Sáng kiến kinh nghiệm Giải toán trên máy tính Casio FX-500ms-570ms để tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

Chuyên đề:
 giảI toán trên máy tính CASIO FX-500MS - 570MS
để tìm ước chunh lớn nhất và bội chung nhỏ nhất
A- Đặt vấn đề.
Như chúng ta đã biết, toán học là bộ môn khoa học đặc biệt quan trọng trong chương trình giáo dục phổ thông cũng như trong các chương trình giáo dục khác. Đây là môn học được coi là nền tảng cho các môn học tự nhiên giúp cho học sinh có được những vốn kiến thức về tự nhiên.
Nhà trường THCS là cầu nối giữa bậc học tiểu học và trung học phổ thông, chính vì vậy việc đặt nền móng, trang bị cho học sinh những kiến thức sơ cấp phải thực sự chuẩn mựcvà vững chắc. Người giáo viên phải biết dạy cái gì, dạy cho ai, dạy như thế nào? Đặc biệt khi dạy cho học sinh cách giải toán , rèn luyện kỹ năng giải toán, giáo viên cần phải biết sáng tạo vận dung linh hoạt, không máy móc để giúp cho các em có kỹ năng giải toán thật cơ bản, vững vàng , chính xác, khoa học.
Đặc biệt việc dạy và học toán có sự hỗ trợ của máy tính đã trở nên rất phổ biến trên toàn thế giới. Đặc biệt là trong các tài liệu SGK của các nước có nền giáo dục tiên tiến luôn có thêm chuyên mục sử dụng máy tính để giải toán.
ở nước ta kể từ năm 2001 Bộ giáo dục và đào tạo ngoài việc đã tổ chức các kỳ thi học sinh giỏi cấp khu vực "Giải toán trên máy tính Casio" cho học sinh phổ thông, còn cho phép tất cả các học sinh được sử dụng các loại máy tính: Casio FX -500A ; Casio FX - 500 MS ; Casio FX - 570 MS...trong các kỳ thi cấp quốc gia.
Thực tế đồ dùng dạy học môn toán rất đơn giản, không phức tạp như một số môn học khác. Giáo viên có thể tự làm đồ dùng dạy học, kết hợp với các mô hình, các thiết bị được cấp để hỗ trợ cho bài giảng. 
Trong quá trình phát triển của cả nước nói chung và trường THCS Mỵ Hoà nói riêng tôi nhận thấy đối với thực trang học tập bộ môn toán nói chung và việc giảI toán trên máy tính CASIO nói riêng còn nhiều yếu kém và trên thực tế các em chưa được làm quen nhiều với máy tính.
Với thực trạng như vậy chúng tôI đã quyết định làm chuyên đè tự chọn giảI toán trên máy tính CASIO FX-570MS cho học sinh lớp 6.Nhằm giúp các em ngay khi bước vào cấp 2 được làm quenvới phương pháp mới ,hỗ trợ đắc lực cho quá trình học tập bộ môn toán,nâng cao chất lượng hoc tập,hoà nhập chung với su thế phát triển của nước ta và thế giới.
Trong khuôn khổ thời lượng có hạn ở chuyên đề này.Chúng tôi chỉ đề cập đến một mảng nhỏ giải toán casio cấp THCS . Đó là : “giảI toán trên máy tính casio-fx570ms để tìm ucln va bội chung nhỏ nhất ”.Giúp các em học sinh lớp 6 bước đầu làm quen với máy tính và giải toán trên máy tính.
B- Nội dung.
I/ Sơ lược về cách sử dụng máy tính Casio FX - 500 MS.
1. Tắt, mở máy.
Mở máy: ấn ON 
Tắt máy: ấn SHIFT OFF
Xoá màn hình để thực hiện các phép tính khác ấn AC
Xoá ký tự cuối vừa ghi ấn DEL
Máy tự động tắt sau 6 giây không ấn phím.
2. Tính chất giành ưu tiên của máy.
- Máy thực hiện trước các phép tính có ưu tiên.
VD: Phép nhân chia thì ưu tiên hơn phép cộng, trừ.
3. Mặt phím.
- Các phím chữ trắng và DT ấn trực tiếp.
- Các phím chữ vàng (chữ nhỏ bên trên) ấn sau SHIFT
- Các phím chữ đỏ ấn sau ALPHA hoặc SHIFT STO hay CLR
 -Các phím chữ màu xanh dùng trong hệ đếm cơ số N ( BASE )
 để vào ta ấn MODE MODE 1 
4. Cách ấn phím.
- Chỉ ấn phím bằng đầu ngón tay một cách nhẹ nhàng mỗi lần một phím.
- Nên ấn liên tục đến kết quả cuối cùng tránh việc chép kết quả trung gian ra giấy rồi lại ghi vào máy vì việc đó có thể dẫn đến sai sót lớn ở kết quả cuối
- Máy có ghi biểu thức tính ở dòng trên khi ấn ta nên nhìn để phát hiện chỗ sai. Khi ấn sai thì dùng phím 3 hay4 đưa con trỏ đến chỗ sai để sửa bằng cách ấn SHIFT IN hoặc DEL =
- Khi đã ấn = mà thấy biểu thức sai ( đưa đến kết quả sai ) ta dùng 
5 hay 6 đưa con trỏ lên dùng biểu thức để sửa và ấn = đế tính lại.
- Gọi kết quả cũ ấn AnS =
- Trớc khi tính toán phải ấn MODE 1 chọn COMP.
- Nếu thấy màn hình hiện các chữ Fix ; SCL thì ấn thêm MODE MODE MODE MODE 	3 và ấn thêm 1 (NORM 1) hoặc 2 (NORM 2) 
- Nếu thấy có chữ M hiện lên thì ấn O SHIFT STO M
- Suốt chương trình các lớp 6 - 7 - 8 - 9 khi tính toán cần để màn hình hiện chữ D ( ấn MODE MODE MODE 1 )
- Muốn đưa ,áy về trạng thái ban đầu của cài đặt MODE và xoá nhớ thì ấn SHIFT CLR 3 ALL = 
* Tính toán cơ bản.
- Phép tính thông thường.
Vào COMP MODE ấn MODE 1 COMD
- Số âm tong phép tính phải đặt trong ngoặc, nếu số âm là số mũ thì khỏi đặt trong ngoặc.
VD1: Tính 3 x (5 x 10-9) ấn 3 x 5 EXP (-) 9 = 1,5 x 10-8 
VD2: Tính 5 x (9 + 7) ấn 5 x ( 9 + 7 ) = 80 
( có thể bỏ qua dấu ) trước dấu = 
* Sử dụng phím nhớ ( phép toán có nhớ)
+ Phím nhớ STO M A B C D E F X Y 
* Nhớ kết quả.
- Mỗi khi ấn = thì giá trị vừa nhập hay kết quả của biểu thức được tự động gán vào phím AnS 
- Phím AnS cũngđược gán kết quả ngay sau khi ấn SHIFT % ; Mt , SHIFT N hay SHIFT STO và tiếp theo là một chữ cái.
- Gọi kết quả bằng phím AnS 
- Phím AnS lưu kết quả 12 chữ số chính và 2 chữ số mũ.
- Phím AnS không được gán khi phép tính có lỗi.
* Số nhớ độc lập.
- Một số có thể nhập vào số nhớ M, thêm vào số nhớ, bớt ra từ số nhớ, số nhớ độc lập M trở thành tổng cuối cùng.
- Số nhớ độc lập được gán vào M.
- Xoá số nhớ độc lập M ấn O SHIFT STO M 
VD: 23 + 9 = 32 ấn 23 + 9 SHIFT STO M 
 53 - 6 = 47 53 - 6 M+
 - 45 x 2 = 90 45 x 2 SHIFT M- 
 Tổng - 11 RCL M 
* Biến nhớ: có 9 biến nhớ (A,B,C,D,E,F,X,Y) để dùng gán số liệu, hằng kết quả và các giá trị khác.
VD: Muốn gán số 15 vào A ta ấn 15 SHIFT STO A 
 Muốn xoá giá trị đã nhớ của A ta ấn O SHIFT STO A 
 Muốn xoá tất cả các số thì ấn SHIFT CLR 1 = 
DẠNG I:Tớnh toỏn cơ bản trờn dóy cỏc phộp tớnh cồng kềnh.
	Kiến thức bổ sung cần nhớ:
	Cỏch chuyển đổi số thập phõn vụ hạn tuần hoàn sang phõn số.
Nhận xột:
Ta cú:
VD1: Tớnh giỏ trị của biểu thức. (Tớnh chớnh xỏc đến 0,000001)
a. A = 	 	 (ĐS:)
b. B = 	 (ĐS:)
VD2: Tỡm x. (Tớnh chớnh xỏc đến 0,0001)
	a. 	(x = -20,384)
	b. 	(x= 6)
Dang 1 Phân tích số a ra thừa số nguyên tố.
Phân tích : 
 Dựa trên định nghĩa của việc phân tích một số ra thừa số nguyên tố chúng ta thấy ngay rằng để thực hiện được nhanh yêu cầu này cần nắm vững những kiến thức sau:
* Các số nguyên tố đầu tiên là: 2,3,5,7,11,13...
Lưu ý: Mọi số nguyên tố khác 2 và 3 đều có dạng 6n + 1 với n ЄN 
* Dấu hiệu chia hết cho 2,3,5 và 11, cụ thể:
Chia hết cho
Dấu hiệu
2
Các số có tận cùng là số chẵn
3
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3
5
Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
11
Các số có hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn và tổng của các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11
Phương pháp 
Thực hiện phép chia a lần lượt cho các số nguyên tố từ nhỏ tới lớn cho tới khi thường số là một số nguyên tố.
Chú ý: - Khi cần thiết chia a cho số nguyên tố k nhiều lần chúng ta sử dụng liên tiếp dấu = 
 - Khi a không chia hết cho k xong lỡ ấn = thì ấn tiếp x k = để nhận lại giá trị của a.
Ví dụ 1: Phân tích số 540 ra thừa số nguyên tố. 
	Giải : Tính thường ta ấn MODE 1 
Ta lần lượt thực hiện:
540 SHIFT STO M : 2 = 270 => chia tiếp được cho 2 
	= 135 => chia được cho 3
	: 3 = 45 => chia tiếp được cho 3
	 = 15 => chia tiếp được cho3
	= 5 => Đã là số nguyên tố
Vậy, ta được 540 = 22 x 33 x 5
 ?1 Phân tích số 2310 ra thừa số nguyên tố
Giải:
2310SHIFT STO M : 2 = 1155 =>không chia tiếp được cho 2
 : 3 = 385 =>không chia hết cho 3 
 : 5 = 77 =>không chia tiếp được cho 5
 : 7 = 11=>Đã là số nguyên tố .
Vậy, ta được 2310 = 2 x 3 x 5 x 7 x 11.
Bài tập luyện tập: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố.
a. 350 b. 202521 c. 104500 d. 1028755
Dạng 2: Ước chung lớn nhất.
 Phương pháp
Chúng ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, từ đó nhận được ước chung lớn nhất.
Cách 2: Sử dụng thuật toán Ơclit.
Ví dụ 2: Tìm ước chung lớn nhất của 174 và 18.
Giải:
Ta có hai cách thực hiện sau.
Cách 1: Phân tích các số 174 và 18 ra thừa số nguyên tố như sau:
	18=2.32 (1)
174 SHIFT STO M : 2 = 87 =>không chia tiếp được cho 2
 	 : 3 = 29 =>đã là số nguyên tố.
	Vậy, ta được 174 = 2 x 3 x 29.	 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra ước chung lớn nhất của 174 và 18 là 6
Cách 2: Sử dụng thuật toán Ơclit.
174 : 18 = 9.6666 =>thương số nguyên bằng 9
 - 9 = x 18 = 12 =>số dư bằng 12
18 : 12 = 1.5 =>thương số nguyên bằng 1 
- 1 = x 12 = 6 =>số dư bằng 6 
12 : 6 = 0 
Vậy, ước chung lớn nhất của 174 và 18 là 6
?2 Tìm UCLN của 2340 và 135 .
GiảI : sử dụng thuật toán Ơclit .
2340 : 135 = 17,3333=>thương số nguyên bằng 17
 - 17 = x 135 = 45 =>số dư bằng 45
135 : 45 = 3=>thương số nguyên bằng 0 
Vậy, ước chung lớn nhất của 2340 và 135 là 45
Bài tập luyện tập: Tìm ước chung lớn nhất của.
	a. 124 và 16	c. 234 và 135
	b. 275 và 85	d. 212 và 64
Dạng 3: Bội chung nhỏ nhất.
Phương pháp 
Chúng ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, từ đó nhận được bội chung nhỏ nhất. 
Cách 2: Sử dụng kết quả ƯCLN (a,b). BCNN (a,b) = a.b.
Ví dụ 3: Tìm bội chung nhỏ nhất của 198 và 84.
Giải
Phân tích các số 198 và 84 ra thừa số nguyên tố như sau:
198 SHIFT STO M : 2 = 99 =>không chia tiếp được cho 2
 : 3 = 33 
 : 3 = 99 =>đã là số nguyên tố
Vậy ta được : 184=2.32.11 (1)
84 SHIFT STO M : 2 = 42 
 	 = 21 =>không chia tiếp được cho 2
	 : 3 = 7 =>đã là số nguyên tố
vậy ta được: 84=22.3.7 (2)
Khi đó, ta có hai cách:
Cách 1: Từ (1) và (2) suy ra bội chung nhỏ nhất của 198 và b4 là 
	23 x 32 x 7 x 11 = 	2772
bằng cách ấn:
2 x 2 x 3 x 3 x 7 x 11 = 2772 
Cách 2: Từ (1) và (2) suy ra ước chung lớn nhất của 198 và 84 là 2 x 3
Từ đó, để nhận được bội chung nhỏ nhất của 198 và 84 ta ấn:
198 x 84 : 2 : 3 = 2772 
 ?3 Tìm BCNN của 252 và 264
 252 SHIFT STO M : 2 = 126 => chia tiếp được cho 2
 = 63 =>không chia tiếp được cho 2 
 : 3 = 21 =>chia tiếp được cho 3 
 = 7 =>đã là số nguyên tố 
 Vậy ta được : 252=22 x 32 x 7 (1)
264 SHIFT STO M : 2 = 132 => chia tiếp được cho 2
 	 = 66 =>chia tiếp được cho 2
	 = 33 => không chia tiếp được cho 2
 : 3 = 11 =>Đã là số nguyên tố 
 vậy ta được: 264=22x3x11 (2)
Cách 2: Từ (1) và (2) suy ra ước chung lớn nhất của 252và 264 là 22 x 3=12
Vậy BCNN ( 252;264)=(252x264):12=5544
Dạy học giải bài toán chia hết 
Lí thuyết liên quan đến chuyên đề:
Các tính chất chia hết
1) 0 chia hết b " b ạ 0
2) a chia hết a " a ạ 0
3) Nếu a chia hết cho b; b chia hết cho c thì a chia hết cho c
4) Nếu a chia hết cho m; b chia hết cho m thì a ± b chia hết cho m
5) Nếu a chia hết cho m; b không chia hết cho m thì a ± b không chia hết cho m
6) Nếu a ± b chia hết cho m; a chia hết cho m thì b chia hết cho m
7) Cho tích a1.a2 . . . an.
 Nếu $ ai chia hết cho ; i = 1; n thì a1.a2 . . . an chia hết cho m
8) Nếu a chia hết cho m thì an chia hết cho m (n ẻN*)
9) Nếu a chia hết cho m; b chia hết cho n thì ab chia hết cho mn
=> a chia hết cho b thì an chia hết cho bn.
10) Nếu a chia hết cho b; a chia hết cho c; (b; c) = 1 thì a chia hết cho bc
11) Nếu ab chia hết cho m; (b; m) = 1 thì a chia hết cho m
12) Nếu ab chia hết cho p, p là số nguyên tố thì a chia hết cho p
 	 b chia hết cho p
13) Cho a, b ẻ Z; n ẻ N; n ³ 1 thì:
 (an - bn) chia hết cho a - b nếu a ạ b.
(a2n + 1 + b2n +1) chia hết cho (a + b) nếu a ạ - b.
Các dấu hiệu chia hết
1) Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho 2 chữ số tận cùng của nó là chữ số chẵn.
2) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9): một số chia hết cho 3 (hoặc 9) tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9).
* Chú ý: một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu.
3) Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho 5 chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5.
4) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25): Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) số tạo bởi 2 chữ số tận cùng của nó chia hết cho 4 hoặc 25.
5) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125) số tạo bởi 3 chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8 hoặc 125.
6) Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 hiệu giữa tổng các chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số ở hàng chẵn tính từ trái sang phải chia hết cho 11.
Các Phương pháp giải bài toán chia hết:
(I). Để chứng minh A(n): k có thể sét mọi trường hợp về số dự khi chia n cho k.
VD: Chứng minh:
Tích của hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2
Tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 
Tổng quát: tích của n số nguyên liên tiếp chia hết cho n 
Giải 
A(n) = n (n+1)
+ Nếu n không chia hết cho 2 thì (n+1) chia hết cho 2 và ngược lại. Trong mọi trường hợp
+ A(n) luôn chứa 1 thừa số chia hết cho 2. Vậy A(n) chia hết cho 2 (đpcm).
A(n) = n(n+1)(n+2)
Xét mọi trường hợp : n chia hết cho 3; n=3q+1; n = 3q+2
+ Nếu n chia hết cho 3, hiển nhiên A(n) chia hết cho 3
+ Nếu n = 3q+1 => n+2 = 3q+3 chia hết cho 3
+ Nếu n= 3q+2 => n+1 = 3q+2+1 = 3q+3 chia hết cho 3
Trong mọi trường hợp A(n) luôn chứa một thừa số chia hết cho 3.
Vậy A(n) chia hết cho 3 (đpcm)
Giả sử dãy số đó là: a; a+1; a+2; . . . ; a+(n-1)
Giả sử trong dãy số không tại số nào chia hết cho n => Khi chia n số của dãy cho n sẽ có n-1 số dư là 1; 2; 3; . . .; n-1
Dãy có n số mà khi chia cho n lại chỉ có n-1 số dư. Vậy tồn tại ít nhất 2 số khi chia cho n có cùng số dư. Giả sử 2 số đó là: a+i; a+k (0 Ê i < k)
=> (a+k) - (a+i) chia hết cho n (k-i) chia hết cho n
mà 0 (k-i) không chia hết cho n (k-i) chia hết cho n là vô lí.
Vậy trong dãy phải tồn tại một số chia hết cho n
=> tích của cả dãy số chia hết cho n (đpcm)
(II) Để chứng minh A(n) chia hết cho k có thể phân tích k ra thừa số k = p . q
+ Nếu (p ; q) =1 ta tìm cách chứng minh
A(n) chia hết cho p và A(n) chia hết cho q
+ Nếu (p, q) khác 1 ta phân tích A(n)= B(n). C(n) rồi chứng minh B(n) chia hết cho p; C(n) chia hết cho q
VD1: chứng minh rằng A(n) = n . ( n+1 ).(n+2) chia hết cho 6 
Giải
Ta có : 6 = 2.3 ; (2;3) = 1
Theo ví dụ ở phần (I) ta có A(n) chia hết cho 2; A(n) chia hết cho 3
Vậy A(n) chia hết cho 6 (đpcm)
VD2: chứng minh rằng: tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 
Giải: A(n) = 2n( 2n + 2 ) = 4n( n+1 )
 8 = 2.4; 	( 2; 4) ạ1
Nhận xét : 4 chia hết cho 4 => 4.n(n+1) chia hết cho 4.2
 n(n+1) chia hết cho 2 =>A(n) chia hết cho 8 (đpcm)
(III) 	Để chứng minh A(n) chia hết k có thể viết A(n) dưới dạng tổng của nhiều hạng tử và chứng minh các hạng tử này đều chia hết cho k
Để chứng minh A(n) không chia hết cho k ta có thể viết A(n) dưới dạng tổng của nhiều hạng tử trong đó có duy nhất một hạng tử không chia hết cho k 
VD: Chứng minh rằng: 
A(n) = n3 - 13n chia hết cho 6
B(n) = n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8 (với mọi n lẻ)
Giải
a) A(n) = (n3 - n) - 12n = (n-1).n(n+1) - 12n
(n-1).n(n+1) chia hết cho 6 (theo ví dụ phần I)
12n chia hết cho 6
Vậy A(n) chia hết cho 6 (đpcm)
b) B(n) = n2 + 4n + 5
với n = 2k + 1 ta có: B(n) = (2k + 1)2 + 4(2k +1) + 5
B(n) = 4k(k +1) + 8(k + 1) + 2
Nhận xét: 4k(k +1) chia hết cho 8
	 8(k + 1) chia hết cho 8 => B(n) = 4k(k +1) + 8(k+1) + 2 chia hết cho 8
	 2 không chia hết cho 8
(IV) Để chứng minh A(n) chia hết cho k có thể phân tích A(n) thành nhân tử trong đó có một nhân tử bằng k.
A(n) = k . B(n).
Trường hợp này thường sử dụng các kết quả:
* (an - bn ) chia hết cho (a - b) 	với (a ạ b)
* (an - bn ) chia hết cho (a - b) 	với (a ạ ± b; n chẵn)
(an - bn ) chia hết cho (a - b) 	với (a ạ - b; n lẻ)
VD: Chứng minh rằng: 27 + 37 + 57 chia hết cho 5
Giải
Vì 7 là số lẻ nên (27 + 37) chia hết cho (2 + 3)
hay 27 + 37 chia hết cho 5
 => 27 + 37 + 57 chia hết cho 5 (đpcm)
mà 	 57 chia hết cho 5 
(V) Dùng nguyên tắc Đirichlet: 
Nếu nhốt k chú thỏ vào m chuồng ( k > m ) thì phải nhốt ít nhất 2 chú thỏ vào chung 1 chuồng.
VD: Chứng minh rằng : Trong m+1 số nguyên bất kì bao giờ cũng tồn tại 2 số có hiệu chia hết cho m .
Giải
Khi chia 1 số nguyên bất kì cho m thì số dư là 1 trong m số: 0; 1; 2; . . .; m - 1.
Theo nguyên lí Đirichlet khi chia m + 1 số nguyên cho m thì phải có ít nhất 2 số có cùng số dư. Hiệu của 2 số này chia hết cho m (đpcm).
(VI) Dùng qui nạp toán học:
VD: Chứng minh rằng: 16n - 15n - 1 chia hết cho 225
Giải
Đặt A(n) = 16n - 15n - 1.
+ Với n = 1 => A(1) = 16 - 15 - 1 = 0 chia hết cho 225 (đúng)
+ Giả sử A(n) với n = k. Tức là:
16k - 15k - 1 chia hết cho 225
Ta cần chứng minh A(n) đúng với n = k + 1
Tức là: A(k +1) chia hết cho 225 là đúng.
Xét A(k +1) = 16k + 1 - 15(k + 1) - 1
 = 16.16k - 15k - 15 -1
 = (16k - 15k -1) + (15.16k - 15)
 = A(k) + 15(16k - 1).
Do A(k) chia hết cho 225 
16k - 1 chia hết cho 16 - 1 (= 15) => 15(16k - 1) chia hết cho 225
=> A(k + 1) chia hết cho 225
Một số bài tập áp dụng
* Sử dụng phương pháp (I)
Bài tập 1: Chứng minh rằng(CMR): Trong k số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho k
Bài tập 2: CMR: Trong m số nguyên bất kì bao giờ cũng có 1 số chia hết cho m hoặc ít nhất 2 số có tổng chia hết cho m.
* Sử dụng phương pháp (II)
Bài tập 3: CMR: Tích của 1 số chính phương với số tự nhiên đứng liền trước nó là số chia hết cho 12.
Bài tập 4: CMR: A(n) = (n - 1)(n + 1).n2(n2 + 1) chia hết cho 60 " n ẻ Z
Bài tập 5: CMR: 
a) n2 + 4n + 3 chia hết cho 8	(" n lẻ)
b) n3 + 4n2 - n - 3 chia hết cho 48	(" n lẻ)
Bài tập 6: CMR: A(n) = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 (" n ẻ N)
Bài tập luyện tập: 
Bài 1. Tìm bội chung nhỏ nhất của:	
	a. 252 và 264	c. 405 và 196
	b. 88 và 693	d. 12103 và 5225
Bài 2. Cho a = 35 ; b = 124 ' c = 225
a. Tìm ƯCLN (a,b,c)
b. Tìm BCNN (a,b,c).