Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh giải bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất bằng “Con Mắt” hình học

hững lí do trên nên tôi chọn đề tài “Giúp học sinh giải bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất bằng “Con Mắt” hình học ” để viết sáng kiến kinh nghiệm. Nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học chương số phức của lớp 12.
1. 2. Mục đích nghiên cứu
Giúp các em học sinh có nhiều cách nhìn hơn trong việc tư duy giải một bài toán đại số.
1. 3. Đối tượng nghiên cứu
Trong đề tài “Giúp học sinh giải bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất bằng “Con Mắt” hình học ”, phương pháp hình học giải bài toán tìm số phức có môdun lớn nhất, nhỏ nhất.
1. 4. Phương pháp nghiên cứu
1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
- Nghiên cứu tài liệu và các công trình nghiên cứu đổi mới PPDH theo hướng tích cực hóa việc học của học sinh.
- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình giải tích 12 (Chương số phức).
2. Phương pháp thực tập sư phạm
Thực nghiệm sư phạm ở trường THPT, tiến hành theo quy trình của đề tài sáng kiến kinh nghiệm để đánh giá hiệu quả của đề tài nghiên cứu.
3. Phương pháp thống kê toán học:
Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2. 1. Cơ sở lí luận của SKKN.
 Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở:
 + Các kiến thức cơ bản về số phức.
 + Các kiến thức cơ bản về lượng giác và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
 + Những sai lầm thực tế khi làm bài của học sinh về số phức.
2. 1.1. Số phức. [1] 
Định nghĩa 1: 
Mỗi số phức là một biểu thức có dạng a+ bi, với a, b R và i2 = -1.
Kí hiệu số phức đó là z = a +bi ; i gọi là đơn vị ảo, a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức z = a + bi.
Tập hợp các số phức kí hiệu là C.
Định nghĩa 2: Hai số phức bằng nhau
 Từ đó, a + bi = 0 a = b = 0.
Biểu diễn hình học của số phức: 
 + Ứng với mỗi số phức z = a + bi có duy nhất một điểm M(a;b) trên mặt phẳng Oxy và ngược lại. Kí hiệu M(a+bi) hay M(a;b). 
Ngoài ra, số phức z = a + bi còn được biểu diễn bởi vectơ .
 + Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực. Các điểm trên trục tung Oy biểu diễn các số ảo.
Phép cộng, phép trừ hai số phức:
 Cho hai số phức z = a + bi và số phức z’ = a' + b’i.
Tổng của hai số phức trên là số phức z+z’ = (a+a’) + (b+b’)i .
Hiệu của hai số phức trên là số phức z-z’ = (a-a’) + (b-b’)i .
Khi đó, nếu biểu diễn số phức z, biểu diễn số phức z’ thì vectơ lần lượt biểu diễn số phức z+z’, z- z’
Phép nhân số phức:
 Cho hai số phức z = a + bi và số phức z’ = a' + b’i.
Tích của hai số phức trên là số phức zz’ = (aa’ –bb’)+ (ab’+a’b)i .
Chú ý: Có thể thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân hai số phức một cách hình thức tương tự như các phép toán cộng, trừ, nhân trên tập hợp số thực R.
Phép chia số phức:
 + Số phức liên hợp của số phức z = a +bi là số phức .
 + Môđun của số phức z = a +bi là .
 + Số nghịch đảo của số phức z = a +bi khác 0 là số phức .
 + Thương của hai số phức z’ = a’ + b’i và số phức z = a + bi khác 0 là tích của z’ với số phức nghịch đảo của z, tức là 
Vậy: 
Chú ý : Nếu điểm M biểu diễn số phức z, điểm M’ biểu diễn số phức z’ thì 
MM’ = .
Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c là số thực:
 .
 +D ³ 0: Phương trình có 2 nghiệm thực 
 +D < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức 
Tập hợp các điểm biễu diễn số phức thừơng gặp:
+ Tập hợp điểm biễu diễn số phức z là đường thẳng :
Cho số phức z thoã mãn: . Giả sử M, A, B lầ lượt là điểm biểu diễn các số phức z, z1,z2.
 Ta có thuộc là trung trực của AB
+Tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn :
 Cho số phức z thoã mãn: .Tập hợp điểm biễu diễn số phức z là đường tròn 
+Tập hợp điểm biểu diễn là elip:
 Cho số phức z thoã mãn: . Tập hợp điểm biễu diễn số phức z là (E) có phương trình: 
2.1.2. Một số kiến thức áp dụng.
1.Bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki với bốn số thực:
Với bốn số thực a,b,c,d, ta có: .Dấu đẳng thức xảy ra khi ay=bx.
2. Định lí về dấu tam thưc bậc hai.
3. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.
4.Giao điểm của đường thẳng với đường thẳng, của đường thẳng với đường tròn...
2. 2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Thực trạng dạy học chương số phức nói chung và bài toán tìm số phức có mô đun lớn nhất, nhỏ nhất nói riêng ở trường THPT được thể hiện ở một số điểm sau:
Thời lượng SGK dành cho chương số phức không nhiều, kiến thức đơn giản, không có nhiều dạng bài tập trong khi đó các đề thi hiện nay ,với hình thức thi trắc nghiệm, nên các dạng bài tập hết sức đa dạng , phong phú. Mức , độ yêu cầu của đề ngày càng cao, vượt xa những gì sách giáo khoa cung cấp gây nhiều khó khăn cho học sinh.
Đối với học sinh, việc tiếp thu và vận dụng kiến thức về số phức của nhiều em còn hạn chế một phần do đó là kiến thức mới.bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất lại càng khó hơn vì nó liên quan đến nhiều bài toán định lượng, bất đẳng thức, mối liên hệ giữa đại số với bài toán hình học....
Qua các bài kiểm tra thường xuyên, bài kiểm tra định kì ở lớp 12C2 tôi thấy nhiều học sinh thường không làm được bài tập phần này. Vì thế điểm kiểm tra thường thấp hơn so với các phần học khác. Cụ thể kết quả bài kiểm tra 15 phút của lớp 12C2 (Năm học 2014-2015), trước khi tôi chưa đưa ra phương pháp như sau: 
Đề bài:
Câu 1:Trong mặt phẳng tọa độ , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức , biết rằng
.
Lời giải
Câu 2: Tìm số phức có môđun nhỏ nhất và thỏa mãn .
Lớp 12C2(Năm học 2014-2015): ( Tổng số HS :36)
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
0
0
6
16,7
15
41,7
11
30.56
4
11.04
Phân tích :
+Nhiều em không làm được câu 1 do lúng túng không biết xử lí khi bài toán cho cả .Không nắm vững kiến thức về elip nên không tìm được tập hợp điểm M biểu diễn số phức z.
+ Nhiều em đi theo hướng 1 nhưng không lập được mối liên hệ giữa x và y nên không thể tính được do đó không giải được bài toán.
+Nhiều em đi theo hướng 2 nhưng không giải được bài toán do không nắm được bản chất “Hình học” của bài toán.
2. 3. Các giải pháp đã sử dụng giải quyết vấn đề
2.3.1. Một số bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức điển hình:
Bài toán1: Giả sử M là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. 
Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây:
a) =2 b) c) 
Giải:
Đặt z = x +yi (x, y Î R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y)
a) Xét hệ thức: =2 (1)
Þ Tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường tròn có tâm tại I(1;-1) và bán kính R = 2. 
b) Xét hệ thức 
 Û |(x+2) +yi| = |x+(y-1)i|
 Û (x+2)2 + y2 = x2 + (y-1)2
 Û 4x + 2y + 3 = 0.
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng 
 4x + 2y + 3 = 0.
 Nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0 chính là đường trung trực của đoạn AB.
Giải
Giả sử .
Ta có :
.
Gọi là điểm biểu diễn của số phức . Xét hai điểm .
Khi đó hệ thức trên được viết lại thành .
Tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện là elip nhận làm hai tiêu điểm và có độ dài trục thực bằng 6. Độ dài trục bé bằng .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện đã cho là elip có phương trình
.
Bài toán 2: (Trích đề thi tuyển sinh đại học Bách Khoa năm 2010)
Trong mặt phẳng tọa độ , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn:
.
Lời giải
Giả sử .
Ta có :
.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện đã cho là đường tròn có phương trình .
Bài toán 3 : Trong mặt phẳng tọa độ , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức , biết rằng là số phức thỏa mãn điều kiện .
Lời giải
Cách 1: Giả sử .
Ta có .
Đặt . Giả sử .
Ta có :
.
Do đó từ hệ thức , ta có 
.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức là đường tròn có phương trình : .
Cách 2: Đặt . Khi đó ta có .
Từ giả thiết và tính chất của môđun ta có 
.
Giả sử thì .
Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa độ , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện: .
Lời giải
Giả sử . Ta có 
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện đã cho là parabol có phương trình .
2. 3.2. Bài toán tìm cực trị của số phức.
*) Phương pháp: 
Bài toán: Trong các số phức thoả mãn điều kiện T. Tìm số phức z để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Từ điều kiện T, biến đổi để tìm cách rút ẩn rồi thế vào biểu thức P để được hàm một biến.
Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) tuỳ theo yêu cầu bài toán của hàm số một biến vừa tìm được.
Kỹ năng: 
 +Phương pháp đại số. 
 +Phương pháp hình học.
 + Phương pháp bđt modun.
 +Phương pháp casio.
*) Một số bài toán điển hình.
 Dạng 1: Quỹ tích điểm biễu diễn số phức z là đường thẳng :Giả sử M,A,B lầ lượt là điểm biểu diễn các số phức z, z1,z2.
 Ta có : thuộc là trung trực của AB
Khi đó khi điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là hình chiếu vuông góc của O lên .
Nhận xét : Đề bài có thể suy biến bài toán thành một số dạng khác,khi đó ta cần thực hiện biến đổi đưa về dạng cơ bản: 
Ví dụ : 
+Cho số phức z thoã mãn .Khi đó ta biến đổi:
+ Cho số phức z thoã mãn .Khi đó ta biến đổi: 
Ví dụ 1: Trong các số phức thoả mãn điều kiện , tìm số phức có môđun nhỏ nhất.
Giải:
Gọi .
.
Gọi điểm M(x;y) biểu diễn số phức z suy ra khi M là hình chiếu vuông góc của O lên (O là gốc tọa độ).Tìm được suy ra khi 
*Nhận xét: Nếu gặp bài toán chẳng hạn : Trong các số phức thoả mãn điều kiện . Tìm .
Ví dụ 2: Biết rằng số phức z thỏa mãn : là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của . 
Giải
Đặt z= x+ yi (x, y ) ta có
Ta có: 
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0.
M(x;y) là điểm biểu diễn của z , z có môđun nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất .
Tìm được M(-2;2) suy ra z = -2+2i. 
Dạng 2: Quỹ tích điểm biễu diễn số phức z là đường tròn 
Gọi M(x;y) biểu diễn số phức z ,Khi đó ta có: 
Nhận xét : Đề bài có thể suy biến bài toán thành một số dạng khác,khi đó ta cần thực hiện biến đổi đưa về dạng cơ bản: 
Ví dụ : 
+ Cho số phức z thoã mãn .Khi đó ta biến đổi: 
+ Cho số phức z thoã mãn .Khi đó ta biến đổi: (Lấy liên hợp hai vế).
+ Cho số phức z thoã mãn .Khi đó ta biến đổi: 
Ví dụ 3: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của . 
Giải
Giả sử .
Ta có 
.
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm , bán kính .
Giả sử là điểm biểu diễn của số phức thì nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất; lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất.
Đường thẳng có phương trình . Giao điểm của đường thẳng với đường tròn  là . Khi đó .
Với mọi điểm nằm trên đường tròn , ta luôn có .
Vậy giá trị lớn nhất của bằng và giá trị nhỏ nhất của bằng .
2. 3.2.2. Mở rộng:
Bài toán gốc số 1: 
Cho đường tròn cố định có tâm I bán kính R và điểm A cố định. Điểm M di động trên đường tròn . Hãy xác định vị trí điểm M sao cho AM lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải:
TH1: A thuộc đường tròn (T) 
Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A
 AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I
TH2: A không thuộc đường tròn (T)
Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,I và đường tròn (T); 
Giả sử AB < AC.
+) Nếu A nằm ngoài đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có:
.
 Đẳng thức xảy ra khi 
. 
Đẳng thức xảy ra khi 
+) Nếu A nằm trong đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có:
. 
Đẳng thức xảy ra khi 
. 
Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy khi M trùng với B thì AM đạt giá trị nhỏ nhất.
Vậy khi M trùng với C thì AM đạt giá trị lớn nhất.
Bài toán gốc số 2: 
Cho hai đường tròn có tâm I, bán kính R1; đường tròn có tâm J, bán kính R2. Tìm vị trí của điểm M trên , điểm N trên sao cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải:
Gọi d là đường thẳng đi qua I, J; 
d cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt tại hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC).
Với điểm M bất khì trên và điểm N bất kì trên .
 Ta có: .
Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D. 
Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C.
 Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt giá trị lớn nhất.
 Khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài toán gốc số 3: 
 Cho hai đường tròn có tâm I, bán kính R; đường thẳng không có điểm chung với . Tìm vị trí của điểm M trên , điểm N trên sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d
Đoạn IH cắt đường tròn tại J
Với M thuộc đường thẳng , N thuộc đường tròn , ta có: . 
Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy khi M trùng với H; N trùng với J thì MN đạt giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 4: Trong các số phức thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của .
Giải:
Gọi biểu diễn cho số phức trong hệ toạ độ Oxy
Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường tròn (T) có tâm , bán kính R = 4.
; nên O nằm ngoài đường tròn (T)
lớn nhất khi OM lớn nhất, nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.
(Bài toán qui về bài toán gốc số 1- Trường hợp 2)
Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) tại hai điểm phân biệt 
Với M di động trên (T), ta có: 
 OM nhỏ nhất khi M trùng với A; OM lớn nhất khi M trùng với B
Vậy nhỏ nhất bằng 1 khi ; lớn nhất bằng 9 khi 
Cách 2
Gọi 
 biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy
 biểu diễn cho số phức 
; 
Theo giả thiết .
Ta có: 
; khi ; khi 
Vậy nhỏ nhất bằng 1 khi ; lớn nhất bằng 9 khi 
Nhận xét: Ngoài ra bài toán trên có thể giải bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki hoặc phương pháp lượng giác hoá.
Ví dụ 5: Trong các số phức thoả mãn điều kiện là một số ảo, tìm số phức sao cho có môđun lớn nhất.
Giải:
Gọi 
 biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy
là một số ảo
 M biểu diễn cho thuộc đường tròn (T) có tâm , bán kính 
 với 
 (Bài toán được qui về bài toán gốc số 1 - trường hợp 1).
Vì M là điểm di động trên (T) nên AM lớn nhất 
AM là đường kính của (T)
 M đối xứng với A qua I 
I là trung diểm của AM 
Vậy lớn nhất bằng khi .
Ví dụ 6: Trong các số phức z1, z2 thoả mãn: , tìm số phức z1, z2 sao cho đạt giá trị lớn nhất.
Giải:
Gọi là những số thực); được biểu diễn bởi điểm M(a; b); được biểu diễn bởi điểm N(c; d) trong mặt phẳng toạ độ Oxy
 suy ra M thuộc đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = 1.
 suy ra M thuộc đường tròn tâm J(6; 6), bán kính R' = 6.
.
Ví dụ 7: (Trích đề thi thử THPT chuyên Phan Bội Châu )
Cho số phức z thoã mãn .Giá trị lớn nhất của là
A. B.4 C.6 D. 
Giải:
Cách 1: Gọi z=x+yi, ta có z-2-3i=(x-2)+(y-3)i .Nên ta có : .Do đó điểm M biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn tâm I(2;3), bán kính R=1.
Ta có .Gọi M(x;y) và H(-1;1) thì .Vì M chạy trên đường tròn , H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao điểm của HI với đường tròn .
Phương trình HI: , Giao điểm của HI với đường tròn ứng với t thoã mãn suy ra .
Tính độ dài MH , ta chọn kết quả .Chọn đáp án D
Cách 2: Đặt .Ta có .Nên tập hợp điểm biểu diễn W là đường tròn có tâm I(3;-2), bán kính R=1
Vậy .Chọn đáp án D.
Nhận xét: có thể dùng lượng giác để giải bài toán này.
(Bài toán được qui về bài toán gốc số 2).
Đường thẳng IJ có phương trình y = x. Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I tại hai điểm
Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm J tại hai điểm .
.
Vậy thì đạt giá trị lớn nhất.
Ví dụ 8: Cho các số phức thoả mãn: là một số thực. Tìm số phức sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Gọi 
 lần lượt biểu diễn cho trong hệ toạ độ Oxy
 M thuộc đường tròn có tâm O, bán kính R = 1 
 là số thực 
 N thuộc đường thẳng 
Ta có nên và không có điểm chung
 (vì )
(Bài toán được qui về bài toán gốc số 3).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên 
Đoạn OH cắt đường tròn tại 
Với N thuộc đường thẳng , M thuộc đường tròn , ta có: 
. 
Đẳng thức xảy ra khi 
. 
Đẳng thức xảy ra khi 
 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .
Ví dụ 9: Cho số phức z thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Giải
Cách 1: Gọi , là điểm biểu diễn số phức z.Ta có : suy ra M nằm trên đường tròn (C) tâm I(1;-1), bán kính R=2.
Xét là trung điểm của AB.Khi đó: 
Mặt khác do N nằm ngoài đường tròn (C) nên 
MNmax =NI+R= 
Cách 2: Ta có :
Suy ra toạ độ điểm M thoả mãn hệ: 
Hệ trên có nghiệm khi 
Suy ra 
Dạng 3: Quỹ tích điểm biễu diễn số phức z là elip (E): 
Ví dụ 10: Trong các số phức thoả mãn điều kiện. Tìm số phức z có môđun lớn nhất.
Giải:
Gọi 
 biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy
; 
(với ).
 có tâm O, trục lớn bằng 10; tiêu cự bằng 6
lớn nhất 
Vậy lớn nhất bằng 5 khi hoặc z=-5
2. 4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Với cách làm tôi vừa trình bày ở trên, giáo viên cần gơị mở để học sinh chủ động phát hiện ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z để có thể đưa bài toán phức tạp về bài toán cơ bản đơn giản hơn.
Sau khi dạy xong chủ đề “Giúp học sinh giải bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất bằng “Con Mắt” hình học ” . Tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút như sau:
Đề bài:
Câu 1: Cho số phức thỏa mãn . Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức .
Câu 2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Kết quả của bài kiểm tra thể hiện cụ thể như sau:
Lớp 12A1(Năm học 2017-2018): ( Tổng số HS :40).
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
13
32.5
15
42.5
10
25
2
5
0
0
Qua bảng trên, có thể thấy rằng kết quả học tập của lớp 12A1 sau khi học xong chủ đề này đã có sự khác biệt rõ rệt so với các anh chị khoá trước. Từ chỗ chưa có học sinh đạt điểm giỏi khi chưa áp dụng cách làm mà tôi đã trình bày ở trên, thì khi áp dụng cách làm này đã có 13 học sinh đạt điểm giỏi. Số lượng học sinh đạt điểm khá, trung bình tăng lên, số lượng học sinh đạt điểm yếu chỉ còn 2 em và không còn học sinh bị điểm kém . Như vây, thành công bước đầu và quan trọng của cách làm là đã cải thiện được chất lượng học tập của học sinh cũng như tạo ra được sự hứng thú, say mê của học sinh khi học phần kiến thức này.
3. Kết luận và kiến nghị.
3.1. Kết luận.
Dạng bài tập về tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình giải tích lớp 12 nói chung rất đa dạng, phong phú và là dạng bài tập khó đối với đa số học sinh THPT. Để có thể áp dụng sáng kiến kinh nghiệm của bản thân có hiệu quả vào đối tượng học sinh thì yêu cầu cả người dạy và người học phải không ngừng học hỏi và tìm kiếm những tri thức mới. Các em học sinh phải luôn cố gắng, tìm tòi, sáng tạo, phân tích vấn đề và khái quát hoá vấn đề, 
 Trong khuôn khổ bài viết của mình, tôi chỉ xin đưa ra một số bài toán về tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất của số phức qua việc tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức đó. Từ đó, giúp các em giải quyết bài toán một cách dễ dàng hơn và nhanh nhất khi làm trắc nghịêm.
3.2. Kiến nghị.
 Với khả năng, kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế, việc áp dụng phương pháp cũng như hệ thống bài tập đưa ra ở trên chắc chắn sẽ không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong các đồng nghiệp cũng như quý vị độc giả góp ý để SKKN này được hoàn thiện hơn .
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 02 tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Ký và ghi rõ họ tên
Nguyễn Huy Quang
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Giải tích 12. NXB Giáo dục.
2.Xây dựng tài liệu về số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh -Nguyễn Tiên Tiến,THPT Gia Viễn B
3.Bài toán Max-Min số phức-Lương Văn Huy –Thanh Trì- Hà Nội
4. Đề thi thử đại học và THPT Quốc Gia (Từ 2006-2018) -Nguồn internet
5.Trích một số bài tập từ Word toán.
MỤC LỤC
NỘI DUNG
TRANG
Mở đầu
1
Lí do chọn đề tài
1
Mục đích nghiên cứu
1
Đối tượng nghiên cứu
1
Phương pháp nghiên cứu
2
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
3
Cơ sở lí luận
3
Số phức
3
Định nghĩa 1
3
Định nghĩa 2
3
Biểu diễn hình học của số phức
3
Phép cộng, phép trừ hai số phức
3
Phép nhân số phức
3
Phép chia số phức
3
Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c là số thực
4
Tập hợp các điểm biễu diễn số phức thường gặp
4
Một số kiến thức áp dụng
4
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
5
Các biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
5
Một số bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức điển hình
5
Bài toán tìm cực trị của số
8
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
17
Kết luận và kiến nghị
17
Tài liệu tham khảo
19
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIÚP HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN TÌM SỐ PHỨC CÓ
 MÔ ĐUN LỚN NHẤT-NHỎ NHẤT BẰNG “CON MẮT”
HÌNH HỌC 
Người thực hiện: Nguyễn Huy Quang
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán
THANH HOÁ, NĂM 2019