Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề Ứng dụng của tích phân

 -2 , x = 1 
y = -x2 + 2 , y = 0 và hai đường thẳng x = - 1 ; x = 1 
y = ex , y = 0 , và hai đường thẳng x = 0 , x = 2
y = x2 – 4 và trục hoành .
y = x2 - 4x + 3 , y = 0 , x = 0 , x = 3
y = x3 - 4x , y = 0 , x = -2 , x = 1
y = x3 – 4x + 3 , y =0 , x = - 2 , x = 1
y = x3 – x2 – 4x + 4 , y =0 
y = x4 – 5x2 + 4 , y = 0 , trục tung và đường thẳng x = 2
2/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
a/ y = lnx , y = 0 , x = 1 , x = e
b/ y = ln(2x + 1) , y = 0 , x = 0 , x = e
c/ y =2x , y =1
d/ y = sinx , y = 0 , x = , 
II/ HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
1/ Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Cho hai hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) , y = g(x) có đồ thị là (C’ ).
 Nếu hai đồ thị (C ) và (C’) có điểm chung là điểm M(x0 ; y0) thì cặp số (x0 ; y0) là nghiệm của hệ phương trình (1)
 < Hoành độ x0 của điểm chung M là một nghiệm của phương trình (*)
 Giải phương tình (*) ta sẽ được hoành độ x0 của giao điểm của hai đồ thị.
 Phương trình (*)được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
 Thay x = x0 vào một trong hai phương trình của hệ (1) ta tìm được tung độ của giao điểm .
2/ Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Vd1: Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số và 
Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là : 
Vậy hai đồ thị trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt có toạ độ lần lượt là: 
(1 ; - 2) và (3 ; 0)
Vd 2: Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = xlnx và y = x
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là : 
Vì x > 0 nên 
Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là x = e .
Vd3: Cho hai hàm số và 
Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho.
Giải: Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình :
Vậy hai đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là : 
3/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số :
 Cho hai đồ thị của hai hàm số y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a , x =b (a<b)
 Hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng 
 x = a, x = b có diện tích S được tính theo công thức :
.
Bài toán 23 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , y = x và hai đường thẳng x = 1 , x = e
Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là : 
Vì x > 0 nên 
Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là x = e .
Trên đoạn phương trình xlnx – x = 0 chỉ có một nghiệm x = e
Hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y =xlnx , y = x và hai đường thẳng 
 x = 1, x = e có diện tích S được tính theo công thức :
Vì nên 
 (đvdt)
Bài toán 24 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số :
 , và hai đường thẳng x = 0 , x = 2 .
Giải: 
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình :
 (đvdt)
Bài toán 25. 
Hình 25
Cho hàm số y = - x4 + 5x2 – 4 có đồ thị ở hình trên.
Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đó với trục hoành.
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho với trục hoành .
Giải : Xét phương trình : 
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn điểm có toạ độ lần lượt là :
(-2 ;0) , (-1;0) , (1 ; 0) , (2 ; 0).
Diện tích hình phẳng cần tìm là : 
Từ hình đồ thị suy ra : và 
 =+ 
Bài toán 26. 
 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 -3x + 2 và đường thẳng y = x – 1 .
Hình 26
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 -3x + 2 và đường thẳng 
y = x – 1 là : 
Suy ra diện tích của hình phẳng trên là : 
Cách 1 : Dựa vào đồ thị ta có x2 – 3x + 2 ≤ x – 1 " x Î [1 ; 3 ] .
Do đó x2 – 4x + 3 ≤ 0 " x Î [1 ; 3] 
 (đvdt)
Cách 2 : Xét dấu tam thức x2 - 4x + 3 ta có :
x
-∞ 1 3 + ∞
x2 – 4x + 3
 + 0 - 0 +
 Do đó x2 – 4x + 3 ≤ 0 " x Î [1 ; 3] 
Cách 3 : 
Bài toán 27 . Cho hình phẳng ở hình 25
a/ Viết phương trình của đường thẳng d .
b/ Tính diện tích của hình phẳng đó , biết rằng đồ thị (C ) có phương trình 
y = x3 – 3x + 2 .
Hình 27
Giải : a/ Phương trình của đường thẳng d có dạng y = ax + b.
Vì đường thẳng d đi qua hai điểm (- 2 ; 0) và ( 0 ;2) nên ta có :
 Vậy đường thẳng d : y = x + 2
b/ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là :
Diện tích của hình phẳng trên là : 
Áp dụng cách đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài ta có :
 (đvdt)
Bài toán 28. Cho hàm số y = x3 – 3x + 2 có đồ thị (C )
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho .
b/ Viết phương trình tiếp tuyến D của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 2 .
c/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , đường thẳng x = 1 và tiếp tuyến D .
Hinh 28
Giải : 
b/ y = x3 – 3x + 2 
Khi x = 2 ta có y(2) = 8 – 6 + 2 = 4
 y’ = 3x2 - 3
y’(2) = 12 – 3 = 9
Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm (2 ; 4 ) là y = 9(x -2) + 4 hay y = 9x - 14
c/ Diện tích của hình phẳng cần tìm là :
Bài toán 29
Hình phẳng sau được giới hạn bởi đồ thị (C ) : và đường thẳng y = x 
Hãy tính diện tích của hình phẳng đó .
Hình 29
 Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là : 
Diện tích của hình phẳng đã cho là :
 , 
Đặt u = 3x2 + 4 => du = 6xdx
Khi x = 0 => u = 4
Khi x = -2 => u =16
Tương tự ta có 
 (đvdt)
Bài toán 30 . Cho hàm số có đồ thị (C )
a/ Tìm tiệm cận xiên D của đồ thị hàm số đó .
b/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , tiệm cận xiên D và các đường thẳng x = 2 , x = 3 .
Hình 30
Giải :
a/ Ta có 
Đồ thị (C ) có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x 
b/Diện tích của hình phẳng cần tìm là : 
 (đvdt) 
Bài tập tương tự :
Bài 1 .Hình phẳng sau được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = , và các đường thẳng 
 y = 2 , y = -2x – 4 (Hình 29).Tính diện tích của hình phẳng đó.
Hình 31
Bài 2 .Tính diện tích của hình phẳng sau :
(D)
(d)
Hình 32
Biết rằng (C ) là đồ thị của hàm số ; đường thẳng d đi qua hai điểm (4 ;0) và ( 0 ; - 4) ; đường thẳng D là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1
Bài 3. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = , trục hoành , và hai đường thẳng x = 0 ; x = 2
Thể diện tích của hình phẳng (H) .
Bài 4. 
Hình phẳng sau được giới hạn bởi các đường y = 2x2 - 3x + 2 , y = 0 , x = - 1 , x = 2
Tính diện tích của hình phẳng đó.
Hình 33
Bài 5. Cho hình phẳng sau được giới hạn bởi parabol (P) và trục hoành.Biết rằng (P) đi qua ba điểm (0 , 0) ; (2 , 0) và (2 , 4).
Hình 34
a/ Viết phương trình của parabol (P).
b/ Tính diện tích của hình phẳng đã cho .
Bài 6. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi hai đường parabol (P) và đường thẳng (d) như hình vẽ sau :
Hình 35
Biết rằng parabol (P) đi qua gốc toạ độ O(0,0) và điểm (2; -4) ; đường thẳng (d) đi qua hai điểm 
(2 ; -4 ) và (-2 ; 0).
a/ Viết phương trình của đường thẳng (d) và parabol (P) .
b/Tính diện tích của hình phẳng đã cho.
Bài 7.Cho hình phẳng sau :
Hinh 36
a/ Viết phương trình của các parabol trên.
b/ Tinh diện tích của hình phẳng đã cho.
Bài 8. Cho hình phẳng sau giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = x(x +1)(x-2) và trục hoành.
Hinh 37
a/ Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y =f(x) với trục hoành.
b/ Tính diện tích của hình phẳng trên.
Bài 9 .Tính diện tích của hình phẳng giới hạn các đường sau :
 , y = 0 , ; 
Bài 10. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0 ; y = x3 -3x2 + 3x - 1 và tiếp tuyến của đường cong đó tại điểm có hoành độ x = 3 .
Bài 11. Tính diện tích của hình phẳng giới parabol y = x2 - 2x + 2 , tiếp tuyến với parabol tại điểm M(3 ; 5) và trục tung.
Bài 12 . Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
 y = 0 , trục tung và đường thẳng x =1
Tính diện tích của hình phẳng trên.
Bài 13. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
 y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng 
Bài 14.Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y =x3 , y = 2 - x2 , x = 0 
Bài 15.Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường 
 y = 1 + sinx , y = 0 , x = 0 , x = 
 Tính diện tích của hình phẳng trên.
Bài 16. Cho hình phẳng sau được giới hạn bởi các đường , y = 0 và đường thẳng (d) đi qua hai điểm (-2 ;0) , ( 0 ;2).
Hình 38
a/ Viết phương trình của đường thẳng (d) .
b/ Tính diện tích của hình phẳng trên.
Bài 17. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0 ; y = x3 -3x2 + 3x - 1 và tiếp tuyến của đường cong đó tại điểm có hoành độ x = 3 .
Bài 18. Tính diện tích của hình phẳng giới parabol y = x2 - 2x + 2 , tiếp tuyến với parabol tại điểm M(3 ; 5) và trục tung.
Bài 19. Tính thể tích của vật thể tròn xoay , sinh bởi mỗi hình phẳng giới bởi các đường sau đây quanh trục Ox :
a/ y = 0 , y = 2x - x2
b/ y = sin2x , y = 0 , x = 0 , x = 1
Bài 20 . Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
 y = 0 , trục tung và đường thẳng x =1
a/ Tính diện tích của hình phẳng trên.
b/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox.
Bài 21. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
 y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng 
Bài 22.Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y =x3 , y = 2 - x2 , x = 0 
Bài 23.Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường 
 y = 1 + sinx , y = 0 , x =0 , x = 
Tính diện tích của hình phẳng trên.
Bài 24. Cho hình phẳng sau được giới hạn bởi các đường , y = 0 và đường thẳng (d) đi qua hai điểm (-2 ;0) , ( 0 ;2).
Hình 39
a/ Viết phương trình của đường thẳng (d) .
b/ Tính diện tích của hình phẳng trên.
Bài 25 .Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b/Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C ).
c/Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trên với đường thẳng 
y = -x2 + 1. 
Bài 26.Tính diện tích của hình phẳng sau :
Hình 40
Bài 27. Cho hàm số 
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho .
b/ Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C ) tại điểm uốn.
c/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục tung và tiếp tuyến (d) . 
Hình 41
PHẦN III 
THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY
I. Công thức tính vật thể tròn xoay 
Chú ý 
C Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b , trong đó ( a < b) .
Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta được một vật thể tròn xoay .
 Thể tích của vật thể này được tính theo công thức :
1 / Vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành.
Bài toán 31
Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox.
 y = x2 , y = 0 , x = 0 , x = 2.
Giải:
 (đvtt)
Bài toán 32 
Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox.
 y = x2 – 2x , y = 0 , x = 0 , x = 1.
 (đvtt)
Bài toán 33 
Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox.
 y = x3 – 3x , y = 0 , x = 0 , x = 1.
 (đvtt)
Bài toán 34 
Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox.
, y = 0 , x = 0 , x = 1.
 (đvtt)
Bài toán 35 
Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox.
, y = 0 , x = 0 , x = 1.
 (đvtt) 
Bài toán 36 
Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox.
, y = 0 , x = 0 , x = 1.
 (đvtt) 
Bài toán 37 
Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox.
, y = 0 , x = 1 , x = e.
 (đvtt)
Đặt 
Do đó 
Đặt 
Suy ra = p(e – 2) (đvtt)
Bài toán 38 
Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox.
, y = 0 , x = 0 , x = p .
 (đvtt)
 (đvtt)
Bài toán 39 
Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox.
, y = 2x -4 , x = 0 , x = 2 .
Giải
Hình 42
Gọi V1 là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = 2x - 4 , y = 0 , x = 0 , x = 2 quanh trục hoành Ox .
 (đvtt)
Gọi V2 là thể tích của vật thể trên tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = x2 – 4 , y = 0 , x = 0 và x = 2 quanh trục hoành Ox.
 (đvtt)
Thể tích của vật thể tròn xoay cần tính là : (đvtt)
Bài toán 40
Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 –x2 , trục hoành và đường thẳng y = x + 2 .
Hình 43
Giải
Gọi V1 là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = x + 2 , y = 0 , x = -2 , x = 1 quanh trục hoành Ox .
 (đvtt)
Gọi V2 là thể tích của vật thể trên tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = 4- x2 , y = 0 , x = 1 và x = 2 quanh trục hoành Ox.
 (đvtt)
Thể tích của vật thể tròn xoay cần tính là : (đvtt)
Bài tập tương tự 
Bài 1 Cho hình phẳng sau giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng d .
a/ Viết phương trình của parabol (P) và của đường thẳng d .
b/ Tính diện tích của hình phẳng đó.
c/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng trên quanh trục hoành .
Bài 2 Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng sau quanh trục hoành . 
Hình 44
Bài 3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay , sinh bởi mỗi hình phẳng giới bởi các đường sau đây quanh trục Ox :
a/ y = 0 , y = 2x - x2
b/ y = sin2x , y = 0 , x = 0 , x = 1
Bài 4 Cho hàm số có đồ thị (C )
Hình phẳng sau giới hạn bởi đồ thị (C ) , tiệm cận xiên D và các đường thẳng x = 2 , 
x = 3 .
Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục hoành.
Hình 46
Bài 5 Cho hàm số y = x3 – 3x + 2 có đồ thị (C )
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho .
b/ Viết phương trình tiếp tuyến D của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 2 .
c/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , đường thẳng x = 1 và tiếp tuyến D .
d/ T ính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng trên quanh trục hoành .
Hình 47
C Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y) , trục tung và hai đường thẳng y = m , y = n , trong đó ( m < n) .
Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta được một vật thể tròn xoay .
 Thể tích của vật thể này được tính theo công thức :
2/ Vật thể tròn xoay khi quanh một hình phẳng quanh trục tung 
Bài toán 41 
Cho hình phẳng giới hạn bởi các các đường sau : 
 , trục tung , và hai đường thẳng y = 0 , y = 1 .
Tính thể của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng trên quanh trục tung .
Giải :
Ta có 
Do đó thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng tạo bởi đồ thị hàm số , trục tung và hai đường thẳng y = 0 , y = 1 là :
 (đvtt)
Bài toán 42 . Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong (C ) : 
, trục tung , hai đường thẳng x = 2 , y = 2 .
Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng trên quanh trục tung .
Hình 48
Giải
Ta có 
Gọi V1 là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi nửa elip (E ) , trục tung và hai đường y = 0 , y = 1 quanh trục tung .
 (đvtt)
Gọi V2 là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = 2 , trục tung và hai đường y = 0 , y = 1 quanh trục tung .
 (đvtt)
Thể tích của vật thể cần tính là : (đvtt)
3/ Thể tích của khối cầu , khối trụ ,khối nón , khối nón cụt
a/ Thể tích của khối cầu 
Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường tròn có phương trình (P ) : x2 + y2 = r2 
 với r > 0 và y ≥ 0 . (hình 49)
Quay nửa hình tròn đó quanh trục hoành ta được một mặt cầu có bán hính bằng r .
Thể tích của mặt cầu này là : (đvtt)
Hinh 49
Thật vậy : Giải : Ta có 
Với y ≥ 0 ta có : có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục hoành.
 Và có diện tích 
 (đvtt)
b/ Thể tích của khối trụ : 
Cho hình phẳng ( hình chữ nhật )giới hạn bởi đường thẳng y = r ( r > 0) ; trục hoành và các đường thẳng x = 0 ; x = h ( h > 0) .
Quay hình phẳng trên quanh trục hoành ta được một khối trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao h .
Thể tích của vật thể tròn xoay ( khối trụ )này là :
 (đvtt) .
c/ Thể tích khối nón tròn xoay .
Cho hình phẳng (H) ( tam giác vuông ) giới hạn bởi đồ thị hàm số ; trục hoành và hai đường thẳng x = 0 ; x = h . (hình 50) .
Quay hình phẳng (H ) quanh trục hoành ta được một khối nón có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng h .
Khi đó thể tích của khối nón đó là :
 (đvtt) .
Hình 50 
d/ Thể tích của khối nón cụt 
Hình 51 
Cho hình thang vuông giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng x = a ; x = b ( b > a > 0 ; R > r > 0 ) . Hình 51
Quay hình thang vuông trên quanh trục hoành ta được một khối nón cụt có bán kính đáy lớn bằng R , bán kính đáy nhỏ bằng r và chiều cao bằng h = b – a .
Thể tích của khối nón cụt tạo thành là :
Vì khi x = a ta có y = r và khi x = b ta có 
 Do đó 
 ( đvtt)
Chú ý : 
KẾT LUẬN 
 Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa qua tôi nhận thấy rằng , tài liệu “Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân” đã giúp tôi thu được nhiều kết quả khả quan.Học sinh khắc phục được những “sai lầm” và khó khăn khi gặp bài toán tính diện tích của hình phẳng cũng như tính thể tích của vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12 . Thuận lợi cho việc tăng cường tính trực quan ,cũng đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và dạy học .
 Từ đó , các em học sinh rât thích thú và học tốt vấn đề này.
Nhận xét , đánh giá đề tài của Hội đồng khoa học nhà trường :
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nhận xét , đánh giá đề tài của Hội đồng khoa học cấp trên :
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------