Sáng kiến kinh nghiệm Góp phần giúp học sinh học tốt hình học không gian qua khai thác một số bài toán cơ bản

- Đây là hình chóp đặc biệt nên ta có thể sử dụng được các cách 1, 2, 3. Nếu thay đổi giả thiết để hình chóp trên không đặc biệt nữa thì các cách giải đó sẽ khó áp dụng được. 
- Nếu người dạy chỉ dừng lại ở đây thì học sinh sẽ không có cái nhìn sâu sắc hơn về dạng toán này. Trong quá trình giảng dạy tôi thấy khai thác tính chất 2 để áp dụng cho các bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng (ở dạng không cơ bản) nhiều khi rất hiệu quả, học sinh nắm được sâu sắc kiến thức và vận dụng linh hoạt để giải toán.
- Giáo viên cần chú ý cho học sinh dấu hiệu để có thể sử dụng Tính chất 2 là trong bài toán có 4 điểm tào thành một tứ diện dễ tìm được thể tích, 2 mặt của tứ diện đó có thể tính được diện tích đồng thời cạnh chung của hai mặt đó tính được độ dài thì ta sẽ tìm được góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt tứ diện đó. Ngược lại nếu cho góc giữa hai mặt phẳng chứa 2 mặt bên của tứ diện, tìm được độ dài cạnh chung của hai mặt và diện tích hai mặt đó thì ta tính được thể tích tứ diện đó.
- Trong quá trình giảng dạy, tôi đã tạo ra một số bài toán để giúp học sinh nắm vững tính chất, sau đó lấy một số ví dụ trong các đề thi thử của một số trường trên cả nước để giúp học sinh thấy được hiệu quả của phương pháp. Sau đây tôi xin trình bày một số bài toán mà tôi tạo ra trong quá trình dạy học cũng như một số ví dụ ở các đề thi nhằm minh họa tính hiệu quả của phương pháp một cách khách quan.
- Tính chất 2 không chỉ cung cấp cho ta công cụ tính góc giữa hai mặt phẳng mà còn được áp dụng để tính thể tích các khối đa diện trong một số bài toán “dấu đường cao” sẽ được trình bày trong sau
- Từ Bài toán 1, tôi thay đổi một số giả thiết để có bài toán sau
Bài toán 2. Cho khối chóp có đáy là tam giác vuông tại , . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh . Tính góc giữa hai mặt phẳng và biết .
Phân tích: 
Bài toán này ta không nên sử dụng Cách 1 ở Bài toán 1 do hai tam giác và không bằng nhau
Ta hoàn toàn có thể sử dụng phương phương pháp dùng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng để giải bài toán này nhưng sẽ mất nhiều thời gian cho tính toán
Ở bài này, diện tích các tam giác và dễ dàng tìm được do biết được độ dài các cạnh nên áp dụng Tính chất 2 để giải sẽ là hợp lí.
Giải: 
Thể tích khối chóp là .
Từ giả thiết ta có do đó , 
Theo Tính chất 2 ta có: 
Suy ra 
Vậy .
* Tiếp tục ý tưởng đó ta tạo ra bài toán sau.
Bài toán 3: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh . Các tam giác đều và nằm trong hai mặt phẳng tạo với nhau góc . Tính thể tích khối chóp .
Nhận xét. 
- Đây là bài toán chưa xác định được đường cao của chóp nên sẽ gây khó khăn cho học sinh trong quá trình giải.
- Do tứ diện có hai mặt tìm được diện tích, số đo góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt đó và độ dài cạnh chung đã biết nên học sinh nắm vững Tính chất 2 thì sẽ nhanh chóng tìm ra hướng giải quyết.
Giải: Áp dụng công thức ở Tính chất 2 ta có: 
Thể tích tứ diện là 
 suy ra 
Vậy thể tích khối chóp cần tìm là .
* Từ ý tưởng của Tính chất 2, giáo viên có thể lồng yếu tố tứ diện vào các hình chóp, hình lăng trụta sẽ có các bài toán hay khác, sau đây là một ví dụ tôi đã lồng yếu tố tứ diện vào hình hộp.
Bài toán 4: Cho hình hộp có đáy là hình thoi cạnh , , , góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Tính thể tích của khối hộp .
Nhận xét. Bài toán này yếu tố đường cao của hình hộp chưa xác định được ngay, nếu học sinh sử dụng phương pháp thông thường sẽ gặp khó khăn, nếu nắm vững bản chất học sinh sẽ giải quyết nhanh bài toán như sau.
Giải:
Áp dụng công thức ở Tính chất 2 cho tứ diện ta có
Dễ thấy tam giác đều cạnh bằng nên .
Diện tích tam giác là nên ta có 
Suy ra thể tích khối hộp là . 
* Để thấy tính hiệu quả của việc khai thác Tính chất 2 (giúp học sinh thấy được tính khách quan của phương pháp không chỉ là giải các bài toán do thầy “tự chế” mà còn giải được các bài toán khó có trong các đề thi trên cả nước) tôi lấy bài toán sau đây trích trong đề thi thử THPTQG của trường chuyên Lê Hồng Phong tỉnh Nam Định năm học 2019-2020 và một số bài toán do các thầy cô trên các diễn đàn Toán. 
Bài toán 5 (Trích đề thi thử THPTQG trường chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định)
Cho hình hộp có đáy là hình thoi tâm và cạnh bằng , . Gọi lần lượt là tâm của các mặt bên . Biết và góc giữa hai mặt phẳng bằng . Tính theo thể tích của khối tứ diện .
Giải:
Cách 1: Lời giải được trình bày trong đáp án đề thi như sau
Gọi lần lượt là trung điểm cạnh . Từ giả thiết suy ra tam giác đều cạnh , nên . 
Trong mặt phẳng kẻ (), trong tam giác gọi hình chiếu vuông góc của trên (không mất tính tổng quát khi ta giả sử nằm trên cạnh , trường hợp khác kết quả sẽ không thay đổi), lúc đó suy ra nên ta có (1).
Xét mặt bên , theo giả thiết , . 
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ta có 
 do đó , thay vào (1) ta có 
 suy ra . 
Lại có suy ra là trung điểm cạnh và do đó chiều cao hình hộp là 
Mà diện tích đáy là nên suy ra thể tích của khối hộp là 
Dễ thấy 
Đáp số: 
Nhận xét
- Cách giải trên là cồng kềnh, dễ dẫn đến sai sót trong tính toán. Đặc biệt, nếu trong phòng thi với 90 phút cho 50 câu trả lời trắc nghiệm thì học sinh sử dụng cách giải trên sẽ bị rối. 
- Do tứ diện có thể tích bằng thể tích khối hộp , trong khối hộp đó có tứ diện chứa đầy đủ các yếu tố để tính được thể tích theo Tính chất 2 do đó ta sẽ áp dụng Tính chất 2 vào giải quyết bài toán trên, ta có cách giải sau
Cách 2: 
Ta có 
Do nên tam giác vuông tại 
Tam giác ABC đều cạnh nên 
Theo đề ra, góc giữa hai mặt phẳng và bằng , nên suy ra 
Nhận xét: 
Rõ ràng cách giải thứ hai gọn hơn và quan trọng là việc khai thác Tính chất 2 đã giúp học sinh định hướng nhanh phương pháp giải cho bài toán trên.
Bài toán 6 (Trích câu 45 đề thi thử THPTQG trường chuyên ĐH Vinh năm 2021)
Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , , tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Tính góc giữa hai mặt phẳng và biết .
Nhận xét: Bài toán này lộ rõ đầy đủ các dấu hiệu để sử dụng Tính chất 2 nên khi tôi lấy ví dụ này cho học sinh làm thì các em đều giải quyết nhanh và cho kết quả đúng.
Giải:
Gọi là trung điểm cạnh , từ giả thiết suy ra 
Dễ dàng tìm được , diện tích tam giác là 
Từ giả thiết suy ra thể tích khối chóp là 
Mặt khác 
 (1). 
Ta có , (sử dụng công thức Hê-rông), thay vào công thức (1) ta có do đó .
* Qua các ví dụ trên ta thấy khai thác Tính chất 2 giúp giải quyết nhanh gọn một số các bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng.
3. Khai thác bài toán tính thể tích khi chưa có yếu tố chân đường cao.
Xuất phát từ bài toán đơn giản sau
Bài toán 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh bằng .
Giải:
Gọi là trọng tâm tam giác ( cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ) thì theo tính chất chóp đều ta có và từ đó tìm được thể tích tứ diện đều là .
Nhận xét:
- Dĩ nhiên đây là bài toán cơ bản, nếu học sinh nắm kiến thức cơ bản sẽ làm được, nhưng nếu chỉ dừng lại ở đây thì chỉ giúp học sinh nắm được công thức tính thể tích và củng cố 1 tính chất của chóp đều là chân đường cao trùng với tâm đáy.
- Trong bài toán trên, nhờ yếu tố đặc biệt của hình chóp đều nêu giúp ta tìm được chân đường cao hình chóp, đó là mấu chốt để giải bài toán này. Vấn đề đặt ra là nếu ta chưa biết tính chất đó thì làm thế nào để tìm ra chân đường cao? Khi đặt ra câu hỏi này, nhiều học sinh đã biết giả định xác định được chân đường cao và chứng minh được dẫn đến là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy, đây là suy luận có lí và suy luận đó sẽ giúp ta tiếp tục khai tác sâu hơn về bài toán này. (Từ đây, phương pháp xác định chân đường cao như trên tôi tạm gọi là Phương pháp giả định chân đường cao.
- Từ Bài toán 1 tôi thay đổi giả thiết với ý tưởng tạo ra một hình chóp mới có đỉnh là điểm đối xứng với qua điểm và đề xuất bài toán sau
Bài toán 2: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng , , . Tính theo thể tích khối chóp .
Phân tích: Rõ ràng đây là bài toán chưa nhìn ra ngay chân đường cao, tuy nhiên phân tích bài toán ta thấy trung điểm cạnh của Sài toán 2 chính là đỉnh ở Bài toán 1, do đó ta có cách giải quyết như sau.
Giải: Gọi là trung điểm cạnh , theo giả thiết , suy ra
 do đó, theo kết quả Bài toán 1 ta có 
Suy ra .
Nhận xét: 
- Với Bài toán 2, việc tìm ra trung điẻm có vẻ thiếu tự nhiên. Vấn đề đặt ra là nếu học sinh không nhận được tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông để đưa về Bài toán 1 thì có cách nào để tìm chân đường cao hình chóp không? Bằng tư duy của phương pháp giả định chân đường cao đã nói ở trên, giáo viên sẽ định hướng cho học sinh cách suy luận có lí để tìm ra chân đường cao.
Giả sử là chân đường cao hình chóp ta có 
 (1) 
 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra cách xác định điểm như sau:
Trong mặt phẳng lần lượt kẻ hai đường thẳng vuông góc với tại , đường thẳng vuông góc với tại . Lúc đó . 
- Với cách xác định chân đường cao theo cách này vẫn giúp ta giải quyết bài toán, tuy không nhanh bằng cách giải đã nêu nhưng quan trọng là đã giúp học sinh biết suy luận có lí để giải quyết các bài toán “không đặc biệt” như Bài toán 1.
- Tiếp tục suy luận đó, tôi xây dựng Bài toán 3 sau đây.
Bài toán 3: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng , , . Tính theo thể tích khối chóp .
Nhận xét: Rõ ràng bài toán này khi lấy điểm là trung điểm ta sẽ không tìm thấy sự “may mắn” như cách đã trình bày ở Bài toán 2. Nhưng với cách suy luận đã nêu thì ta hoàn toàn tìm được chân đường cao của hình chóp. 
Giải 
Trong mặt phẳng lần lượt kẻ hai đường thẳng vuông góc với tại , đường thẳng vuông góc với tại . Gọi . 
Kết hợp giả thiết và cách dựng điểm ta có
 (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra , dễ thấy 
Trong tam giác vuông có 
Thể tích khối chóp cần tìm là 
* Tương tự ta xây dựng bài toán sau
Bài toán 4. Cho hình chóp tam giác có đáy là tam giác đều cạnh và . Biết góc giữa đường thẳng và mặt đáy bằng . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Giải: Với phương pháp trên ta hoàn toàn tìm được chân đường cao của hình chóp và từ đó tìm được .
Đáp số: .
* Tiếp tục lồng ghép “ý tưởng” trên vào các hình chóp tứ giác, hình lăng trụta sẽ có các bài toán hay khác
Bài toán 5. Cho hình chóp có đáy là hình thang , , . Biết rằng và . Cạnh bên hợp với đáy một góc . Tính tan góc giữa mặt phẳng và .
Phân tích bài toán
- Ở bài toán này ta cũng chưa xác định được ngay chân đường cao của hình chóp (việc xác định được chân đường cao giúp ta tìm được góc giữa hai mặt phẳng và .
- Ta sử dụng phương pháp giả định chân đường cao dựa vào giả thiết và .
- Giả sử là chân đường cao của hình chóp , do dẫn tới chân đường cao phải nằm trên đường trung trực của cạnh (trong mặt phẳng ) (1)
- Do nên nằm trên đường thẳng qua điểm và vuông góc với (2).
Từ (1) và (2) ta tìm được . Dễ thấy nên là hình bình hành do đó đối xứng qua suy ra . Từ đó ta có cách giải như sau
Giải
Gọi là đỉnh thứ tư của hình vuông , khi đó là trung điểm , gọi trung điểm , là trung điểm ta có là điểm đối xứng với qua suy ra . Theo cách xác định điểm kết hợp với giả thiết suy ra .
Ta có .
Vì nên góc giữa và là góc nên . 
Lại có và nên góc giữa hai mặt phẳng và là .
Suy ra . 
Đáp số: .
* Tiếp theo ta tạo ra bài toán vừa che dấu chân đường cao, vừa dấu đi một đỉnh của hình chóp cần tính thể tích, bài toán này sẽ giúp học sinh củng cố khả năng vận dụng phương pháp giả định chân đường cao.
Bài toán 5. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều, mặt bên là tam giác vuông cân tại . Gọi là điểm thuộc đường thẳng sao cho . Tính theo thể tích khối chóp .
Nhận xét:
Rõ ràng bài toán này chữa dễ thấy ngay chân đường cao và do đó chưa thể xác định điểm một cách chính xác. Thực tế dạy học các lớp chưa được luyện tập nhiều về các phương pháp giải toán thì nhiều em học sinh thậm chí không thể vẽ được hình.
Phân tích
- Gọi là chân đường cao của hình chóp , từ giả thiết mặt bên là tam giác đều, mặt bên là tam giác vuông cân tại ta suy ra nằm trên đường trung trực cạnh 
- Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh . Xét tam giác có , , suy ra tam giác vuông tại suy ra 
- Bây giờ ta phân tích để tìm điểm bằng giả định: Giả sử thỏa mãn suy ra do đó tìm được 
Từ đó ta tìm được thể tích khối chóp là 
( ta tìm được 
Đáp số : .
* Để củng cố, luyện tập cho học sinh nắm vững các kiến thức liên quan đến góc, khoảng cách, đồng thời kiểm chứng hiệu quả của việc khai thác các tính chất cơ bản đã nêu, tôi đưa ra ví dụ sau đây và yêu cầu học sinh giải theo nhiều cách khác nhau.
Bài tập củng cố: Cho hình chóp đáy là hình vuông cạnh bằng , là trung điểm cạnh , và . Tính sin của góc giữa hai mặt phẳng và .
Nhận xét:
Với bài toán này học sinh đã đưa ra được một số cách giải quyết như sau
Cách 1: (đa số học sinh đều nhanh chóng đưa ra cách giải quyết này)
Hai mặt phẳng và chứa hai mặt bên của tứ diện có đầy đủ các yếu tố để sử dụng Tính chất 2.
Ta có (*)
Mà , , 
 suy ra . Thay vào (*) ta tìm được
.
* Học sinh cũng nhanh chóng tìm ra cách 2 và đề xuất các cách khác
Cách 2.
Gọi là tâm đáy, là trung điểm đoạn thì , gọi là hình chiếu vuông góc của lên cạnh ta có (1)
Gọi là hình chiếu của lên cạnh ta cũng có (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra 
Tính toán tương tự ta cũng có kết quả .
Cách 3: Sử dụng phương pháp cơ bản bằng cách xác định hình chiếu của lên mặt phẳng .
Cách 4: Sử dụng công thức hình chiếu
Cách 5: Học sinh 12 sau khi học xong phương pháp tọa độ trong không gian thì đề xuất thêm cách dùng phương pháp tọa độ
Do các cách 3, 4, 5 không nằm trong phạm vi đề tài nên tôi xin phép không trình bày ở đây.
* Giáo viên có thể lấy thêm các bài tập sau đây để học sinh luyện tập kỹ năng xác định chân đường cao
Bài tập 1. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , gọi là trung điểm đoạn , là điểm thỏa mãn . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng biết .
Bài tập 2. Cho hình chóp có đáy là tam giác cân tại , , , tam giác cân tại , . Biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính của góc giữa hai mặt phẳng và .
Qua khảo sát đối chứng giữa hai lớp thực nghiệm 12A1 và 12A2 tại trường THPT XXX, giữa một lớp có sự tác động của đề tài và một lớp không có tác động của đề tài này (kiểm tra trước tác động và sau tác động) sau đó xử lý thống kê toán học bằng phần mềm MS-EXCEL tôi có kết quả sau:
TT
Nhóm thực nghiệm
Nhóm đối chứng
KT 
học kỳ 2
KT trước tác động
KT sau tác động
KT 
học kỳ 2
KT trước tác động
KT sau tác động
1
2
3
4
5
6
1
6
7
8
6
6
7
2
6
7
7
4
5
6
3
7
8
9
6
7
8
4
5
6
7
7
6
5
5
5
6
7
5
6
7
6
6
7
9
6
5
7
7
7
7
8
7
6
7
8
6
7
8
6
7
6
9
6
7
7
7
8
8
10
7
6
7
6
7
7
11
6
7
8
5
6
7
12
6
8
7
5
5
7
13
5
7
8
5
4
6
14
6
6
7
6
5
7
15
7
7
8
6
3
6
16
4
8
8
7
8
8
17
6
7
7
6
5
6
18
6
6
8
7
4
7
19
7
8
8
6
5
8
20
7
7
8
7
8
9
21
6
6
7
3
6
7
22
7
8
7
5
7
6
23
6
7
9
6
6
7
24
4
5
6
4
7
8
25
5
6
8
7
8
7
26
3
4
8
6
6
5
27
8
7
9
5
8
8
28
6
5
7
7
4
5
29
7
8
8
5
5
7
30
7
6
7
7
6
5
Giá trị trung bình (average)
6.00
6.68
7.78
5.68
5.95
6.88
Độ lệch chuẩn (stdev)
0.97
0.96
0.76
1.04
1.34
1.00
Mức độ ảnh hưởng (SE)
0.90
So sánh kết quả SMD với bảng tiêu chí Cohen:
Giá trị mức độ ảnh hưởng (SE)
Ảnh hưởng
 Trên 1.00
 Rất lớn
 0.80 đến 1.00
 Lớn
 0.50 đến 0.79
 Trung bình
 0.20 đến 0.49
 Nhỏ
 Dưới 0.20
 Không đáng kể
Từ bảng trên tôi rút ra kết luận mức độ ảnh hưởng là lớn. Vậy đề tài “Góp phần giúp học sinh học tốt hình học không gian qua khai thác một số bài toán cơ bản” có tác dụng thực tiễn rất lớn trong giảng dạy của giáo viên và quá trình học tập của học sinh.
III. KẾT LUẬN
1. Quá trình nghiên cứu.
	Qua nhiều năm công tác giảng dạy cùng với nghiên cứu về phương pháp dạy học theo hướng tiếp cận năng lực cho học sinh ; nghiên cứu lý luận về các phương pháp dạy học tích cực; nghiên cứu các tài liệu về nghiên cứu tâm lí học lứa tuổi học sinh, tôi quyết định nghiên cứu đề tài nhằm góp phần phát triển năng lực cho người học. Quá trình nghiên cứu và viết đề tài này tiến hành qua các giai đoạn
	- Từ tháng 6 năm 2020 đến tháng 7 năm 2020: Thu thập tài liệu
	- Từ tháng 8 năm 2020 đến tháng 9 năm 2020: Tiến hành viết đề cương SKKN, soạn các giáo án dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh, liên hệ kiến thức toán với thực tiễn đồng thời biên soạn các bài toán thực tế.
	- Từ tháng 10 năm 2020 đến hết tháng 2 năm 2021: Kết hợp dạy học theo phương pháp đã hình thành theo ý tưởng SKKN; chia sẻ, trao đổi kinh nghiệp với đồng nghiệp trong và ngoài trường (thông qua các diễn đàn, nhóm fb) đồng thời hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm.
	- Tháng 2 năm 2021 đến đầu tháng 3 năm 2021: Kiểm định đối chứng giữa các nhóm học sinh, hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm.
2. Ý nghĩa của đề tài.
 	a. Đối với bản thân: Nhờ quá trình nghiên cứu các tài liệu một cách nghiêm túc tôi đã tích luỹ cho mình thêm nhiều kiến thức chuyên môn và bồi dưỡng thêm được nghiệp vụ sư phạm, phương pháp giảng dạy tích cực. Qua thực tế áp dụng đề tài tôi thấy học sinh thực sự tích cực trong học tập, giờ học toán thực sự sôi nổi và có hiệu quả.
	b. Đối với nhà trường, đồng nghiệp: Qua trao đổi nội dung đề tài với đồng nghiệp, tất cả đồng nghiệp đều ủng hộ và đánh giá rất cao đề tài đồng thời đã vận dụng đề tài vào giảng dạy. Tại tổ toán ở đơn vị tôi công tác, sau khi nghe báo cáo đề tài, các giáo viên đã trực tiếp áp dụng vào các tiết dạy và đều cho tác động rất tích cực với các em, các em thấy yêu thích và hứng thú hơn với giờ học hình học đặc biệt học sinh giải các câu liên quan có trong đề thi một các nhanh hơn. Trước đây, nhiều giáo viên khi dạy những lớp có học sinh yếu thường tỏ ra chán nản, không có động lực dạy học nhưng sau khi nghe cá nhân tôi báo cáo về hướng dạy học theo hướng tiếp cận năng lực cho học sinh, biết phát hiện và khơi dậy những khả năng tiềm ẩn ở mỗi học sinh thì nhiều giáo viên đã chia sẻ sự tích cực trong quá trình dạy học, nhờ vậy mà phong trào dạy học trong tổ toán ở đơn vị tôi đang từng bước được đẩy mạnh.
c. Phạm vi ứng dụng: Đề tài có thể áp dụng cho tất cả các giáo viên ở các trường THPT, hệ thống bài tập nêu trong đề tài cũng là nguồn tài liệu cho cả học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán và luyện thi THPTQG.
d. Hướng phát triển của đề tài. Mặc dù qua thực tế áp dụng cho thấy hiệu quả thiết thực của đề tài nhưng đề tài vẫn được bổ sung để hoàn thiện hơn trong quá trình vận dụng để thực hiện giảng dạy. Nếu có thời gian, đề tài cần được bổ sung thêm hệ thống bài tập khai thác việc thay đổi các giả thiết về góc ở bài toán cơ bản 3, bổ sung thêm các bài toán thực sự có vấn đề trong thực tiễn. Nghiên cứu sâu hơn nữa về các phương pháp dạy học tích cực, tâm lí học lứa tuổi của học sinh THPT.
e. Đề xuất, kiến nghị. Để tạo điều kiện tốt nhất cho học sinh được học tập trong hoạt động, trước hết đội ngũ BGH nhà trường phải thực sự vào cuộc, thực sự chia sẻ và tháo gỡ những khó khăn đối với giáo viên và học sinh, tạo điều kiện để giáo viên và học sinh có các đồ dùng phục vụ cho quá trình dạy học. Trong quá trình sử dụng đề tài, giáo viên có thể linh hoạt để đưa ra nhiều sự liên hệ thực tiễn phù hợp với từng đơn vị kiến thức, từng chủ đề mà mình giảng dạy. Do khuôn khổ của đề tài không thể bổ sung hết tất cả các dạng toán mà chỉ nêu lên ý tưởng nên giáo viên cần tham khảo thêm các nguồn tài liệu để bổ sung thêm các bài tập cho từng chủ đề dạy học.
Mặc dù đã có sự nỗ lực trong việc hoàn thành đề tài nhưng chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được đón nhận những ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn sự ủng hộ từ phía nhà trường và đồng nghiệp để tôi hoàn thiện đề tài này.
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa Hình học 11, Hình học 12 cơ bản và nâng cao, NXB Giáo dục 2006.
[2]. Sách giáo viên Hình học 11, Hình học 12 cơ bản và nâng cao, NXB Giáo dục 2006.
[3] Tài liệu chuyên toán THPT- Đoàn Quỳnh (chủ biên)- NXB Giáo dục 2012.
[4]. Toán học và những suy luận có lý - G. Polya, NXB Giáo dục 1992.
[5]. Các đề thi và tài liệu trên các diễn đàn toán.
[6]. Tài liệu tìm hiểu chương trình môn toán (trong Chương trình giáo dục phổ thông 2018).