Sáng kiến kinh nghiệm Giải toán Lớp 9

 3 ta có : T = 4(m + 1)2 + 8(2m +10) = 4(m +3)2 + 48.
Ta luôn có: T 48. Dấu “ = ,, xãy ra khi m = -3. Vậy T nhỏ nhất là 48
b. Ví dụ 2. Cho phương trình.
(m – 1)x2 – 2(m – 4)x + m – 5 = 0 (m 1) (10)
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Giải :
 -Phươmg trình có nghiệm với = (m – 4)2 - 2(m – 1)(m – 5) 0
Hay : m2 – 8m + 16 – m2 + 6m – 5 0 m .
-Ta có: S = x1 + x2 = P = x1x2 = rút m theo x1 , x2 thế vào S ta được hệ thức: 3x1x2 – 4(x1 + x2) + 1 = 0.
đây là hệ thức độc lập với m giữa x1, x2 của phương trình với m .
*Nhận xét: Để giải bài toán này trước hết cần tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Sau đó tính S và P, nếu S và P không chứa tham số thì ta có ngay hệ thức phải tìm , nếu S và P có chứa tham số thì ta tìm cách khử tham số từ S và P rồi suy ra hệ thức phải tìm.
c. Ví dụ 3. Cho Pt: x2 + 5x + 2 = 0. Có 2 nghiệm x1; x2. Không giải Pt; hãy tính
x12 + x22 ; x13 + x23 ; x12x23 + x13x22.
Giải.
Ta có : x1 + x2 = -5 ; x1x2 = 2. Nên x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2 x1x2 = (-5)2 – 2.2 = 21.
. x13 + x23 = (x1 + x2)3 - 3x1x2(x1 + x2) = (-5)3 – 2.2.(-5) = -95.
. x12x23 + x13x22 = x12x22(x12 + x22) = -20.
Bài tập áp dụng
Bài 1. Hãy xác định vị trí của m sao cho Pt: x2 + (m – 2)x + m + 5 = 0 có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức x12 + x22 = 10.
Giải
 - Điều kiện để phương trình có nghiệm: = (m – 2)2 – 4(m + 5) 0 m2 – 8m – 16 0 m hoặc m 4 + 4.
Ta có: x12 + x22 = 10 => (x1 + x2)2 – 2x1x2 – 10 = 0 => (m – 2)2 – 2(m + 5) – 10 = 0.
Phương trình với ẩn m có nghiệm m1 = -2, m2 = 8. 
Với m = 8 ,< 0 nên giá trị này bị loại.
Với m = -2. > 0 nên m1 = -2 là giá trị cần tìm.
Bài 2. Tìm các hệ số p và q của phương trình x2 + px + q = 0 sao cho 2 nghiệm x1, x2 của phương trình thoả mãn hệ thức: 
Giải.
Điều kiện : = p2 – 4q 0 khi đó: x1 + x2 = -p ; x1x2 = q.
Do đó ta có giải hệ này tìm được p = 1 ; q = -6 và p = -1 ; q = 6 cả 2 cặp giá trị này đều thoả mãn.
Bài 3. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = .
Giải
– Pt có nghiệm với 0 hay (m + 1)2 – 2(m2 + 4m + 3) 0 => (m + 1)(m + 5) 0 -5 m 1 (*)
-Khi đó : x1 + x2 = -m – 1 ; x1x2 = do đó A = 
A = với đều kiện (*) thì (m +1)(m +7) 0 => A = . Vậy A đạt gái trị lớn nhất là khi m = -4. (Thoả mãn)
Bài tập về nhà.
Bài 1, Cho Pt: x2 – 6x +1 = 0. Gọi x1 , x2 là nghiệm của Pt. Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức:
1) x12 + x22 ; 2) ; 3) 
Bài 2. Cho Pt: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0.
a) Chứng minh rằng Pt luôn có nghiệm với mọi m ?
b) A = 2(x12 + x22) – 5x1x2.
b1) Tính giá trị của A theo m ?
b2) Tìm m biết A = 27 ?
b3) Tìm m sao cho nghiệm này gấp 2 lần nghiệm kia ? 
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào tham số m ?
Bài 3. Tìm giá trị của tham số m để phương trình x2 – mx + m + 1 = 0 có nghiệm x1 , x2 thoả mãn : x1x2 – 2(x1 + x2) – 19 = 0.
Bài 4. Cho phương trình bậc hai (k + 1)x2 – 2(k + 2)x + k – 3 = 0. Xác định k để (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18
Bài 5. Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình (k – 1)x2 – 2kx + k – 4 = 0. Không giải phương trình , hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào k.
Bài 6. Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m ?
b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m ?
c) Xác định m sao cho Pt có 2 nghiệm là hai số đối nhau ?
Bài 7. Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình: x2 – (2m – 3)x + 1 – m = 0.
Tìm giá trị của m để A = x12 + x22 + 3x1x2(x1 + x2) đạt giá trị lớn nhất.
 x2.Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó.
Nếu có 2 số u ,v có : u + v = S ; uv = P thì u và v là nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0.
Chú ý : Chỉ tìm được nghiệm của phương trình trên với điều kiện : S2 – 4P 0.
a. Ví dụ 1: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là các cặp số sau
*) và 1 - ; *) + và 
Giải
*) Ta có : s = + (1 - ) = 1 ; p = (1 - ) = - 3. Vậy Pt cần lập là : 
x2 – x + 3 - = 0.
b. Ví dụ 2. Lập phương trình bậc hai có các hệ số là số nguyên và có một nghiệm là; 
Giải:
 Phương trình cần lập có dạng : x2 + ax + b = 0 ( a ,b Z )
 Giả sử x1 = khi đó ta có: (2 - 5)2 + (2a – 20) = 0 (49 – 5a + b) + (2a – 20) = 0. 
Nếu 2a – 20 0 ta có: = là số hữu tỉ - vô lí! Vậy 2a – 20 = 0 => a = 10 khi đó b = 1. Vậy Pt cần lập là: x2 + 10x + 1 = 0.
Bài tập áp dụng.
Bài 1. Cho x = ; y = 
a. Lập phương trình bậc 2 có nghiệm là hai số x; y nói trên?
b. Tính A = x4 + y4.
Giải:
a. Ta có : x = = (3 + 2)
 y = = (3 - 2).
Do x.y = (3 + 2)(3 - 2) = 1
x + y = 3 + 2 + 3 - 2 = 6 nên x, y là 2 nghiệm của phương trình: 
b. Theo Pt trên ta có: x2 = 6x + 1 x2 + y2 = 6(x + y) – 2
x3 = 6x2 – x x4 = 6x3 – x2
Tương tự : y4 = 6y3 – y2
Vậy A = x4 + y4 = 6(x3 + y3) – (x2 + y2) mà x2 + y2 = 6(x + y) – 2 = 34
x3 + y3 = 6(x2 +y2) – (x + y) = 6.34 – 6 = 198 A = x4 + y4 = 6(x3 + y3) – (x2 + y2) = 6.198 – 34 = 1154.
Chú ý : -Tương tự có thể tính x5 + y5 ; x6 + y6.
-Với câu hỏi b), còn có thể khai triển A = x4 + y4 theo tam giác Pascan.
Bài 2. a. Tìm phần nguyên của ( 3 + 2)7
Giải
Đặt x = 3 + 2, y = 3 - 2 ta có x + y = 6 và xy = 1 x , y là nghiệm của Pt x2 – 6x + 1 = 0.
Mặt khác: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 36 – 2 = 34
x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2 – xy) = 6(34 - 1) = 198
x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2 x2y2 = 342 – 2 = 1154
x7 + y7 = (x3 + y3)(x4 + y4) – x3y3(x + y) = 198.1154 – 1.6 = 228486.
Do y = 3 - 2< 1 nên 0 < y7 < 1
 = 228486 – 1 = 228485.
Vậy ta có : = 228485.
Chú ý: - Có thể tính x7 + y7 theo cách tính tương tự như bài tập 1 trang 17. (x4 + y4; x5+ y5; x6 + y6).
b. Tương tự
Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá (7 + 4)7.
Bài tập về nhà.
Bài 1. Cho Pt: 3x2 + 7x + 4 = 0 có nghiệm . Lập phương trình bậc 2 có nghiệm và (không cần tính )
Bài 2. Cho pt : x2 + ax + b = 0 (a 0) Tìm a; b hữu tỉ để phương trình có nghiệm x = - 1.
Bài 3. Lập một Pt bậc 2 với các hệ số và số hạng tự do là số hữu tỉ và có 1 nghiệm là: x = 
 x3 Quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc hai.
a. Ví dụ 1. Tìm giá trị của a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó ? 
x2 + ax + 8 = 0 (1) và x2 + x + a = 0 (2)
Giải
Giả sử x0 là nghiệm của 2 phương trình, ta có : (a – 1)x0 + (8 – a) = 0
*Nếu a 1 thì x0 = thay vào (2) và rút gọn ta được : a3 – 24a + 72 = 0 (a +6)(a2 – 6a + 12) = 0 a = -6.
Với a = -6 thì (1) trở thành : x2 – 6x + 8 = 0
(2) trở thành : x2 + x - 6 = 0
chúng có nghiệm chung x = 2.
** Nếu a = 1 . Cả hai Pt đều vô nghiệm. Vậy với a =-6 thì hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.
b. Ví dụ 2. Cho 2 Pt : x2 + p1x + q1 = 0 (3) và x2 + p2x + q2= 0 (4) . Chứng minh rằng nếu p1p2 = 2(q1 + q2) thì ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.
Giải:
Ta có 1 = p12 – 4q1 ; 2 = p22 – 4q2 1 + 2 = p12 – 4q1 + p22 – 4q2 = p12 + p22 – 4(q1 + q2) Vì : 2(q1 + q2) = p1p2 4(q1 + q2) = 2p1p2.
Do đó: 1 + 2 = p12 + p22 – 4(q1 + q2) = p12 + p22 - 2 p1p2 = (p1 – p2)2 0. 
Điều này chứng tỏ ít nhất một trong hai biệt số 1 hoặc 2 phải không âm. Vậy ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.
Bài tập áp dụng
Bài 1 Chứng minh rằng nếu hai phương trình x2 + p1x + q1 = 0 và x2 + p2x + q2= 0 có nghiệm chung thì : (q1 – q2)2 + (p1 – p2)(q2p1 – q1p2) = 0.
Giải :
 Hai phương trình có nghiệm chung 
- Nếu p1 p2. Giải hệ được x = ; y = 
Do y = x2 = ()2 q1 – q2)2 + (p1 – p2)(q2p1 – q1p2) = 0. (đpcm)
-Nếu p1 = p2. Ta có hệ hệ này có nghiệm q1 = q2. Đẳng thức đã cho có dạng 0 = 0. (hiển nhiên đúng)
Bài 2. Cho a, b là nghiệm của Pt: x2 + px + 1 = 0 và b , c là nghiệm của pt: x2 + qx + 2 = 0. Chứng minh rằng: (b – a)(b – c) = pq – 6.
Giải :
Theo định lí Viét ta có và do đó : (b – a)(b – c) = b2 + ac – 3
pq – 6 = (-p)(-q) – 6 = (a + b)(b + c) – 6 = b2 + ac – 3. Vậy (b – a)(b – c) = pq – 6.
Bài tập về nghà.
Bài 1. Tìm giá trị của tham số m để hai phương trình bậc hai x2 + mx + 1 = 0 và x2 + x + m = 0 có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 2. Với giá trị nào của k thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung? tìm nghiệm chung đó.
2x2 + (3k + 1)x – 9 = 0
6x2 + (7k – 1)x – 19 = 0.
Bài 3. Chứng minh rằng nếu a + b 2 thì trong hai phương trình x2 + 2ax + b = 0 và ax2 + bx + a = 0 phải có ít nhất 1 phương trình có nghiệm.
Bài 4. Cho các phương trình: ax2 + bx + c = 0 và ax2 + bx – c = 0
a) Tìm điều kiện để 2 Pt trên có ít nhất 1 nghiệm chung.
b) giả sử p ; q và m; n theo thứ tự là cặp nghiệm của 2 pt nói trên. Chứng minh (p – q)2 + (m – n)2 = 2(p + q)2.
III. Vấn đề 3. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước.
 x1. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0.
a) Theo định lí Viét; ta biết rằng phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm x1 ; x2 thì S = x1 + x2 = ; P = x1x2 = do đó điều kiện Pt bậc 2
- Có nghiệm dương: 0 , P > 0, S > 0.
- Có 2 nghiệm âm : > 0, P > 0, S < 0.
- Có 2 nghiệm trái dấu : P 0).
b). Nếu bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc hai ( a 0) có ít nhất một nghiệm không âm, ta có thể thực hiện:
- Cách 1. Xét P = . Pt có ít nhất 1 nghiệm không âm nếu: 
+P < 0 ( hai nghiệm trái dấu ).
+P = 0 ( có 1 nghiệm bằng 0; 1 nghiệm dương hoặc âm ).
+P > 0 ; 0, S > 0 ( 2 nghiệm đều dương ).
- Cách 2. Xét S = . Trước hết phải có 0 khi đó phương trình có ít nhất một nghiệm không âm nếu:
+Có S > 0 ( có 1 nghiệm dương ).
+S = 0 ( 2 nghiệm đối nhau )
+S < 0 ; P 0 ( có 1 nghiệm không âm ; 1 nghiệm âm )
- Cách 3 . Tìm nghiệm của phương trình rồi giải điều kiện tồn tại nghiệm không âm.
c) Ví dụ 1. Cho phương trình 2x2 + 3x + a = 0. (1)
*)Tìm a để Pt có nghiệm ?
**) Chứng minh rằng nếu Pt có nghiệm thì nó có ít nhất 1 nghiệm âm ?
***) Xác định a để Pt có cả 2 nghiệm âm ? Tìm điều kiện để 2 Pt trên có ít nhất 1 nghiệm chung.
Giải
*). 0 9 – 8a 0 a . Với a thì (1) có nghiệm 
**). Xét tổng các nghiệm : S = - < 0 Pt có ít nhất 1 nghiệm không âm.
***). Để Pt có 2 nghiệm âm thì 0 ; S 0 nên ta cần
 0 < a . Vậy với 0 < a Pt (1) có 2 nghiệm âm.
Ví dụ. * Xét giá trị của m để Pt sau có ít nhất 1 nghiệm x 0. 
(m + 1)x2 – 2x + (m – 1) = 0 (2)
Giải
* Xét m = -1 Pt (2) trở thành: -2x = 2 x = -1 (loại)
**) Điều kiện để (2) có nghiệm là: 0 1 – (m + 1)(m – 1) 0 2 – m2 0 -. Xét S = x1 + x2 = có 2 trường hợp
.Nếu m > -1 S > 0 (2) có ít nhất 1 nghiệm dương.
.Nếu m < -1 S < 0 P = (2) có 2 nghiệm âm.
Vậy giá trị cần tìm của m là 
Bài tập áp dụng.
Bài 1 Cho Pt: x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 (m – tham số)
a) Chứng minh Pt có nghiệm với mọi m.
b) Xác định m để Pt có 2 nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.
Giải:
 a) = (m - 1)2 - (m - 3) = (m - )2 + > 0.
Vậy Pt luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Điều kiện để Pt có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối là:
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Bài 2. Tìm giá trị của m để Pt sau có 4 nghiệm phân biệt 
x(x – 2)(x + 2)(x + 40 = m
Giải
 + Pt trên trở thành: (x2 + 2x)(x2 + 2x – 8) = m
Đặt x2 + 2x + 1 = y Pt trên tương đương (y – 1)(y – 9) = m y2 – 10y + (9 – m) = 0.
Để Pt ban đầu có 4 nghiệm thì Pt ẩn y phải có 2 nghiệm dương phân biệt
Vậy với –16 < m < 9 thì Pt đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
Bài tập về nhà.
Bài 1. Tìm m để phương trình x2 + mx + 2m – 4 = 0 có ít nhất 1nghiệm không âm?
Bài 2. Cho Pt: x2 - 2(k - 1)x + 2k + 5 = 0.
a) Chứng minh rằng phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi k.
b) Tìm k để phương trình có 2 nghiệm trái dấu , khi đó 2 nghiệm mang dấu gì?
Bài 3. Tìm a để Pt sau có nghiệm và xét dấu các nghiệm của Pt đó.
x2 – (2a + 1)x + a2 + a = 0.
Bài 4. Tìm a để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt.
x4 – (a + 2) x2 + a = 0.
 x2. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số .
a. Ví dụ 1. Xác định m để Pt (m + 1)x2 - 2(m + 2)x + 2(m + 1) = 0 (1)
Có ít nhất một ngiệm lớn hơn hoặc bằng 1.
Giải:
Đặt y = x – 1 Pt (1) trở thành: (m + 1)x2 – 2x + (m – 1) = 0. (1’)
Ta cần tìm m để (1’) có ít nhất một nghiệm x 0 . Thực hiện tượng tự như VD 2 (Vấn đề 3. x1) ta được ; -1 < m 
b. Ví dụ 2. Cho Pt: (2m – 1)x2 - 4mx + 4 = 0. (2)
Tìm m để pt có 1 nghiệm đúng bằng m.
Giải
*) = (2m)2 - 4(2m - 1) = 4(m - 1)2 0 . Vậy phương trình luôn cớ nghiệm.
**) 2 nghiệm của Pt là x1 = 2 ; x2 = , để Pt có đúng 1 nghiệm bằng m thì:
m = 2 hoặc m = m = 
***) Nếu m = thì Pt (2) trở thành –2x + 4 = 0 x = 2 (giá trị m = không thoả mãn)
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho Pt: x2 + ax + b = 0. Tìm a, b sao cho các nghiệm của Pt cũng là a và b.
Giải:
 - Điều kiện để Pt có nghiệm là: a2 - 4b 0.
 -Theo định lí Viét ta có: cả 2 giá trị thoả mãn.
Bài 2. Tìm giá trị của m để Pt sau có 1 và chỉ có 1 nghiệm x m
2x2 - 2mx + m2 - 1 = 0
Giải
 Đặt x - m = y Pt trên trở thành 2y2 + 2my + m2 - 1 = 0 (*). Cần tìm m để Pt ẩn y có 1 nghiệm thoả mãn y 0
-Nếu Pt (*) có nghiệm kép, nghiệm đó phải không âm m = -.
-Nếu Pt (*) có 2 nghiệm trái dấu (1 có nghiệm âm; 1 nghiệm dương)
 P < 0 
-Nếu Pt (*) có 1 nghiệm bằng 0; nghiệm còn lại âm.
 . Vậy m = - hoặc - 1 < m 1.
Bài tập về nhà.
Bài 1. Tìm m để Pt: (m - 1)x2 - (m - 5)x + m - 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn -1.
Bài 2. Tìm m để Pt:
a) Pt : 3x2 - 4x + 2(m - 1) = 0 có 2nghiệm phân biệt nhở hơn 2.
b) Pt : x2 + x + m = 0 có 2 nghiệm đều lớn hơn m. 
IV vấn đề 4. ý nghĩa hình học.
 1. Đồ thị của hàm số bậc hai 
Cho hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a 0) (y = f(x) = ax2 + bx + c) đồ thị hàm số:
+ Là một parabol (P) với bề lõm:
O . .>
C . .>
y
x
h1c
- Quay về phía trên nếu a > 0 (h1a, h1b, h1c).
O . .>
C . .>
y
x
h1b
O . .>
C . .>
y
x
h1a
x
O
 . .>
C . .>
y
h1a
 h2a
O
 . .>
C . .>
y
x0
x
 h2b
x0
x1
x2
O
 . .>
C . .>
y
h1a
 h2c
x1
x2
 - Quay về phía dưới nếu a < 0 (h2a, h2b, h2c)
a.Nhận xét: 
- Parabol (P) có thể không cắt trục hoành (không có điểm chung : h1a , h2a)
- (P) có thể tiếp xúc với trục hoành (có 1 điểm chung : h1b ,h2b)
- (P) có thể cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt ( có 2 điểm chung : h1c, h2c)
b.Đặc điểm của giao điểm .
Mọi điểm của (P) đều có toạ độ (x; y = ax2 + bx + c ) . Mọi điểm của 0x có toạ độ 
 (x; y= 0 ) . Giao điểm của (P) và 0x phải có đồng thời các toạ độ trên 
 ax2 + bx + c = 0. (a 0) 
Kết luận . Nghiệm của pt : ax2 +bx +c = 0 là hoành độ các giao điiểm của (P ) với trục 0x . 
- (P) cắt 0x tại 2 điểm Pt có 2 nghiệm phân biệt 
(P) cắt tiếp xúc với 0x Pt có nghiệm kép.
(P) không cắt 0x Pt vô nghiệm.
2. Quan hệ giữa (P) và đương thẳng (d) y = px + q.
a. Nhận xét. –Mọi điểm của (P) có toạ độ (x ; y = ax2 + bx + c)
- Mọi điểm của (d) có toạ độ ( x; y = px + q).
- Giao điểm của (P) và (d) phải có đồng thời các toạ độ trên ax2 + bx + c = px + q
b. Kết luận.
- Pt trên có 2 nghiệm phân biệt (P) tiếp xúc với (d) tại 2 điểm phân biệt. (h3a)
- Pt có 1 nghiệm kép (P) tiếp xúc với (d) . (h3b)
- Pt vô nghiệm (P) không cắt (d). (h3c)
(d)
O
x
y
(p)
h3a
O
x
y
(p)
h3b
(d)
O
x
y
(p)
h3c
(d)
Bài tập áp dụng.
Bài 1. Cho (P) có Pt: y = x2 – 3x + 2 và y = a.
a) Với giá trị nào của a thì (P) và (d) cát nhau tại 2 điểm phân biệt .
b) Chứng tỏ rằng nếu a > 2 thì đường thẳng cắt (P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của trục 0y.
Giải
a). Điều kiện cần thoả mãn là Pt: x2 – 3x + 2 = a có 2 nghiệm phân biệt x2 – 3x + 2 – a = 0 có 2 nghiệm phân biệt = 4a + 1 > 0 a > .
b). Nếu 4.2 + 1 = 9 Pt có 2 nghiệm phân biệt. Do x1.x2 = 2 – a < 0 nên 2 nghiệm trái dấu, nên giao điểm nằm về 2 phía đối với trục 0y.
Bài 2. Cho hàm số ; y = 2x2 – 6x + 1 – m (P) và đường thẳng y = x + 1 (d).
a. Tìm điều kiện của m để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt? Xác định toạ độ giao điểm?
b. Xác định trung điểm I của đoạn thẳng nối 2 giao điểm ấy?
Giải:
 a) - Điều kiện để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt là: Pt 2x2 – 6x + 1 – m = x + 1 có 2 nghiệm phân biệt 2x2 – 7x – m = 0 > 0 m < -.
-Toạ độ của giao điểm là:
Điểm A : Điểm B : 
b). Trung điểm I của đoạn AB nói trên có hoành độ là xI = , tung độ là :yI = 
Bài tập về nhà.
Bài 1. Cho (P) có phương trình y = x3 – 3x – 1 và đường thẳng (d) đi qua điểm A (. Xác định k để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) (k là hệ số góc của đường thẳng d)
Bài 2. Cho (P) có Pt: y = mx2 – 2mx + m – 1. Chứng minh rằng (P) luôn tiếp xúc với một đường thẳng d cố định? Xác định đường thẳng đó.
c. Kết quả thực nghiệm
 1.Về kĩ năng nắm kiến thức và kĩ năng giải bài tập của học sinh.
- Qua quá trình nghiên cứu giảng dạy một số năm đồng thời nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo liên quan, tôi đã có sự chọn lựa bài tập phù hợp với nội dung từng vấn đề và cũng đảm bảo tính chất tổng hợp kiến thức kiên hệ giữa các vấn đề một cách có hệ thống. Nội dung bài tập được sắp xếp phù hợp với diện rộng học sinh và trong phạm vi kiến thức nhất định, đối với các bài tập tôi chỉ xin nêu ra phương pháp giải thường sử dụng nhất phù hợp với khả năng tiếp thu của đa số học sinh. Bên cạnh những bài tập ở mức độ áp dụng lí thuyết cơ bản – mức độ trung bình tôi cũng nêu ra một số bài nâng cao để các em học sinh phát huy khả năng sáng tạo tư duy độc lập của bản thân, giúp các em học sinh trung bình vươn lên học khá giỏi, giúp các em học sinh khá giỏi nắm được kĩ năng cơ bản để từ đó giải quyết được những bài toán khó hơn và đáp ứng cả yêu cầu cơ bản và nâng cao trong các kì thi tốt nghiệp THCS và thi tuyển vào THPT.
 2. So với cách truyền đạt khi chưa áp dụng kinh nghiệm này.
Qua sự cố gắng nỗ lực trong giảng dạy và áp dụng kinh nghiệm này một cách kiên trì, bền bỉ, đã hình thành ở học sinh khả năng nắm kiến thức chắc chắn hơn, học sinh có cách nhìn sâu rộng hơn để tìm ra hướng làm với nhiều cách diễn đạt đề bài khác nhau.
Qua thực tế bài kiểm tra cuối học kì II của học sinh năm học 2001 – 2002 có tiến bộ rõ rệt so với năm học trước.
Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung bình
Lớp 9A (2000 – 2001)
40
8
22
10
Lớp 9A (2001 – 2002)
42
12
21
9
D.Bài học kinh nghiệm
Vì điều kiện thời gian luyện tập ở lớp rất hạn chế cũng như mức độ nắm kiến thức của học sinh nên việc đưa ra đồng loạt các vấn đề nêu trên là rất khó, nên theo ý kiến cá nhân tôi trong những giờ luyện tập ngoài lượng bài tập sách giáo khoa giáo viên lần lượt đưa ra các vấn đề trên yêu cầu học sinh tìm hiểu và thực hiện ví dụ sau đó giáo viên có thể tổng kết lại trong giờ ôn tập. Từ đó học sinh có thể tiếp thụ một cách chủ động và nhớ lâu, đồng thời các em có kĩ năng giải bài tập với nhiều dạng phong phú hơn, tạo nên niềm tin và quyết tâm học tập của các em. 
Bản thân giáo viên cũng cần nỗ lực động viên các em chủ động tìm tòi lĩnh hội kiến thức đặc biệt là đối với phương pháp dạy học đổi mới.
e. Lời kết
Bản thân tôi đã có gắng, nỗ lực kiên trì áp dụng kinh nghiệm này song với thời gian giảng dạy chưa nhiều và những yếu tố chủ quan của bản thân cũng như điều kiện về học sinh, chắc chắn kinh nghiệm này không tránh khỏi những hạn chế. Tôi rất mong được sự giúp đỡ, bổ sung đóng góp ý kiến của tổ chuyên môn, của nhà truờng và các đồng nghiệp để kinh nghiệm của tôi hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Thái sơn, ngày 26 tháng 01 năm 2003.
Người viết
Phạm Văn Bằng
( :825088
Mục lục
Trang
A. Đặt vấn đề
1
B. Biện pháp thực hiện
2
B1. Lý thuyết cơ bản 
2
B2. Một số vấn đề về nghiệm của phương trình bậc hai
3
I. Vấn đề 1. Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm
4
x1. Các cách chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm
4
x2. Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để chứng minh một hệ có nghiệm.
6
II. Vấn đề 2. Qua hệ giữa các nghiệm trong một phương trình bậc 2
7
x1. Quan hệ giữa 2 nghiệm trong một phương trình bậc hai
7
x2. Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của nó.
9
x3. Quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai.
11
III. Vấn đề 3. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước.
12
x1. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0.
12
x2. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số .
14
IV. Vấn đề 4. ý nghĩa hình học.
14
x1. Đồ thị của hàm số bậc hai.
14
x2. Quan hệ giữa đồ thị của hàm số bậc hai (P) và đường thẳng (d)
17
C. Kết quả thực nghiệm
18
D. Bài học kinh nghiệm.
18
E. Lời kết.
19