Sáng kiến kinh nghiệm Giải toán bằng cách lập phương trình

I/ đặt vấn Đề 
1- Phương trình là một nội dung quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Dạy học về vấn đề phương trình không dừng ở việc dạy giải phương trình mà vấn đề cần qua tâm là dạy học “ Giải toán bằng cách lập phương trình”.
	Việc dạy giải toán bằng cách lập phương trình giúp học sinh thấy được tác dụng thực tế của lý thuyết phương trình trong khoa học đời sống.
	2- “Giải toán bằng cách lập phương trình”là một trong những nội dung của cấu trúc các đề thi tốt nghiệp THCS hàng năm. Không những thế, trong các đề thi chọn lọc học sinh giỏi những năm trước đậy thường xuất hiện nội dung này. Vậy mà, trong những năm gần đây, vai trò của dạng toán giải bằng cách lập phương trình bị giảm đi ít nhiều, do đó giáo viên phổ thông cũng ít chú ý tới rèn kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình.
	3- Học sinh, nếu có kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình, nhất là đối với phương trình bậc nhất và bậc hai thì thông qua đó rèn luyện khả năng toán học hoá các tình huống thực tế và ý nghĩa thực tế ở những bài toán có nội dung vật lý, kỹ thuật, làm quen với bài toán tối ưu, đơn giản và ứng dụng kỹ thuật về giải phương trình. Học sinh được phát triển tư duy về thuật toán, rèn luyện tính quy củ, khoa học, tính kỹ thuật trong giải toán, giáo dục đức tính cẩn thận, chính xác, thói quen kỹ thuật.đó là những phẩm chất không thể thiếu được của người lao động mới đang tiếp cận thế kỷ XXI – thế kỷ bùng nổ thông tin và trí tuệ.
	4- Mỗi giáo viên toán đều nhận thức vai trò của loại toán này, trong tình trạng hiện nay, học sinh coi loại toán này là những bài toán “ khó chơi”, ngay cả với các em khá giỏi ở trường chuyên lớp chọn.
	Những lý luận sơ bộ trên đầy đủ chứng tỏ vai trò quan trọng của việc dạy học giải toán bằng cách lập phương trình trong quá trình rèn luyện khả năng tư duy toán học cho học sinh. Sau đây là nội dung của một vài phương pháp, cách thức góp phần rèn luyện kỹ năng giải loại toán bằng cách lập phương trình
II- Nội dung thực hiện
	1- Giải toán bằng cách lập phương trình là bài toán dựa vào các điều kiện đã cho của đầu bài để lập phương trình bậc nhất một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và phương trình bậc 2 một ẩn, đi tìm đại lượng nào đó theo yêu cầu của đầu bài.
	2- Quy tắc giải toán bằng cách lập phương trình gồm các phần sau đây.
	a) Lập phương trình của bài toán gồm các việc:
	- Chọn ẩn
	- Dùng ẩn và các số đã biết để biểu thị các số liệu chưa biết khác trong bài toán.
	b) Giải phương trình
	c) Nhận xét kết quả và trả lời
	Như vậy, trong việc giải toán bằng cách lập phương trình thì khâu mấu chốt là dạy học sinh biết cách “ Lập phương trình” xuất phát từ tình huống thực tế của bài toán. Để làm được điều đó vấn đề quan trọng là dạy cho học sinh biết xem xét những đại lượng trong các mối quan hệ với nhau, phát hiện những mối quan hệ về lượng giữa chúng để trên cơ sở đó có thể biểu thị được các đại lượng này qua đại lượng khác và từ đó đi lập phương trình.
	III- Rèn luyện khả năng giải toán bằng cách lập phương trình
	Ta hãy xét một vài bài toán sau đây làm ví dụ:
	“ Một xí nghiệp dự định sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do thi đua nên xí nghiệp đó đã sản xuất tăng năng suất thêm 5 sản phẩm mỗi ngày và do đó hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 6 ngày . Tính năng suất dự kiến của xí nghiệp đó” ( Đại số 9)
	Trước hết hướng dẫn học sinh ký hiệu x là năng suất dự kiến của xí nghiệp. Bằng cách gợi ra mối quan hệ
	“ Năng suất dự kiến + 5 = năng suất thực tế”
	Ta có thể hướng dẫn học sinh đi đến biểu thị năng suất thực tế qua năng suất dự kiến là x + 5 . Trên cơ sở giúp học sinh phát hiện mối quan hệ: 	“ Tổng sản lượng = năng suất x thời gian sản xuất”. Có thể dẫn dẵt học sinh biểu thị thời gian dự kiến là: 
 và thời gian sản xuất thực tế là 
Bằng cách gọi mối quan hệ về thời gian dự kiến bớt đi 6 ngày và thời gian sản xuất thực tế có thể giúp học sinh đi đến lập phương trình:
	- 6 =
	Qua ví dụ minh họa trên ta thấy, trong việc dạy học giải toán bằng cách lập phương trình cần xoáy vào hai khâu mấu chốt sau đây:
	III.1: Rèn luyện cho học sinh khả năng phát hiện những hệ thức giữa các đại lượng trong bài toán:
	Thông qua các ví dụ ( có thể lấy ví dụ trong sgk) cần làm cho học sinh ý thức được rằng những mối liên hệ giữa các đại lượng trong bài toán có thể chia ra làm 2 loại.
Những mối liên hệ cụ thể ở bài toán đó
Những mối liên hệ tổng quát có tính chất quy luật
Thuộc về loại thứ nhất có thể kể như sau: “lấy ví dụ trên làm cơ sở”
- Năng suất dự kiến + 5 = Năng suất thực tế
- Thời gian dự kiến - 6 = Thời gian thực tế
Hoặc ở bài toán khác:
“ Vận tốc của máy bay quân sự gấp 3 lần vận tốc máy bay dân dụng. Nếu một máy bay dân dụng và một máy bay quân sự cất cánh cùng một lúc từ 2 sân bay cách nhau 950 km và bay ngược chiều nhau. Sau nửa giờ 2 máy bay cách nhau 150 km. Tính vận tốc của mỗi máy bay”.
Loại thứ nhất này là một yêu cầu quan trọng và quyết định sự thành hay bại của bài toán. Có thể nói điều này là thước đo năng lực năng học giải toán bằng cách lập phương trình . 
Thuộc về loại thứ hai có thể nêu như sau
- Tổng sản lượng = Năng suất x thời gian sản xuất
- Đường đi = Vận tốc x Thời gian ( trong chuyển động đều)
- Nửa chu vi = Chiều dài x chiều rộng.
Trong khi mối liên hệ thứ nhất được nêu ra trong bài toán thì mối liên hệ thứ hai được coi là kiến thức học sinh phải nắm vững, những mối liên hệ này không được nêu ra trong bài toán mà học sinh phải dựa vào vốn kiến thức của mình để phát hiện ra chúng .
Muốn trang bị đầy đủ vốn kiến thức này cho học sinh, người giáo viên cần khái quát hoá lại cho các em các kiến thức có liên quan đến các dạng toán thường gặp trong chương trình ( đặc biệt những bài toán khó thuộc dạng khó).
Ví dụ như:
1- Toán chuyển động
a- Chuyển động thẳng
Bài toán về chuyển động đều ta cần chú ý các đặc điểm sau
+ Trên quãng đường đi ở mọi thời điểm vận tốc luôn không đổi => sử dụng công thức
 S = v.t
+ Sự quay lại của một vật chuyển động được xem là tức thời ( tức là xảy ra với thời lượng không đáng kể) , vận tốc khi đó cũng thay đổi tức thời
+ Nếu	 vật chuyển động xuôi dòng nước thì
	Vt = Vr + Vn
Vật chuyển động ngược dòng thì
	Vt = Vr - Vn
( Vt : Vận tốc thực ; Vr : vận tốc riêng ; Vn: vận tốc dòng nước )
+ Nếu bài toán cho vận tốc của Bè thì vận tốc của Bè là vận tốc của dòng nước 
+ Trong bài toán chuyển động thẳng đều có thể gặp các điều kiện sau đây :
- Hai vật chuyển động ngược chiều để gặp nhau => S là khoảng cách ban đầu.
v1, v2: Vận tốc các vật thì thời gian gặp nhau bằng : 
- Hai vật chuyển động đuổi nhau ( cùng chiều ) thì thời gian để vật thứ nhất đuổi kịp vật thứ hai là: 
b- Bài toán về chuyển động trên đường tròn:
- Nếu hai vật chuyển động ngược chiều nhau thì khoảng thời gian cần gặp nhau là 
	- Nếu hai vật chuyển động cùng chiều thì khoảng thời gian giữa các lần gặp nhau là : 
	Ví dụ 1: Hai người đi bộ khởi hành từ 2 địa điểm A và B cách nhau 54 km. Họ đi ngược chiều nhau sau 6 giờ thì gặp nhau. Để đi 1km người đi từ A tốn ít hơn người đi từ B là 3 phút. Tính vận tốc của mỗi người
	* Thuộc về loại thứ nhất có thể kể
	Tổng vận tốc 2 người là : 54km : 6 = 9km/h
	- Để đi 54km người đi từ A kém người đi từ B khoảng thời gian là :
	54km : 3 phút/km = giờ
	* Thuộc về loại thứ hai có thể nêu là:
	 Quãng đường	
Thời gian = 
	 Vận tốc
	Trên cơ sở đó gọi x là vận tốc của người đi từ A ( 0< x < 9 )Ta có phương trình
	2- Loại bài toán tính công và hiệu suất lao động:
	Trong loại toán này ta thường gặp các đại lượng sau đây
	t : thời gian cần để thực hiện công
	N : Hiệu suất lao động là công thực hiện trong 1 đơn vị thời gian:
	A: Công thực hiện trong thời gian t
	Ta có công thức: A = N x t
	* Những bài toán bơm chất lỏng vào bể ta có thể coi là bài toán thuộc loại này, khi đó ta xác định được thể tích bơm nước được chính là công thực hiện .
	Ví dụ 2: Hai vòi nước cùng chảy vào bể sau 1 h 20 phút đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy 1 mình sau bao lâu thì đầy bể.
	Kiến thức thuộc về loại thứ nhất:
	+ Hiệu suất vòi 1 x 10 phút + hiệu suất vòi 2 x 12 phút = bể
	+ Hiệu suất vòi 1x 1giờ 20 phút + hiệu suất vòi 2 x1 giờ 20phút = 1 bể 
	Kiến thức thuộc về loại thứ hai
	 Công A
	Hiệu suất lao động = 	 ( trong đó A = 1)	
	 Thời gian làm
	Trên cơ sở đó ta lập được hệ :
	(x , y : thời gian vòi 1 và vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là 1 giờ 20 phút = 80 phút)
	3- Loại toán về tỷ lệ %, việc giải loại toán này cần chú ý các điểm sau
	Một đại lượng nào đó lúc đầu có giá trị A0. Sau một khoảng thời gian nhất định t1 nào đó đại lượng này tăng p% thì giá trị của đại lượng lúc đó là
	A = A + A
	Sau một khoảng thời gian t1 tiếp theo nữa thì giá trị của đại lượng lúc này là :
	A = A + A
	Tổng quát sau một khoảng thời gian n x t1 thì giá trị của đại lượng đó là :
	A= A ( 1+)
	Ví dụ 3: Giả sử một thành phố hiện tại có 42436 người và hàng năm dân số tăng 3 %. Tính xem cách đây 2 năm dân số thành phố là bao nhiêu ?
	* Kiến thức này thuộc loại thứ nhất:
	Sau 1 năm số dân gấp: 1+3/100 = 1,03 lần so với dân số ban đầu
	Sau 2 năm gấp: ( 1,03)2 lần
	Mà số dân sau 2 năm là 42.436 người
	* Kiến thức thuộc loại thứ hai
	Công thức : Từ đó ta xây dựng được phương trình
	42436= x . 
	4- Các bài toán về nông độ và hàm lượng phần trăm
	* Giải bài toán thuộc loại này ta cần chú ý các điểm sau
	Giả sử có 3 chất khác nhau: A, B ,C với khối lượng lần lượt là MA, MB, Mc khối lượng của hỗn hợp hợp thành từ 3 chất đó là :
	MA + MB + Mc
	- Nồng độ khối lượng chất A trong hốn hợp đó là CA được tính theo công thức:
	CA= 
	Tương tự 
	CB = 
	CC = 
	Hiển nhiên: CA + CB + CC= 1
	- Hàm lượng phần trăm của các chất A, B, C trong hốn hợp đã cho là các lượng PA% , PB%, PC% tương ứng theo công thức:
	PA% = CA. 100%, PB% = CB.100%, PC% = CC. 100%
	- Nồng độ thể tích của các chất trong hốn hợp được rút theo công thức giống như nồng độ khối lượng nhưng thay các khối lượng MA, MB, Mc bằng thể tích VA, VB, VC . Thể tích của hốn hợp bằng tổng thể tích của các chất trong hốn hợp.
	Ví dụ 4: 
	Hai bình chứa hai chất lỏng khác nhau, trộn 10,8 gam chất lỏng I vào 4,8 gam chất lỏng II ta được một hốn hợp có khối lượng riêng bằng 1560kg/m. Cùng trộn một khối như nhau ta được một hốn hợp có khối lượng riêng 1440kg/m. Tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.
	*Kiến thức có tính chất quy luật:
 	Khối lượng	Khối lượng
	Khối lượng riêng = 	=> Thể tích = 
	Thể tích	Khối lượng riêng
	* Kiến thức liên hệ cụ thể trong bài:
	+ Trộn lần đầu: Khối lượng hốn hợp = 10,8 + 4,8 = 15,6 (gam)
	Thể tích hốn hợp = 15,6: 1,56 = 10 (cm3)
	( 1560 kg/m3 = 1,56g/ cm3)
	+ Trộn lần sau:
	Khối lượng hỗn hợp = 7,2 + 7,2 = 14,4 (g)
	Thể tích hốn hợp = 14,4 : 1,44 = 10 (cm3)
	Do đó nếu gọi x, y là khối lượng riêng của chất lỏng I và II. Ta có hệ:
	5 - Các bài toán về nhiệt lượng:
	Khi gặp loại toán này cần chú ý các kiến thức sau:
	- Nhiệt lượng của chất toản ra và nhiệt lượng của chất thu vào bằng nhau:
	+ Công thức tính nhiệt lượng toả ra từ một vật có nhiệt độ ban đầu t0 là:
	Q = Cm (t1 – t0)
	Trong đó: C là nhiệt dung riêng của chất tạo nên vật và được tính bằng Calo
	m là khối lượng của vật (tính bằng gam)
 Ví dụ 5: 
	Hai bình đựng nước ở nhiệt độ khác nhau. Nếu 240 gam nước ở bình đầu đem trộn với 210 gam nước ở bình thứ hai thì được một hỗn hợp 520C.ếu lấy 180 gam nước ở bình đầu trộn với 120 gam nước ở bình hai được một hỗn hợp có nhiệt độ 460C. Tính nhiệt độ ở nước ở mỗi bình
	Phân tích ví dụ trên
	Lần đầu: Khối lượng nước của bình 1 đem trộn nhỏ hơn khối lượng nước của bình 2 đem trộn. Vì vậy nhiệt độ của hốn hợp là 520C. 
	Lần sau:
Khối lượng nước của bình 1 đem trộn lớn hơn khối lượng nước bình 2 đem trộn. Vì vậy nhiệt độ của hốn hợp là 460C ( giảm đi so với lần đầu)
	Suy ra: Nhiệt độ nước ở bình 1 nhỏ hơn nhiệt độ nước ở bình 2.
	* Kiến thức của loại thức 2:
	Công thức tính nhiệt lượng: Q = C m (t1 - t0) và nhận xét để có hệ:
	 240.C.(52 – x) = 2600.C.(y-52)
	 180.C.(46+x) =120.C.(y - 46)
	Trên cơ sở phân dạng bài toán như vậy người thày cần nhấn mạnh cho học sinh thấy được :
	Việc phát triển mối liên hệ giữa các đại lượng trong bài toán đó là cơ sở để lập phương trình cho bài toán. làm như vậy cùng là tập dượt cho các em xem xét sự vật trong mối quan hệ với nhau chứ không tách rời nhau một cách độc lập. Đó là căn cứ của tư duy biện chứng
	III.2: Rèn luyện cho học sinh khả năng sử dụng những biểu thức chứa biến để biểu thị tình huống thực tế
	Một điều nữa cần chú ý trong việc dạy học sinh giải toán bằng cách lập phương trình là luyện cho các em biết biểu thị những tình huống thực tế bằng những biểu thức có chứa biến đại diện cho những đại lượng chưa biết và từ tình huống thực tế sang biểu thức biểu thị chúng. Điều này có thể minh hoạ bằng hai dạng bài tập và câu hỏi sau:
	Bài tập: Một quyển sách có m trang . nếu đọc được 15 trang thì còn bao nhiêu trang chưa đọc:
	Hỏi: Hãy nêu 2 ví dụ mà trong đó có một đại lượng được biểu thị bởi biểu thức m -15
	Bài tập: Đi quãng đường dài S (km) với vận tốc không đổi mất 5 giờ. Tính vận tốc 
	Hỏi: Hãy nêu hai ví dụ mà trong đó có một đại lượng được biểu thị bởi biểu thức S / 5
	Bài tập : Một cái ao hình chữ nhật chiều dài 11m , rộng a (m) . Hỏi diện tích bằng bao nhiêu?
	Hỏi: hãy nêu 3 ví dụ mà trong đó có một đại lượng biểu thị bởi biểu thức 11.a?
	Không nên coi nhẹ việc này, trái lại cần coi chúng như viên gạch xây đắp cho học sinh khả năng lập phương trình xuất phát từ bài toán thực tế. Nói rộng hơn, chúng góp phần rèn luyện cho học sinh có khả năng toán học hoá tình huống thực tế, một yêu cầu quan trọng trong dạy toán. 
	IV/ Kết quả.
	Những phương pháp trên đã được áp dụng vào việc dạy toán ở lớp 9 và kết quả cho thấy khả năng giải toán bằng cách lập phương trình của học sinh vững vàng hơn. Chất lượng bài kiểm tra phần này thường đạt từ 95 -98% trong đó có 72% khá giỏi.
	Đánh giá sự rèn luyện cho học sinh việc tìm tòi lời gải cho bài toán bằng cách lập phương trình nói riêng và quá trình khả năng tìm ra lời giải của các bài toán nói chung sẽ góp phần rèn luyện được một vài yêu cầu nào đó trong quá trình dạy học. Tuy vậy, cần phải quan tâm đến vấn đề này vì đây là yếu tố để đánh giá hiệu quả của việc áp dụng các phương pháp.
	1. Xét về mặt nhận thức.
	Nội dung và phương pháp rèn luyện cho học sinh khả năng pháp hiện mối liên hệ giữa các đại lượng, trên cơ sở đó vận dụng các công thức toán học có tính chất quy luật khẳng định vai trò có tính chất quan trọng của việc giải toán bằng cách lập phương trình trong toàn bộ quá trình dạy toán và học toán, việc trang bị đầy đủ kiến thức cho học sinh là rất cần thiết. Nhưng nếu chỉ dừng lại ở công việc đó thì việc giải toán của học sinh sẽ bị ảnh hưởng không ít. Vì vậy, việc tích luỹ vốn kiến thức và rèn luyện khả năng phát hiện những hệ thức giữa các đại lượng và khả năng sử dụng biểu thức chứa biến để biểu thị những tình huống thực tế phải được tiến hành đồng thời trong quá trình dạy học, giải toán bằng cách lập phương trình. Hai mặt này có tác dụng hỗ trợ, thúc đẩy lẫn nhau.
	2. Xét về phương pháp tư duy.
	- Nội dung và phương pháp tìm tòi, rèn luyện khả năng phát hiện mối liên hệ giữa các đại lượng thực tế trong bài toán đã định hướng cho cách tư duy phải phù hợp với quy luật, phải biết dựa vào tính tất yếu của quy luật để lập phương trình giải toán.
	Rèn luyện các thao tác tư duy chính xác trong phạm vi một vấn đề. Điểm xuất phát và điểm gốc của mọi quá trình suy luận phải từ nội dung thực tế của bài toán, tránh suy luận mơ hồ, ngộ nhận, không có căn cứ chính xác.
	- Rèn luyện các khả năng tư duy ( ở mục II) cuãng phải từ đơn giản đến phức tạp. Từ cụ thể đến trừu tượng, từ khâu có tính chất kỹ thuật đến các khâu trí tuệ hơn. Cứng nhắc, dập khuôn, thiếu linh hoạt là lỗi phổ biến ở học sinh. Các em lúng túng từ khi phải chuyển đường lối chung của giải một bài toán ở dạng tổng quát sang bài toán cụ thể. Đó là do kiến thức về cái chung không sâu sắc. Mặt khác, lại do chỉ quen với các bài toán cụ thể mà không luyện tập dần khả năng chuyển từ bài toán cụ thể sang bài toán tổng quát.
	3. Xét về tác dụng tư tưởng.
	Việc rèn luyện cho học sinh khả năng phát hiện những hệ thức giữa các đại lượng và khả năng sử dụng những biểu thức chứa biến để biểu thị tình huống thực tế góp phần nâng cao hiệu quả của dạy học “ Giải toán bằng cách lập phương trình”.
	Chú trọng hai phương diện này có tác dụng không nhỏ đối với việc hình thành những phẩm chất cần thiết cho con người, tính linh hoạt, sáng tạo, quy củ, hợp lý trong suy nghĩ và hành động.
	V. Kết kuận.
	đặc trưng quan trọng của loại toán giải bằng cách lập phương trình là nội dung các tình huống thực tế. Nó vừa hấp dẫn vừa hóc búa như là thử thách đối với thày và trò.Với hy vọng được trao đổi vài suy nghĩ và một số biện pháp khả dĩ giúp cho việc học dạy và học ”Giải toán bằng cách lập phương trình”thu được kết quả tốt hơn cả phía giáo viên và phía học sinh. Tác giả muốn được gửi gắm tới các bạn đồng nghiệp một chút những ý kiến giản đơn và nhỏ bé của mình, rất mong những ý kiến đóng góp chân thành của các bạn.