Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh Lớp 6 giải tốt dạng Toán cộng liên phân số

Giúp học sinh lớp 6 GiảI tốt dạng toán
Cộng liên phân số
I. Đặt vấn đề:
Trong cuộc sống, trong các hiện tượng hay trong các vấn đề nảy sinh thường ngày ta gặp phải, nếu nó xảy ra theo một quy luật nào đó mà ta nắm bắt được thì ta sẽ giải quyết nhanh chóng, chính xác và trọn vẹn vấn đề. Như vậy, việc quan trọng ở đây là ta có tự tìm ra được các quy luật của các hiện tượng hay sự việc đó hay không!
Còn đối với học sinh (Hs) khi được học tập về phân số thì một trong những dạng bài tập mà Hs từ trung bình trở lên đều được rèn là “Tính tổng các phân số được viết theo quy luật”. Tùy theo trình độ Hs, tùy theo lớp đang học mà giáo viên (Gv) cho các em tiếp cận những bài tập khó hơn, hay hơn. Việc cần thiết là Hs có tự tìm ra “Quy luật” để từ đó giải quyết bài toán nhanh, gọn, chính xác hay không!
Trong khuôn khổ đề tài này, phần lớn bài tập tôi cung cấp cho các em tập trung ở lớp 6 nhằm giúp cho các em có luôn mạch kiến thức trong việc giải toán dạng “Cộng liên phân số”. Qua đó giúp cho các em nắm chắc việc khi gặp dạng bài tập “Cộng liên phân số” nếu tìm ra được quy luật thì vận dụng giải ngay.
II. Giải quyết vấn đề:
1/ Cơ sở khoa học mà đề tài vân dụng:
Chúng ta đã biết kết quả của dạy toán là việc ứng dụng của toán ra sao trong giải toán, mà việc này không phải là đơn giản. Chính vì vậy mà có nhiều Hs thích môn toán nhưng không dám đi sâu vào môn toán để tìm hiểu xem nó như thế nào. Cho nên trong quá trình giảng dạy, nếu có điều kiện là chúng ta cho các em thấy môn toán có rất nhiều điều thú vị để các em mạnh dạn hơn trong học toán, thích toán và yêu toán.
Trên cơ sở muốn giúp cho các em thấy môn toán có rất nhiều điều thú vị để các em mạnh dạn hơn trong học toán, thích toán và yêu toán. Nên khi Hs học xong về phân số Gv cho các em thực hành giải dạng bài tập “Cộng liên phân số”, vì dạng toán này hay ở chổ nó đáp ứng cho mọi đối tượng Hs từ trung bình trở lên, đa dạng và phong phú trong bài tập, đặc biệt là giúp các em trong tư duy toán học.
Khi thực hiện đề tài này đòi hỏi về giáo viên và học sinh cần: 
*Để thực hiện được việc cung cấp kiến thức cho các em theo đề tài này, Gv không những phải dùng kiến thức toán tìm ra “Phân số theo dạng tổng quát” sau đó Gv xác định “Quy luật” tùy theo từng bài tập, mà Gv còn phải làm tốt việc phân tích cho Hs thấy những điểm chốt trong các bài tập, để Hs cần tập trung tư duy giải quyết bài toán nhanh nhất, hay nhất.
*Để giải tốt dạng bài tập này trước hết Hs trung bình phải thực hiện thành thạo các phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân số. Sau đó phải biết viết một phân số thành hiệu hai phân số khác theo dạng tổng quát . Ngoài ra phải chịu khó tập tư duy để tiếp tục giải những bài tập khó hơn. Còn đối với Hs khá - giỏi cần có tư duy cao, cố gắng tìm ra điểm chốt của bài tập để giải quyết tốt bài tập, đặc biệt khi giải những bài tập vận dụng.
	2/ Biện pháp thực hiện:
Sau khi Hs học xong các phép tính cộng, trừ, nhân, chia phân số Gv tiến hành thực hiện chuyên đề này và lấy tên chuyên đề là “Giải toán cộng liên phân số ”. Gv cho bài tập từ dễ đến khó để các em giải. Qua mỗi bài tập Hs tự rút ra cho mình những kinh nghiệm để giải tiếp những bài tập sau.
2.1) Dạng bài tập: Tính tổng sau bằng phương pháp hợp lí nhất (có tử bằng 1):
a) Tính tổng A = 
Đây là bài tập đầu tiên nên:
 - Gv cho Hs tự giải để nắm bắt xem có những em Hs nào giải được dạng bài tập này. 
 - Gv cần biết các em giải được dạng bài tập này theo trình tự như thế nào.
 - Gv cần hướng dẫn cho Hs nắm được cách tìm ra phân số theo tổng quát.
 - Gv cho Hs nhận thấy các số hạng đều có tử là 1, các mẫu là tích của hai thừa số có hiệu bằng 1
 - Gv cần hướng dẫn cho Hs nắm được cách viết một phân số thành hiệu hai phân số khác.
 - Gv hướng dẫn giải.
Từ , các mẫu là 1.2; 2.3; 3.4; ; 99.100 và số tận cùng là 
*Tìm phân số theo dạng tổng quát 
*Viết một phân số thành hiệu hai phân số khác 
Vậy = 
Tiến hành giải:
A = = 
 = 
 = 
 = .
	Vậy A = 
b) Tính tổng: B = 
Bài tập này để Hs tự giải sau đó Gv hướng dẫn lại:
- Cho Hs nhận thấy các số hạng đều có tử là 1, các mẫu là tích của hai thừa số có hiệu bằng 1
- Từ , các mẫu là 9.10; 10.11; ; 25.26 và số tận cùng là 
*Tìm phân số theo dạng tổng quát = 
*Viết một phân số thành hiệu hai phân số khác 
Vậy = 
Tiến hành giải:
 B = = 
 = 
 = 
 = 
 = 
	Vậy B = 
c) Tính tổng: C = 
*Đối với bài này các mẫu không thể hiện là các tích nên Gv cho Hs tự tìm cách đưa về dạng bài tập đã giải.
*Điều cần giải quyết trong bài tập này là phân tích mẫu về tích của hai thừa số có hiệu bằng 1.
*Hs phân tích cho được: 30 = 5.6; 42 = 6.7; 56 = 7.8; ; 132 = 11.12
Chuyển C = = 
Lúc này các em tự giải được.
2.2) Dạng bài tập tính tổng sau bằng phương pháp hợp lí nhất (có tử khác 1):
a) Tính tổng D = 
*Đối với bài này các mẫu thể hiện là các tích của hai thừa số có hiệu là 2. Mặt dù các tử không là 1 nhưng vận dụng vào giải được ngay, nên Gv cho Hs tự tìm cách đưa về dạng bài tập đã giải.
* Từ , các mẫu là 1.3; 3.5; 5.7; ; 99.101 và số tận cùng là 
*Tìm phân số theo dạng tổng quát = 
*Viết một phân số thành hiệu hai phân số khác 
Nên = 
Vậy D = 
 = 
Đến đây Hs tự giải tiếp.
b) Tính tổng E = 
*Đối với bài này các mẫu không thể hiện là các tích của hai thừa số và các tử không là 1, nên Gv cho Hs tự tìm cách đưa về dạng bài tập đã giải.
*Căn cứ trên tử là 3; ; tìm cách phân tích mẫu: 4 = 1.4; 28 = 4.7; 70 = 7.10; 130 = 10.13; 208 = 13.16. 
*Tìm phân số theo dạng tổng quát 
*Viết một phân số thành hiệu hai phân số khác 
Nên = 
Vậy E = 
	 = 
 = 
Đến đây Hs tự giải tiếp.
*Qua các bài tập cơ bản như trên giúp cho Hs biết cách đưa các phân số về dạng có tử là 1; các mẫu là tích của hai thừa số có hiệu bằng 1; dựa trên phân số biến đổi dưới dạng tổng quát . Hs giải được bài tập cộng liên phân số cơ bản. 
 Bài tập có tính phức tạp hơn:
Sau khi nhận định được đề bài Hs tìm cách biến đổi đưa về dạng bài tập mà giải được. Gv cần củng cố liên tục cách “Tìm phân số theo dạng tổng quát” và “Viết một phân số thành hiệu hai phân số khác”.
1) Tính tổng F = 
Gv cho Hs nhận thấy các số hạng đều có tử là 1 nhưng các mẫu không phải là 
tích của hai thừa số có hiệu bằng 1 (10 = 2.5; 15 = 3.5; 21 = 3.7; ) vì vậy ta tiến hành biến đổi như thế nào để đưa về dạng bài tập mà ta đã giải được?
Biến đổi bằng cách nhân vào tử và mẫu của mỗi phân số với 2, thì các mẫu sẽ viết được dưới dạng tích của hai số có hiệu bằng 1.
F = = 
Đến đây Hs không tự giải tiếp được vì các phân số có tử là hai nhưng không biến đổi về dạng bài tập ở câu b) được. Nên phải biến đổi tiếp:
F = = 
Đến đây Hs tự giải tiếp được:
Giải:
F = = =
 = = =
 = = = 
Vậy F = 
2) Tính tổng G = 
Gv cho Hs nhận thấy các số hạng đều có tử là 1 nhưng các mẫu không phải là tích của hai thừa số có hiệu bằng 1. vậy ta tiến hành biến đổi như thế nào để đưa về dạng bài tập mà ta đã giải được?
Biến đổi bằng cách nhân vào tử và mẫu của mỗi phân số với 2.
G = 
 = 
 = 
Đến đây Hs tự giải tiếp được:
Giải:
G = 
 = 
 = 
 = 
 = = 
Vậy G = 
3) Tính tổng H = 
Gv cho Hs nhận thấy các số hạng đều có tử là 7 nhưng các mẫu là tích của hai thừa số có hiệu bằng 1. vậy ta tiến hành biến đổi như thế nào để đưa về dạng bài tập mà ta đã giải được?
Biến đổi bằng cách đặt 7 làm nhân tử chung.
H = 
 = 
Đến đây Hs tự giải tiếp được.
4) Tính tổng I = 
Gv cho Hs nhận thấy các số hạng đều có tử là 32 = 9 nhưng các mẫu là tích của hai thừa số có hiệu bằng 3. vậy ta tiến hành biến đổi như thế nào để đưa về dạng bài tập mà ta đã giải được?
Biến đổi bằng cách đặt 3 làm nhân tử chung.
I = 
= 
Đến đây Hs tự giải tiếp được
‚ Bài tập có tính vận dụng:
1) Tìm x biết: 
Vậy x = -1
2) Tìm xN biết: 
Gv cho Hs nhận thấy các phân số ở vế trái đều có tử là 20 nhưng các mẫu là tích của hai thừa số có hiệu bằng 2. vậy ta tiến hành biến đổi như thế nào để đưa về dạng bài tập mà ta đã giải được?
Biến đổi bằng cách đặt 10 làm nhân tử chung.
Giải:
Vậy x = 1. 
3) Tìm xN biết: 
Gv cho Hs căn cứ vào để phân tích đề bài và tìm cách biến đổi đưa về dạng đã giải.
Giải:
Vậy x = 17.
4) Cho K = Với .
 Chứng minh rằng K < 1.
Giải:
K = = = Với 
Vậy K < 1.
ƒ Bài tập mở rộng sang lớp 8 :
1/ Thực hiện các phép tính:
a) A = ;
b) B = .
Giải:
A = 
 = 
 = = .
B = 
 = 
 = = 
2/ Giải phương trình:
	a) ;
	b) 
Giải:
a) Ta có:
 = 
 = 
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
 .
Vậy phương trình có một nghiệm .
b) Ta đặt:
a = 
= 
= 
b = 
= 
= 
Suy ra b = 10a. Từ đó tìm được x = 10.
Vậy phương trình có một nghiệm x = 10
	 *Qua các bài tập có tính phức tạp nhằm giúp cho các Hs khá - giỏi có điều kiện phát triển tư duy tốt hơn. Bên cạnh đó đối với những bài tập áp dụng giúp cho các em thấy được sự phong phú và đa dạng của toán học, giúp cho các em thêm yêu môn toán và tạo cho các em trí tò mò tìm tòi nghiên cứu toán học.
	III. Kết luận:
Trên đây là kinh nghiệm bước đầu tôi tích lũy để phục vụ cho việc từng bước củng cố bồi dưỡng học sinh về dạng bài tập cộng liên phân số, nhằm tập cho các em thói quen chọn lọc toán theo chuyên đề qua đó các em dễ củng cố và học toán ngày càng tiến bộ.
Là bước đầu thực hiện đề tài nên không sao tránh khỏi sự thiếu sót. Kính mong BGH nhà trường và đồng nghiệp góp ý để tôi củng cố, bổ sung và thực hiện đề tài này tốt hơn.
Xin chân thành cảm ơn. 
Người viết 
 Nguyễn Trọng Hiếu