Sáng kiến kinh nghiệm Giải quyết bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình

ổng của chữ số hàng đơn vị và hai l ần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số bằng 10. Nếu đổi chỗ 2 chữ số, hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì được số mới nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị. Tìm số ban đầu.
* Hướng dẫn học sinh: 
? 1 học sinh tóm tắt đầu bài:
 Số mới:
* Lời giải:
Gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y:
Điều kiện:	0 < x ≤ 9	;	0 ≤ y ≤ 9
	x, y ẻ N
Số đã cho có dạng:
Số mới khi đổi chỗ có dạng:
Theo bài ra ta có phương trình:	(10x + y) - (10y + x) = 18
	9x - 9y = 18
	x - y = 2 (1)
Mặt khác: Tổng chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục là 10 nên: 2x + y = 10 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
x - y = 2 (1)
2x + y = 10 (2)
Û
3x = 12	x = 4
x - y = 2	y = 2
Với	x = 4
	y = 2 Thoả mãn điều kiện bài toàn.
Vậy số đã cho là: 42 vì có hàng chục là 4 và đơn vị là 2.
* Chú ý: Bài toán có thể giải bằng cách lập phương trình.
Bài toán 3: (Bài 54 - tr12 - SBT Toán 9 tập 2).
Tìm một số có hai chữ số biết rằng 2 lần chữ số hàng chục lớn hơn 5 lần chữ số hàng đơn vị là 1 và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị được thương là 2 và dư cũng là 2.
* Hướng dẫn học sinh:
Học sinh đọc đầu bài và tóm tắt:	2x - 5y = 1
? 2 lần chữ số hàng chục lớn hơn 5 lần	x = 2y + 2
Chữ số hàng đơn vị là 1 nghĩa là gì ?
? Chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị được thương là 2 và dư 2 ta có điều gì ?
* Lời giải:
Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x.
Gọi chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là y.
Điều kiện: x, y ẻ N; 0 < x ≤ 9 ; 0 ≤ y ≤ 9
Vì 2 lần chữ số hàng chục lớn hơn 5 lần chữ số hàng đơn vị.
Là 1 nên ta có phương trình:	2x - 5y = 1 (1).
Vì chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị được thương là 2 và dư cũng là 2 nên ta có phương trình.
	x = 2y + 2 Û x - 2y = 2 (2)
Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:
Û
Û
Û
2x - 5y = 1	2x - 5y = 1	-y = - 3	y = 3
x - 2y = 2	2x - 4y = 4	2x - 5y = 1	2x-15 =1
Û
	 x = 8
	 y = 3
Các giá trị x = 8; y = 3 thoả mãn điều kiện của ẩn.
Vậy số cần tìm là 83.
* Lưu ý: Bài toán có thể giải bằng cách lập phương trình.
Khi tìm xong số 83, còn yêu cầu học sinh thử lại 2 điều kiện của của đầu bài.
C. Các bài toán tự luyện tập:
Bài toán 1:
Một số tự nhiên có hai chữ số. Chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng chục. Nếu thêm chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn số ban đầu là 370. Tìm số ban đầu.
Bài toán 2:
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 2 vào bên trái và một chữ số 2 vào bên phải số đó thì ta được một số lớn gấp 153 lần số ban đầu.
Bài toán 3:
Tìm phân số có các tính chất sau:
a) Tử số của phân số là số tự nhiên có một chữ số;
b) Hiệu giữa tử số và mẫu số bằng 4;
c) Nếu giữ nguyên tử số và viết thêm vào bên phải của mẫu số một chữ số đúng bằng tử số, thì ta được một phân số bằng phân số 
Bài toán 4:
Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124.
Dạng VI: bài toán có nội dung hình học
A - Kiến thức cần nhớ:
Ngoài kiến thức chung, đối với học sinh cần nhớ các kiến thức sau:
- Công thức tính diện tích của các hình, chu vi của các hình quen thuộc (tam giác, tam giác vuông, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang ...).
- Các hệ thức lượng trong tam giác vuông...
B - áp dụng bài tập:
Bài toán 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi: 124m. Nếu tăng chiều dài 5m và chiều rộng 3m thì diện tích tăng thêm 255m2, tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.
* Hướng dẫn học sinh:
- Công thức chu vi: P = (a+b) x 2
- Công thức tính diện tích S = a x b
(Dài là a, rộng là b)
Dài (m)
Rộng (m)
Diện tích (m2)
Lúc đầu
a
b
ab
Lúc sau khi tăng
a + 5
b + 3
(a+5)(b+3)
* Lời giải:
Gọi chiều dài của mảnh vườn là a(m)
 Chiều rộng của mảnh vườn là b(m)
Điều kiện: a > b > 0
Khi đó chu vi của mảnh vườn là: (a+b). 2 (m) ta có phương trình:
	(a+b).2 = 124 ị a + b = 62 (1)
Chiều dài mảnh vườn khi tăng sẽ là:	a + 5 (m)
Chiều rộng mảnh vườn khi tăng sẽ là :	b + 3 (m)
Diện tích của mảnh vườn khi tăng sẽ là: (a+5)(b+3) = ab + 5b + 3a + 15 (m2)
Diện tích ban đầu của mảnh vườn là: a.b theo bài ra ta có phương trình:
15 + ab + 5b + 3a - ab = 255
15 + 3a + 5b = 255 hay 3a + 5b = 240 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Û
Û
a + b = 62 (1)	2a = 70	a = 35
3a + 5b = 240 (2)	2b = 54	b = 27
Với a = 35, b = 27 thoả mãn điều kiện của ẩn. Vậy chiều dài và rộng của mảnh vườn đã cho là: 35(m) và 27(m).
Chú ý: Bài toán giải bằng cách lập phương trình.
Bài toán 2:
Cho tam giác vuông góc có cạnh bằng 5m và diện tích của tam giác đó bằng 12cm2.
Hãy xác định tam giác vuông trên.
* Hướng dẫn học sinh:
- Công thức sử dụng: (Pitago) a2 = b2 + c2
a - cạnh huyền
b - cạnh góc vuông
c - cạnh góc vuông
- Công thức tính diện tích tam giác vuông: 
* Lời giải: Gọi độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác lần lượt là:
	x và y (cm) Điều kiện x, y > 0 ; x, y < 5 
Theo định lý Pitago là: x2 + y2 = 52 hay x2 + y2 = 25 (1) 
Mặt khác diện tích của tam giác vuông 
	 Û xy = 24 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
Û
x2 + y2 = 25	(x+y)2 = 73
xy = 24	(x-y)2 = -23
Hệ phương trình vô nghiệm vì (x - y)2 ≥ 0 "x, y.
Vậy không có tam giác vuông nào có tính chất trên.
Bài toán 3: 
Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và nó định ra trên cạnh huyền thành 2 đoạn có độ dài hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó.
* Hướng dẫn học sinh:
- Nắm được hệ thức lượng trong tam giác vuông: h2 = b' . c'.
- Căn cứ hiệu độ dài 2 hình chiếu 2 cạnh góc vuông b' - c' =5, 6 (b' > c').
c'
c
h
* Lời giải:
Gọi độ dài đoạn thẳng 2 hình chiếu do đường cao
b'
c'
định ra trên cạnh huyền của tam giác vuông lần
lượt là x, y (m) (x > y > 0).
Theo bài ra ta có phương trình: x - y = 5,6 (1)
Mặt khác theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
	h2 = x.y Û x.y = 9,62 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:	x - y = 5,6 (1)
	x.y = 9,62 (2)
Ta có:	(x - y)2 = 5,62
	4xy = 4 . 9,62
ị (x - y)2 + 4xy = 19,22 + 5,62
ị (x + y)2 = 400
Với x + y = 20 thoả mãn điều kiện của ẩn. Vậy độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó là 20cm.
C - Các bài toán tự luyện tập:
B
A
C
2cm
3cm
Bài toán 1: 
Lan có một miếng bìa hình tam giác
ABC vuông tại A, canh AB=3cm. Lan 
tính rằng nếu cắt từ miếng bìa đó ra một
hình chữ nhật có chiều dài 2cm như hình vẽ
thì hình chữ nhật ấy có diện tích bằng một
nửa diện tích của miếng bìa ban đầu. Tính 
độ dài cạnh AC của tam giác ABC.
Bài toán 2:
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240m2. Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất.
Bài toán 3:
Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 2cm. Tính độ dài cạnh gốc vuông của tam giác vuông đó.
Bài toán 4: 
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 2m. Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong vườn để trồng trọt là 4.256m2.
Dạng Vii:Toán có nội dung vật lý - hoá học
A - Kiến thức cần nhớ:
Ngoài kiến thức chung của quy tắc giải, học sinh cần nắm kiến thức sau:
- Nhiệt lượng công thức:	Qtoả = C.m (t1 - t2)
	Qthu = C.m (t2 - t1)
- Nồng độ dung tích:	mct: khối lượng chất tan
	mdd: khối lượng dung dịch
- Nồng độ Mol/l:	M: Số mol chất tan
	V: Thể tích dung dịch.
- Tính theo phương trình hoá học, công, công suất.
B - Bài tập vận dụng:
Bài toán 1:
Trong 200g dung dịch có chứa 50g muối, còn phải pha thêm bao nhiêu gam nước để được một dung dịch chứa 10% muối.
* Hướng dẫn học sinh:
Nồng độ dung dịch: 
Gọi số g H2O pha thêm là x ị = x + 200(g)
	 Số gam muối 50g ị mct = 50 (g)
ị
* Lời giải: Gọi số gam nước cần pha thêm là x(g), điều kiện x > 0
Khi đó số gam dung dịch mới là: x + 200(g)
Khối lượng muối trong dung dịch mới là: 50(g) muối.
Nồng độ dung dịch theo bài ra ta có phương trình:
	Û 500 = x + 200
	Û 300 = x
Với x = 300 thoả mãn điều kiện của ẩn.
Vậy số gam nước cần pha thêm là: 300(g).
Bài toán 2:
Một dung dịch chứa 30% axít HNO3 và một dung dịch khác chứa 55% axít HNO3. Cần phải trộn bao nhiêu gam loại thứ nhất với loại thứ hai để được 100g dung dịch chứa 50% axít HNO3.
* Lời giải:
Gọi khối lượng cần trộn của loại dung dịch thứ nhất với loại dung dịch thứ II lần lượt là x và y(g).
Điều kiện x > 0, y > 0.
Dung dịch sau khi trộn là 100g nên ta có phương trình: x + y = 100 (1).
Khối lượng HNO3 nguyên chất trong x(g) dung dịch loại thứ nhất 30% là:
Khối lượng HNO3 nguyên chất trong y(g) dung dịch loại thứ hai 55% là:
Nồng độ dung dịch sau khi trộn 50% nên số g HNO2 là: 50(g).
Ta có phương trình:
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Û
	x + y = 100	6x + 6y = 600
	6x + 11y = 1000
Û
Û
x + y = 100	x + y = 100	x = 20
5y = 400	y = 80	y = 80
Với x = 20, y = 20 thoả mãn điều kiện của ẩn.
Vậy cần phải trộn 20g dung dịch axít HNO3 loại thứ nhất với 80g dung dịch axít HNO3 loại 2 để được 100g dung dịch chứa 50% chứa axít HNO3.
Bài toán 3:
Dùng 2 nhiệt lượng mỗi nhiệt lượng 168KJ để đun nóng hai khối nước hơn kém nhau 1kg thì khối H2O nhỏ nóng hơn khối H2O lớn là 20C. Tính xem khối nước nhỏ được đun nóng thêm bao nhiêu độ ?
* Hướng dẫn học sinh:
- Công thức sử dụng Q = c.m(t2 - t1) ị nhiệt độ tăng lên là t2 - t1. 
Khối lượng nước cần đun : 
- Nhiệt dung riêng: C = 4,2kJ/ kg độ.
* Lời giải:
Gọi nhiệt độ tăng thêm của khối nước nhỏ là x(0C).
Điều kiện: x > 0.
Khối lượng của khối nước nhỏ là:
Khối lượng của khối nước lớn là:
Theo bài ra ta có phương trình:
x2 - 2x - 80 = 0 ị x1 = 10, x2 = - 8.
Với x = 10 thoả mãn điều kiện của ẩn.
Vậy nhiệt độ tăng thêm ở khối nước nhỏ là 10(0C).
C - Các bài toán tự luyện tập:
Bài toán 1:
Biết rằng 200g một dung dịch chứa 50g muôi. Hỏi phải pham thêm bao nhiêu gam nước vào dung dịch đó để được một dung dịch chứa 20% muối ?
Bài toán 2: 
Một vật có khối lượng 124g và thể tích 15cm3 là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89g đồng thì có thể tích là 10cm3 và 7g kẽm có thể tích là 1cm3.
Bài toán 3:
Miếng kim loại thứ nhất nặng 880g, miếng kim loại thứ hai nặng 858g. Thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10cm3, nhưng sung khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 1g/ cm3. Tìm khối lượng riêng của mối miếng kim loại.
Bài toán 4:
Người ta đổ thêm 200g nước vào một dung dịch chứa 40g muối thì nồng độ của dung dịch giảm đi 10%. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu nước ?
Bài toán 5:
Một vật là hợp kim đồng và kẽm có khối lượng là 124g và có thể tích 15cm3. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biế rằng cứ 89g đồng thì có thể tích là 10cm3 và 7g kẽm thì có thể tích là 1cm3.
 Dạng Viii: toán có chứa tham số
A - Kiến thức cần nhớ:
- Dạng tổng hợp của nhiều loại toán trên.
- Kỹ năng giải phương trình - Hệ phương trình ở dạng chứa chữ.
- Điều kiện của tham số để bài toán có kết quả.
- Kết quả của bài toán dẫn đến là 1 biểu thức hoặc cụ thể.
B - áp dụng:
Bài toán 1: 
Hai kho sách gồm m quyển, nếu chuyển số sách kho II sang kho I thì số sách ở kho I gấp k lần số sách ở kho II. Tính số sách lúc đầu của mỗi kho (biết rằng k ³ 1, k nguyên).
* Lời giải:
Gọi số sách ở kho II ban đầu là x(quyển) 0 < x < m, x nguyên thì số sách ở kho I ban đầu là: m - x (quyển).
Số sách ở kho II sau khi chuyển:	 (quyển)
Số sách ở kho I sau khi chuyển:	 (quyển)
Theo bài ra ta có phương trình:
 	 Û 4x .(k + 1) = 5m
Theo bài ra: 1 ≤ k ẻ Z ị
Với 1 ≤ k ẻ Z thì 0 < x = thoả mãn điều kiện bài toán.
Vậy số sách ban đầu ở kho II là (quyển)
Số sách ban đầu ở kho I là:	(quyển)
Bài toán 2: Một người đi một nửa quãng đường AB với vận tốc 20km/h và đi phần còn lại với vận tốc 30km/h. Tính vận tốc trung bình của người đó trên cả quãng đường AB.
* Hướng dẫn học sinh:
Gọi vận tốc trung bình của người đó là x(km/ h) (điều kiện x > 0).
Ta sẽ biểu thị một nửa quãng đường AB bởi tham số a(km) (a> 0).
- Thời gian đi trên nửa quãng đường AB với vận tốc 20km/h là:
- Thời gian đi trên nửa quãng đường AB với vận tốc 30km/h là:
- Thời gian người đó đi trên cả đoạn đường AB với vận trung bình x(km/h) là: 
Theo bài ra ta có phương trình:
Û 3x + 2x = 120
Û 5x = 120
Û x = 24
Với x = 24 thoả mãn điều kiện của ẩn.
Vậy vận tốc trung bình của người đó trên cả quảng đường AB là 24km/h.
C - Các bài toán tự luyện tập:
Bài toán 1:
Một khách du lịch đi từ A đến B nhận thấy cứ 15 phút lạu gặp một xe buýt đi cùng chiều vượt qua, cứ 10 phút lại gặp một xe chạy ngược lại. Biết rằng các xe buýt đều chạy với cùng một vận tốc, khởi hành sau những khoảng thời gian bằng nhau và không dừng lại trên đường (trên chiều từ A đến B cũng như trên chiều ngược lại). Hỏi cứ sau bao nhiêu phút thì các xe buýt lạu lần lượt rời nến ?
Bài toán 2: 
Trên quãng đường AB của một thành phố, cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều từ A đến B, và cũng cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều ngược lại. Các xe này chuyển động đều với cùng vận tốc như nhau.
Một khách du lịch đi bộ từ A đến B nhận thấy cứ 5 phút lại gặp một xe đi từ B về phía mình. Hỏi cứ bao nhiêu phút lại có một xe đi từ A vượt qua người đó ?
Bài toán 3:
Một điền chủ muốn cắt ra từ một mảnh đất hình chữ nhật một dải đất có chiều rộng không đổi dọc theo bốn bờ của mảnh đất sao cho diện tích phần cắt ra bằng diện tích phần còn lại.
Trong cách làm của mình điền chủ làm như sau:
Lấy nửa chu vi hình chữ nhật ban đầu trừ đi đường chéo của nó, rồi chia cho 4, đó chính là chiều rộng của dải đất được cắt ra.
Hãy chứng tỏ cách làm của điền chủ là đúng.
iii/ kết quả thực hiện:
Khi giảng dạy giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình tôi thấy: khi mới gặp dạng bài tập này đa số học sinh rất ngại, rất lúng tíng, nhiều em không xác định được dạng, không định hướng được phương pháp giải, đặc biệt là gặp rất nhiều khó khăn khi lập phương trình (hệ phương trình) của bài toán. Những em có khá hơn thì trình bày lời giải thường thiếu sót, lý luận không đầy đủ, diễn đạt còn lủng củng, thiếu điều kiện hoặc điều kiện không chặt chẽ, chính xác. Sau một thời gian giảng dạy (năm học 2004 - 2005), tôi đã thử nghiệm với 2 lớp 9C và 9D (sức học 2 lớp ngang nhau). Với lớp 9C tôi chỉ hướng dẫn các em qua các bài tập cụ thể mà không phân dạng. Với lớp 9D tôi phân dạng cho các em, đưa ra phương pháp lập bảng đối tượng và số liệu cho từng dạng, dựa vào đó lập phương trình. Tôi thấy với lớp 9C khi làm các bài tập khác tương tự các bài tập đã làm nhưng các em vẫn rất lúng túng, gặp nhiều khó khăn trong việc lập phương trình (hệ phương trình), mặc dù cũng có một số ít em làm được. Còn với lớp 9D thì khi làm các bài tập mới các em rất tự tin linh hoạt, có cơ sở để tìm tòi, vận dụng. Các em làm tốt hơn hẳn lớp 9C, mức độ giải quyết bài tập đạt hiệu quả cao hơn.
Kết quả cụ thể như sau (hai lớp làm chung 1 đề kiểm tra):
Điểm
Lớp
Dưới 5
5 - 6
7 - 8
9 - 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
9C (42)
08
19
18
42,9
12
28,6
04
9,5
9D (40)
01
2,5
11
27,5
18
45
10
25
Để đạt được kết quả như vậy, đầu tiên phải có sự nỗ lực, cố gắng của chính bản thân các em, các em giải bài tập một cách chủ động, tích cực. Bên cạnh đó thầy phải tăng cường đưa ra các bài tập để các em tìm tòi, khám phá, thầy phải định hướng phân dạng, đặc biệt hướng dẫn các em lập bảng đối tượng và số liệu hoặc dùng sơ đồ để tóm tắt bài toán.
iv - phạm vi áp dụng:
Kinh nghiệm giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình có thể áp dụng trong các tiết dạy lý thuyết, các tiết luyện tập, ôn tập chương trong chương trình đại số lớp 8, lớp 9. Đặc biệt là dạy ôn thi vào lớp 10 THPT.
v - bài học kinh nghiệm:
Qua thực tế giảng dạy giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình, để học sinh nắm vững và vận dụng linh hoạt các dạng toán trên cần phải có các điều kiện sau:
1. Về phía giáo viên:
* Cần đầu tư chuẩn bị kỹ bài, sắp xếp hệ thống câu hỏi thật lô gíc.
* Cần chịu khó nghiên cứu tìm tòi, sưu tầm các đề thi, các bài toán hay để mở rộng vốn kiến thức.
* Cần chuẩn bị các tình huống có vấn đề gây sự tò mò hứng thu cho học sinh để phát huy trí lực cho các em.
* Khi gặp các tình huống có vấn đề cần xử lý linh hoạt, phải thường xuyên bổ sung phần kiến thức còn hổng cho các em. Cần phân tích và chỉ rõ những sai lầm, thiếu sót mà học sinh thường mắc phải.
* Cần kiểm tra thường xuyên sự chuẩn bị của học sinh để động viên khích lệ các em chuẩn bị bài.
2. Về phía học sinh:
* Phải chủ động, tự giác, quyết tâm và phát huy tính cực trong học tập của mình.
* Cần có vốn kiến thức đại số vững vàng, nắm vững và vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt để giải toán.
* Cần chuẩn bị thật kỹ bài, đầu tư nhiều thời gian, phải phân tích thật kỹ các bài toán và cần có tính kiên trì trong học tập.
3. Về phía nhà trường:
* Phải có nề nếp và phong trào học tập tốt.
* Phải quan tâm và đầu tư về mọi mặt cho các hoạt động dạy và học.
vi - những vấn đề còn bỏ ngỏ:
Tuy các dạng toán giải bằng các lập phương trình hay hệ phương trình được đưa ra khá đầy đủ; phương pháp giải, cách lâp phương trình hay hệ phương trình được nghiên cứu và chọn lọc tương đối kỹ. Tuy nhiên có thể còn chia nhỏ, phân dạng cụ thể, rõ ràng hơn. Chẳng hạn trong dạng toán chuyển động, ta có thể phân ra dạng chuyển động cùng chiều, chuyển động ngược chiều, chuyển động theo dự định, chuyển động có dòng nước chảy... Hoặc đưa ra những bài tập tổng hợp hơn sau mỗi dạng, hay những bài tâp tưởng chừng như thiếu dữ kiện nhưng vẫn giải được (loại bài tập phải tự đặt thêm tham số), nhiều khi cách giải ngắn gọn, độc đáo và bất ngờ. Dạng toán chứa tham số thì cần có điều kiện gì của tham số bài toán mới giải được (dành cho học sinh giỏi) hoặc làm cho học sinh có thể tự ra các bài tập, các bài toán ngược hoặc thay đổi dữ kiện sau khi học xong mỗi dạng toán. Đó là những vấn đề mà tôi tự đặt ra với bản thân để tiếp tục nghiên cứu trong thời gian tới, cũng như nêu vấn đề để các đồng nghiệp cùng suy ngẫm và nghiên cứu.
Phần C
Kết luận
I - ý nghĩa, tác dụng của đề tài: 
Trên đây là một vài vấn đề mà tôi đã rút ra trong quá trình giảng dạy. Cho dù các phương pháp nêu trên chưa hẳn đã mẫu mực và đầy đủ, nhưng dù sao nó cũng giúp học sinh phần nào bớt đi khó khăn trong việc giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình. Các em có tiến bộ, yêu thích môn Toán hơn, trình bày mẫu mực và chặt chẽ hơn. Các em tự tin hơn trong việc tìm tòi, lĩnh hội kiến thức, tạo niềm say mê, sáng tạo và hứng thú. Từ đó thúc đẩy phong trào học tập của trường ngày càng tiến bộ. Bản thân tôi cũng cảm thấy tự tin hơn, thoải mái hơn và giảm đi được phần nào sự băn khoăn, trăn trở khi dạy toán.
ii - một số kiến nghị, đề xuất:
Qua thực tế giảng dạy, tôi mạnh dạn đề nghị: Với mỗi bài toán giải bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình, giáo viên cần cho học sinh khai thác sâu bài toán, tìm ra nhiều cách giải khác nhau, có thể giải bằng cách lập phương trình 1 ẩn hoặc hệ 2 phương trình 2 ẩn. Có thể chọn ẩn trực tiếp (gọi trực tiếp các đại lượng cần tìm là ẩn) hoặc chọn ẩn trung gian, gián tiếp (gọi các đại lượng khác là ẩn). Từ bài toán ban đầu có thể khai thác, phát triển thành nhiều bài toán khác tương tự hoặc thay đổi dữ kiện cho học sinh tự ra các bài toán ngược. Từ đó giúp học sinh linh hoạt, sáng tạo, hiểu sâu sắc hơn về tự giải toán. Từ đó phát triển được tư duy sáng tạo cho các em, giúp các em hưng phấn, hứng thú hơn trong học tập (đặc biệt trong các tiết luyện tập hay ôn tập chương giáo viên cần làm việc này).
iii - lời kết: 
Chuyên đề giải bài toán bằng các lập phương trình hay hệ phương trình là một vấn đề quen thuộc mà đã có nhiều tác giả nghiên cứu, song với lòng ham muốn tìm tòi, học hỏi để nâng cao trình độ của mình, giảm bớt khó khăn cho học trò, tôi đã mạnh dạn viết lên những vấn đề trên. Tôi rất mong được sự góp ý, giúp đỡ quý báu của các đồng nghiệp để hoàn thiện hơn đề tài của mình, để cho bản kinh nghiệm này được thực thi trên diện rộng.
Tôi xin chân thành cảm ơn!.