 30 m2
HD Gọi chiều dài của mảnh vườn là a (m) chiều rộng là b (m) ( với a>b > 0)
Vỡ chu vi ...... là 22 m nờn ta cú: 2(a + b ) = 22 a + b = 11 (1)
Vỡ diện tớch ..... là 30 m2 nờn ta cú: ab = 30 (2)
Từ (1) và (2) ta cú a , b là nghiệm của pt: x2 – 11x + 30 = 0
Dạng 5: 
Xột dấu cỏc nghiệm của phương trỡnh bậc hai
 Lý thuyết: 
Phương trỡnh bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a 0) nếu cú nghiệm x1 , x2 
 áp dụng hệ thức Vi-ét ta có S = x1 +x2 = 
 P = x1 x2 = 
1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac < 0
2. Phương trình có hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0
3. Phương trình có hai nghiệm cùng dương 0 và P > 0 , S > 0
4. Phương trình có hai nghiệm cùng âm 0 và P > 0 , S < 0
5. Phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn GTTĐ của nghiệm âm ac 0
6. Phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn GTTĐ của nghiệm dương ac < 0 , S < 0
7. Phương trình có hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
8. Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo của nhau 0 và P = 1
Vớ dụ1 : Khụng giải phương trỡnh xột dấu cỏc nghiệm của cỏc phương trỡnh sau:
 a) x2 - 2 x + 4 = 0
 b) x2 + 5x - 1 = 0
 c) x2 - 2x + 1 =0
 d) x2 + 9x + 6 = 0
Giải: 
 a) Phương trỡnh x2 - 2 x + 4 = 0 là phương trỡnh bạc hai ẩn x.
Ta cú D ' = ( -)2 – 1. 4 = 3 – 4 = -1 < 0 nờn phương trỡnh vụ nghiệm
 b) Phương trỡnh x2 + 5x - 1 = 0 là phương trỡnh bạc hai ẩn x.
 Ta cú a = 1 > 0
 c = -1 < 0 
 ac < 0 nờn phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu
 c) H Dẫn: Ta cú D' = 2 > 0 ; S = 2 > 0; P = 1 > 0 
 phương trỡnh cú hai nghiệm phân biệt cùng dương 
 d) H Dẫn: Ta cú D =57 > 0; S = - 9 0 
 phương trỡnh cú hai nghiệm phân biệt cùng õm 
Vớ dụ 2: Tỡm điều kiện của m để phương trỡnh sau:
 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 
 a) Cú hai nghiệm khỏc dấu
 b) Cú hai nghiệm phõn biệt đều õm
 c) Cú hai nghiệm phõn biệt đều dương
 d) Cú hai nghiệm bằng nhau về giỏ trị tuyệt đối và trỏi dấu nhau
Giải: phương trỡnh 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 ( 1) là phương trỡnh bạc hai ẩn x cú : a = 2 , b = 2m – 1 , c = m - 1
 a) Phương trỡnh (1) cú hai nghiệm khỏc dấu khi:
 ac < 0 
 Û 2(m – 1) < 0 
 Û m – 1 < 0 
 Û m < 1 
 Vậy với m < 1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu
 b) Phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt đều õm khi :
 Vậy với m > 1 , m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm
 c) Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt đều dương khi:
  Û không có giá trị nào của m
 Vây khụng cú giỏ trị nào của m để pt có hai nghiệm đều dương
d) Phương trỡnh cú hai nghiệm bằng nhau về giỏ trị tuyệt đối và trỏi dấu nhau hay phương trỡnh cú hai nghiệm đối nhau .
 Phương trỡnh cú hai nghiệm đối nhau khi: 
 Û .... Û 1 - 2m = 0 Û m = 
VD3: Cho pt: x2 – 4x + m + 1 = 0 ( m là tham số ) 
Giải pt với m = 2
Tỡm m để pt cú hai nghiệm trỏi dấu ( x1 < 0 < x2 ) Khi đú nghiệm nào cú GTTĐ lớn hơn.
 Điều cần chỳ ý 
- khi D < 0 thỡ khụng cần xột dấu cỏc nghiệm của phương trỡnh vỡ phương trỡnh vụ nghiệm. 
- Khi P 0
- Khi P > 0 ta phải xột đến hai yếu tố cũn lại là D và S
Dạng 6: 
Tớnh giỏ trị của biểu thức chứa cỏc nghiệm của
 phương trỡnh đó cho
 Điều quan trọng nhất đối với dạng toán này là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức mới chứa tổng và tích hai nghiệm để áp dụng hệ thức Vi-et rồi tính giá trị biểu thức.
1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện x1 +x2 và x1 x2 
 a) x12 + x22 = ( x12 + x22 + 2 x1 x2 ) - 2x1 x2 = (x1 + x2)2 - 2x1 x2 
 b) x13 + x23 = (x1 + x2)( x12 + x22 - x1 x2 ) = (x1 + x2)[ (x1 + x2)2 - 3x1 x2 ] 
 c) = = 
 d) 
 e) ) x14 + x24 = ... = .... = [(x1 + x2)2 - 2x1 x2 ]2 - 2(x1x2)2
 g) 
2. Không giải phương trình hãy tính giá trị các biểu thức sau:
Vớ dụ 1: Cho phương trỡnh x2+ mx + 1 = 0 ( m là tham số)
 Nếu phương trỡnh cú nghiệm x1, x2 . Hóy tớnh giỏ trị biểu thức sau theo m:
 a) x12 + x22 
 b) x13 + x23 
 c) 
 d) 
 e) ) x14 + x24
Giải: phương trỡnh x2+ mx + 1 = 0 là phương trỡnh bậc hai ẩn x cú a = 1, b = m, c = 1
- Ta có = b2 – 4ac = m2 – 4.1= m2 – 4
 Khi m2 – 4 0 thì phương trình có hai nghiệm và x1 . x2 
 Theo hệ thức Vi-ột ta cú: x1+ x2 = -m và x1.x2 = 1
a) Ta cú x12 + x22 = (x1 +x2)2 - 2x1x2 (1)
Thay x1+ x2 = - m và x1.x2 = 1 vào (1) ta được x12 + x22 = m2 - 2
b) H dẫn x13 + x23 = (x1+x2)3 - 3x1x2(x1+ x2) = -m3+ 3m
 c) H Dẫn (x1 - x2)2 = (x1 +x2)2 - 4x1x2 = m2- 4 nờn = 
Vớ dụ 2: Cho phương trỡnh x2 - 4x + 1 = 0 . Không giải phương trình, Tớnh giỏ trị của biểu thức 
 ( với x1 là một nghiệm của phương trỡnh đó cho)
Giải:Ta có = b2 – 4ac =(- 4)2 – 4.1= 16 – 4= 12 > 0
 Vì > 0 nên phương trình có hai có hai nghiệm x1 , x2 
Theo hệ thức Viột ta cú: 
 HD: Ta phải biến đổi biểu thức dưới căn bậc hai thành dạng (5x1+a)2 để đưa 
 A về dạng A= 
Bằng cỏch xột dấu nghiệm của phương trỡnh đó cho chứng tỏ 5x1+ a > 0 từ đú tớnh được giỏ trị của A. Sau đõy là cỏch biến đổi cụ thể:
 Vỡ x1 là nghiệm của phương trỡnh đó cho nờn : 
 x12 = 4x1-1 ị x14 = 16x12 - 8x1+ 1
 Vì ta có 
 ị x1 > 0 ị 5x1+ 2 > 0 ị A =2
Vớ dụ 3: Cho phương trỡnh x2 + x - 1 = 0 
 và x1,x2 là nghiệm của phương trỡnh (x1 < x2) . Không giải phương trình Tính giỏ trị của biểuthức
Giải: Ta có a = 1 > 0 , c = -1 < 0 nên ac < 0 . Vậy pt luôn luôn có nghiệm 
Từ giả thiết ta cú: x12 = 1 - x1ị x14 = x12 -2x1 + 1=(1 - x1) - 2x1 + 1= - 3x1 + 2 
 ị x18 = 9x12 - 12x1+ 4
 ị =
Vỡ P < 0 nờn phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm trỏi dấu mà x1< x2 nờn x1< 0
 Vậy B = = 5 - x1+ x1 = 5
Dạng 7: 
Tỡm điều kiện của tham số để phương trỡnh cú hai nghiệm thỏa món hệ thức nào đú
Vớ dụ 1: Tỡm m để phương trỡnh x2 + 2x + m = 0 (m là tham số) cú hai nghiệm x1, x2 thoả món 
 a) 3x1 + 2x2 = 1
 b) x12 - x22 = 6
 c) x12 + x22 = 8
Giải: Ta có ’= b’2 – ac = 12 – 1.m = 1 - m
 Để phương trỡnh cú nghiệm thỡ D' 0 Û m1
a) H Dẫn : Kết hợp hệ thức Viột ta cú hệ:
 Giải hệ (1), (2) ta được x1= 5; x2= -7
 Thay vào (3) ta được m = -35 (thoả món điều kiện)
b) H Dẫn : Kết hợp hệ thức Viột ta cú hệ: 
 Giải hệ (1), (2) ta được x1= ; x2 = 
 Thay vào (3) ta được m = - (thoả món điều kiện)
c) x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2x1x2 ị 4 - 2m = 8 ị m = -2 (thoả món)
Vớ dụ 2: Tỡm m để phương trỡnh x2 - mx + 3 = 0 (m là tham số)
 cú hai nghiệm thoả món 3x1+ x2 = 6
HDGiải: 
 Để phương trỡnh cú nghiệm thỡ D 0 
 Û m2 - 12 0 
 Û m 2 hoặc m -2
Kết hợp với hệ thức Viột ta cú 
 giải hệ (1), (2) ta được x1= ; x2 = 
giải hệ (1), (2) ta được x1= ; x2 = 
Thay vào (3) ta được (6 - m)(3m - 6) = 12 giải ra ta được m = 4 (thoả món) 
Vớ dụ 3: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trỡnh x2 + 2mx + 4 = 0. 
 Xỏc định m để x14 + x24 32
HDGiải: 
 Để phương trỡnh cú nghiệm thỡ D' 0 hay m2 - 4 0 Û 
Ta cú: x14 + x24 = (x12 + x22)2 - 2x12x22 = 
 Theo hệ thức Viột ta cú: 
 nờn x14 + x24 32 Û (4m2 - 8)2 - 32 32 
 Û 
Kết hợp với điều kiện D' 0 ta được m = 2 hoặc m = -2 
Dạng 8: Tỡm hệ thức liờn hệ giữa hai nghiệm khụng phụ thuộc vào tham số
PP chung: - Tìm ĐK để pt đã cho có hai nghiệm x1 , x2
 - Ap dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2 và P = x1 x2
 - Dùng pp cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 , x2
Vớ dụ1 : Cho phương trỡnh x2 - 2(m + 1) x + m2 =0
 a) Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm
 b) Tỡm hệ thức liờn hệ giữa hai nghiệm khụng phụ thuộc vào m
Giải:
 a) Ta cú D' = (m + 1)2 - m2 = 2m + 1
 Phương trỡnh đó cho cú nghiệm Û D' 0 Û m - 
 b ) Theo hệ thức Viột ta cú 
 Từ (1) ta cú m = thay vào (2) ta được 
 hay 4x1x2 = (x1 + x2 - 2)2 là hệ thức liờn hệ giữa hai nghiệm khụng phụ 
 thuộc vào m
 Cỏch giải chung của dạng này là theo hệ thức Viột ta cú hai biểu thức liờn hệ giữa hai nghiệm của phương trỡnh. Từ một trong hai biểu thức ta rỳt m theo hai nghiệm, sau đú thế vào biểu thức cũn lại ta được biểu thức cần tỡm. 
Tuy nhiờn cú thể dựng cỏch biến đổi tương đương để khử m từ hai phương trỡnh, ta xột tiếp vớ dụ sau:
Vớ dụ 2: Cho phương trỡnh mx2 - 2(m - 3)x + m+ 1 = 0 (m0, m là tham số )
 Biết phương trỡnh luụn cú hai nghiệm, tỡm hệ thức liờn hệ giữa hai nghiệm khụng phụ thuộc vào m.
Giải :
 Do phương trỡnh luụn cú hai nghiệm nờn theo hệ thức Viột ta cú:
 Ta cú (2) Û 6x1x2 = 6 + (3). 
Cộng vế theo vế của (1) và (3) ta được x1 + x2 + 6x1x2 = 8.
Vậy biểu thức liờn hệ giữa hai nghiệm khụng phụ thuộc vào m là: 
 x1 + x2 + 6x1x2 = 8
Dạng 9: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất, lớn nhất, chứng minh bất đẳng thức của biểu thức nghiệm
Vớ dụ 1: Cho phương trỡnh x2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 với m là tham số
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trỡnh trờn. Với giỏ trị nào của m thỡ biểu thức A = x12 + x22 đạt giỏ trị nhỏ nhất. Tỡm giỏ trị đú. 
Giải: 
 Ta cú D' = (m - 1)2 - (m - 5)
 = m2 - 3m + 6 
 = m2 – 2.m. + 
 = ( m - )2 + > 0
 Vi D' > 0 nờn phương trỡnh luụn cú nghiệm x1 , x2 với mọi giỏ trị của m 
Theo hệ thức Viột ta cú: x1+ x2 = 2(m - 1) và x1x2 = m - 5
 ị A = x12+ x22 = (x1+x2)2 - 2x1x2 
 = 4(m - 1)2 - 2(m - 5) 
 = 4m2 - 10m +14 = với mọi m
 Amin = Dấu = xẩy ra khi m = 
 Vậy Amin = khi m = 
Vớ dụ 2: Cho phương trỡnh x2 - mx + m - 1= 0 với m là tham số.
 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trỡnh. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức: 
Giải: 
 Ta cú D = m2 - 4(m - 1) = (m - 2)2 0 nờn phương trỡnh cú nghiệm x1 , x2 với mọi giỏ trị của m
- Theo hệ thức Viột ta cú: x1+ x2 = m và x1x2 = m - 1
 ị x12+x22 =(x1+x2)2 - 2x1x2 = m2 -2m + 2 . Thay vào ta cú 
 = 
 Đặt t = ta cú tm2 - 2m + 2t - 1 = 0 (1)
Nếu t = 0 thỡ m = 
Nếu t 0 thỡ phương trỡnh (1) là phương trỡnh bậc hai đối với m. Ta cú :
 D' = 1 - t(2t - 1) 0 Û - 2t2 + t + 1 0 
 Û (t - 1)(-2t - 1) 0 Û 
 t = - khi m = -2 ; t =1 khi m = 1
Vậy Cmin = khi m = -2; Cmax= 1 khi m = 1
Hoặc ta chứng minh C - 1 0 và C + 0
Vớ dụ 3: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trỡnh 
 2008x2 - (2008m - 2009)x - 2008 = 0
 Chứng minh 
 A= 
Giải: Theo hệ thứcViet ta cú: x1 + x2 = và x1x2 = - 1
Biến đổi biểu thức A = .
 A = 6(x1 - x2)2 
 A = 6( (x1 + x2)2 + 4) 24
Vậy ....
Dạng 10: Ứng dụng hệ thức Viột đảo vào bài tập
Vớ dụ 1: Tỡm hai số x và y biết 
 a) b) 
Giải:
a) Đặt S = x + y; P = xy ta cú hệ
 Û 
Suy ra x, y là nghiệm của phương trỡnh X2 - 3X + 2 = 0
Giải phương trỡnh ta được x1 = 1; x2 = 2 . Vậy (x ; y) 
b) Đặt S = x - y; P = xy ta cú hệ
Suy ra x + (-y) = 2 và x(-y) = -15 hay x và -y là nghiệm của phương trỡnh
 X2 - 2X - 15 = 0 giải ra ta được x1 = - 3; x2 = 5
 Vậy (x ; y) 
Thực chất dạng này được ứng dụng vào giải hệ đối xứng hai ẩn.
 Ta xột tiếp vớ dụ sau
Vớ dụ 2: Giải hệ
 Giải:
 Đặt S = x + y; P = xy ta cú hệ
 S = 2 , P = 0 hoặc S = -3; P = 5
Suy ra x, y là nghiệm phương trỡnh X 2 - 2X = 0 hoặc X2 + 3X + 5 =0
 Vậy (x ; y) 
Hệ thức Viột đảo cũn được ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức, vận dụng vào cỏc bài toỏn chứng minh khỏc . Ta xột cỏc vớ dụ sau
Vớ dụ 3: Cho ba số a, b, c thoả món điều kiện sau: 
 a > 0, a2 = bc, a + b + c = abc. Chứng minh rằng: 
 a , b > 0, c > 0 và b2 + c2 2a2
Giải:
 Từ a + b + c = abc ị b + c = a(bc - 1) = a( a2 - 1) mà bc = a2 nờn b, c là nghiệm của phương trỡnh: X2 - (a3 - a)X + a2 = 0 
Ta cú D =(a3 - a)2 - 4a2 0 Û (a2 - 1)2 4 Û a2 3 Û a ( vỡ a > 0)
Khi đú b+ c = a( a2 - 1) > 0 và bc = a2 > 0 nờn b > 0, c > 0.
Vớ dụ 4: Cho a, b, c là ba số khỏc nhau từng đụi một và c 0. Chứng minh rằng nếu hai phương trỡnh x2 + ax + bc = 0 (1) và x2 + bx + ca = 0 (2) cú đỳng một nghiệm chung thỡ nghiệm khỏc của cỏc phương trỡnh đú thoả món phương trỡnh x2 + cx + ab = 0
Giải:
 Giả sử (1) cú nghiệm x0 , x1 và (2) cú nghiệm x0 , x2 ( x1x2). Ta cú:
 ( a - b)(x0 - c) = 0 ị x0 = c ( vỡ a b)
 Áp dụng định lý Viột vào phương trỡnh (1) và phương trỡnh (2) ta cú:
 và ị 
 Do đú x1, x2 là nghiệm của phương trỡnh x2 + cx + ab = 0 ( phương trỡnh này luụn cú nghiệm vỡ D= c2 - 4ab = (a + b)2 - 4ab = (a - b)2 > 0)
 Bài tập ỏp dụng:
Bài tập 1: Khụng giải phương trỡnh hóy xột dấu cỏc nghiệm của phương trỡnh sau:
 a) x2 - 3x + 4 = 0
 b) 2x2 - x + 4 = 0
Bài tập 2: Tỡm m để phương trỡnh x4 - mx2 + m -1 = 0 cú:
 a) Bốn nghiệm phõn biệt
 b) Ba nghiệm phõn biệt
 c) Hai nghiệm phõn biệt
Bài tập 3: Cho phương trỡnh x2 + 4x + 1 = 0 cú hai nghiệm là x1 và x2
 Lập phương trỡnh bậc hai cú hai nghiệm là x12 + x22 và x12 - x22.
Bài tập 4: Cho phương trỡnh x2 - mx + 6 = 0
 Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1, x2 thoả món
 a) x1 - x2 = 1
 b) x12 + x22 = 37 
Bài tập 5: Cho phương trỡnh x2 - 2(m + 1)x - m = 0
 a) Tỡm điều kiện để phương trỡnh cú nghiệm
 b) Tỡm hệ thức liờn hệ giữa hai nghiệm khụng phụ thuộc vào m
 c) Tỡm m để phương trỡnh cú đỳng một nghiệm õm
 d) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm bằng nhau về giỏ trị tuyệt đối và trỏi dấu nhau.
 e) Tỡm m để nhỏ nhất.
Bài tập 6: Giải hệ
 a) b) c) 
Bài tập 7: Cho phương trỡnh x2 - 3x + 1 = 0. Tớnh giỏ trị biểu thức
 A = (x1 là một nghiệm của phương trỡnh )
Bài tập 8: Cho phưong trỡnh x2 - 3x - 1 = 0 với . Tớnh giỏ trị biểu thức
 B = 
Bài tập 9: Tỡm p, q để phương trỡnh x2 + px + q = 0 cú cỏc nghiệm x1, x2
 thoả món:
Bài tập 10: Xỏc định a để phương trỡnh x2 + ax + 1 = 0 cú nghiệm x1, x2
 thoả món: 
Bài tập 11: 
 Giả sử phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 cú hai nghiệm dương x1, x2. Chứng minh rằng phương trỡnh cx2 + bx + a = 0 cú hai nghiệm dương
 x3, x4 và x1+ x2 + x3 + x4 4 
Bài tập 12: 
Cho pt ẩn x : x2 – 2( m + 1)x + 2m = 0 (1)
Chứng minh pt(1) luụn luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi m
 Gọi hai nghiệm của pt là x1 , x2 . Tỡm giỏ trị của m để x1 , x2 là độ dài hai cạnh của một tam giỏc vuụng cú cạnh huyền bằng 2.
C . Kết luận
 Trờn đõy là nội dung ứng dụng hệ thức Viột vào cỏc dạng bài tập mà tụi đó hệ thống trong quỏ trỡnh dạy cho học sinh lớp 9 ụn thi vào THPT và vào trường chuyờn lớp chọn . Bằng cỏch hệ thống thành nhiều dạng.Tụi đó vận dụng từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập về hệ thức Viột để học sinh được củng cố và khắc sõu thờm, đồng thời rốn luyện cho cỏc em kỹ năng trỡnh bày khi gặp cỏc dạng này. Trong thời gian ụn thi cỏc em được hệ thống lại một cỏch hoàn chỉnh theo cỏc dạng trờn. Vỡ thế việc ỏp dụng hệ thức Viột đối với cỏc em khi gặp trong cỏc kỳ thi vào THPT hay trường chuyờn lớp chọn khụng cũn khú khăn nữa. Và cỏc em biết vận dụng linh hoạt khi tiếp tục học lờn chương trỡnh THPT. Phần ứng dụng của hệ thức Viột đó cú nhiều bạn đọc quan tõm, là một phần cú nhiều ứng dụng hay. Tuy nhiờn tụi đó trỡnh bày theo quan điểm của mỡnh, theo kinh nghiệm giảng dạy lớp 9 nhiều năm và cho thấy cú hiệu quả tốt. Rất mong được sự gúp ý chõn thành từ cỏc đồng nghiệp để sỏng kiến hay hơn, phong phỳ hơn. 
Trước khi chưa áp dụng cách ôn tập như trình bày ở trên, tôi nhận thấy nhiều học sinh nhìn nhận, định hướng cách giải chưa đúng , chưa bao quát được hết các đặc điểm của đề bài , chưa nắm được phương pháp giải các dạng bài tập về ứng dụng của hệ thức Vi-ét. Do đó các em làm bài còn hay mơ hồ chưa tự tin, kĩ năng làm bài còn hạn chế nhiều. 
Sau khi áp dụng phương pháp dạy như đã trình bày, các nhược điểm của học sinh nêu trên đã giảm đi rất nhiều. Tỉ lệ học sinh hiểu bài, làm bài đúng được tăng lên rõ rệt, các em hứng thú và tích cực học tập hơn, chất lượng được tăng lên nhiều.
	Tóm lại, “nghệ thuật dạy học” của người thày giáo quyết định chất lượng giảng dạy. Ngoài phương pháp phù hợp, người thầy phải cố gắng tạo lòng tin ở HS; tôn trọng suy nghĩ, phát hiện của HS. Động viên, khuyến khích HS tự tin trong sáng tạo, tìm tòi kiến thức trên nền kiến thức cơ bản đã được hướng dẫn. Người thầy còn phải biết đơn giản hóa các vấn đề phức tạp, tạo không khí chủ động, tích cực, sôi nổi trong giờ học, ủng hộ HS bằng lời nói và hành động chứa đựng nhiệt tình của giáo viên để học sinh hứng thú học tập.
Trong những năm học qua, tôi đã cố gắng trong việc suy nghĩ tìm phương pháp truyền thụ kiến thức ngắn gọn, chính xác động viên tính tích cực của HS, qua đó thấy được kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải quyết thực tế bài tập được dần nâng cao.
	Tuy vậy, để việc hướng dẫn HS học tập có kết quả cao một cách ổn định, tôi thấy cần:
	1/ Các giáo viên trong cùng tổ chuyên môn phải thường xuyên trao đổi kinh nghiệm , thật sự tận tâm, tận lực với nghề, với HS, để giành thời gian thích đáng cho việc lựa chọn PP giải, hướng khai thác bài toán, tìm phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh.
	2/ Cần có chuyên đề bồi dưỡng thường xuyên về việc đổi mới PP giảng dạy và kiểm tra đỏnh giỏ cho GV (đổi mới từ việc nghiên cứu bài, soạn bài đến định hướng giải, làm thay đổi cách suy nghĩ của HS).
	Trên đây là một số suy nghĩ của tôi về vấn đề đổi mới PP dạy học, đặc biệt là dạy giải toán. Tôi mạnh dạn ghi ra đây, mong đồng nghiệp cùng nghiên cứu, tham gia góp ý kiến để hoàn chỉnh hơn về phương pháp giảng dạy.
 Tôi xin chân thành cảm ơn./.
 Việt Thuận ngày 8 . 4 . 2015
 Người trỡnh bày
Trần Thị Huyền Trang 
Nhận xét của ban thi đua Trường THCS Việt thuận
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Nhận xét của phòng giáo dục huyện vũ thư
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................