Sáng kiến kinh nghiệm Góp phần nâng cao năng lực toán học cho học sinh thông qua dạy học vận dụng tính chất hình học vào bài toán cực trị hình không gian

n này đòi hỏi người giải cần phát hiện thêm các mối quan hệ trong tứ diện dựa vào giả thiết đã cho.
Dễ dàng nhận ra (vì ). Do đó .
Lại có (Tứ diện có 2 cặp cạnh đối diện vuông góc thì cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc). Với phát hiện này thì ta nhận ra tứ diện là tứ diện trực tâm.
Đến đây người học cần nhớ đến một tính chất quan trọng của loại tứ diện này là: . Tính chất này là chìa khóa để ta giải quyết bài toán đặt ra.
Lời giải.
Trước hết ta chứng minh 
Dễ thấy 
Lại có: 
Xét tứ diện có: 
 (đây là một tính chất khá quen thuộc của loại tứ diện này)
Đặt . Giả sử , ta có:
 (vì tam giác nhọn nên nằm giữa và )
Từ đó, suy ra . Dấu “=” xảy ra khi là trung điểm của hay .
Bài toán 11. Cho tứ diện có các cạnh đôi một vuông góc với nhau. Đặt , chiều cao . Gọi theo thứ tự là diện tích các mặt của tứ diện. Chứng minh rằng: .
Phân tích: 
Đối với bài toán này người học cần tái hiện được tính chất (Bài tập 4b, trang 105, SGK hình học 11).
Từ đó, ta cần biến đổi để sử dụng được công thức trên.
Ở đây, ta cần lưu ý thêm các mặt là các tam giác vuông tại nên .
Từ phân tích trên, ta có lời giải cho bài toán như sau:
Lời giải.
Ta có: và . Khi đó:
Áp dụng BĐT cô si, ta có: 
. Dấu “=” xảy ra . (đpcm)
Nhận xét: 
Tứ diện vuông là một trường hợp đặc biệt của tứ diện trực tâm.
Từ công thức và BĐT ta có thể có được một số kết quả khác về bài toán cực trị.
Chẳng hạn:
1. Chứng minh: 
2. Chứng minh: 
3. Chứng minh: 
(Bài đề nghị Olympic 30/4 – 2010)
Bài toán sau đây, tác giả xin đề cập đến một loại tứ diện khác cũng có các tính chất khá thú vị, được xem là chìa khóa để mở cửa cho các bài toán cực trị về nó.
Bài toán 12. Cho tứ diện nội tiếp trong một mặt cầu bán kính và thỏa mãn điều kiện , , . Gọi là một điểm thay đổi trong không gian. Đặt , tính theo giá trị nhỏ nhất của .
Phân tích.
Đây là loại tứ diện gần đều nên ta cần nhớ đến một tính chất rất quan trọng là “trọng tâm tứ diện cách đều các đỉnh của nó”.
Ta cần đánh giá biểu thức sao cho xuất hiện được vai trò của trọng tâm của tứ diện.
Biểu thức không chứa bình phương độ dài nên việc chèn điểm vào khó có thể thực hiện được
Với dự đoán nhỏ nhất khi hay khi
 ta cần tạo một đánh giá để các dấu “=” trên đồng thời xảy ra.
Đến đây ta nghĩ đến tính chất: .
Lời giải.
Gọi là trọng tâm của tứ diện, các điểm lần lượt là trung điểm của các cạnh . Ta dễ dàng chứng minh được: 
.
Ta có: 
.
Dấu “=” xảy ra . Vậy .
Nhận xét. 
Việc giải quyết bài toán trên ngoài việc sử dụng tính chất đặc thù của tứ diện gần đều ta còn phải kết hợp với tính chất của véc tơ.
Trong đề tài này tác giả mới chỉ đưa ra một số thí dụ mang tính chất minh họa về mặt phương pháp và những định hướng cơ bản để sử dụng tính chất hình học liên quan. 
Nội dung tiếp theo của đề tài tác giả xin mời bạn đọc đến với các bài toán cực trị mà việc vận dụng tính chất hình học vào giải quyết nó là một hướng đi ngắn gọn nhưng vô cùng hiệu quả.
2.4.4. Tổ chức hoạt động tìm hiểu và vận dụng một số tính chất cơ bản của hình học không gian vào bài toán cực trị .
2.4.4.1. Tổ chức hoạt động dạy học vận dụng các tính chất về khoảng cách vào bài toán cực trị .
Trước hết cho học sinh khởi động bằng bài toán sau:
Bài toán 1.1. Cho mặt phẳng và 2 điểm , , là một điểm di động trên . Tìm giá trị nhỏ nhất của và giá trị lớn nhất của .
Phân tích.
Bài toán gợi ta nghĩ đến tính chất 1
Vấn đề đặt ra là dấu “=” có xảy ra hay không? Câu hỏi này sẽ hướng người học đi xét vị trí tương đối của hai điểm so với .
Nhận thấy nằm khác phía so với nên nhỏ nhất bằng khi là giao điểm của với mặt phẳng .
Tuy nhiên vì khác phía với nên khi ta sử dụng tính chất thì dấu “=” không xảy ra. Do đó, ta cần tạo điểm để cùng phía với , đồng thời là điểm đối xứng với qua . Ta dễ dàng tìm được . Khi đó . Dấu “=” xảy ra khi là giao điểm của với .
Như vậy, ta có thể giải quyết bài toán trên trong trường hợp tổng quát “Cho hai điểm A, B và mặt phẳng . Tìm giá trị nhỏ nhất của và giá trị lớn nhất của với là một điểm di động trên ”
Trong bài toán này nếu ta thay mặt phẳng bới đường thẳng thì khi đó mọi chuyện trở nên phức tạp hơn nhiều. Chẳng hạn ta xét bài toán sau đây
Bài toán 1.2. Trong không gian cho đường thẳng và điểm . Tìm trên điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Định hướng giải.
Đối với bài toán này cách giải thường gặp là đại số hóa bằng việc tham số hóa điểm như sau:
. Khi đó: 
Ta cầnbiến đổi để có được một đánh giá triệt tiêu biến , ta nghĩ đến BĐT quen thuộc .
Khi đó, 
Dấu “=” xảy ra khi , hay .
Lưu ý: Ta có thể sử dụng một tính chất quen thuộc của véc tơ để đánh giá biểu thức trên là . Khi đó bạn đọc chỉ cần khéo léo chọn tọa độ cho .
Ngoài ra, để phát triển tuy duy hình học cho học sinh thì giáo viên có thể phân tích để học sinh tìm ra cách giải bằng hình học cho bài toán trên.
Khó khăn ở đây là và không đồng phẳng nên ta chưa có khái niệm về hai điểm cùng phí hay khác phía với . Do vậy, ta bắt đầu với ý tưởng quy về mặt phẳng.
Nếu xác định mặt phẳng chứa và , ta sẽ tìm trong một điểm thay thế , đương nhiên phải khác phía với so với và đảm bảo điều kiện với mọi điểm . Từ đó ta có định hướng giải cho bài toán như sau:
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng chứa và 
Bước 2: Xác đinh hình chiếu của trên , hình chiếu của trên 
Bước 3: Tìm sao cho cùng hướng với và 
Bước 4: Đánh giá . Dấu “=” xảy ra khi là giao điểm của với . Từ đó ta tìm được .
Hoàn toàn tương tự, nếu ta thay mặt phẳng bởi mặt cầu thì phải xem xét đoạn thẳng AB có cắt mặt cầu hay không? Cụ thể xin mời bạn đọc đến với bài toán sau
Bài toán 1.3. Cho mặt cầu và hai điểm , . Gọi là một điểm thuộc mặt cầu . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Phân tích.
Biểu thức gợi ta nghĩ đến việc thay thế điểm bởi điểm sao cho . Khi đó, 
Khó khăn ở đây lại nằm ở chỗ tìm điểm . Nếu ta tìm bằng phương pháp hình học thì cực kỳ khó khăn, do vậy ta sẽ tìm bằng phương pháp tọa độ. Tức là sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm.
Nếu gọi thì ta có , để làm xuất hiện thì ta cần có hệ số của phải bằng 4. Lúc này ta nghĩ đến điều kiện .
Để có được hệ số như trên ta biến đổi như sau: 
Từ đó, ta tìm được , và thấy rằng nằm trong mặt cầu, còn nằm ngoài mặt cầu.
Đến đây ta có được kết quả: . Dấu “=” xảy ra khi là giao điểm của đoạn và mặt cầu . Vậy, .
Tiếp nối ý tưởng này ta cùng đến với một dạng bài tập liên quan đến khoảng cách từ một điểm cho trước đến một điểm trên mặt cầu
Bài toán 2.1. Cho mặt cầu , và điểm . Gọi là điểm thuộc . Tìm giá trị lớn nhất của .
Phân tích. Đây là bài toán cơ bản nhằm mục đích tái hiện tính chất khoảng cách liên quan đến mặt cầu. Ta dễ nhận ra điểm nằm ngoài , do đó 
, trong đó lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu . Đến đây bài toán được giải quyết.
Lưu ý: nếu điểm nằm trong mặt cầu thì 
Từ bài toán này ta có thể nâng độ khó lên bằng cách lồng véc tơ vào đề xuất hiện nhiều đại lượng biến thiên hơn, cụ thể ta xét bài toán sau:
Bài toán 2.2. Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , và mặt cầu . Tìm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Phân tích. Bài toán này đòi hỏi ta phải biến đổi nhằm làm giải đi đại lượng biến thiên. Cụ thể, ở đây có đến 3 véc tơ phụ thuộc nên ta nghĩ cách biến đổi sao cho chỉ còn một véc tơ phụ thuộc . Lúc này ta nghĩ đến việc xen điểm
, ta có: .
Lúc này ta chọn điểm để .
Khi đó, bài toán trở thành tìm sao cho nhỏ nhất. Đến đây ta làm như bài toán 2.1 ở trên.
Ta cũng có thể nâng mức khó của bài toán lên bằng cách dấu đi yếu tố “véc tơ” ở trong bài toán. Cụ thể, xin mời bạn đọc đến với bài toán sau đây
Bài toán 2.3. Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , và mặt cầu . Gọi là một điểm thuộc mặt cầu . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Phân tích.
Bài toán xuất hiện 3 đại lượng phụ thuộc , do vậy ta cũng tìm cách để đưa về còn một đại lượng phụ thuộc .
Biểu thức chứa các bình phương độ dài nên ta nghĩ đến việc sử dụng véc tơ như sau: 
Tương tự như bài toán 2.1 ta chọn điểm thỏa mãn . 
Khi đó: , nhỏ nhất khi lớn nhất. Đến đây bạn đọc tự giải quyết như bài toán 2.1.
Ba bài toán trên ý tưởng đều xuất phát từ vị trí tương đối của một điểm trong không gian với mặt cầu, thực chất kiến thức này được xây dựng trên nền tảng về vị trí tương đối của điểm và đường tròn ở trong hình học phẳng. Bài toán sau đây là một sự kết nối hài hòa giữa không gian và hình học phẳng.
Bài toán 2.4. Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm , , . Xét các điểm thuộc mặt phẳng sao cho . Tính độ dài lớn nhất của đoạn thẳng .
Phân tích.
Dữ kiện bài toán cho ta biết về tập hợp điểm là mặt cầu đường kính 
Kết hợp với giả thiết thuộc mặt phẳng ta kết luận được chạy trên một đường tròn cố định.
Từ đó ta cố gắng đưa bài toán về bài toán trong mặt phẳng 
Lời giải. 
Gọi là trung điểm của . Vì nên thuộc mặt cầu tâm , bán kính .
Mặt khác thuộc đường tròn tâm , bán kính (bạn đọc tự giải).
Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng và .
Ta có: , do đó: lớn nhất lớn nhất.
Lại có: . Vậy, .
Trong bài toán 2.2 và bài toán 2.3 nếu ta thay mặt cầu bởi mặt phẳng thì ta được các bài toán tương tự như sau:
Bài toán 3.1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , và điểm thuộc mặt phẳng . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Phân tích. 
Về mặt ý tưởng giải quyết bài toán này cũng giống với bài toán 2.2 đó là ta tìm điểm thỏa mãn 
Khi đó: nhỏ nhất khi nhỏ nhất là hình chiếu của trên . Khi đó .
Bài toán 3.2. Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , và mặt phẳng . Tìm thuộc sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Nhận xét: Việc giải quyết bài toán này cũng tương tự như bài toán 2.3, ta được kết quả có giá trị nhỏ nhất bằng khi .
Tiếp theo là các bài tóa tương tự về đường thẳng
Bài toán 3.3. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , và đường thẳng . Xét điểm thay đổi trên , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Nhận xét. Bài toán này có thể giải bằng phương pháp đại số, tức là tham số hóa tọa độ điểm . Tuy nhiên với cách giải quyết bằng công cụ véc tơ như các bài toán trên ta cũng dễ dàng đi đến kết quả một cách nhanh chóng: .
Các bài toán nếu trên là những tình huống cơ bản giúp học sinh nhận ra được tính chất hình học về khoảng cách của chúng. Bản chất của phương pháp hình học cho các bài toán đó chính là việc sử dụng tính chất về khoảng cách. Khi người học đã vững vàng về mặt định hướng , ý tưởng ta có thể nâng lên ở một mức khó hơn bởi các bài toán sau đây.
Bài toán 4.1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và mặt cầu . Giả sử và sao cho cùng phương với véc tơ và khoảng cách giữa và lớn nhất. Tính độ dài đoạn thảng .
Phân tích.
Trước hết ta cần kiểm tra vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu : tâm , bán kính , ta thấy nên và không có điểm chung.
Giáo viên cần mô phỏng bằng hình vẽ (hoặc yêu cầu học sinh vẽ hình minh họa) như sau:
Từ hình vẽ yêu cầu học sinh xác định đâu là yếu tố bất biến, ta hy vọng học sinh nhận ra góc giữa và không thay đổi.
Từ đó giáo viên có thể đặt ra câu hỏi: Em có quy việc đánh giá về đánh giá một đối tượng khác dễ hơn không?
Ta hy vọng học sinh nhận ra việc đánh giá quy về đánh giá khoảng cách từ đến . Đến đây coi như bài toán đã được giải quyết.
Lời giải.
Mặt cầu có tâm , bán kính , ta thấy nên và không có điểm chung.
Gọi là hình chiếu của trên . Từ giả thiết suy ra: 
 lớn nhất khi lớn nhất.
Mà .
Bài toán 4.2. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng đi qua vuông góc với đường thẳng đồng thời cách điểm một khoảng bé nhất.
Phân tích. 
Từ giả thiết đi qua vuông góc với đường thẳng em rút ra được nhận xét quạn trọng gì? Câu hỏi này có lẽ là chìa khóa để giải quyết vấn đề đặt ra.
Với câu hỏi trên, ta hy vọng học sinh nhận ra đường thẳng nằm trong mặt phẳng đi qua và vuông góc với .
Từ đó ta có thể mô phỏng bằng hình ảnh như sau:
Đến đây ta cần so sánh được khoảng cách từ đến so với khoảng cách từ đến là coi như bài toán được giải quyết.
Định hướng giải.
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với và nhận xét 
Bước 2: Xác định hình chiếu của trên và khẳng định 
Bước 3: Đường thẳng cần tìm chính là đường thẳng đi qua . Viết phương trình đường thẳng và kết luận.
Bài toán 4.3. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , và mặt cầu . Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất.
Phân tích.
Trước hết ta cần biết vị trí tương đối của hai điểm với mặt cầu . Ta nhận thấy hai điểm đều nằm trong mặt cầu. Do đó mặt phẳng luôn cắt mặt cầu theo một đường tròn.
Để người học dễ dàng trong việc lập luận ta cần có hình vẽ minh họa sau đây
Từ hình ảnh giáo viên đặt ra cho học sinh câu hỏi: Có thể quy việc đanh giá bán kính đường tròn về đánh giá đối tượng khác đơn giản hơn không? Câu hỏi này sẽ gợi học sinh tái hiện mối liên hệ giữa bán kính đường tròn giao tuyến với khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến mặt phẳng .
Bài toán trở thành: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất. Kết quả này tương tự kết quả ta đã rút ra trong bài toán 4.2 ở trên.
Nhận xét. Nếu bài toán yêu cầu cắt theo đường tròn có bán kính lớn nhất thì là mặt phẳng . 
Bài toán 4.4. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , . Tìm thuộc mặt phẳng sao cho và tam giác có diện tích nhỏ nhất.
Phân tích.
Bài toán này đòi hỏi người học cần có những phát hiện về tính chất hình học tồn tại trong nó.
Nhận ra , do đó khoảng cách từ mọi điểm thuộc đến luôn bằng nhau. Đây là phát hiện quan trọng cho hướng đi của bài toán.
Bìa toán yêu cầu về diện tích tam giác nhỏ nhất cũng là yêu cầu khoảng cách từ đến nhỏ nhất.
Nhận xét: . Dấu “=” xảy ra khi thuộc hình chiếu của đường thẳng trên .
Để xác định chính xác vị trí điểm ta cần khai thác yếu tố về góc đã cho, kết hợp với việc phát hiện . Ta suy ra là hình chiếu của trung điểm trên .
Từ đó ta có định hướng giải bài toán như sau: 
Bước 1: Chứng minh , .
Bước 2: Đánh giá nhỏ nhất nhỏ nhất.
Bước 3: Xác định vị trí của trên . Từ và là trung điểm của .
Bài toán 4.5. Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và đường thẳng . Hai mặt phẳng , vuông góc với nhau, luôn chứa và cắt tại hai điểm . Tìm độ dài ngắn nhất của .
Phân tích.
Cũng giống với một số bài toán trên, ý tưởng đánh giá độ dài sẽ quy về đánh giá một dại lượng khác dễ hơn, nghĩa là ở đó ta sẽ bắt gặp được tính chất hình học một cách rõ ràng hơn.
Để thực hiện được ý tưởng trên, người học cần có những phát hiện đặc biệt trong bài toán này và một vấn đề không kém phần quan trọng là cần xác định được yếu tố bất biến trong bài toán là gì?
Từ giả thiết ta nhận ra ngay hai đường thẳng và vuông góc với nhau, điều này dẫn đến một nhận xét vô cùng quan trọng là luôn vuông tại khi thay đổi (với là hình chiếu của trên ).
Lúc này ta sử dụng tính chất tam giác vuông để thay thế việc đánh giá thành đánh giá độ dài đường trung tuyến của . Đến đây tính chất về khoảng cách đã được hiện rõ.
Định hướng giải.
Bước 1: Hạ tại . Chứng minh vuông tại .
Bước 2: Gọi là trung điểm của 
Bước 3: Sử dụng tính chất về khoảng cách: 
Bước 4: Tính .
2.4.4.2. Tổ chức hoạt động dạy học vận dụng các tính chất về góc vào bài toán cực trị .
Trước hết cần trang bị cho học sinh công thức tính góc bằng phương pháp tọa độ trong không gian sau đây:
Đầu tiên chúng ta mở đầu bằng bài toán min, mawxx góc giữa hai mặt phẳng
Bài toán 5.1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và mặt phẳng . Lập phương trình mặt phẳng chứa và tạo với một góc nhỏ nhất.
Cách giải đại số thường gặp:
Giả sử là véc tơ pháp tuyến của 
Vì chứa nên ta có: 	
+) Nếu : ta chọn .
+) Nếu thì: 	
	 (với )
Xét hàm số , ta được khi .
Hay nhỏ nhất khi . Khi đó phương trình của là: .
Định hướng cách giải bằng hình học:
Để giải quyết bài toán trên bằng phương pháp hình học thì giáo viên phải làm cho học sinh nhận ra một tính chất quan trọng về góc (hay là nhận ra mối liên hệ về góc giữa các đối tượng hình học) bằng các câu hỏi gợi mở và các phân tích, hướng dẫn sau đây:
Hãy nêu lại cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng? Giáo viên yêu cầu học sinh vẽ hình minh họa và xác định góc trên hình.
Trong bài toán này yếu tố nào là bất biến? Câu hỏi này hướng đến một khẳng định là góc giữa và đã xác định nên không thay đổi.
Khi thay đổi, em có so sánh được góc với góc không? Ta hy vọng học sinh nhận ra tính chất: .
Với tính chất trên, vị trí của để góc nhỏ nhất ứng với trường hợp giao tuyến vuông góc với . Khi đó .
Nhận xét. Việc sử dụng tính chất hình học sẽ làm cho lời giải gọn gàng hơn so với lời giải bằng cách đại số khá cồng kềnh.
Trong bài toán 5.1 nếu ta thay mặt phẳng bởi đường thẳng thì ta có được bài toán sau
Bài toán 5.2. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng và . Lập phương trình mặt phẳng chứa và tạo với một góc lớn nhất.
Phân tích hình học.
Yếu tố cố định về góc ở bài toán này là gì? Câu hỏi này sẽ hướng học sinh nghĩ đến góc giữa hai đường thẳng và .
Em có đưa ra được sự so sánh về góc giữa và với góc giữa và hay không? Câu hỏi này sẽ hướng học sinh vẽ hình và xác định góc giữa và trên hình. Tức ta cần tạo mặt phẳng chứa và song song với như hình vẽ dưới đây.
Từ một điểm trên ta vẽ đường thẳng song song với cắt tại . Dựng ta thấy ngay là góc giữa và , còn là góc giữa và .
Vì không đổi nên việc so sánh góc quy về so sánh hai đoạn thẳng và . Dễ dàng có được . Do đó . Dấu “=” xảy ra khi . Khi đó, mặt phẳng chứa và vuông góc với . Đến đây bài toán xem như đã được giải quyết.
Nhận xét. 
Cách giải bàng hình học tuy đòi hỏi tư duy cao hơn nhưng đổi lại lời giải ngắn gọn và làm rõ được bản chất hình học của bài toán. Ở bài này, người học cũng có thể giải bằng cách đại số như trong bài toán 5.1
Ngoài ra với việc giải quyết bằng phương pháp hình học sẽ giúp người học linh hoạt hơn trong các tình huống khó hơn. Đồng thời cũng có thể vận dụng một cách tương tự cho bài toán cực trị hình học không gian cổ điển.
Phần 3. Kết luận
3.1. Quá trình nghiên cứu của bản thân
Đề tài là kết quả của việc tích lũy trong quá trình giảng dạy môn toán của bản thân tại trường THPT và đã mang lại một số hiệu quả nhất định như thành tích HSG cấp tỉnh năm học 2017 – 2018 và năm học 2018 – 2019 đều có học sinh đạt giải ba bảng A (đối tượng là học sinh trường miền núi).
3.2. Ý nghĩa của đề tài
- Đề tài đã hệ thống được một số tính chất hình học thường sử dụng để giải toán cực trị hình học không gian và cực trị và làm rõ bản chất hình học cho các bài toán cực trị đó. Trong đề tài mặc dù tác giả chỉ mới đưa ra một số bài toán minh họa, tuy nhiên việc giải quyết các bài toán đó sẽ giúp học sinh và giáo viên có được cách nhìn nhận vấn đề tương tự khi gặp các bài toán cực trị hình học khác.
- Đề tài đã làm rõ được một số dạng bài tập cực trị hình học có sử dụng đến tính chất hình học để giải quyết, hơn thế nữa đề tài còn đưa ra được định hướng dạy học khi áp dụng vào dạng toán cực trị .
- Đề tài là một nguồn tài liệu học tập quý giúp học sinh khá giỏi có thể tự học tốt dạng toán cực trị hình học không gian và hình học tọa độ . Đồng thời đề tài cũng giúp giáo viên có được một hướng dạy học hiệu quả chủ đề cực trị trong không gian.
2.3. Kiến nghị, đề xuất
- Đề tài mới chỉ mang tính chất minh họa cho một cách triển khai dạy học chủ đề cực trị hình học không gian và hình học tọa độ nên trong quá trình giảng dạy, học tập độc giả cần bổ sung thêm nguồn bài tập phong phú hơn.
- Việc sử dụng tính chất hình học không chỉ đơn thuần áp dụng cho bài toán cực trị hình học mà nó còn có thể áp dụng cho các dạng bài tập khác về hình học không gian và hình học tọa độ . Do vậy, tác giả mong muốn độc giả tiếp tục nghiên cứu để làm phong phú hơn về tài liệu học tập và giảng dạy.
- Đối với bộ môn hình học không gian vẫn còn nhiều nội dung cần được tiếp tục nghiên cứu và làm sáng tỏ. Thông qua đề tài này, tác giả mong muốn độc giả tiếp tục nghiên cứu để bộ môn hình học không gian và hình học giải tích không còn là nỗi lo của người học và người dạy.
- Vì thời gian để hoàn thành đề tài có hạn nên không tránh khỏi những khiếm khuyết, thiếu sót. Rất mong nhận được những đóng góp ý kiến từ đồng nghiệp, học sinh để đề tài được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, ngày 10/03/2021.