Sáng kiến kinh nghiệm Giải toán Lớp 7

C. nội dung
 Để giải bài toán bằng nhiều cách đòi hỏi học nắm vững kiến thức cơ bản .Giáo viên người hướng dẫn và dẫn dắt học sinh phân tích và tổng hợp kiến thức để học sinh có thể tìm được những cách giải hay cho bài toán .Sau đây là một số bài toán quen thuộc đối với học sinh lớp 7 được giải bằng nhiều cách .
 I. Bài toán :
 1.Bài toán 1
 Trong một tam giác nếu trung tuyến ứng với một cạnh và bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông .
 Chứng minh :
 + Cách 1: Dùng kiến thức của tam giác cân .
Ta có : AM = BM = MC = BC (gt)
 D ABM và DAMC cân 
éB =é A1; é C =é A2
éA1 + éA2 = 900
Vậy tam giác ABC vuông tại A
 Đường trung bình của tam giác được giới thiệu trong chương trình lớp 8 .Tuy nhiên học sinh có thể chứng minh được các định lí sau bằng kiến thức Hình học 7
 Định lí 1: 
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba 
 Định lí 2:
Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy 
 Trong đề tài này tôi không đưa ra cách chứng minh hai định lí mà nêu ra để áp giải các bài toán
 + Cách 2: Dùng kiến thức đường trung bình trong tam giác 
 Kẻ MN// AC .Khi đó :
 éBMN = é ACM (1)
é NMA = é MAC (2) 
DMAC cân (vì AM =MC (gt)) 
=> éACM = é MAC (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra : é BMN = é NMA 
 MN là tia phân giác của DMAB cân
 MN AB (4)
Mà: MN // AB (5)
Từ (4) (5) suy ra : ACAB
Vậy tam giác ABC vuông tại A
+ Cách 3 : Lấy B' thuộc tia đối của tia BA sao cho :
 AB = AB'
 Ta có AM là đường trung bình của DBCB,
ý
 = => B'C = BC 
=> DCB'B cân tại C có AC là đường trung tuyến
 nên suy ra : AC BB, AC ^ AB
 Vậy tam giác ABC vuông tại A
+ Cách 4 : 
 Dùng hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông 
 Kẻ tia xy // BC
Ta chứng minh được tia AB ,AC
là hai tia phân giác của góc xAM và yAM	
 éA1 = éA2; éA3 = éA4
 é A2 + éA3 = 900 => BAC = 900
 Vậy tam giác ABC vuông tại A
 + Cách 5 : Dùng phương pháp chứng minh phản chứng.
 Giả sử góc : A < 900
 Từ DABM và DAMC cân ta có :
 éB =é A1; éA2 = é C 
 => éB + éC < 900
 é A + éB + éC < 1800 (Điều này vô lí)
Chứng minh tương tự :
 Nếu góc A > 900
=> é A + éB + éC > 1800 (Điều này vô lí )
 Vậy góc A=900 suy ra DABC vuông tại A 
 + Cách 6: Dùng kiến thức 
 Trường hợp bằng nhau của tam giác (c.c.c ); (c.g.c)
 Trên tia đối của MA lấy MA=MD 
 Xét DAMB và DDMC có :
MD = MA (gt)
é BMA = é DMC (đối đỉnh ) DAMB = DDMC (c-g-c)
 MB =MC (gt)
=> éABC = éBCD => AB // CD ( Vì cặp góc so le trong bằng nhau)
=> é BAC + é DCA = 1800 (1)
Xét DABC và DCDA có :
ý
AB =CD (vì DAMB =DDMC)
BC = AD (gt) DABC = DCDA(c.c.c)
AC cạnh chung
=> éBAC = éBCA (2)
 Từ (1)(2) suy ra : góc BAC =900
 Vậy tam giác ABC vuông tại A
Tóm lại: Qua bài toán trên học sinh nắm được hệ thống kiến thức về tam giác cân, đường trung bình trong tam giác, tia phân giác, trường hợp bằng nhau của tam giác và các phương pháp chứng minh. Đồng thời học sinh có thể áp dụng nội dung bài toán để giải các bài tập hình học khác.
2. Bài toán 2 : 
 Cho tam giác ABC cân ở A . Gọi AM là phân giác ngoài của góc A. Chứng minh rằng :AM//BC
 GT Cho DABC có AB=AC
 éDAM = éMAC
 KL AM// BC
Chứng minh :
+ Cách 1: Dựa vào cặp góc so le trong 
 Ta có: éDAC = éB + éC 
 (Vì góc DAC là góc ngoài của DABC)
 mà éB = éC (gt)
=> éB = éC = 1/2é DAC (1) 
 éADM = é MAC = 1/2é DAC (tính chất tia phân giác ) (2)
Từ (1)(2) => AM // BC (vì cặp góc so le trong bằng nhau)
+ Cách 2: Dựa vào cặp góc đồng vị 
 Chứng minh tương tự cách 1 :
 suy ra : éMAC =é B => AM // BC ( vì cặp góc đồng vị bằng nhau )
 + Cách 3 : Dựa vào cặp góc trong cùng phía bù nhau 
 Ta có: éDAC = éB + éC (Vì góc DAC là góc ngoài của DABC)
 mà éB = éC (gt)
éB = éC = 1/2é DAC (1) 
 é AMC=1/2é DAC (tính chất tia phân giác ) (2)
 	Trong DABC : é BAC + éB + éC = 1800 (3)
Từ (1)(2)(3) suy ra : é BAC + éB + éAMC = 1800 hay
 é MAB +é B = 1800 => AM //BC (Vì cặp góc trong cùng phía bù nhau )
D
 + Cách 4: Sử dụng tính chất đường trung bình 
 Trên tia đối của tia AB lấy AD=AB
 AD =AC (1) DADC cân tại A có 
M
A
 AM là tia phân giác (gt)AM là trung tuyến 
 MC=MD (2)
 Từ (1)(2)AM là đường trung bình của DBDC 
 AM// BC	
B
C
 + Cách 5 : Dùng tính chất của tam giác cân 
 Kẻ AHBC(1)
AH là đường phân giác của góc A
 éHAM = 90 0 
(Góc tạo bởi 2 tia phân giác của 
hai góc kề bù )
 HA AM(2)
 Từ (1) và (2) ta có : AM//BC 
Tóm lại: Bài toán 2 giúp học sinh hế thống được các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song. Ngoài ra tìm thêm được một phương pháp mới đó là sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác.
3.Bài toán 3:
 Cho tam giác ABC trung tuyến AM, gọi I là trung điểm của AM ,các đường thẳng CI và AD cắt nhau tại D .Chứng minh rằng AD=1/3AB.
 GT Cho DABC có MB =MC 
 IA=IM; AB cắt CI tạiD
 KL AD=1/3AB
Chứng minh :
+ Cách 1 : Sử dụng định lí về đường trung bình .
 Kẻ ME // CD 
 Dễ dàng chứng minh được :
 BE = ED; ED= AD
 AD = DE = BE
 Vậy AD= 1/3 AB
+ Cách 2 
 Từ B đường thẳng song song với AM cắt CD tại K
 Lấy điểm P và Q là trung điểm của BK và BD 
 Ta chứng minh được DBPQ =DADI
 	BQ=QD=AD
 Suy ra: AD=1/3AB
 + Cách 3:
 Kẻ MN// AB 
 MN là đường trung bình của DDBC
 MN=BD(1) 
 Dễ dàng chứng minh được DAID =DMNI(g c g )
 	MN=BD(2)
 Từ (1) và (2) AD=1/2BD hay AD=1/3AB